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一
我们有必要一上来先关注一下几个基本的术语，因为在这本书的运用中，这些术语带有严格的、且在某些情况下是新奇的含意。尽管这些术语的形而上内涵会在接下来的论证过程中逐步变得明朗，但还是应当从一开始就对附于其上的确切涵义给予清晰的说明，以免引起误解。
“存在”与“生成”之间的流行区分——在哲学中同样盛行——在其所意图表达的对比中似乎忽视了本质的一点。一种无有终止的生成——“行动”、“现实性”——通常也被看作是一种状态（例如在物理学的“匀速”和“运动状态”这样的概念中，在空气动力学理论的基本假设中），因此而被归于“存在”的范畴。另一方面，我们事实上是通过意识并在意识中来得出结果的，从那些结果中，我们可以用歌德的方法区分出最后的两个要素，即“生成”（becoming）和“既成”（the become）。在所有情形中，尽管具有人类特性（humanness）的原子远非我们的抽象概念的力量所能把握，但是在这一对比中真正明晰的和确定的情感——基本的和弥散于整个意识中的——乃是我们所能及的最基本的东西。由此，必然可以得出这样的结论：“既成”永远是基于“生成”之上的，反过来则不行。
我要用“固有的”（proper, das Eigne）和“外来的”（alien, das Fremde）来对那两个基本的意识事实作进一步的区分，对于所有处于清醒状态（不是睡梦状态）的人来说，这些事实的确立乃是通过一种直接的内在确定性，而不是通过更准确的定义的必然性或可能性。被称之为“外来的”要素总是以某种方式与“知觉”这个词所表达的基本事实相关联，例如外部世界、感觉的生命。伟大的思想家倾其全力构建意象，为的是在半直观的二分，如“现象与物自体”、“意志之世界与表象之世界”、“自我与非我”等的帮助下越来越严格地表达这种关系，虽则人类的确切认知能力其实不足以胜任这一任务。
类似地，“固有的”要素则关涉着我们视作情感的基本事实，亦即关涉着我们的内在生命，它以直接的和不变的方式同等地蔑视通过抽象思维的方法进行的分析。
再者，我还要区分“心灵”与“世界”。这一对立之存在与纯粹人类醒觉意识的事实是同一的。在这一对立中，存在的是不同程度的清醒与敏锐，因此也存在着不同等级的意识、精神和生命。这些等级既包括感觉知识——不够敏锐，但时常又因为内在之光而四处弥散，它是原始人和儿童的典型特征（同时也是宗教与艺术的启示性时刻的典型特征，这一启示性时刻在一种文化逐渐变得衰老之后就越来越少出现）——也包括极度清醒的和推理式的敏锐，例如我们在康德和拿破仑的思维中所看到的，对于他们两人而言，心灵和世界的区别已经变成了主体和客体的区别。这一原初的意识结构，作为直接的内在知识的一种事实，是经不起更深一层的概念细分的。实际上，除了在字面上和或多或少人为的层面上，这两个因素根本也是不可区分的，因为它们总是关联在一起的，总是相互交织的，且总是作为一个单位、一个总体来自身呈现的。天生的唯心主义者和天生的实在论者在认识论方面的出发点是相同的，那就是，他们都假定心灵是相对于世界而言的（或者说世界是相对于心灵而言的，事实也确乎如此），如同基础是相对于建造、原初是相对于派生、“原因”是相对于“结果”来说的一样，可这一假定在纯粹的意识事实中根本没有基础。并且当一种哲学体系把重点放在这一方或那一方的时候，它由此只不过是使我们获知了那个哲学家的个人喜好，获知了一个纯粹传记意义的事实。
因此，通过在结构上把醒觉意识看作是对立双方的一种张力关系，并进而将“生成过程”和“既成之物”的概念运用于它，我们发现，生命这个词具有一个完全确定的意义，就是，它与“生成”的意义是紧密地联结在一起的。我们可以把生成物和既成物描述为一种形式，在那里，生命的事实与结果在醒觉意识中分别地存在着。对于一个处在醒觉状态的人而言，他的固有的生命不断地在充实自己、完成自己，并通过生成的要素体现在他的意识中——这一事实，我们可称之为“当下”（the present）——它具有“方向”（Direction）的神秘特性，在所有高级语言中，人们企图借那个谜一样的字眼“时间”来说明“方向”的意义，来——徒劳地——使它理性化。由上面的论述必然可知，在既成物（固定物）与死亡之间有着一种根本的关联。
