我所思兮在太山、欲往从之梁父艰。恻身东望涕沾翰。美人赠我金错刀， 何以报之英琼瑶。路远莫致倚逍遥，何为怀忧心烦劳？
以下3章用同样的格式，反复写他“所思”的美人在泰山、桂林、汉阳、 雁门等远方；都因有着障碍而无从致意，于是愁思不已。这篇《四愁诗》看 似怀人之作，实际上却是寄托着作者政治上的怀抱。
据后人所写的《四愁诗序》称：“时天下渐弊，郁郁不得志，为《四愁 诗》。依屈原以美人为君子，以珍宝为仁义，以水深雪氛为小人。思以道术 相报，贻于时君，而惧谗邪不得以通。”这说明《四愁诗》在思想内容上深 受爱国诗人屈原的《离骚》的影响。张衡希望汉朝皇帝能够励精图治，正直 的人能够掌握朝政。可是东汉的现实情况跟他的希望相反，因而张衡在诗中 反复咏叹忧国伤时的苦闷，并且表达了对政治理想的积极追求。《四愁诗》 在表现形式上巧妙地运用了比兴的手法，表现了很高的艺术水平。郑振铎先 生曾说：“张衡《四愁诗》之不朽，在于它的格调是独创的，音节是新鲜的， 情感是真挚的，杂于冗长浮夸的无情感的诸赋中，自然是不易得见的杰作。” 这可以说是很恰当的评论。
张衡任河间相时已经是60岁的老人了。他处在黑暗政治势力的包围中， 一方面同情广大人民的疾苦，想改善政治，却无法实现；另一方面忧虑汉朝 政权被倾覆，担心国防的危机，屡次向皇帝建议裁抑宦官奸佞，但丝毫不见 采纳。在这样的情形下，张衡已经对改革图强不抱希望。在顺帝永和3年（公 元138年），张衡上书给皇帝请求免官去职，回归故里。他在这时候写的《归 田赋》中，表明了弃官归隐本来不是他的素愿，只因为自己的政治理想得不 到实现。他指出“天道之微昧”以及对东汉统治者的彻底失望，把热中利禄 的人讽刺为“贪饵吞钩”。这篇只有两百多字的短赋，充分表露了作者对于 恶浊现实的不满情绪，不过也流露了作者“独善其身”的消极的逃避现实的 思想。
张衡辞职还乡的请求并没有获准，永和3年 （公元138年），已经61 岁的张衡又被调回京城，担任尚书的职务。尚书是东汉朝廷中帮助皇帝处理 政务的头等大官，职权相当重。但是在外戚和宦官把持政权的局面下，尚书 们只是他们发号施令的工具。所以张衡虽然在尚书台里接触到更多的实际政 治问题，却不可能有什么作为。此外，随着接触的政务的日益增多，张衡愈 加明白了当时政治腐败的实际情况，更加悲观失望。由于思想上极为苦闷， 张衡任尚书不到一年，便一病不起。永和4年 （公元139年），也就是张衡 任尚书的第二年，这位年仅六十二岁的伟大的科学家便在悲观失望中与世长 辞了。
张衡的好朋友崔瑗称赞张衡说：“道德漫流，文章云浮。数术穷天地， 制作侔造化。”这是对张衡的比较全面的评价。张衡在他的一生中，勤奋学 习，刻苦钻研，“如川之逝，不舍昼夜”。他注重实践，善于接受前人的遗 产而又不为传统所束缚，既有实事求是的科学态度，又有敢想敢干的首创精 神，因而成为一个博学多才，广有成就的伟大科学家。张衡一生为我国科学 文化做出了卓越贡献。张衡自然科学和文学方面都获得了重大成就，特别是 天文学名著《灵宪》的创作和浑天仪、地动仪的发明，达到了当时科学研究 上的光辉的顶点。此外，在张衡的身上我们还可以学到很多，例如他不慕名 利，不为外界的冷嘲热讽所动摇，踏踏实实钻研学问的精神；张衡始终坚守 的“不耻禄之不伙，而耻知之不博”的求知信念；以及张衡“虽才高于世而 无骄尚之情”，虚怀若谷的谦虚的致学态度；尤其难能可贵的是张衡在盛行 谶纬的东汉时代，能够勇敢地站出来捍卫真理，同封建迷信坚决地做斗争。 这些高尚的品质对一个封建社会里的科学家来说是极为难得的。
