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六
希腊数学，作为一种有关可感知的量的科学，蓄意把自己限定在可理解的当下在场的事实上，把它的研究和这些研究的有效性局限在近旁的小事物上。与这一数学无懈可击的一致性相比较，西方数学的立场被认为实际上有点非逻辑的味道，尽管只是自非欧几何发现以来，这一事实才真正地被认识到。数是完全非感觉化的理解的意象，是纯粹思想的意象，其本身之中就包含有抽象的有效性。因此，数能否确实地运用于意识经验的现实性，这本身便是一个问题，并且是一个不断地被重新提出而从未获得解决的问题，而数学体系与经验观察之间的符合，在目前还只能视作是自明的。尽管门外汉的观念——例如在叔本华身上所看到的——认为数学有赖于感官的直接证据，但欧几里得几何学——虽则表面上看，其与所有时代通行的几何学是同一的——与现象世界仅仅是近乎吻合，且是在非常狭窄的范围内——事实上是在画图板的范围内——才近乎吻合。扩大这些范围，则——例如——欧几里得的平行线将会变成什么？它们会在地平线上相交——我们一切的艺术透视就是建立在这一简单的事实之上的。
因此，康德是一位西方思想家，他回避了有关距离的数学，而诉诸一组数字例证，而对于它们的绝对细分，他认为尤其不能用西方的无穷小的方法来处理，他这样做并不矛盾。但是，欧几里得是一位古典时代的思想家，当他禁止通过参照——比如说——由一个观察者和两个无穷远的恒星所构成的三角形来证明他的公理的现象真理时，这与古典时代的精神是完全一致的。因为这些东西既不能被画出来，又不能“直观地领会到”，他的感受恰恰是害怕无理数的感受，是不敢给予像零这样的虚无以一个价值（例如，说它是一个数），甚至在沉思宇宙关系时也不敢直视无穷大，而只能固守着它的比例的象征的感受。
萨摩斯岛（Samos）的阿里斯塔库斯在公元前288至前277年间属于亚历山大里亚的天文学家圈子，这个圈子无疑与迦勒底-波斯学派有关系；阿里斯塔库斯曾提出了一个日心说的世界体系。经过哥白尼（Copernicus）的再发现，这一日心说的体系将动摇西方人的形而上情感的基础——乔尔丹诺·布鲁诺即是明证——将成为强有力的预兆的完成，并将证明浮士德式和哥特式的世界感，这种世界感早已经通过哥特式大教堂的形式而体现了对无限的信仰。但是，阿里斯塔库斯当时的世界对他的著作根本漠不关心，因此很短的时间里就被遗忘了——我们可以推测，这是故意的。他的为数不多的追随者几乎全都是小亚细亚的本土人，其中最著名的支持者塞琉古（Seleucus）（约公元前150年）来自底格里斯河流域的波斯的塞琉西亚（Seleucia）。事实上，阿里斯塔库斯的体系在精神上根本没有诉求于古典文化，它其实对后者构成为一种威胁。不过，这一体系与哥白尼的体系在某个方面有根本的不同（这一点常常被人忽视了），正是这个方面使得前者完全符合古典的世界感，那就是：它假定，宇宙是包含在一个物质上有限和视觉上可感的球状虚空（hollow sphere）中的，在这球状虚空的中间是行星系统，其排列和运行正如哥白尼的路线。在古典天文学中，地球和天空中的其他星体被一致地认为是两种不同的实体，不论对其运动的具体细节的解释是多么的多样。同样地，相反的观念认为，地球只是众星体中的一种，这一观念本身与托勒密式的体系或哥白尼式的体系并非格格不入，事实上，它的真正先锋是尼古拉·库萨（Nicolaus Cusanus）和列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）。但是，由于天球（celestial sphere）这一概念的发明，那本来可能危及感受性的古典文化的有边界的观点的无穷大原则便被掩盖了。也许有人会认为，无穷大的概念是阿里斯塔库斯的体系所必然隐含的——而事实上，早在他的时代之前，巴比伦的思想家就已经抵达了这个概念。