由此，如果我们把心灵——即那被感觉到而不是被理性地描画出来的心灵——名之为可能，而另一方面把世界名之为现实（这些表述的含义应当不会为人的内在感官所误解），我们便可把生命看作是可能的实现在其中得以完成的形式。就方向的特性而论，我们可以称“可能”是未来，而称“既成现实”为过去。至于“实现过程”本身——它是生命的重心，是生命的意义中心——则可称之为“当下”。“心灵”是有待完成的东西，“世界”是已经完成的东西，“生命”则是正在完成的东西。我们也可用这种方式对生命给出类似的其他表述，如瞬时、绵延、发展、生命意义、使命、视界、目标、生命的丰盈与空虚、确定的意义等等，这一切对于我们接下来的论述，尤其对于我们认识历史现象，将是必需的。
最后，正如读者可能已经看到的，在此还要在一个十分确定且迄今为止还不常见的意义上运用历史和自然这两个概念。这些字眼包含着把知识的总体——既包括生成过程，也包括既成物；既包括生命，也包括曾经的活物——理解和领会为一种同源的、精神化的、井然有序的世界图象的诸种可能模式，亦即依据生成与既成、方向（“时间”）与广延（“空间”）何者为主导因素来从某一不可分割的印象集合中形成世界图象的这样或那样的方式。这不是一个因素替代另一个因素的问题。我们把握那反映和证实我们的固有存在的“外部世界”的可能方式在数量上是无限多的，并且是极其多样的，而纯粹有机的世界观（world-view）和纯粹机械的世界观（这一常用术语在此是在严格的字面意义上使用的）只是其中的两个极端方式。原始人（假如我们能够想象他们的醒觉意识）和儿童（如同我们所记得的）都不能够充分地认识或把握这些可能性。这一高级的世界意识的一个条件便是语言的拥有，由于语言，意义不再单纯是人的声音，而是一种文化语言（culture-language），这种语言对于原始人乃是一种非存在，对于儿童固然是一种存在，但却是不可理解的。换言之，这两者对于世界都不拥有任何明确的和清晰的概念。他们对于历史和自然只有一些模糊的印象，而没有任何实在的知识，他们与这些东西之整体的联系太过紧密。他们根本没有文化。
在此，“文化”这个重要的概念被赋予了一个最为重要的肯定意义，我们此后都将这一意义上来使用它。与我们选择以可能和现实来区分心灵和世界一样，现在，我们也可用这一方式来区分可能的文化和现实的文化，例如作为（一般的或个体的）生存的一种观念的文化和作为那一观念之实体（body），亦即作为那一观念可见的、实在的和可理解的表现之总体的文化——如行动和意见、宗教和国家、艺术和科学、民族和城市、经济形式和社会形式，还有语言、法律、习俗、性格、面部轮廓和服装。与生命和生成息息相关的高级历史，乃是可能的文化的实现。
我们不要忘了补充一点；意义的这些基本决定因素基本上是不能用具体论证、定义或证明来沟通的，而只能通过感受、体验和直观在其更深刻的意义上来获得。在作为生活的体验与作为学问的经验之间，在由各种各样的直观——诸如启示、灵感、艺术慧眼、生命体验、“不能自已”的力量（即歌德所谓的“感同身受的幻想”）——所产生的直接确定性与理性程序和技术实验的产物之间，存在着一种几乎未被理解的区别。
前者的传达是借助类比、图象、象征等手段，后者则是借助公式、定律、图式等手段。既成是学问所经验的——其实，正如我们将看到的，已成之物对于人类心智而言是与已完成的认知行动同一的；反之，生成只能是活生生的生命所经验的，是以深刻的、难以言传的理解力所感受到的。我们所谓的“人的知识”正是以此为基础的；事实上，对历史的理解可算是人的一种最高级的知识。那是能洞察一种陌生的心灵的深处的眼光——决不能把它归于《纯粹理性批判》中所考察的认知方法，不过，历史图象越是纯粹，就越是难以为其他眼光所理解。机械论的纯粹自然图象，例如牛顿和康德的世界，是在定律和方程式中被认知、被把握和被解析的，并最终被简约为体系；有机论的纯粹历史图象，例如普罗提诺（Plotinus）、但丁和乔尔丹诺·布鲁诺（Giordano Bruno）的世界，是直觉地看到的，内在地体验到的，是作为一种形式或象征被把握的，并最终被交付给诗人和艺术家的概念。歌德的“活生生的自然”就是一种历史的世界图象。
二
为了说明心灵力图在其外部世界的图象中实现自身的方法——亦即，为了说明文化在“既成”状态中能多大程度上表现或描绘人类生存的观念——我选择了“数字”（number）这一所有数学赖以确立的基本要素。我做这样的选择，是因为数学——虽然只有很少的人能够理解其丰富的深度——在人类心灵的创造活动中具有十分特殊的地位。数学是一种最严密的科学，就如同逻辑一样，但它比逻辑更易于为人理解，也更为丰富；数学是一种真正的艺术，是可与雕刻和音乐并驾齐驱的，因为它也需要灵感的指导，而且是在伟大的形式传统下发展起来的；最后，数学还是一种最高级的形而上学，如同柏拉图尤其是莱布尼茨所告诉我们的。迄今为止的每一种哲学的发展，皆伴随有属于此哲学的数学。数字是因果必然性的象征。和上帝的概念一样，数字包含有作为自然之世界的终极意义。因此，数字的存在可以说是一种奥秘，每一文化的宗教思想都留有数字的印记。