当然，张衡也和其他封建科学家一样，在他的著作和思想上不可能不留 有时代的痕迹，体现出一定的时代局限性，存在这样或那样的一些错误的东 西，但是这无损于张衡对中国乃至世界科学文化所做出的卓越贡献。1800多 年来，张衡一直受到人们的敬仰和怀念。今天，月球上有以他的名字命名的 环形山，宇宙间也有以他的名字命名的星星。
解放后，中国人民对于在祖国历史上有过实际贡献的人物以及他们在各 方面的成就，给予了应有的评价和重视。1955年，全国专门发行了一套纪念 古代科学家的邮票，其中就有张衡；1956年，河南南阳县重修了张衡的坟墓 和墓后的“平子读书台”；在高大的古墓周围砌了围墙，前面原有的两座碑 记也加了碑楼。郭沫若同志在新立的墓碑上题词赞颂说：
如此全面发展之人物，在世界史中亦所罕见。万祀千龄，令人景仰。
作为历史上一个杰出的科学家，张衡获得了人民给予的极大荣誉。
中外科学家发明家丛书：朱载堉
一、生平和著作
朱载堉 （yù）是我国明代杰出的自然科学家、律历学家、音乐家，同时 也是一位愤世嫉俗的诗歌作家。科学家的冷静头脑和艺术家入世激情在这位 天才人物的身上构成了一个不可思议的、相依并存的、和谐的同一体，使他 的成就达到了明代自然科学和艺术科学的顶峰。
朱载堉，字伯勤，号句曲山人，嘉靖十五年（公元1536年）生于河南怀 庆府河内县 （今河南沁阳县）。他是明宗室郑恭王朱厚烷之子，朱元璋的9 世孙。
按《河南通志》记载，朱载堉“儿时即悟先学。稍长，无师授，辄能累 黍定黄钟，演为象法、算经、审律、制器、音协节和，妙有神解。”他自幼 聪明伶俐，在数学和音乐方面有着过人的天赋。他称自己：“少嗜音律，长 而益得其趣，是以乐学之说颇异于众。”又说他在20岁左右，就非常喜欢读
《性理大全》、《律吕新书》、《洪范》、《皇极内篇》等数学著作，每次 阅读：一面口中背诵，一面在纸上计算，研究这些书的时间长了，也就能领 会书中的数学要旨。
虽然《明史·诸王列传》中对他的生平记载很少，但沁阳民间却流传着 有关这位王子的大量传说和故事。据说，朱载堉出生时，他的母亲高妃怀胎 已经11个月。正当家人为高妃迟迟不分娩而犯愁的时候，宫前飞来一只凤 凰，边舞边鸣。府里的人都认为是个好兆。果然，高妃一高兴，朱载堉便出 世了。可是，朱载堉极会哭闹，常常夜啼，使家人不得安宁。有一天，他父 亲郑恭王为缓解孩子的哭闹，吹起了箫，谁知朱载堉一听到箫声就停止啼哭。 从此，箫管成了终日陪伴他的宠物。
关于朱载堉求学，有过一个故事。那年礼部尚书何塘告老还乡，在沁阳 天鹅池畔建了一座“景贤书院”，公开招收弟子授读，应试者络绎不绝。当 时应试儿童都由父母带领前往，唯有朱载堉独自前来。何塘问他怎么独自一 人，他回答：“家有父母，校有师尊，咋能说独自？”何塘听了很高兴，又 问他年纪多大，叫什么名字。他说：“童生八月荷月满，若年足十不差三”。 落款“乐乐乐”。何塘沉思片刻后，解释道：“小小顽童7岁半，以乐（yuè） 为志律当先，乐（lè）在其中性且直，光华焯乐（shuò）在来年。”之后，何 塘十分赞赏朱载堉的才华，将自己的学识毫无保留地传授给他。