但希腊全无此等思想出现。相反，在阿基米德著名的有关沙粒的论文中，他证明说，用沙粒填满一个立方体的物体（这根本上就是阿里斯塔库斯的宇宙），便可得到一个非常高但决不是无穷的图象结果。他的这一命题尽管一再被引用，认为是向积分学迈出的第一步，但其本身原是对我们所谓的“分析”概念的一种否定（实际上，在论文的标题中就已经隐含了这一点）。在我们的物理学中，不断出现的一种有关物质性的（或者说可直接感知的）以太的假设，一次又一次地与我们拒绝承认任何物质性的边界的做法相冲突；欧多克斯、阿波罗尼乌斯（Apollonius）和阿基米德当然是最敏锐、最大胆的古典数学家，他们主要用直尺和圆规，对既成之物完全地进行纯视觉的分析，而其基础，便是古典的雕塑式的边界概念。他们运用经过深思熟虑而得出的（可对我们来说几乎是不可理解的）求积的方法，但这些方法与莱布尼茨的定积分方法甚至只有表面的相似。他们也运用几何轨迹和坐标系，但这些通常都是度量的一些被明确的长度和单位，而不是——如同在费马（Fermat）、尤其是在笛卡儿那里——未被明确的空间关系，不是依据点在空间中的位置而定的点的价值。在所有这些方法中，还要特别地提一下阿基米德的穷竭法（exhaustion method），在最近发现的阿基米德致厄拉多塞尼（Eratosthenes）的信中，他论及了用内接矩形（而不是相似的多边形）求抛物面的截面积的方法。但是，这一极端精密复杂的方法，仍是基于柏拉图的某些几何学观念，虽然表面上与帕斯卡尔的方法有可类比之处，但两者之间还是有极大的不同。其与黎曼的积分观念也截然相异。那么，阿基米德的这些观念与今日所谓的求面积法有着何样的尖锐对立？阿基米德的方法本身，如今不过是一种不幸的残余，它所谓的“表面”（surface），如今已被代之以“封闭函数”（bounding function），而它所用的描画法（drawing），如今也已经消失。古典和西方的数学心灵彼此间从未像在此例中如此的接近过，也从未像在此例中如此明显地显示出这两种心灵之间的隔阂之深，根本不可能彼此沟通。
在其早期建筑的立体风格中，埃及人可以说隐藏了纯粹的数字，他们害怕突然触及到数字的秘密，而对于希腊人而言，数字也是既成之物、僵硬之物、有限之物的意义的关键。石像和科学体系否定了生命。数学的数字，现象性的生存——它只是醒觉的人类意识的派生物和仆人——所依存的广延世界的形式原则，带有因果必然性的标记，因此与死亡是联系在一起的，如同编年学的数字是与生成、生命、命运的必然性联系在一起的一样。严密的数学形式与有机存在的终结、与有机存在的有机剩余物即肉体的现象之间的这种联系，我们将越来越明确地看作是所有伟大艺术的源头。我们已经注意了丧葬器物和棺木的早期装饰的发展。数字是死亡的象征。刻板的形式是生命的否定，公式和定律把死板板的谨严性散播在自然的面孔上，数字制造了死亡——在《浮士德》第二部中，“女神们”端坐在宝座上，庄严而又隐忍，她们唱道：
奇幻难形笔楮，
焕然竟成文章；
永恒女性自如常，
接引我们向上。
在对终极的奥秘作如此的神圣化时，歌德与柏拉图非常相近。因为他的不可接近的女神们就是柏拉图的理念——是一种精神的可能性，是有待实现的孕育中的形式，它们作为能动的和有目标的文化，作为艺术、思想、政治与宗教，存在于由那一精神所规范和决定的世界中。所以，一种文化的数字思想和世界观乃是关联在一起的，由此关联，前者被提升到单纯的知识和经验之上，成为一种宇宙观。因此，世上有多少种高级文化，便有多少种数学，便有多少种数字世界。只有这样，我们才能理解一个必然的事实，即那些最伟大的数学思想家、那些数字领域中最伟大的创造性的艺术家，每每要经由一种深沉的宗教直觉，才能获得他们的诸文化中最为关键的数学发现。