如同所有的生成过程皆有方向的原始特性（不可逆性）一样，所有的既成之物皆有广延的特性。但是，“方向”和“广延”这两个词似乎还难以让人满意，因为在它们之间只能作出一种人为的区分。所有的既成之物的真正秘密——事实上，它即是（在空间和物质中）延展的事物——就体现在与编年学的数字相对立的数学的数字中。数学的数字，在其本质中就蕴含有机械的区隔（mechanical demarcation）的概念，就此方面而言，数字类似于文字（word），因为文字正是以其包容与指谓的事实来区隔世界印象的。事实上，数字与文字两者最深处的奥秘在此皆是只可意会、不可言传的。但是，数学家所操作的实际数字，包括图形、公式、符号、图表，简而言之，数学家所准确地思考、言说或书写的数字符号，皆如准确地运用的文字一样，自一开始便是这些深层奥秘的象征，是内在之眼和外在之眼皆可以想象、可以沟通和可以领会的某种东西，可以作为区隔的代表来予以接受。数字的起源类似于神话的起源。原始人把不可确定的自然印象（用我们的术语说，“外来的”印象）提升为神灵或神秘（numina），同时又用一个限定它们的名称来捕捉和框定它们。数字也是这样的一种标识和捕捉自然印象的东西，正是借助于名称和数字，人类的理解力终于可以制服世界了。在最后的分析中，一种数学的数字语言和一种口语的语法在结构上是一样的。逻辑永远是一种数学，反之亦然。因此，在人类心智恰当地运用数学的数字的所有行为——度量、计算、绘图、测重、排列、分割——中，人们也在努力用文字来界定延展之物，亦即以证明、结论、定理和体系的形式来说明之；并且，也只有通过此等行为（可能或多或少地是无意间的），醒觉的人类才开始能够运用数字——规范地——来描绘对象和特性、关系和差异、统一性和多样性等，简言之，描绘他觉得必要的和不可移易的、他称之为“自然”和他所“认知”的世界图象的结构。自然是可以用数字来表达的，而历史则相反，它是那与数学无关的事物的集合——因此有自然律的数学确定性，有伽利略那无比正确的名言：自然是“用数学语言写成的”；还有康德所强调的这样一个事实：精确的自然科学所能到达的限度，即是应用数学之可能性所能允许的限度。因此，数字作为已完成的区隔的符号，体现了一切被认知、被界定的实际事物的本质，而它自身同时也变成了一切，正如毕达哥拉斯和其他一些人借助于一种强有力的和真正宗教的直觉、用完全内在的确定性所已经看到的。然而，我们此处所谓的数学——由此意味着借形象来实际地思考的能力——不可与远为狭义的科学的数学相混淆，亦即不可与在演讲和论文中提出的那种数字理论相混淆。一种文化在自身之内所拥有的数学的视野和思想，是它的形诸于文字的数学所不可能充分地表达的，一如其哲学的视野和思想是其哲学的论文所不可能充分地表达的一样。数字是从一个还有其他出口的源泉中涌现出来的。因而在每一文化的开端处，我们总能发现一种古代风格，即在早期希腊和其他地方被正当地称作几何学的风格。在公元前10世纪的这一早期古典风格中，在埃及第四王朝以其绝对主义的直线和直角所表现出来的庙宇风格中，在早期基督教的石棺浮雕中，还有在罗马风格的建筑和装饰中，一个共同的因素就是，它们都明确地是数学的。在这里，每一条直线，人和动物的每一个蓄意非模仿的形象，都在与死（不可移易的固定之物）之奥秘的直接关联中揭示着一个神秘的数字思维。
哥特式的教堂和多立克式的庙宇便是以石头表现的数学（mathematics in stone）。毕达哥拉斯无疑是古典文化中将数字科学地看作是可理解的事物所构成的世界秩序的原则——看作是标准，看作是度量——的第一人，但是，甚至在他之前，在雕像的严格法式中，在多立克柱廊的秩序中，数字就被用来表达感觉的-物质的单位的一种高贵的排列。伟大的艺术，每一个都是借助以数字为基础的限制来进行阐释的模式（例如可以想一想油画中空间再现的问题）。一种高级的数学天赋，即便没有任何的数学科学，也能在技术领域获得成熟而完美的自我认识。
在一种强有力的数字感如此确凿的展示中，甚至在古王国时期，在金字塔庙宇的尺度测定中，在建筑、防洪工程、公共行政（更不用提历书了）的技术中，没有人会确然无疑地坚持认为新帝国时期的阿赫姆斯（Ahmes）的毫无价值的算术代表了埃及数学的水平。澳大利亚土著在才智方面完全属于原始人，可他们具有一种数学本能（或者说，一种类似于数学本能的东西，一种用数字进行思维的能力，尽管还不会运用符号或文字来沟通），就其对纯粹空间的阐释而言，他们的这一本能远远优越于希腊人。他们所发明的回向镖只能归功于他们对某一类数字——我们称之为高等几何——有着一种确然的感觉。因而——我们会在后面再证明使用这个副词的合理性——他们拥有一套极其复杂的仪式，为了表达亲密的程度，他们发明了如此微妙精细的语言，甚至连高级文化本身也做不到这样。