朱载堉对音乐特别敏感。据说年少时有一次在山上游春，突然听见琴声。 他寻声找去，才知道是山弯小溪水珠下滴在岩石上发出的声音。后来，他怎 么也忘不了这“水琴声”。有一天他的书童打碎了一只碗，碎碗的声音唤起 了他用几只装水的碗组成乐器来演奏“水琴”的灵感。后来他从事著述和作 曲，也往往与水琴声相关。
孩提时代的朱载堉好学多问，但也常常提一些常见而又不易知其所以然 的问题来诘难老师。比如，“古琴为什么是七根弦”；“箫一管一音，笙那 么多管长短不齐为什么也吹一音”等，老师常被他问住。
当然，传说毕竟只是传说，不是真实的历史记载。但是，数百年过去了， 这些故事依然流传，足见这位王子给人们留下了多么美好的回忆和沁阳人民 对他的尊敬。
朱载堉的父亲朱厚烷笃信儒家学说，因此，他和好道教、奢侈至极的嘉 靖皇帝在思想观念上有极大分歧。他不仅不给朝廷进香，还上书规谏嘉靖皇 帝，言词恳切、直率。皇帝不听劝告，反而以为朱厚烷有意毁谤和嘲笑他， 于是将那个为朱厚烷送规谏书到京的使者治罪下狱。就在这时，朱厚烷的叔 伯朱祐橏为了夺取朱厚烷郑恭王的爵位，乘嘉靖皇帝对厚烷恼怒之际，上书 诬告厚烷有40条叛逆之罪。朱厚烷也不甘示弱，告祐橏预谋夺爵、纵恶殃民。 朝廷经过一番调查后，对朱祐橏仍为庶人，而将朱厚烷削去爵位，并将其禁 锢在祖籍安徽凤阳。那年是嘉靖二十九年 （1550年），朱载堉才15岁。
朱载堉对父亲无罪而被拘囚，十分愤恨。他在王宫门外修建了一间土屋， 以稻草为席子独自居住了19年。在这段漫长的独居生活中，朱载堉潜心攻 读，发愤著述。嘉靖三十九年（1560年），他完成了第一部音乐学著述《瑟 谱》。在《瑟谱小序》中，他自称“狂生”，署名为“山阳酒狂仙客”。
世宗朱厚熜死后，穆宗朱载堉嗣帝位，朱厚烷得到了平反。隆庆元年（1567 年）正月恢复了朱厚烷郑恭王的爵位，同年4月，恢复朱载堉的世子冠带。 第二年，朱载堉结束了独居生活，搬出了土屋，回到郑王府，这一年他 33 岁。
完成《瑟谱》后的20余年，朱载堉对音律、历法，“志之所好、乐而忘 倦”，先后写下了 《律学新说》、《律吕精义》、《乐学新说》、《算学新 说》、《圣寿万年历》、《万年历备考》、《律历融通（附《音义》）》、
《操缦古乐谱》、《旋宫合乐谱》、《乡饮诗乐谱》、《六代小舞谱》、《小 舞乡乐谱》、《二佾缀兆图》、《灵星小舞谱》等大量著作。步入晚年，他 仍勤于著述， 《律吕正论》、《律吕质疑辨惑》、《嘉量算经》、《圜方勾 股图解》、 《醒世词》和疑已佚散的《韵学新说》、《切韵指南》、《先天 图正误》等陆续问世。另有十余种著作，汇集成《乐律全书》。
万历19年 （1591年），朱厚烷病逝。按照传统，朱载堉应该继承爵位， 而他却上疏，要将爵位让给曾与其父结下怨仇的堂兄弟朱载玺。朱载玺也就 是当年诬告朱厚烷有叛逆罪，致使其在高墙内被禁锢19年之久的祸魁祐橏的 孙子。
朱载堉在万历二十三年至三十四年 （1595—1606年）间的11年中，在 继续从事著作的同时，还致力于雕板、印刷、装订自己的著作。万历三十四 年 （1606年）7月，《乐律全书》印刷告竣，朱载堉写了《进律书奏疏》， 将五部印成的 《乐律全书》进呈朝廷。
就在进呈《乐律全书》的同一年，朱载堉经过15年的“累疏恳辞”，神 宗皇帝同意他把王爵让给朱载玺。让爵一事，在当时的社会中极为罕见，更 不用说让爵给仇人了。一个封建时代的王子，即使没有什么学术贡献，仅其 让爵的风格也足令后人肃然起敬！
朱载堉让爵后，迁居到怀庆府城外，自称道人，仍“务益著书”。万历 三十九年（1611年）逝世，享年76岁，葬于九峰山之原，谥号端清。