我们必须把古典的、阿波罗式的数字看作是毕达哥拉斯的创造物——是他创立了一种宗教。那位伟大的布列克森主教（约1450年），尼古拉·库萨，也是经由一种直觉的引导，才从自然中上帝的无限性的观念得出了微积分的原理。莱布尼茨在两个世纪之后明确地奠定了微积分的方法和记号法，而他自己也是经由对神圣的原则及其与无穷的关系作纯粹形而上的沉思的引导，才体会和发展出位置分析（analysis situs）的概念——这可能是对纯粹的、获得解放的空间的所有阐释中最具启示性的——后来，格拉斯曼（Grassmann）在他的《扩张论》（Ausdehnungslebre）中对位置分析的可能性作了进一步的发展，尤其黎曼用双面的平面来描述方程的性质的象征主义，使得他成为了那种种可能性的真正创造者。还有开普勒（Kepler）和牛顿，他们也都具有严格的宗教气质，且和柏拉图一样，都曾经或一直深信，只有经由数字作为媒介，他们才能直觉地领会到神圣的世界秩序的本质。
七
我们常常被告知，古典算术经过丢番图才第一次摆脱其感觉束缚，在广度和深度上有所深入。可实际上，丢番图并没有创造代数学（未知量的科学），而只是把代数学带入了我们所知的古典数学框架的表达。而且他的成就是如此之突然，以致我们不得不假定，他能有那样的成就，是因为已经有了一个先行存在的观念储备。但是，这并不意味着他的成就丰富了古典的世界感，而只是彻底地胜过了它而已，这一简单的事实本身就足以说明，丢番图本质上根本不属于古典文化。在他身上发挥作用的，乃是一种新的数字感，或者不妨说，是对实存之物和既成之物的一种新的限度感，并且也不再是希腊人的产生了欧几里得几何学、裸体雕塑和钱币的那种在场感觉的限度感。对于这一新数学的形成的具体细节，我们所知甚少——丢番图就这样独自矗立在所谓晚期古典数学的历史中，以至于有人猜测他受到了印度数学的影响。但是在此，这一影响实际上也是早期阿拉伯学派——迄今为止，人们对这些学派的研究成果（决非教条的）的探讨还是十分不完整的——的影响。在丢番图那里——尽管是无意识的——他本质上使自己走向了他企图建立的古典基础的对立面，在欧几里得式的意向的表面之下，浮现出来的乃是一种新的限度感，我们称之为“麻葛式的”限度感。丢番图不但没有扩大数作为一种度量的观念，反而（不明智地）消除了这一观念。没有一个希腊人能够对一个未知（undefined）数a或一个无名（undenominated）数3给出任何的表述——因为它们既非数量，亦非数列——而丢番图的新的限度感则通过这类数获得了感性的表达，它们即便没有构成丢番图的论述本身，至少也为这一论述奠定了基础；我们现今用于武装我们自身的（经过再次重估）代数学的字母记号体系，是1591年由维塔（Vieta）首先引入的，这毫无疑问——尽管不是故意的——是为了对抗文艺复兴时期的数学中的古典化倾向。
丢番图生活在大约公元250年，也就是阿拉伯文化的第三世纪，这一文化的有机历史，直到今天仍被窒息在罗马帝国和“中世纪”的表面形式之下，可在那时，它包容了后来属于伊斯兰的地区的在我们的纪元开始之后所发生的一切。恰恰是在丢番图的时代，阿提卡雕塑艺术的最后身影已经变得苍白无力，随后便是我们在早期基督教-叙利亚风格中看到的圆顶、马赛克和石棺浮雕的新的空间感。在丢番图的时代，古代艺术和谨严的几何装饰曾再度出现；在那个时代，戴克里先（Diocletian）也完成了将此时仅仅徒有其名的帝国向一个哈里发统治的转变。在欧几里得和丢番图之间，以及在柏拉图和普罗提诺——一种已完成的文化的最后一位总结性的思想家、一位康德式的人物，也是一种刚刚觉醒的文化的第一位经院学者、一位邓斯·司各脱（Duns Scotus）式的人物——之间，整整相隔了四个世纪。