又一次，在欧几里得的数学，跟成熟的伯里克利时代的希腊对仪式性的公共生活或孤独感全无感觉之间，存在着一种类比，而巴罗克时代——与古典时代迥然不同——则向我们展示了一种空间分析的数学，一个凡尔赛的宫廷，以及一个依托于王朝关系的国家制度。
在数字的世界中所显示的，正是一种心灵的风格，故而数字的世界，除了有关于它的科学之外，还包括其他一些东西。
三
由上所述，我们可以看到一个具有决定性意义的重要事实，这一事实迄今为止连数学家自己都未能洞明。
数字本身并不存在，也不可能存在。所存在的乃是多个数字世界，如同多种文化的存在一样。我们发现的是一种印度数学思想、一种阿拉伯数学思想、一种古典数学思想、一种西方数学思想，与这每一种数学思想相对应的是一种数字类型，而每一类型根本上都是特殊的和独一无二的，是一种特定的世界感的表现，是一种有着特定的有效性、甚至能科学地定义的象征，是一种排列既成之物的原则，这原则反映着一种且仅仅一种心灵亦即那一特殊文化的心灵的核心本质。由此言之，世上不只有一种数学。因为，不容置疑的是，欧几里得几何学的内在结构与笛卡儿几何学的内在结构是完全不同的，阿基米德（Archimedes）的数学分析是与高斯（Gauss）的数学分析完全不同的东西，不仅仅是在形式、直觉和方法上，而且本质上首要的是在他们各自提出和说明的数字的内在的和必然的意义上。这种数字，这一在其中可以使现象获得自我解释的视界，以及因此，这一被限定在给定范围且服从于其特殊类别的数学的“自然”或广延的世界的整体，并不是所有人类所共有的，而是各具特色的，各属于一种确定的人类的。
因此，所存在的任何数学的风格整个地都依赖于它所扎根的文化，依赖于那构想它的特定人类。心灵能将其固有的可能性付诸科学的发展，能实际地控制这些可能性，能在对这些可能性的处理中达到最高的水平——但它根本无力改变这些可能性。欧几里得几何学的观念在古典装饰的最早形式中就被实现了，微积分的观念在哥特式建筑的最早形式中就被实现了，比这各别文化第一个渊博的数学家的出生要早好几个世纪。
一种深刻的内在经验或者说真正醒觉的自我可以把儿童转变成高级人，可以把他纳入他的文化的共同体中，而这正是他的数字感出现的标志，亦是他的语言感出现的标志。只有在这之后，客体才会对那醒觉意识存在，才会呈现为诸如数字之类的有限度的和可区分的东西；只有在这之后，周围世界的那些属性、概念、因果必然性和体系，或者说世界的形式和世界定律（因为那被设定和被解决的，事实上就是被限定的、被坚固的、受数字控制的）才易于被准确地定义。并且由此，还会对测量和计算、绘图和形式的深奥意义产生一种出乎意料的、几乎形而上的恐惧感和敬畏感。
如今，康德已依据先天综合判断（普遍必然的有效性）和后天综合判断（经验的和随情形而变的）对人类知识的总体进行了分类，其中前一类知识就包括有数学知识。由此，毫无疑问，康德就可以把强烈的内心感受还原为抽象的形式。但是，康德这么做完全偏离了这样一个事实（在现代数学和现代力学中已被充分地证明了），就是：在这两种判断之间，根本不存在如此界限分明的区分，如同在先天判断原理中根本地和无条件地示意出来的，先天本身虽则确然是哲学中的一种最具启发性的概念，可似乎也是一个包含着许多困难的观念。康德为它总结了两个特性——但并没有试图去证明那一根本不能证明的东西——即在所有的理智活动中，它既具有形式的不可改变性，同时又具有对所有人而言形式的同一性。结果，一个具有不可估量的重要性的因素完全被忽视了——这要归功于康德时代的理智的先入之见，更别说康德本人的了。这一因素便是那一所谓的“普遍有效性”的伸缩度（the varying degree）。真正范围广泛的有效性具有某些无可怀疑的特征，这些特征（表面上看是在任何时候）是独立于文化和认知个体所属的时代的，但与这些特征相伴随的，必定还存在一种十分特殊的形式必然性，为认知个体的所有思想成为定理奠定基础，而认知个体由于只属于他自己的文化而不属于别的文化，故而必定会受到这一形式必然性的影响。这样，在此我们便有了两种完全不同的先天的思想-内容，去对它们之间的交界线作出界定，甚至于去证明存在这样的交界线，都是一个难题，这难题超出了认识活动的所有可能性，永远也不会得到解决。迄今为止，没有人敢说，心智的假定的恒在结构是一个幻觉；没有人敢说，就在我们眼前展现的历史包含了不止一种认知风格。