还是在做讲师的时候，赫尔曼·维纳在一次讲座中对几何实质的抽象观 点影响了希尔伯特。后来希尔伯特想：“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒 杯来代替点、线、面。”这种朴素的说法，蕴含了他现在打算提出的讲演的 实质。
为了理解希尔伯特对几何学所采取的研究途径，我们必须记住，数学起 初是一堆并不无严格次序的命题，这些命题或者是自明的，或者是从其他看 来是自明的命题通过清楚的逻辑的方式而获得的。这种明显的准则，无保留 地被应用来扩展数学知识。
希尔伯特编写了 《几何基础》的讲义，这份讲义一经出版，又产生了巨 大的影响。在几个月内成了最畅销的数学书，被译成了英语、法语等多种语 言。那些三年多来听他谈论代数数域的学生，无不惊异地称赞着这部著作的 成功。但甚至就在他们惊讶的时候，希尔伯特又开始在另一个完全不同的数 学领域里发展研究成果了。
1899年夏，他转向了一个著名的老问题——“狄里克莱原理”。这一作 为几何函数论的基础的狄里克莱原理，已经提出近半个世纪了，但这时的数 学家们却已把这个原理看作濒临绝境。希尔伯特遵循了导师克莱因“用新方 法来解决老问题，自然，就会引出新问题”的教导，坚信严格性有助于方法 的简化。
没过多久，希尔伯特就向德国数学会提出了挽救狄里克莱原理的初步尝 试，他把这个尝试叫做狄里克莱原理的“复活”。整个论文包括引言在内还 不到六页，却被赞誉为“妙手回春”之作。（6年以后，在哥廷根科学协会 成立150周年之际，希尔伯特又回到了这个问题上，并给出了狄里克莱原理 的第二个证明）。
挽救狄里克莱原理获得成功以后，希尔伯特决定于1899至1900年的冬 季学期讲授变分法——在他的教授生涯中，他还是第一次开这门课。
希尔伯特在这一时期的数学兴趣，比他在哥尼斯堡当讲师以来的任何时 候都要广泛。他继续研究几何学，并发表了几篇有关的论文。他还发表了一 篇题为 《数的概念》的文章，正是在如此丰富多采的研究活动中，希尔伯特 收到了要他在1900年夏天于巴黎举行的第2次国际数学家代表大会上作主要 发言的邀请。
七、新世纪
1900年，新世纪诱人地展现在他的面前，犹如一张白纸，一支新笔，等 待他去写最精采的文章，画最美的图画。希尔伯特此时站在数学发展的最前 沿，他在准备发表一篇能与这个重要时机相宜的、替纯粹数学辩护且预计新 世纪数学发展方向的演说，他犹豫着该选怎样的题材。闵可夫斯基认为：“最 有意义的题材，莫过于展望数学的未来，提出数学家们应当在新世纪里努力 解决的问题。这样，你的讲演在往后的数十年中将成为人们议论的中心话 题”。
希尔伯特一直在冥思苦想，可是直到6月份还未写出讲稿。已经发出的 会议日程表中就没有了他的讲演。到了7月中旬，他才将以《数学问题》为 题的讲稿清样寄给了闵可夫斯基。闵河夫斯基和赫维茨花了整整几个星期的 时间，极其审慎地研究了希尔伯特的讲稿，他们从讲稿的内容以及讲的方式 上都提出了建议，认为讲稿太长了，并且要他把“每个确定的数学问题都应 该能得到明确的答案，或者是肯定的回答，或者是证明该问题的不可能性” 的这段话，作为整个讲演稿的有力结尾。
8月8日，星期三，上午，一位38岁的数学家登上了讲坛。此人中等身 体，矫健敏捷，宽广的前额引人注目，已经光秃的头顶、疏落地余留着淡红 色的发丝。高高的鼻梁上架着一副眼镜。不大的连鬓胡。略显散乱的唇髭下， 一张丰满的大嘴，同细巧的下巴形成鲜明的对照。明亮的蓝眼睛，透过闪亮 的镜片射出纯真而又坚定的目光。这位讲演者，虽然外表朴素无华，他那刚 强的品格和卓越的才智所酿成的气氛，却驱走了巴黎的炎热，吸引着每一位 与会者的心。
他准备了一个法文的讲稿摘要，将它分发给听众。在当时，会议并没有 规定要这样做。大家以感谢的心情等待着讲演的开始。为了照顾不很懂德语 的听众，希尔伯特缓慢地。谨慎地开始了他的讲演。
在讲演中，希尔伯特强调了决定着一门科学发展方向的问题的重要性， 考察了重大而富有成果的问题的特点，阐述了对于问题的“解答”的要求。 然后他就提出讨论了23个个别的问题。他相信，这些问题的解决，必将大大 推动20世纪数学的发展。