以下将分别叙述朱载堉的学术成就。
二、创建十二平均律
朱载堉最杰出的贡献就是创立了“新法密率”，即十二平均律。
十二平均律是现在全世界音乐界应用最普遍的一种律制，西方把它作为
“标准律制”。十二平均律是一种数理调音体系，它把八度精确地划分为十
12
二个半音，每半音的音程值为2 的12次方根，即 2。按音分计算，八度为 1200音分，十二个半音间各为100音分。虽然这种调律是人为的，但它丝毫 不影响人的听觉，用这种律制制成的乐器，特别是键盘乐器，可以任意旋宫 转调。因此，它的出现对于音乐体系的完善、音乐思维的发展和乐器演奏功 能的提高等都具有极大的影响。
今天看来，十二平均律并不是十分深奥的理论，但在东西方音乐史上却 经历了漫长的过程，才确立了这种律制。特别是在中国律学史上，朱载堉以 前的律学家们曾为此付出过艰辛的劳动，却没有能够解决问题。为了充分阐 明朱载堉创立十二平均律的的伟大意义，有必要对中国律学史作一简短的回 顾。
律学也称音律学或乐律学，这是声学的一个分支学科，是研究发声体发 音高低比率的规律和法则的一门学问。因此，自从有了音律规范就有了律学。
在我国古代音乐史上有三种律制：三分损益律，纯律和平均律。
三分损益律是在中国音乐史上应用最广泛、理论发展最完备的律制。三 分损益法是这样来决定各律数值的：将第一个音、即起始音的弦长分为三份， 去其一份为之损，加上一份为之益。在数学上，去其一份即将起始音弦长乘 以2/3，加一份即将起始音弦长乘以4/3；以起始音的弦长乘以2/3，得到次 律；再将次律乘以4/3，又得次一律；再乘2/3，……依次乘十二次，就可以 完成一个八度中的十二个律的数值计算。由三分损益法计算得到的各律，称 为三分损益律。因为三分损益律是乘以2/3，或4/3，而2/3即上生五度，4/3 即下生五度，所以三分损益法也就是西方所谓的五度相生法，三分损益律也 就是五度相生律，或简称五度律。
纯律，在中国古代并无理论，但有充分的实践应用。古代的陶埙，由于 模拟自然界中具有纯律倾向。先秦的编钟，在采用三分损益律的同时，也有 许多音程倾向于纯律，特别是在强调运用泛音微位的古琴中，纯律音程得到 充分应用。
但是，三分损益律与纯律都是不平均律。它们不能旋宫转调。这是因为， 依照它们的定律法得出的十二个音，音程大小不一。若要把它们应用到固定 音高的乐器上，并想在这种乐器中得到十二个高度不同的调，几乎是不可能 的。这些具有固定音高的乐器只能适用于和它们具有相同音程的音阶，只能 奏出某种调式。演唱者若有变调要求，乐器也要立即随之更换。音乐艺术的 发展，要求人们对音律加以调整和改造。为了达到旋宫转调的愿望，对平均 律的实践与理论探求，就一直成为人们心目中的奋斗目标。
汉代，著名易学家京房是追求平均律理想的先驱，他对“周而复始、旋 相为宫”的问题进行了探索。为了达到使黄钟起始律“回归本律”的目的， 京房在按“三分损益”的传统方法生律十一次后继续生律，直到六十律。京 房“六十律”所采用的是八度内音律制减少始末律间律差的方法。
以后，南北朝何承天为解决京房“六十律”对遗留的一个“微小音差”， 作了进一步研究，提出了新律制，即将三分损益律的古代音差平均分为十二 份，然后将这平均数 （0.01）累加到十二个律上，使十二律在差部分形成一 个等差数列。这样，他在长度计算音律方面实现了旋宫的愿望，其效果很接 近十二平均律，一般人的听觉几乎不能辨别其间的差别。但它仍然不是真正 的十二平均律。因为十二平均律是一种等比律，而何承天的新律只是在特定 长度内的等差律。