但是，我们不要忘记，对还没有成为问题的事物获得一致意见，既有可能意味着一个普遍的真理，也有可能意味着一个普遍的错误。确实，人类总是对疑点和模糊性有某种感觉，这种感觉是如此之普遍，以至于人们从哲学家的不一致（non-agreement）中有可能得出正确的猜测，我们每每扫视哲学史的时候都能看到这一点。但是，这种不一致并不是由于人类心智的不完善，也不是由于可以完善的知识当下的不足，一句话，这不是由于缺陷，而是由于命运和历史必然性——这就是一个发现。对深刻的和终极的事物得出结论，不能通过设定一些恒量，而要通过研究差异，通过发掘差异的有机逻辑来达成。知识形式的比较形态学是西方思想至今仍有待攻克的一个领域。
四
如果数学是像天文学或矿物学一样的一种纯粹科学，那要界定它们的对象应当是可能的。可以前从事数学研究的人并没有、也没有能力这么做。我们西欧人对数字提出了自己的科学观点，为的是完成雅典和巴格达的数学家所从事的相同的任务。但事实是，在雅典和巴格达，类似名称的科学的主题、意图和方法与我们自己的完全不同。根本就不存在单一的数学，而只存在不同的数学。我们所谓的“数学史”，意指的仅仅是某个单一的、不变的理想的逐步实现，而事实上，在数学史的虚饰的表面底下，是一大堆自足的、彼此独立的发展的复合体，是一个不断重复的过程，在那里，总有新的形式世界的诞生，也有对旧的陌生的形式世界的挪用、转变和剥离，总之，这是一个发生于每个特定时期，并要经历从开花到成熟、从枯萎直至死亡的过程的纯粹有机的故事。研究者决不可上当受骗。古典心灵的数学几乎是从一片空无中萌生出来的；而历史地构成的西方心灵已经拥有了古典科学（不是内在地服膺，而是经由学习外在地获得的），因此它只能通过对后者作明显的改变和完善来成就自身的科学，可事实上，它还得摧毁那本质上与之疏离的欧几里得体系。第一种情况的代表便是毕达哥拉斯，第二种情况的代表是笛卡儿。在这两种情况中，归根到底，行为都是一样的。
在这个方面，一种数学的形式语言跟和数学同源的主要艺术的形式语言之间的关系，是毋庸置疑的。思想家的气质与艺术家的气质之间的差异固然很大，但各自醒觉意识的表达方法在内在的方面可谓是同出一辙。雕刻家、画家、作曲家的形式感，就其性质而言，本质上都是数学的。在17世纪的解析几何和投影几何中所体现出来的对一个无穷世界作的相同的、富有启发的秩序化，也使同时代的音乐生气盎然、活力弥漫，后者正是从通奏低音的艺术中发展出可称作音响世界的几何学的和声技术的；同样地，这种对无穷世界的秩序化，也激发同时代的绘画发展出了透视原则（这是只有西方人才会知道的有关空间世界的知觉几何学）。对于这一富有启发的秩序化，歌德称之为“在直观领域直接地领会形式的观念，对于这种形式，纯粹科学不能领会，而只能观察和分割”。数学超出了观察和分割的范围，它在其最高级的时刻可以通过想象而不是抽象来发现自己的道路。还是歌德，曾说过一句意味深长的名言：“数学家只有在他从自身之中感受到真实的美时，他才是完备的。”在此，我们当可感受到，数字的奥妙与艺术创作的奥妙，其关系是何等的紧密啊！也是因此，天生的数学家的位置，常常可以和赋格曲、雕刻、绘画等领域的大师排在一起；他和他们一样，都努力且必须努力去实现万物的伟大秩序，给那秩序穿上象征的外装，使其能同下里巴人进行交流，让他们在自己的内心去倾听那秩序，而不是富有成效地去占有那秩序；数字的王国，跟音调、线条、色彩的王国一样，皆是世界形式的意象。正是因为这一点，“创造性”一词在数学领域比在纯粹科学领域意味着更多的东西——牛顿、高斯、黎曼（Riemann）都是天生的艺术家（artist-nature），我们知道，他们的那些伟大的概念都是不经意间的神来之物。老维尔斯特拉斯（Weierstrass）曾经说：“一个数学家若不同时也是一个诗人，就决不是一个真正的数学家。”
因而，数学就是一门艺术。如是言之，那它必定有自己的风格和风格期（style-periods）。它不是像门外汉和哲学家（在这个问题上，他也是门外汉）所认为的那样实质上是不可改变的，而是像每一种艺术一样在各个时代皆有其难以觉察的变化。当我们在处理伟大的艺术的发展时，也要（确然地而不是徒劳无功地）顺便看一下同时代的数学的发展。对于音乐理论的变化与对无穷的分析之间存在的深刻关系，细节从未被人深究过，尽管美学从这些细节中所学的远多于从所谓的“心理学”中学到的。如果写一本乐器史，不是（如人们时常所做的那样）从音调生产的技术角度来写，而是根据对音色和音效的深层精神基础的研究来写，则可揭示更多。