正是在这里，我们第一次意识到了那些高级个体性的生存，它们的降生、成长和衰败构成了真正的历史实体，支撑着历史表面那缤纷的色彩和万千的变化。古典精神大约在公元前1100年诞生于爱琴海的周边地区，它在罗马人那冷冰冰的才智中步入了其最后的阶段，而整个的古典文化及其所有的作品、思想、伟绩和废墟，则构成了这一精神的“实体”（body）。阿拉伯文化在古典文明的掩护下自奥古斯都时代开始便在东方生根发芽，然后遍及自亚美尼亚到南阿拉伯、自亚历山大里亚到忒息丰的广大地区，因此，我们不得不称罗马帝国的几乎整个“晚期古典”艺术、东方所有年轻而热忱的宗教——曼达派（Mandaeanism）、摩尼教（Manichaeism）、基督教、新柏拉图主义等，皆是这一新的心灵的表现，而在罗马本土，跟帝国广场群（Imperial Fora）一样，万神庙（Pantheon）堪称是第一清真寺。
亚历山大里亚和安条克（Antioch）的人们仍在用希腊语写作，并认为他们也是在用希腊语思考，这一事实并不重要，如同直到康德时代拉丁语还是西方人的科学语言、以及查理曼“复兴”罗马帝国这样的事实没什么重要一样。
在丢番图那里，数已不再是有形事物的度量和本质。在拉韦纳的马赛克中，人不再是一个实体（body）。不知不觉地，希腊人的那些名称已经失去了其原初的含义。我们已经离开了阿提卡的καλοκαγαθια（高贵）的斯多葛学派的αταραξια（不动心）和γαληνη（恬淡）的领域。确实，丢番图尚不知有零和负数，但他也不再使用毕达哥拉斯学派的数。阿拉伯数字的这种不确定性也与后来西方数学中的受到控制的可变性，即函数的可变性，有相当的不同。
麻葛式的数学——我们可以看到其大概，尽管对其细节尚无认识——经由丢番图（显然，他并非起点）大胆而合乎逻辑的改造，至阿拔斯时期（Abbassid period）（公元9世纪）达致巅峰，我们在花拉子密（Al-Khwarizmi）和阿尔西德施（Alsidzshi）那里可以欣赏到这种数学。并且，如同欧几里得几何学之于阿提卡雕塑，以及空间分析之于复调音乐一样（它们皆是同一表现形式的不同表达媒介而已），这种代数学之于麻葛式的艺术及其马赛克、阿拉伯风格的图案（萨珊帝国和后来的拜占廷皆以一种越来越铺张奢华的、有形或无形的有机主题生产着这种风格）和它的君士坦丁式的高浮雕（在那里，不确定的深度阴影区隔着前景中处理自如的形象），亦是同一表现形式的不同媒介而已。如同代数学之于古典算术和西方人的数学分析一样，圆顶教堂之于多立克式的庙宇和哥特式的教堂，则属于相同的媒介的不同表现形式。这不是说丢番图就是一个伟大的数学家。相反，我们已经习惯于将他的名字和许多东西联系在一起，而实际上那并非他一个人的成就。他的出乎意外的重要性在于这样一个事实，即就我们的知识所及而言，他是第一个明确无误地表现出那种新的数字感的数学家。相比较于那些总结数学发展的大师，如阿波罗尼乌斯和阿基米德，又如高斯、柯西（Cauchy）和黎曼，丢番图的工作，尤其是在形式语言方面，还是相当原始的。这些原始的工作，直到今天，我们还常常用它来指称“晚期古典”数学的衰微，现在，我们则应当学会理解和评价它，一如我们正在修正我们的蔑视“晚期古典”艺术的观念并开始在那里认识新生的早期阿拉伯文化初试啼音一样。类似地，利雪（Lisieux）的大主教尼古拉斯·奥里斯梅（1323～1382年）的数学也是古代的、原始的和处在摸索之中的：他是第一个灵活地运用坐标系来进行数学表述——尤其重要的是——并用它来描述等加速运动的西方人，这两种工作都以一种数字感为前提，这种数字感可能还模糊不清，但却是明确无误的，它完全是非古典的，也是非阿拉伯的。但是，如果我们进一步地把丢番图和罗马藏品中的早期基督教石棺、把奥里斯梅和德国教堂中的哥特式雕塑放在一起思考，就能看到数学家和艺术家在某些方面是共同的，那就是，他们都处在各自文化的抽象理解的相同（亦即原始）水平。在丢番图所处的世界和时代里，测体术的边界感——很久之前在阿基米德那里就已经达到了与大都市的才智相匹配的最完善精细的阶段——已经消失。在那整个世界里，人们都是不清醒的，是饥渴的和神秘主义的，不再像阿提卡人那样洒脱自如；他们是植根于年轻的乡村土地的一群人，不像欧几里得和达朗贝尔是植根于大都市的都市人。他们不再理解古典思想那深刻而复杂的形式，而他们自己的思想又是混乱的和新生的，和城市一样远未达到明晰和整洁的程度。他们的文化还处在哥特式的状态，一如所有文化在年轻的时候一样，甚至如同古典文化在多立克早期阶段——我们现今对它的了解只能通过它的狄甫隆陶瓶——的情况一样。只有到公元9至10世纪的巴格达，丢番图时代的年轻观念才经由具有柏拉图和高斯这种能力的成熟的大师而得以彻底完成。