头6个问题与数学基础有关，希尔伯特认为，刚刚过去的这个世纪里最 伟大的成就，乃是非欧几何的发现以及算术连续统概念的明确化。关于数学 基础的6个问题，正是在这一观点的启发下提出的。这些问题反映出最近在 几何基础方面的工作对他的强烈影响和他对公理方法的效用的巨大热情。其 他问题有些是众所周知的老问题，有些则是新问题，不过它们全是选自希尔 伯特本人过去、现在或将来所关心的领域。最后一个问题与其说是一个问题， 不如说是对将来的一个建议。希尔伯特认为变分法这个数学领域在过去受到 了不适当的忽视，他希望在下个世纪里数学家们能对这个领域给予更多的注 意。他认为所提出的问题只不过是一些例子，数学科学是一个不可分割的有 机整体，它的生命力在于各部分之间的联系。
在巴黎国际数学家代表大会的其余日子里，大卫·希尔伯特关于20世纪 的数学问题吸引了整个数学界的想象力。希尔伯特的实际经验看来保证了这 些问题都符合于他在讲演中所提出的标准；他的判断力则使人相信这些问题 在今后的年月里一定能得到解决。由于希尔伯特的迅速提高的声望，一个数 学工作者只要解决了巴黎问题中的任何一个，就可以使自己一举成名。后来， 那些对于解决希尔伯特为23个问题作出贡献的数学家们就被称作“荣誉等 级”数学家。
这时，希尔伯特已开始享有一个数学家所能享有的最高声誉。从关于不 变量理论登峰造极的研究——《数论报告》和深刻、丰富的类域论计划—— 广泛传播影响深远的几何基础小册子——狄里克莱原理的起死回生——变分 学的重要定理——巴黎问题，外国科学院纷纷选他为院士。德国政府授予他
“枢密顾问”的头衔。但是希尔伯特并没有用虚伪的谦虚来自扰，而以朴素 稳重的喜悦接受了这种成功。
这时，希尔伯特的双亲还健在。长期以来希尔伯特法官对儿子的事业成 功一直抱有怀疑。数学有它自己特点，作为门外汉，他不可能真正地鉴赏他 儿子的这些成就；但是，希尔伯特获得了许多荣誉，终于驱散了他父亲心中 的疑虑。
巴黎会议之后，希尔伯特继续研究几何学，但他的大部分时间是用于探 讨分析问题。但是，在1900至1901年的一个冬日，一个名叫伊凡·弗雷德 霍姆的德国年轻人发表的一篇关于积分方程的论文使他认识到：弗雷德霍姆 的工作比他自己在变分学方面的工作更接近于他所追求的目标，那就是从方 法论的角度达到处理分析学问题的统一途径。因此，他现在毫无反悔地放弃 了自己原来的计划而以巨大的热情投入积分方程的研究。
八、众望所归
20世纪初，全世界数学专业的学生都受到同样的忠告：“打起背包，到 哥廷根去！”
论数学，在哥廷根克莱因的讲课被人们奉为典范。他备课充分，板书清 晰，他还尤其擅长于纵观全局：能在不同的问题中洞察到统一的思想，并有 一种集中必要的材料来阐明其统一见解的艺术。他的观点是：学生应该自己 来完成数学定理的证明，他只讲解证明方法的轮廓。学生们在课外至少得花 费四倍的时间来掌握听课的内容。
相反，希尔伯特的讲课与之迥然不同。他也不能容忍数学课只是填鸭式 地给学生灌输各种事实，而不去教会他们怎样提出问题和解决问题，他时常 告诉学生：“问题的完善提法意味着问题已经解决了一半”。他常常以极其 充分的时间来透彻解释一个问题，使得接下去的证明就显得那么自然，以致 常使别人惊异地抱怨自己为什么没想到它。
他在备课时，只注重那些准备在课上提出的基本原理，而不详细准备细 目。他认为：“学生们能很容易地填补上这些内容，写出一份很好的笔记。 可是由于他的某些讲演的思路太新颖，学生们有时很难跟得上，即使是他的 助手阿尔伯特·安德雷的讲义笔记也帮不了学生们多少忙。因为他备课方式 的简略，虽然有时在课上由于细节的推错或推不出而下不了台，然而人们认 为，哥廷根的数学课没人赶得上他。
他在课上时常会顺着自己的思路讲下去，也会从其他领域引出概念并指 出非常好的结果和最新的工作。学生们都被他深深地吸引着：一般来说，在 几年中也不可能见到这么多的数学概念和领域的。听他的课，学生们会觉得 数学是“活”的。希尔伯特的讲课简炼、自然、逻辑严紧、思路清晰、观点 鲜明，与克莱因的那种精心准备，百科全书式的“尽善尽美”讲演相比，多 数学生更喜欢希尔伯特的课。
希尔伯特还很讲究教育学。他并不怎么看重学生的天资，而相信绝大多 数的事情经过几次才能被接受。当年轻的赫尔曼·魏依尔开始教书生涯时， 希尔伯特给他的难忘的忠告是：“五次，赫尔曼，要五次！”“要保持做乘 法表那种最低水平的计算”“要从简单的例子开始。”这又是希尔伯特的一 些最得意的准则。他自己在提出重要概念时，就总是以生动的方式寻找对照 物，使学生加深理解，而又不易忘却。