因为想用声音来填满无穷的空间，乃是一种意愿，一种强烈到近乎渴望的意愿，正是这种意愿产生了——与古典的七弦琴和竖笛（里拉琴、基特拉琴；奥洛斯管、叙任克斯笛）以及阿拉伯的琵琶完全不同——键盘乐器（管风琴、钢琴等）和弓弦乐器这两大家族，并且早在哥特时期就已出现了。这两大乐器家族的发展在精神上（可能也关系到技术源头）要归功于位于爱尔兰、威悉河和塞纳河之间的北部凯尔特-日耳曼人。管风琴和古钢琴当然是英国人的功劳。弓弦乐器于1480至1530年间在上意大利获得了其确定的形式，而管风琴发展成我们所知道的一种占据空间的庞然大物，一种在所有音乐史上还不曾见到相似物的乐器，这首要的是在德国。巴赫及其时代那自由的管风琴演奏若不是一种分析——对奇妙而巨大的音响世界的分析——还能是什么。类似地，还是与西方的数字思维相一致，而与古典思维相反，我们的弦乐器和管乐器也不是单独地而是在庞大的群体（弦乐器、木管乐器、铜管乐器）中发展的，是依据四级人声的音域排列的；现代管弦乐队的历史，以及它所有新乐器的发明和老乐器的改良，事实上是一个音响世界的自足的历史，而且这是一个完全可以用高等分析的形式加以表现的世界。
五
大约公元前540年，当毕达哥拉斯学派得出数是万物的本原的观点时，所迈出的决不是“数学发展中的一小步”，而是一种全新的数学的诞生。这一新的数学，很久以来，形而上学的提问方式和艺术的形式倾向就已经预示出来了，而现在，由古典心灵的深处迸发而出，形成为一种系统阐发的理论，一种在一幕场景或一个伟大的历史时刻诞生的数学——如同埃及人的数学、巴比伦文化的代数天文学及其黄道坐标系统（ecliptic co-ordinate system）诞生的情形一样。但这种数学是全新的，因为那些古老的数学早已消失无形了，而埃及的数学从未形诸于文字。公元前2世纪所完成的古典数学，亦随古典时代的转换而消失（尽管表面上看，它甚至在今天依然存在，可仅仅是作为一种便利的记号存在着），让位于阿拉伯数学。从我们对亚历山大里亚数学的了解中，可以得出这样一个必要的假设：在中东地区曾出现一次伟大的运动。运动的重心当然是一些波斯-巴比伦学派，如以得撒（Edessa）、贡狄萨坡拉（Gundisapora）和忒息丰（Ctesiphon）等地的学派，至于它们是如何传入讲古典语言的地区，我们只知道一些细枝末节。尽管都有希腊名字，但亚历山大里亚的数学家们——如研究等周形的芝诺多罗斯（Zenodorus）、探讨空间中的和谐面束（harmonic pencile in space）的特性的塞里努斯（Serenus）、介绍迦勒底人的圆周划分法的希普西克勒（Hypsicles），尤其还有丢番图（Diophantus）——毫无疑问全都是阿拉米人（Aramaeans），他们的著作仅仅是主要写于叙利亚的文献的一小部分。可见，这种数学在阿拉伯-伊斯兰思想家们的研究中获得了其完整形式，不过，在这些思想家之后，数学发展又一次出现了一个漫长的间断。接下来，产生了一种全新的数学，那就是西方人或者说我们自己的数学，我们出于一种迷恋而将其称之为“Mathematics”，认为它是两千年演进的顶峰和最终目标，尽管事实上，严格来说，直到今天为止，它也不过存在了区区可数的几百年而已。
古典数学中最有价值的东西，便是它的这一命题：数是一切可为感官所感知的事物的本质。把数定义为一种度量，这体现了一个热情地投身于“此时”（the “now”）、“此地”（the “here”）的心灵的整个世界感。在这个意义上，度量意味着对某个切近而具体的事物的度量。看一下古典艺术作品的内容，例如那些自由矗立的裸体人像：在此，存在的每一本质的和重要的要素、它的整个节奏，由雕塑的各个部分的表面、向度及可感觉到的关系毫无保留地表现出来了。毕达哥拉斯学派有关数的和谐的观点虽然有可能是从音乐中演绎出来的——应当注意，这一音乐并不知道所谓的复调或和声，由之而形成的乐器是为了表现单一的、丰满的、近乎清新的音调——但它似乎已成为怀有这一理想的雕刻家的典范。那被加工过的石头仅仅就是一块石头，只考虑其大小，只量度其形式；它到底是什么，这要取决于它在雕刻家的刻刀下会成为什么。没有了雕刻家的凿刻，它就只是一团混沌，是尚未实现成形的事物，事实上，在未经雕凿之初，它根本不具任何意义。与此相同的感受，转移至更高阶段的创作过程中，便形成了与混沌状态正相对立的宇宙秩序（cosmos）。对于古典心灵来说，所谓“宇宙秩序”，意味着外在世界的一种清晰状态，一种和谐的秩序，那各自独立的事物，作为一个完好地界定的、可理解的和在场的整体，都包含在这一秩序中。这些事物的总和恰好构成了整个世界，而存在于它们之间的各交互空间——在我们看来，这些空间充满了“宇宙空间”（Universe of Space）的生动象征——对于古典人来说不过是虚空（το μη ον）。