八
笛卡儿的几何学出现于1637年，他的决定性的行为，不在于在传统的几何学领域引入了一种新的方法或观念（正如我们时常这么认为的），而在于他为一种新的数字观念引入了一个明确的概念，通过这一概念，使几何学摆脱了视觉上可认知的结构和一般的被度量或可度量的线条的束缚。由于笛卡儿的几何学，对无穷的分析变成了事实。严谨的、所谓笛卡儿式的坐标体系——一种半欧几里得式的、可理想地表达可度量的量的方法——其实早就为人所知（奥里斯梅就是见证），并一直被认为具有极度的重要性，而当我们对笛卡儿的思想穷根究底一番之后，便能发现，他所做的并不是完善了而是克服了那一体系。其最后的历史代表就是笛卡儿同时代的费马。
取代具体的线和面的感觉要素——这是古典界限感的一个典型特征——代之以点的抽象的、空间的、非古典的要素，从此以后，“点”被视为是一组排列在一起的纯粹数字。源自古典文本和阿拉伯传统的量的观念和可感知的向度观念被摧毁殆尽，代之而起的是空间位置中可变的关系值。一般来说，我们不认为这是几何学的替代品，仿佛从此之后，几何学只能是躲在古典传统身后的一个虚构的存在。“几何学”这个词有着一种不能随便扩展的阿波罗式的意义，而自笛卡儿时代开始，所谓“新几何学”，则是由综合和分析两部分构成的，其中综合的工作是针对不再必然地是三维的某个空间（它其实是“点的集合”）中点的位置而进行的，分析的工作则是通过空间中点的位置来定义数字。这样以位置代替长度之后，便会随之出现一种纯空间的、而不再是物质性的广延概念。
对传统的、视觉上确定的几何学的这种摧毁，最明晰的例证，在我看来，莫过于把角函数——在印度数学中，它便是数字（我们的心智几乎无法理解印度人的这个词的含义）——转化成周期函数，由此而进入无穷的数字王国，在那里，角函数变成了级数（series），不再留有欧几里得几何图形的丝毫迹象。在此数字王国的所有部分中，圆周率π，如同纳皮尔（Napier）的底数e一样，产生了各种各样的关系，而不复有传统的所谓几何、三角、代数等的分划，这些关系本质上既非算术的，亦非几何的，所以，不再有人梦想着实际地画出圆弧或以图来说明乘方。
九
相当于公元前540年左右的时候，古典心灵由毕达哥拉斯这样的人发明了它自身所独有的阿波罗式的数，亦即那种可以度量的量，西方心灵则由笛卡儿及其同时代的帕斯卡尔、费马、德扎古斯（Desargues）这些人而发明了一种数的概念，这一概念是狂热向往无限的浮士德倾向的产物。数作为事物的物质性在场所固有的一种纯粹的量，与数现今作为一种纯粹的关系，正好平行而形成对照。如果我们可以把古典的“世界”，亦即宇宙秩序，视为是根基于对可见的界限的深刻需要，并因而视为是由物质性的事物所构成的总和，那我们也可以说，我们的世界图象乃是无限空间的一种现实化，在那一空间中，一切可见的事物几乎只能作为低层次的、局限于不可限度的在场而出现。西方文化的象征是其他文化所从未想到的一种观念，那就是函数的观念。函数决不是先前存在的任何数字观念的一种扩展，而是对它的彻底摆脱。由于函数观念，不仅欧几里得几何学（它是儿童和门外汉所共有的属于人的几何学，其基础便是日常经验），而且阿基米德的算术，对于西欧的真正有意义的数学而言，不再有任何价值。从此之后，数学单单只在于抽象的分析。对于古典人而言，几何学和算术是自足的和完整的最高科学，两者都是现象的，都只关心可以被描画或计数的量的大小。相反，对于我们来说，这些东西仅仅是日常生活的实际附属品。加法和乘法是古典的两种计算量的大小的方法，和其孪生姐妹几何图形一样，它们在函数过程的无穷性中彻底地消失了。甚至像乘方，最初只是数字地表示一组相同数值的连乘积，如今经由指数观念（对数），以及它在复数、负数和分数形式中的应用，也已经与数量大小完全没有了联系，而转移至只知道表示面积和体积的两种正整数的乘方的希腊人所难以理解的一种超越性的关系世界中了。例如，我们可以看一下这样的表达式：