哥廷根就是因为有了希尔伯特，而成了“德国数学的麦加”。
魏依尔就是慕名来到哥廷根。一开始的时候，希尔伯特所讲的大部分内 容只是从他的脑子里一闪而过，但却在他面前“打开了新世界的门户”。希 尔伯特的“乐观，热情，他对于科学的价值的无可动摇的信仰，以及对于简 明的问题追求简明答案的推理能力的坚定信心”，这一切都对魏依尔有着不 可抗拒的魅力。
魏依尔是一个除了数学还对语言有爱好的青年人，他在阅读希尔伯特的
《报告》时发现希尔伯特清澈明晰的行文风格，反映着他那特有的希尔伯特 式的思维方式。他后来总是把研读《报告》的那几个月说成是他一生中最幸 福的日子。
1902年秋，闵可夫斯基来到哥廷根之后，希尔伯特不再感到弧单了。希 尔伯特除了自己的课，还和闵可夫斯基一起主持着一个讨论班。由于闵可夫 斯基已经具有了相当可观的物理学专门知识，所以这个讨论班学习了一年物 理。1905年，他们决定在讨论班上研究运动物体的电动力学。闵可夫斯基是 开展这项研究计划的倡导者，希尔伯特是积极的参加和真正的合作者，希尔 伯特时常在把一些问题搞得更清晰，而且他永远在追求着清晰性。
讨论班的学生们都觉得这个讨论班的活动扣人心弦而且富于刺激力。他 们在那里听到了有关电动力学的种种古怪有趣的论述，就在这一年，希尔伯 特他们无独有偶地获得了跟爱因斯坦的狭义相对论类似的结果。但是，当时 的哥廷根事先并不知道爱因斯坦的工作。
这期间，希尔伯特还在继续他的积分方程研究，为了让研究和数学保持 紧密联系，他时常在讨论班上和课堂上报告他的那些还没有最后成型的结 果。这些研究工作也就往往以他跟学生合作的方式继续下去了。希尔伯特后 来指出，他的这些学生不断地获得更加精确的系统的理论表述，有时候还真 扩展了该领域的研究范围。
1905年，匈牙利科学院突然宣布要颁发一种奖金，使整个数学界大为震 惊；有一笔一万克朗的奖金将授予这样一位数学家——他在过去25年中所取 得成就为数学的进步作出了巨大的贡献。为了纪念匈牙利人约翰·鲍耶，非 欧几何的创始人之一，以及他的父亲沃尔夫冈·鲍耶——高斯的同学和终身 密友，奖金被命名为鲍耶奖。
那时，数学界里没有人不清楚，这将在希尔伯特和享利·庞加莱之中选 一个。结果，评定委员会一致决定把鲍耶奖授予庞加莱，因为庞加莱自1879 年起就开始从事数学研究了，而希尔伯特当时还只是一个预科学校的学生。 但是评委会还是表示了对大卫·希尔伯特的最崇高的敬意。委员们一致决议， 在那份提交给科学院的、说明他们所作选择的报告中，用和评述庞加莱工作 一样的份量充分阐明了希尔伯特的贡献。
所以，身为评委会成员之一的克莱因从布达佩斯给希尔伯特写的信中 说：“没有黄金，但有荣誉。”当克莱因返回哥廷根之后，他向布鲁门萨尔 解释说：“这次奖金之所以落人庞加莱之手，起决定作用的因素是这个法国 人已经走遍了”数学科学的整个活动范围。同时，他预言：“希尔伯特也一 定会像庞加莱那样，遍历数学科学的广阔的领域的！”
克莱因的这个预言说的恰是时候，眼下，希尔伯特正在创造那项即将成 为他在分析研究方面的登峰造极的成果——无穷多个变量的理论，即后来人 们一般所称的“希尔伯特空间”’理论。
时隔五个春秋，1910年秋，匈牙利科学院宣布了第二届鲍耶奖的得主— —希尔伯特，作为评奖委会员的秘书，庞加莱准备了一份概要介绍希尔伯特 工作的报告，这个报告将向匈牙利科学院提出，然后公开发表。
庞加莱在报告中强调了希尔伯特工作的几个特点：探索范围之广阔，研 究问题之重要，方法之简洁、优美，叙述之清晰明了，以及对于绝对的严格 性的追求。庞加莱称赞了希尔伯特的著作明快易读，同时还指出：“希尔伯 特对数学科学进展的影响，不只是在于他个人的研究成就，而且还在于他所 忠诚地从事的教学活动。他给予学生的帮助，使他们能够运用他所创造的方 法对数学科学作出自己的贡献。”庞加莱详细介绍了希尔伯特的成就，并且 试图阐明这些成就与其他数学家的成就的关系。
庞加莱为鲍耶奖写的报告发表在1911年的《数学学报》上。但当时大家 谁也没有料到，庞加莱在报告中概括的内容竟将是希尔伯特对构造性数学的 全部贡献了。因为就在第二年，50岁的希尔伯特关于积分方程的工作，把他 带到了数学与物理的边缘领域。1912年春，希尔伯特发表了一篇有关气体分 子运动论方面的基础性论文，它向人们宣告：这位数学家的注意力现在已经 转向了物理学。