对于古典人类而言，广延意味着实体，对于我们而言，广延意味着一种使物“呈现”出来的空间的功能。从这一观点往回看，我们也许可以看到古典形而上学最深层的一个概念，那就是阿那克西曼德（Anaximander）的“äπειρου”（无定形）——这个词几乎无法用西方语言来翻译。它不具有毕达哥拉斯意义上的“数”，没有可量度的向度或可界定的限度，因此也就无所谓存在；恰如尚未凿刻成雕像的石块，没有度量，没有形式；是视觉上无涯无际、无有形式的αρχη（始基），只有透过感官的分割，才能成为某个东西（或者说，成为世界）。在康德的世界图象中，正是以空间取代了古典认知的这一基本的先验形式，亦即形体本身；对于那种空间，康德坚持认为，所有一切事物都可以从它的角度加以“思考”。
现在，我们明白了是什么东西把不同的数学，尤其是古典数学和西方数学，区分开来了。成熟的古典世界的整个世界感使得它把数学只看成是有关形体之间的大小、向度和形式的关系的理论。从这一世界感出发，当毕达哥拉斯提出和表达那一具有决定意义的公式时，数对于他来说就成了一个视觉的（optical）象征——不是一般形式的度量，不是抽象的关系，而是既成领域的哨所，或者更确切地说，是感官能够分割、能够加以回视的既成之物的部分的哨所。整个的古典世界单单只把数字设想为度量的单位，设想为大小、长度和面的单位，而且，对于它来说，除了这些方面，其他的广延都是不可想象的。整个古典数学归根到底就是一种测体学（stereometry），一种固体几何学（solid geometry）。欧几里得在公元前3世纪就完成了他的几何学体系，在他看来，三角形是一种具有深刻必然性和有限定的表面的形体，而决不是一种由三条相交直线构成的系统，或由三度空间中的三个点形成的集合。欧几里得定义直线是“没有宽度的长度”（μηκοs απλατεs），在我们看来，这一定义实在不足为道——而在古典数学中，这却是一个卓绝无比的定义。
西方人的数，不是——如康德甚至赫尔姆霍兹（Helmholtz）所认为的——从作为一种先验的认知形式的时间中产生出来的某个东西，而是某个特别地具有空间性的东西，因为它是同类单位的一种秩序（或排列）。实际的时间（正如我们接下来将越来越明确地看到的）与数学的事物没有一丁点的关系。数唯一地只属于广延的领域。但是，恰如世上有多种文化一样，广延之物有秩序地展现的可能性及其必然性也有多种。古典的数是一种思维过程，但处理的不是空间关系，而是明显可限定的、实在的单位；由此可自然地和必然地得出这样一个认识：古典人知道的仅仅是“自然”数（正数和整数），相反，在我们西方人的数学中，自然数在复数、超复数、非阿基米德及其他数系中却只占一个极其不起眼的地位。
由此看来，无理数——即我们的记数法中十进位的不尽小数——的观念在希腊精神中被认为是不可思议的。欧几里得——我们应当对他有更全面的了解——说，不可公度的线条是“不能如数字那样彼此关联的。”事实上，无理数的观念一旦出现，便把数的概念和大小的概念分离开来了，因为这种数（例如π）的大小是不能以任何直线来界定或准确地表达的。进而，据此言之，在思考——比如说——正方形的边和对角线的关系时，希腊人必定会突然遇到一种完全不同的数，这种数对于古典心灵而言是全然陌生的，因此对它有一种恐惧，认为其存在本身的秘密一旦被揭开，将会招致灭顶之灾。有一则奇特而重要的晚期希腊传说，依据这一传说，第一个揭开无理数那深藏的奥秘的人必将死于非命，“因为那不可言传的、无形无态的秘密必须永远隐匿于人世。”
支撑这一传说的那种恐惧与希腊人的一种观念完全是同一的，那一观念阻止哪怕最成熟的希腊人为了在政治上更好地组织乡村而去扩展他们的微型城邦，阻止他们延伸街道直至景色的尽头，延伸小巷直至远景深处；那一观念使希腊人对时间有一种畏惧。并且又一次，它是来自巴比伦的天文学及其对无尽星空的透视。那一观念还使得希腊人不敢冒险沿海道走出地中海，直到很久之后，腓尼基人（Phoenicians）和埃及人才胆敢这么做。这是一种深沉的形而上的恐惧，因为这一恐惧，古典生存所牢守的那一在感觉上可理解的和在场的东西，突然陷入了崩溃，把它的宇宙秩序（主要地是由艺术来创造和维系的）投入了未知的原始深渊。因此，要想理解这一恐惧，就得理解古典数字的终极意义——即是与不可度量相对立的度量——就得把握古典数字的限度的高级伦理意义。歌德作为一个自然研究者，也感觉到了这一恐惧——因此他对数学有着一种近乎恐惧的反感，正如我们现在所看到的，实际上，他的这种恐惧乃是对非古典数学，即支撑他的时代的自然哲学的微积分，产生的一种不由自主的反应。