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在何承天之后，隋代的刘焯打破了三分损益的传统，他以系数 n构成
7 振动体长度的等差数列，企图以此达到旋宫的目的。实际上，刘焯不仅不能 旋宫，而且十二律的音高也混乱了。虽然如此，他大胆地违背三分损益的定 律法却是个创举，他为后人创建平均律提供了一个可贵的失败的例子：以等 差数列的方法不能完成平均律。
五代时，律学家王朴也曾从“加减进退”的方法来缓解十二律不能“周 而复始”的矛盾；宋代蔡元定也提出“十八律”来求得黄钟“回归本律”。
在平均律的探索史中，我们要特别提出这样一种思考方式：三分损益法， 即2/3，4/3，人们可以将这二个分数改写为50/75，100/75；或者500/750， 1000/750，因为它们都是等效的。但是，如果将后两个分数中的分母作适当 的调整，即将其分母减去1，使之成为500/749，1000/749。这样一来，三分 损益律就倾向于平均律了。我们暂且把这种定律法称之为“749定律法”。
《淮南子·天文训》中定黄钟数81，计算中取整数值，它所计算得到的十二 数值与三分损益法稍有不同。朱载堉对此作了详细验证，其结果是，《淮南 子》或者采用了4舍5入的简便方法，或者采用了“749定律法”。因此， 朱载堉指出，平均律的定律思想，“非自古所未有，疑古有之，失其传也”。 这一有关平均律的起源问题，是朱载堉最早发现的。
朱载堉没有遵循“749定律法”这条思维线路而创建十二平均律，而是 打破了传统的律学思维和方法，提出了新的数理概念和计算法，创立了“新 法密率”——一十二平均律这一划时代的律学理论，解答了千年来的律学命 题，不仅给中国古代律学史的终端画下了一个圆满的句号，而且也为世界音 律学理论开创了一个新篇章。
朱载堉创建新法密率时，提出了音与数的辩证关系，认为音与数要相吻 合，但又不可执一，之间可以变通。这就为他不用三分损益法提出了理论根 据。
朱载堉十二平均律理论的创立是合理的和必要的。一方面，由于“平均 律”命题的发生和近千年来不断地追求和探索，反映了古代律学家的强烈愿 望，对它的解答是必然的；另一方面，在中国封建社会晚期的明清两朝，学 术界通过表面的复古形式，对大量的古代经典进行整理、鉴别和考证，引起 了对传统文化的怀疑、批判和再认识。朱载堉对传统律学的重新认识、理解 和总结，以及进一步批判和扬弃以往律学从未摆脱“三分损益”生律法来追 求“平均律”的思维方式，正是在这样的历史背景下萌发起来的。
关于新法密率，朱载堉在《律吕精义》中清楚地写道：度量长度的标准 尺是起源于黄钟律的长度，因此黄钟正律的长度，也就是长度标准的一尺。
2 设一尺的平方（100寸 ）为黄钟正律的冥数，那么，如果依勾股定律，以勾
2 2 10寸自乘，得100寸 为勾冥，以股10寸自乘，得100寸 为股冥。将勾股
2 二者冥数相加，得弦冥为200寸 。这样一来：
2 2
10 该值为南吕倍律的数值。再将南吕倍律之值乘以勾10寸，乘股10寸，得三 次乘积 （即立方积）数值；然后将立方积开立方，得：
3 4 12