自文艺复兴以来，一项又一项的重大创造接踵而至，如早在1550年卡丹（Cardanus）就引入的虚数和复数；1666年经由牛顿在二项式定理上的重大发现而在理论上为其奠定了基础的无穷级数；莱布尼茨的微分几何和定积分；笛卡儿开启先河的作为一种新的数字单位的“集合”理论；还有像一般积分这样的新的运算方式；像函数向级数甚至向其他函数的无穷级数的扩展——所有这一切，都是对在我们当中流行的感觉性的数字感的一种胜利，也是新数学为了实现新的世界感而赢得的胜利。
在所有历史中，一种文化对待另一种文化，如同我们的文化对待古典文化那样在科学的问题上如此长久地表现出敬仰和谦逊的态度，至今还找不出第二个例子。经过了漫长的岁月，我们才有勇气去思考我们自己独具的思想。但是，尽管效仿古典的意图一直都存在，可我们所作的每一步尝试，实际上都在使我们进一步远离想象中的理想。因此，西方知识的历史，其实就是渐进地摆脱古典思想的历史，这种摆脱从来不是自愿的，而是在无意识的深处被迫的。因此，新数学的发展，其实就是为对抗量的观念而进行的一场长期的、秘密的且最终获得胜利的战斗。
十
这一古典化的倾向的一个结果，便是妨碍了我们去发现与我们的西方数字本身相匹配的新的记号体系。现今数学的符号语言歪曲了它的实际内涵。这主要是由于这样一种倾向，即对作为量的数字的信念甚至在今天仍主宰着数学家的观念，可它还能不能作为我们所有的书写记号的基础呢？
但是，那可用来表达函数的，并不是各自独立的符号（例如x、、s），而是作为单位的函数本身，是作为要素的函数本身，是那再也不能从视觉上加以界定、且构成了新的数系的可变关系；这一新的数系需要有新的记号方法，后者的确立还要完全不受古典方法的影响。看一下诸如和3x+4x=5x和xn+yn=zn（费马定理的方程式）这两个方程式（如果这同一个词语可以用来表达两个不同的事物的话）之间的不同：前一方程式是由几个古典数字——亦即量——构成的，而后一方程式则属于一种不同的数系，只是由于根据欧几里得-阿基米德的传统，写成了与前一方程式相同的形式，才掩盖了它们之间的差别。在前一个方程式中，符号等于是要确立那些确定而实在的数量之间的严密联系，而在第二个方程式中，符号表示在一可变的意象领域存在着这样一种关系：若有某些变化发生，则必然会随之另一些变化。第一个方程式有其自身的目标，那就是通过某一具体的量的度量，便可获得确定的东西，亦即一个“结果”，而第二个方程式，一般来说，并无结果可言，而不过是一种关系的图象和符号表示，这关系便是（这便是著名的费马问题）：当n＞2时，xn+yn=zn不可能有正整数解。一位希腊数学家必定会觉得这是不可理喻的，因为他无法理解此等意味着“不可解”的运算的意图何在。
当把未知数的概念运用于费 马方程式中的那几个字母时，便会把人完全地引入歧途。在第一个方程式中，x是一个量，是确定的和可度量的，而我们的工作就是进行运算。而在第二个方程式中，“确定的”这个词对于x、y、z、n来说根本没有意义，因而我们根本不要想去运算它们的“值”。实际上，它们根本就不是形体意义上的数，而是表示一种联系的符号——这联系缺乏数量、形状、独特意义等标识——是表示具有相同特性的可能位置的无穷性的符号，是表示一个统一的、且因此作为一个数字而存在的象征的符号。那整个的方程式，虽则在我们的不幸的记号系统里被写作一个多项式之和，而实际上它只是一个数，与“+”号和“=”号一样，x、y、z都不是数。