古典人的宗教感一度越来越强烈地集中于实际地在场的、地方化的祀拜上，因为只有它能表现欧几里得式的神世界。抽象的概念，或者说那些在思想的空间中漂浮不定的教条对于它是全然陌生的。这种祀拜与罗马天主教的一个教条，即偶像的塑像与教堂组织同在，有着诸多的共同点。毫无疑问，这种祀拜的某些方面就包含在欧几里得的数学中——例如，看一看毕达哥拉斯学派的秘密教义，看一看规则的多面体的定理及其在柏拉图学派中的神秘意义。如此言之，在笛卡儿对无穷的分析和同时代的教义神学之间，必定也存在深刻的关系，后者的发展经历了从宗教改革与反宗教改革的大决战到整个地非感觉化的自然神论。笛卡儿和帕斯卡尔都既是数学家，亦是詹森派信徒（Jansenists），莱布尼茨则同时是数学家和虔敬派信徒（Pietist）。伏尔泰（Voltaire）、拉格朗日（Lagrange）、达朗贝尔（D’Alembert）皆是同时代人。其实，古典心灵已感觉到了无理数的原则将会推翻整个数字体系井然有序的庄严排列，会推翻完整而自足的世界秩序，这些本身就是对神的一种不敬。在柏拉图的《蒂迈欧》中，这一感觉已明确无误地显示出来。因为，把一系列各自分离的数字转变为一个连续体，这不仅是对古典的数字观的挑战，而且是对古典的世界观本身的挑战，故此，我们可以理解，在古典数学中，甚至连负数——在我们看来，这根本没有什么概念上的困难——也被认为是不可能的，更别说把零当作一个数了。把零看作一个数，体现了奇妙的抽象能力那高超的创造力，印度心灵就把零看作是一种位置计数（positional numeration）的基础，零的观念正是了解印度人生存意义的关键。负量（negative magnitudes）根本就不存在。（-2）×（-3）=+6，这种表达既不可想象，也不能表示量的大小。数量的系列终止于+1，而在负数的图形表达（+3、+2、+1、0、-1、-2、-3）中，从零之后突然出现了某个否定性的东西的肯定性象征；它们意味着某种东西，但它们不再是某种东西。但是，这一幕的完成不在古典的数字思维的方向之内。
因而，古典世界的醒觉意识的每一个产品，皆借由雕塑式的定义被提升到了现实性的层次。凡不能被描画出来的，便不是“数字”。阿基塔斯和欧多克斯（Eudoxus）采用面积数（surface-numbers）和体积数（volume-numbers）的概念来指谓我们所谓的二次方和三次方。很容易理解，更高的整次方（integral powers）的概念在他们看来是不存在的，因为对于那以立体感（plastic feeling）为基础的心灵而言，四次方立刻便意味着在四维空间中的一种扩展，意味着要与四种物质性的维度打交道，而这在他们看来是“荒谬的”。对于我们常用的那些表达，例如，甚至早在奥里斯梅（Oresme）（14世纪）时代的西方数学中就已使用的分数指数，例如51/2，在阿基塔斯和欧多克斯看来肯定是全然没有意义的胡说。欧几里得称因子的乘积即是边的乘积，而分数（当然是定分数）则被看作是两条线之间的整数关系。显然，从这里面，是不可能出现零作为数的概念，因为从一个画图人的角度看，这是没有意义的。具有不同心灵构造的我们不可以我们的习惯来论断他们的习惯，把他们的数学看作是“大数学”（Mathematics）发展的“第一步”。在古典人为自己扩展的世界里，并且就他们扩展那一世界的目标而言，古典数学是完整的——只是对我们而言，它才不是完整的。巴比伦人的数学和印度人的数学一直以来就包含着古典数字感认为毫无意义的东西——但又不是出于无知，因为许多希腊思想家对这些东西其实很熟悉——并将其作为他们的数字世界的本质要素。必须重复一遍，“大数学”是一个幻觉。一种数学的思维方式，或者一般地说，一种科学的思维方式，如果能完整地表达与之相匹配的生命感，那它就是正确的、可信的，就是一种“思想的必然”。否则，它就是不可能的、无用的、没有意义的，再不，正如我们在我们的傲慢的历史心灵中常常说的，就是“原始的”。近代数学尽管只对西方精神而言是“正确的”，但也不容否认的是，它是这一精神的主导产品；不过，对于柏拉图而言，它必定是对通向“真实”——通向智慧，古典的智慧——的道路亦即数学的不可思议的和可怕的偏离。对于我们自己来说，希腊人的数学也是如此。坦白地说，我们对大量属于其他文化的伟大观念几乎是一无所知，我们容许这样的失误，是因为我们的思维及其局限还不允许我们去同化它们，或者说（其实是一回事），我们的思维及其局限使我们将它们看作是虚假的、多余的和无意义的东西而加以拒绝。