九、物理学家
1908年，希尔伯特已经跟闵可夫斯基交了四分之一世纪的朋友。希尔伯 特现年46岁；闵可夫斯基也44岁了。这时，闵可夫斯基正处在富有创造力 的顶峰。可是到了1909年1月12日，闵可夫斯基突然患了急性阑尾炎，撇 下妻子和年幼的女儿离开了人世，终年45岁。
好友闵可夫斯基的去世，给希尔伯特在人事和科学两方面造成了难以弥 补的空缺。往常非常豪爽乐观的希尔伯特消失了，他变成了一个神经过敏的、 精神消沉的人。“亡故者那万无一失的目光已不会在校样上停留。”希尔伯 特在精神上极度的重负下工作，但他能以哲学家的冷静来忍受情感上的痛 苦。
在柏林的教育部里进行再多的明智协商，也不可能找到一位替代者，替 代希尔伯特从闵可夫斯基那里获得的友谊和科学上的激励。生活虽然继续下 去了，但向来“高产”的希尔伯特没能在这年春天给哥廷根科学会寄有关积 分方程的文章。
他和喀娣花了许多时间来陪伴闵可夫斯基夫人及其幼女，同时，他还担 任起了编篡闵可夫斯基著作的总编辑，并且着手准备一篇纪念讲话，为了这 篇讲话，他把一直保存着的闵可夫斯基给他的 90封信全部重读了一遍， 5 月1日，希尔伯特在哥廷根科学会举办的专门会议上发表了这篇纪念闵可夫 斯基的演说。
随后，希尔伯特试图从哥廷根大学的高年级学生和讲师中寻找闵可夫斯 基的继任人。因为他非常清楚：为了自己的科学创造，必须同年轻人密切联 系，并说：“我与年轻人坐在一起总能从他们身上获益。”而对那些经常与 他一起散步的青年人来说，由于希尔伯特富有创造力，又能摆脱任何偏见和 框框，他们称他“保持了青春的朝气”，“我们每次与他相聚，总能取得真 正的收益。
闵可夫斯基去世后，希尔伯特又重新恢复了老习惯：在数学俱乐部每周 一次的聚会之后，带领一群年轻人去作长时间的散步。在与他交往的青年朋 友中，有一位名叫伦纳德·纳尔逊的哲学讲师，他比希尔伯特小20岁。他们 一起散步，讨论哲学、数学和逻辑学相交界处的边缘知识。另一位也不是数 学家，而是普朗特尔应用力学研究所的助理，名叫西奥多·冯·卡曼。也是 在这段时期，希尔伯特开始了同理查德·库朗的情谊。
1912年春，希尔伯特的老朋友、物理学家阿诺德·索米菲尔德应希尔伯 特的请求，让他的学生保尔·爱瓦尔德到哥廷根作他的新助手时，人们把爱 瓦尔德当作了“希尔伯特的物理教师”来欢迎。这看来也正是希尔伯特添设 这个新的助手职位的本意。他立刻给爱瓦尔德指定了许多物理学课题，这些 题目都是希尔伯特本人想要了解的。
其实还是在希尔伯特做讲师期间，赫兹便证明了麦克斯韦所预言的电磁 波的存在。回顾起来，希尔伯特认为现代物理的新纪元就是从那时开始的， 接着便是一连串的新发现：伦琴发现Ｘ射线，居里夫妇发现放射性，汤姆森 发现电子等等。在同一时期，普朗克提出了量子理论，爱因斯坦建立了狭义 相对论。短短数十年间，伟大的发现如雨后春笋，数量之多，抵得上以往好 几个世纪。但是作为一个数学家，他感到在物理学家的胜利中还缺少某种秩 序。虽然希尔伯特坚信公理方法可使物理摆脱混乱，但他承认：光靠数学的 力量是解决不了物理问题的。
希尔伯特已经改造了数学，下一步是改造物理学。现在希尔伯特打算对 另一们物理分支开展研究，使它建立在可以接受的数学基础之上。他从气体 运动论转向一个新的领域，这就是初等辐射理论，在这里，物理概念同样直 接引导到积分方程。在随后的两三年内，他发表了一系列论文，以线性积分 方程为工具，推导了初等辐射理论的基本定理，为这些定理奠定了公理化基 础，并证明了他所提出公理的相容性。希尔伯特对辐射理论的处理，实质上 是为他在巴黎提出的将物理学统一成一个整体的途径建立了一个模式。
1912年夏天，庞加莱去世了，终年59岁。人们在问：“究竟谁是活着 的最伟大的数学家？”而希尔伯特早已沉浸于物理学了。
1913年春天，希尔伯特召开了一个物质运动理论的讨论会，次年又要他 的物理学助手组织了一个关于物质结构课题的讨论班。在讨论班上他的助手 用经过提炼的，适合数学家口味的形式向他介绍了随机事件的量子力学。这 年冬季，爱因斯坦获得了研究决定引力场的微分形式的10个系数的相互关系 方面的结果，于11月11日至25日先后向柏林科学院提出了两篇‘广义相对 论’论文；希尔怕特则用了完全不同的，更为直接的方法独立地解决了类似 课题，并于同月20日向哥廷根皇家协会提交了他的论文。然而，功力悉敌并 没有引起优先权的争论。希尔伯特坦然地承认广义相对论这一伟大的思想应 归功于爱因斯坦，认为爱因斯坦理论的漂亮之处在于它的伟大的几何抽象。 希尔伯特还在1915年颁发第3次鲍耶奖时推荐了他。