10×10×10 2 = 10 2 = 1.059463 （尺） 该值为应钟倍律的数值。十二律黄钟为始，应钟为终，周而复始，循环不止。 这是自然真理，就像 《易经》八封中的贞后元生、坤尽复来一样。因此，如 果要计算十二律中某律的数值，只要以比某律高一律的数值乘以黄钟正律10 寸，再除以应钟倍律数10.59463……寸，就可以得到某律。其它各律依此类 推。那里会有往而不返，不旋宫的道理呢！
朱载堉将表示八度音程的弦长比2开平方、又开平方、再开立方，得到 了2的12次方根的数值1.059463……。这个值就是通常所说的半音，我国 传统说法称之为应钟律数。然后，朱载堉将八度值2连续除以应钟值，累除 十二次，就得到了相应的平均律中八度内十二个音的音高。因为朱载堉将八
12 12
度值2累除以 2 （应钟值），因此，这个平均律实际上就是以 2为公比数的 等比数列。朱载堉将这个公比数称之为“密率”。现在，我们将朱载堉“新 法密率”的详细计算结果列于下表中。
朱载堉的十二平均律
倍律
律名 正律
计算结果 计算方法 今日音名
12/2 2
黄钟 1 2 2 C
2 11/ 12 1
大吕 0.9438741.887748人们只要利用他的方法、甚至搬用他的数据结果，就可以制出所期待的任一 种符合十二平均律的乐器如钢琴之类，而不管人们愿意取黄钟宫音的绝对高 度是多少。
朱载堉还经过多次检验，证明了“密率”在理论上的严密性、科学性和 正确性。为了检证“密率”，朱载堉还研制了“均准”测律器，并亲自校点 笙来验证“密率”。同时，他还提出了“异径管律”理论，为了这项研究工 作，亲自动手种黍、裁竹制管。这些都是他重视律学实验的例证。正由于严 密、正确的数理思维方法和重视实验的治学态度，保证了朱载堉计算“新法 密率”的精确性和合理性。
朱载堉的“密率”体现了一代代中国律学家的愿望，完成了人们长达十 几个世纪的宿愿。这项成就，在中国音乐史、律学史以及算学史上都具有划 时代的伟大意义。但由于中国古代的五声单音体系、民族乐器的音律设置， 再加上朱载堉创立“密率”的个人意图等因素，在当时的中国音乐实践中， 对十二平均律的应用不是很迫切，所以朱载堉的新律在当时音乐实践中并没 有推广使用。更为遗憾的是，昏庸、愚昧的封建朝廷当时只关心“八股举士” 的科举，当其中包含着“新法密率”的《乐律全书》呈献给朝廷时，竟遭到 了冷遇。对此，朱载堉早有预料。他的“新法密率”就像那愚昧社会中将要 脱胎的孩子一样，躁动母腹，急不可待，仿佛就要堕地大喊。而母亲在兴奋 一时之后更多地却又害怕他的诞生，她自信腹中孕育着一位天才、伟人，但 她却要勒紧身带，并为他的未来忧心忡忡。在三分损益律被崇拜为神圣法则 的时代，新法密率的诞生确实使朱载堉愁过于喜。
朱载堉创造的如此伟大的业绩，就连《明史》也将其拒之门外。这颗科 学和音乐艺术的明珠，就这样被埋没在知识荒漠的王宫殿堂里。尽管朱载堉 在他的书中一再呼吁：新法密率“盖2000余年之所未有，自我圣朝始也，学 者宜尽心焉。”结果，在他的音律理论创建后一个半世纪，却招来了大量的 谩骂和攻击。他们不理解、不理睬，更不能容忍朱载堉的“密率”。在他们 看来，古人没有说过的不能说，古人没有做过的不能做；创立新说，提倡新 事，就都是臆说，是大逆不道，密率就是对传统律学的背叛和反对。为此， 密率被定下了“十大罪状”，结果朱载堉的十二平均率落得了“宣付史馆、 以备稽考、未及实行”的结局。在朱载堉之后的300年中，对这项重要发明 的问津者竟寥寥无几。