事实上，正是由于直接引进了本质上反希腊的无理数观念，那个把数字当作具体和确定的东西的观念基础土崩瓦解了。从此以后，这种数列不再是一排可见的、递增的、不连续的、能够实际地体现的数字，而是一个单向度的连续体，在那里，按照戴德金（Dedekind）的概念，每个“分割”（cut）都代表着一个数。这种数已经很难和古典的数相协调了，因为古典数学所知道的，就是在1和3之间只有一个数，而对于西方数学来说，这些数的总体乃是一个无限的集合。但是，当我们进一步引入虚数（如或i），并最后引入复数（其一般形式为＋bi）时，那个线性的连续体便被扩展成为一种高度超越的数体（number-body）形式，即一个同类要素的集合体，在那里，每一次“分割”现在都代表着一个数面（number-surface），此数面包含有一个由低“势”（lower potency）数字（例如所有的实数）所组成的无穷集合，这里已根本没有古典的流行意义上的数字的影子了。这些数面，自柯西和黎曼加以运用后，在函数理论中已成为重要的角色，而它们乃是纯粹的思想图象（pure thought-pictures）。甚至正无理数（例如）也可以被古典心灵当作否定的样式加以认识；事实上，它们对正无理数已有足够的认识，已将其当作äρρητοs（没有比的）和äλογοs（不可表达的）的东西加以驱除了。但是，诸如x＋yi这样的表达式，已远远超出古典思想的理解力，而我们西方，正是由于把数学定律扩展到整个复数领域——在那里，这些定律仍有效用——才能建立起函数理论，并最后展示出西方数学整个的纯粹性和统一性。直至达到了这一步，我们的数学才能毫无保留地用来支持与之平行的领域，如我们的动力学的西方物理学；而古典数学则恰好适合于它自己的测体术的个别物体的世界，适合于从留基伯（Leucippus）到阿基米德发展而成的静力学。
巴罗克数学的辉煌时期——正对应于古典时代的爱奥尼亚时期——实质上是在18世纪，从牛顿和莱布尼茨的决定性发现，中经欧拉（Euler）、拉格朗日、拉普拉斯（Laplace）和达朗贝尔，最后一直发展到高斯。一旦此一巨大的创造活动生了翅膀，它的高飞远举，实在是有如奇迹一般。人们简直不敢相信自己的感官。在那个洞察入微的怀疑主义时代，居然目击了似乎不可能的真理，一个接着一个涌现。在论及微分系数理论的时候，达朗贝尔不得不说：“继续向前，你才会有信心。”逻辑本身似乎想提起抗议，证明那一切的基础是虚妄的。但是，最终的目标已经达到。
这个世纪根本就是抽象的和非物质的思考的狂欢，在这个时期，伟大的数学分析大师，随同巴赫、格鲁克（Gluck）、海顿（Haydn）、莫扎特这些罕见而深刻的心智一起，为他们最精妙的发明和沉思感到欢欣鼓舞，而歌德和康德则是踯躅独行。从内涵上看，这一世纪恰好平行于爱奥尼亚最成熟的世纪，即欧多克斯和阿基塔斯的世纪（公元前440～前350年），我们还可以把菲狄亚斯、波利克勒斯、阿尔克迈翁（Alcmaen），以及雅典卫城的建筑群，一并算在这一世纪内——在这个时期，古典数学和雕刻的形式世界已展尽了它所有可能的丰富性，可也因此而走向了终结。
现在，第一次，我们有可能充分地理解古典心灵和西方心灵的基本对立。在历史的全景中，存在着不可胜数的和紧张的历史关系，我们在其中再也找不出两个东西有像它们这样根本上格格不入。正是由于这两个极端的相遇——因为在它们的分歧背后可能存在着某种深刻的共同源头——我们才在西方的浮士德式的心灵中找到了对阿波罗式的理想如此热烈的向往之情，我们所热爱的其实是一个全然相异的理想，我们所倾羡的正是这一理想炽烈地生活在纯粹感觉的当下的那种伟力。
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