1913年8月，德国卷入了第一次世界大战。希尔伯特认为战争是愚蠢的， 他这样想并且也这样说，因为指导希尔伯特一生的最高准则就是绝对的正直 和诚实。其他的人们也觉得无法将德国的“粗野”行动同她在科学和艺术上 的成就相协调。德国政府为了对付这种舆论，策划了一个“告文明世界”的 宣言，要它的一批最著名的科学家和艺术家签名，以表示对德皇拥护，克莱 因和希尔伯特在国际上的声望甚高，当然都属被邀之列。
克莱因向来是个极端的爱国主义者，他对宣言的内容不作任何怀疑而签 上了名；希尔伯特则从头到尾地逐句检查了宣言的每一个句子后，因怀疑宣 言上说的并非事实而拒绝签字。
1914年10月15日，《宣言》发表后，他由此而被斥为卖国贼，许多人 甚至不来听他的课了，然而许多人都同情并理解希尔伯特的行动，后来连克 莱因也后悔不该签名。巴黎科学院为此开除了克莱因，但仍让希尔伯特保持 着头衔。
1915年战争在继续进行，一位年轻妇女埃米·娜脱来到哥廷根。她的外 表和举止看起来都不像一位女性——一副粗嗓门，穿着宽松肥大的衣服，像 个强健壮实的洗衣妇，但是她的某些数学学科的坚实基础，正是克莱因和希 尔伯特研究广义相对论所必需的，所以他们都竭力要让她留在哥廷根。然而 当时要为一位女性争取讲师资格是谈何容易呀！“女人怎能当讲师？”“难 道将来大学评议会中允许女人进入？”希尔伯特力排众议地表示：“先生们， 我不认为性别是不能让她当讲师的理由。大学评议会毕竟不是澡堂！”可是 娜脱还是没能取得讲师的资格，希尔伯特只好自己让她留下。有些课用他的 名义开，而实际上由娜脱女士主讲。
1917年，法国著名数学家加斯顿·达布逝世的消息传到了哥廷根，希尔 伯特对达布的数学成就和高尚品德非常敬佩，便立即写了一篇悼文发表在哥 廷根的《通讯》杂志上。一些学生中的不肖之徒竟聚到希尔伯特的住宅前， 要他收回这篇悼念“敌国数学家”的文章。他严词拒绝了这个无理要求，并 向校方提出：除非校方就此事向他道歉，否则他就辞职。校方无奈之下，只 得道歉。
1918年战争结束了，一直呆在战壕里的年轻人开始回到了课堂，但是在 1919年11月8日，希尔伯特又失去了他另外一位挚友——赫维茨。
十、晚年
进入20年代，哥廷根最重要的数学活动就要算是数学俱乐部的活动了。 它每星期定期举行一次讲演集会，是一种不拘形式，没有负责人，没有会员， 也不收取会费的组织，凡是具有博士学位的教授、讲师或者学生都可以自由 地在集会上发表讲演。
在这样的会上，有些新参加的优秀的年轻人目睹着大名鼎鼎的希尔伯特 的思考过程时，时常惊讶地发觉：许多很容易被理解的想法，希尔伯特却理 解得特别慢。他常常听不懂报告人的意思，甚至有时几乎所有到会的人都出 来帮他理解报告人的意思。然而希尔伯特却认为：“我之所以能在教学上做 一点工作，就是因为我总觉得它特别难。在我阅读或听别人讲解某些伺题时， 常觉得它很难理解甚至不可能理解。这时便想，这些问题可否化简些呢？往 往，我终于弄清楚了，这实际上是一个更简单的问题！”
1922年1月23日，希尔伯特的60岁寿辰，德国《自然科学》周刊为希 尔伯特出版了纪念专辑。专辑以希尔伯特最早的学生奥托·布鲁门萨尔的文 章开头，他几乎在整整四分之一世纪的时间里对他这位“学父”进行了深入 细致的观察。布鲁门萨尔在文章中概括了希尔伯特的科学生涯和个人特质： 希尔伯特的研究生涯发祥于对具体问题的研究；他在科学生活中最显著的特 征就是不落窠臼地继续前进，一个问题刚解决，就毫不停顿地往另一个问题 进击。人们真的把他看成是一个全能的数学家，问题的解决者和纯粹思维的 化身。除了布鲁门萨尔之外别的学生的文章介绍了导师从事研究的五个主要 领域——代数、几何、分析、数学、物理和数学哲学。
同年，希尔伯特在一次纪念魏尔斯特拉斯的会议上，发表了著名的题为
《论无限》的演说，虽然他还在为数学而奋斗着，但这位战士的健康已不如 往昔了。
他仍然希望能实现他的使物理学公理化的宏愿，不过在其助手看来，他 已不再是位传奇式的“伟大思想家”了。他已经开始显露出早期衰老的迹象 ——不易接受新事物，对不少问题抱有成见，固执己见。但即便如此，他与 年轻人之间仍然保持着极密切的联系。1924年，24岁的冯·诺依曼对希尔伯 特的物理学和证明论思想产生的浓厚的兴趣使这两位年龄相差40多岁的数 学家一起度过了许多时光。
这段时期希尔伯特的真正合作者是贝尔奈斯。有时虽然两人因为学术观 点的不一致而激烈地争论，但希尔伯特从来不让学术上的争论影响他与助手 的个人关系。
1925年，希尔伯特的健康每况愈下。他患了恶性贫血，医生预计他最多 只能再活几个月。可希尔伯特乐观地认为自己的病并不严重，从没有中断过 工作，当体力不支时，他就把家里的餐厅当作讲演厅。1926年春，在病魔缠 身时，他预告了关于量子力学的第一次讲演。
幸运的是，美国人研制出的新药挽救了希尔伯特的生命。恢复健康后， 他又致力于数学基础的研究了。1927年，他再次访问了汉堡，总结和发展他 5年前曾在这里论述，之后又一直为数学界热烈探讨的关于数学基础的思想 的争论。
1928年8月，意大利数学家在筹备1912年以来的第一次正规的国际会 议时，向德国的数学界发出了邀请。因为战后德国数学家一直没收到任何国 际会议的邀请，所以这次许多人都不愿参加。可是希尔伯特虽然旧病复发， 仍毅然率领一个由67名数学家组成的代表团出席了会议。在他看来，“为了 我们无比热爱的数学科学的繁荣，我们应该这样做，并且也只能这样做。”
“任何形式的限制，特别是民族的限制，都是同数学的本性不相容的。在科 学研究中人为地制造民族或种族的隔阂，是对科学极端无知的表现。”“数 学不分种族，……对于数学来说，整个文明世界就是一个国家。”
1930年希尔伯特达到了规定的教授退休年龄——68岁，哥廷根弥漫着期 待和惋惜相交织的又苦又乐的气氛。因为1925年6月克莱因的逝世和现在希 尔伯特的退休结束了哥廷根老的数学体制。人们已经普遍认为，如果说已经 证明库朗是新一代的克莱因，则魏依尔就是希尔伯特的理想继承人。
1929年至1930年冬季学期，希尔伯特讲授了他的“告别课程”。讲课 的主题追溯到他成名的基础——不变量。这年，他还带了一名美国学生取得 了博士学位。
1930年，希尔伯特获得的荣誉像雪片般飞来，其中最使他高兴的似乎来 自他的故乡。哥尼斯堡市政会表决授予她著名的儿子以“荣誉市民”的称号。
荣誉市名称号只是在公开的集会上授予的。希尔伯特此时的头发差不多 完全秃了，学者风度的宽阔额头跟那纤细的下巴相对照，越发比过去鲜明了； 唇下的白须和小巧的上髭修剪得整齐匀称，他透过那副人们熟悉的无边眼镜 注视着观众，蓝色的双眼依然锐利而深含探索之情，眼神还是那样天真烂漫。 他的讲演充满了哲学味道，他以“认识自然和生命是我们最崇高的职责”开 始了他的演说，演说的最后，他铿锵有力地说：“我们必须知道，我们将知 道。”这位数学家在他一生的科学生涯将结束时，又一次宏亮地维护了纯粹 数学。
然而，几乎就在希尔伯特作演讲的同时，有位25岁的哥德尔在一项高度 创造的工作中，证明不能用数学的证明去确立数学的相容性。这说朋希尔伯 特从本世纪以来一直花费着极大努力追求的目标落空了。这对希尔伯特简直 就是当头一棒，顿时，他十分生气和灰心。但是，紧接着他又开始尝试用建 设性的方法讨论这个问题，年已古稀的他竟然还具有对自己的研究计划作重 大改变的毅力，这使得人们，尤其是他的助手贝尔奈斯为之深深感动。1931 年，通过进一步的研究，希尔伯特发表了两篇“超穷归纳法”方面的文章。 而且，他在退休之后仍定期去大学讲课。
1933年1月，希特勒上台不久，学校接到命令：要辞去校中所有从事数 学工作的纯犹太血统的人。希尔伯特一向彻底地献身于他的科学，从不允许 民族的、性别的或种族的偏见渗杂进去。然而眼下，最后通牒还是落在了这 里，眼看库朗、埃米·娜脱、贝尔奈斯，那么多朋友被迫离去，希尔伯特心 烦意乱之极。同年夏天，哥廷根几乎只剩下他一个人了。这对希尔伯特无异 于最沉重的打击。但他努力自费留住了贝尔奈斯当他的助手。他俩合作写成 了《数学基础》的书稿。在贝尔奈斯的帮助下，他指导了两个学生通过了博 士考试。到此为止，已共有69名数学家在他的门下获得了学位。到了1934 年春天，时局越发不利于犹太人，但希尔伯特夫妇仍旧坚持直言不诲的态度， 这使得朋友们对希尔伯特夫妇的安全深为担忧，当贝尔奈斯也不得不离去之 后，他们也沉默了。
1938年，希尔伯特在住宅里举行了最后的一次生日宴会，只有几位老朋 友出席，那时他夫人的眼睛正在渐渐失明。
1939年，瑞典科学院将首次米塔格——莱福勒奖授予了希尔伯特和埃米 尔·皮卡。皮卡在巴黎一次盛宴上愉快地接受瑞典科学院使者的奖品和热情 的颂词。而希尔伯特只是在哥廷根的一家小客栈里一声不响地听这位使者颂 词并接受了奖品。不多时，希尔伯特将那部装帧精致的72卷的米塔格——莱 福勒 《数学学报》转让给了另一位数学家。
1942年，希尔伯特没有举行80寿辰的聚会。柏林科学院决定纪念希尔 伯特的这次生辰，给他那本 《几何基础》以特殊的荣誉。就在这项决定的当 天，希尔伯特在哥廷根的大街上跌倒了，摔断了胳膊。
1943年2月14日，希尔伯特永远地闭上了他那双深邃、智慧的眼睛， 终年81岁。只有十来个人参加了在他起居室举行的简单的丧礼。丧礼后，他 被安葬在河边的墓地，克莱因也长眠于此。
希尔伯特逝世后， 《自然科学》杂志作了这样的评述：
世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作 的。希尔伯特像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那巨 大显赫的名字。诸如希尔伯特空间，希尔伯特不等式，希尔伯特变换，希尔 伯特不变积分，希尔伯特不可约性定理，希尔约特定理，希尔伯特公理，希 尔伯特子群，希尔伯特类域，等等。
数学史家在研究19世纪和20世纪前半叶的数学发展时，会毫不犹豫地 发现：那个时期好几个数学分支趋于严格的发展，都是极大地受惠于希尔伯 特的成果。
希尔伯特一生中的最后一件重要工作虽然受到了哥德尔的工作的打击， 但他为把数学从矛盾中解脱出来并使人们获得自由的观念，无疑击败了对手 所主张的缚人手脚的构造主义思想。这一点连哥德尔也不得不承认。
1950年，当美国数学会请赫尔曼·魏依尔对20世纪前半叶的数学历史 作总结时魏依尔说：希尔伯特在巴黎数学会上提出的问题“是一张航图”， 过去50年间，我们数学家经常按照这张图来衡量自己的进步。
到了今天，你还会在哥廷根希尔伯特墓地上空听到他永不停息的乐观主 义的回响：
“我们必须知道，
我们必将知道。”
中外科学家发明家丛书：肖莱马
一、肖莱马的生平
在德国西南部的黑森州，有一座重要的工业城市——达姆斯塔德市。1834 年9月30日，近代有机化学的奠基人之一——卡尔·肖莱马就诞生在这座城 市里。
美丽的莱因河与它的支流美因河流经黑森州，给黑森州带来了滔滔的水 流与秀丽的景色。州内美因河畔的不少城市，比如：法兰克福、卡塞尔、威 斯巴登与达姆斯塔德等，都是德国著名的工业城市，盛产钢铁、煤炭以及化 工产品。达姆斯塔德是当时黑森州的首府，离此地几十公里的法兰克福与路 德维希港，是德国最大的两个化学工业中心。
肖莱马的父亲约翰逊·肖莱马，是达姆斯塔德城的一位木匠，母亲罗斯 是一位勤劳而纯朴的家庭妇女。他们两个人先后生育了9个子女，其中卡 尔·肖莱马是老大，这一大家子的生活都要靠父亲的辛勤劳动去维持，由于 人口多，所以日子过得很艰苦。父母亲都没有什么文化，因此他们明白有文 化的重要性，平时节衣缩食积攒了一点钱，陆续地送孩子们上学。卡尔在自 己家附近的一所小学读书，小小的他深知父母的心愿，他努力地学习、读书， 成绩总是在班里名列前茅。而一放学，他就急急忙忙地赶回家中，帮母亲干 家务活；照料弟弟妹妹们，他把白天在学校发生的各种各样的事情编成小故 事或笑话，讲给弟妹们听，弟妹们聚精会神地听连眼也不眨，有时又不禁“咯 咯”地大笑。但他的作业呢——早已经在学校做完了。
小学毕业后，12岁的卡尔进入了本城的实科初级中学读书。随着年龄的 增长，他更加懂事了，学习也更刻苦了；只要家里没有太多的事，他的时间 准是用在了学习上，所以他连年是优等生。在领悟了老师所教内容以后，他 常常会想到下一部分的内容，看书看不懂的内容他就去问老师，有些问题的 提出，往往会超出他所学的范围；但老师非常喜欢这个勤学好问的学生，因 此卡尔的问题每次都会得到满意的答案。
在学好各门功课的同时，肖莱马还非常关心那些学习上吃力的同学。他 自己学习成绩很好，但从来没有看不起那些学习上不如他的同学，他常与这 些同学在一起学习、游戏，无论谁遇到了问题，他都会耐心、细致地给予讲 解。一遍不懂就再讲一遍，直到同学的问题完全弄明白为止。学习优秀、对 同学无私帮助，使肖莱马在同学们中间有很高的声望；老师们也都很喜欢这 个品学兼优的好学生。
日子过得飞快，转眼4年过去了，肖莱马16岁时，从初级中学毕业了。 这时，父亲认为肖莱马已经长大了，应该找个工作为家里分担一些困难了； 肖莱马本人很理解父亲此时的心情，望着父亲那日益苍老的面容与逐渐成长 的弟妹们，肖莱马也决定不再上学而去找份工作来补贴家用。老师们了解到 这种情况后，就来到了肖莱马的家中，与约翰逊进行了交谈，他们认为如果 此时就让肖莱马工作而不继续学习，那会埋没肖莱马的天才，以后的科学界 也就会少了一颗明亮的新星，因此，最好还是继续让他上学。肖莱马的母亲 也是这个意见。在他们的共同劝说下，父亲与肖莱马改变了主意，肖莱马准 备进入高级学校继续学习。经过认真的考前准备，他考入了本城的高级职业 学校。
在职业学校的前两年半时间里，肖莱马进一步学习了语文、数学、历史 与博物学；在最后一个学期里，他又学习了物理学与化学。在这三年的时间 里，肖莱马继续保持他勤学好问的优点，因此他各科的成绩都很出色，尤其 在物理学与化学两门学科中，成绩都是全班第一。在最后一个学期里，他迷 上了化学，整天泡在学校的化学实验室里，沉醉在内容丰富的化学实验中。 熟能生巧，学期末，肖莱马在实验操作上已经表现出了高超的技巧。
肖莱马生活的达姆斯塔德市，有“化学家摇篮”之称，比如著名的有机 化学家李比希（公元1800—1873）、凯库勒（公元1829—1896），都是在这 个城市出生，而离此城不远又有法兰克福市与路德维希港两个化学工业中 心。因此，无论从历史传统与所处环境来看，都会对一个立志于化学的年轻 人有很大的促进作用，而19岁的肖莱马正是这样的一个年轻人。
1853年，肖莱马从高级职业学校毕业。此时摆在他面前的有两条路：一 条是继续深造，学习自己喜欢的化学；另一条就是走入社会，找一份工作以 分担家庭的贫困。经过仔细思考以后，肖莱马实在不忍心让已年迈的父母再 为自己的学费操心了，所以他想暂时放弃深造的机会，找份工作以糊口，但 他又真的舍不得已经深深吸引他的化学。因此，他找到了一条折衷的方法， 选择了与化学研究最接近的制药行业。因为在那时，药房中的许多药物都是 自行制备的，而在药品的制备过程中必然会涉及到使用化学制剂与化学设 备，为此就需要药房的工作人员要有相当的化学知识，并要不断地学习与研 究化学。
这样，在1853年，肖莱马来到乌姆施塔德城的“林登堡药房”，当上了 学徒工。乌姆施塔德城是个山清水秀的地方，在城外有覆盖了各种树木的高 山。喜好观察与研究的肖莱马，经常在此地登山远足，同时采集了许多植物 标本，对于药用植物，他更是潜心研究，由此，他打下了广泛的植物学知识 的基础。这些知识对于他在以后关于药物学与化学的研究，起到了极大的帮 助。
野外考察的同时，肖莱马还利用药房便利的实验条件，进行了广泛的化 学实验与物质分析，这些都为他的化学研究打下了坚实的基础。两年半以后， 他的学徒期满，经过考试取得了药剂师助手的资格。
不久，肖莱马离开了乌姆施塔德城，来到了古老的德国城市海德堡，在 这里的一家“施万药房”当配药助手。工作之余，他经常去海德堡大学旁听 著名化学家本生（公元1811—1899）的化学讲座。用后代人的评论来说：“本 生的讲课对肖莱马的影响是如此之大，以至他决定放弃配药助手的职业，而 渴望研究化学知识的心情久久不能平静下去。使他终于去了基森大学，为的 是系统掌握实验知识。”
1859年春，被化学研究强烈吸引的肖莱马，考入了著名化学家李比希正 在执教的基森大学化学系。他在李比希的学生威尔教授的指导下，学习了为 他后来的研究打下初步基础的分析化学课。肖莱马的一位大学同学，后来成 为著名制药师的施克里伯回忆这时的情况时说道：“肖莱马与我是夏季学期 的同学，我研究制药，他则专心研究基础化学。我们是在实验室里共同工作 时认识的。在那以后，我们相互交换心得，很快就成为了知己。与肖莱马相 处的那段日子，是我年青时最美好的时光，因为他是一位可亲而又可信的朋 友……肖莱马学习非常努力，对自己要求很高；在我们的同学中，他对化学 专业的掌握是最好的。但他对别人极其谦逊，同学们对他有求，他都必应； 他为人很热情，在化学实验时，他能够帮助别人知道自己的分析哪里有缺点， 定量分析计算时哪里有错误。他对我个人有很大帮助。当时威尔教授很赏识 他的知识与为人，所以常让他在实验室中作些个人的额外工作。”