朱载堉创建的十二平均律，虽然在中国没有得到任何重视和应用，但它 一经传到西方，便引起欧洲音乐界的震惊。在西方，直到18世纪前半叶，德 国作曲家巴赫才分别于1722年和1744年创作了上下两卷的《平均律钢琴曲 集》，充分发挥了十二平均律的巨大作用，以创作实践证明了这个律制的合 理性和优越性。在此之前，西方音乐为了求得这一音律体系，付出了不亚于 中国律学家为此付出的心血，他们不仅在理论上，还在键盘乐器上作了大量 实验。这一体系在西方音乐史上的确立，具有很重要的意义，它开创了一个 时代的音乐语言和音乐风格，正当西方音乐家为他们的十二平均律理论和实 践的优越性感到自豪时，得知遥远的东方古国——中国早在1581年就有了十 二平均律理论——“新法密率”，他们对此惊讶不已。他们在这方面整整落 后了一个世纪！
德国声学家赫尔姆霍尔茨 （1821—1894年）这样说：“在中国人中，据 说有一个王子叫朱载堉的，他在旧派音乐家的反对声中，倡导七声音阶。把 八度分成十二个半音以及运用变调方法，也是这个有天才和技巧的国家发明 的。”那么西方发明十二平均律，会不会受到传播到西方去的朱载堉的密率 的影响呢？著名英国科学家李约瑟曾作过这样的评价：“朱载堉的著作曾经 得到很高的评价，他的理论在他的国家却很少付诸实践，这真是不可思议的 讽刺。……平心而论，在过去的300年间，欧洲及近代音乐确实有可能曾受 到中国的一篇数学杰作的有力影响，但是还没有得到传播的证据。与这个发 明相比较，发明者的名字是次要的。毫无疑问，朱载堉本人是第一个愿将荣 誉归功于另一个研究者的人，也是为要求优先权而最后与人争吵的人。第一 个使平均律数学上公式化的荣誉确实应归之中国。”
朱载堉在创立十二平均律理论的同时，又发现了以管定律与以弦定律的 差异，提出了“异径管律”论。这个理论实际上是一种管口校正方法。他在
《律吕精义》一书中指出，各音律以半音进入较高的次一音律时，管不仅要 缩短长度，同时要缩小围径，在规定各律管长度的同时，也必须规定律管内 径的大小。由于管与弦的振动发音方式不同，管的发音体是气柱，必须要测 定出气柱实际振动尺度与管的尺度之间的差数，也就是“管口校正”数，这 样才能正确地制造出所需要的律管。朱载堉在“异径管律”理论中，将他的 密率理论系统地应用在律管的管口校正上，成功地制造出了符合其理论的律 管。比利时声学家马容于1890年发表了一篇报告，他说依照朱载堉提出的律 管长度和内径数据，在黄钟的倍律（低八度）、正律和半律（高八度）上加 以实验，认为三律在八度关系上都符合要求，完全准确。
三、对乐器的研究
朱载堉以创建十二平均律和提出管口校正法而闻名，但他不仅是一个科 学家和音乐理论家，也是一位音乐实践家。其中最突出的，是他在乐器制造 方面获得重大成就。
朱载堉为了验证他的密率理论，特制了一架律准，即一个建立在十二平 均律基础上的弦定律器。在朱载堉之前，已有不少律学家制作了不同的律准 来研究律学，但以往的律准都是以三分损益律为基础的。朱载堉对它们作了 分析研究后，制造了一种新的定律器，它不仅在器具的表面刻有十二平均律 的数据，同时也刻上了三分损益律的刻度以资对照，将这种律学实验器推向 了一个新高度。更重要的是，这架律准既是调律器，也是世界上第一件建立 在十二平均律的理论基础上的弦乐器，它可以发音，不仅解决了数据的精确 度，也可当作乐器使用。遗憾是，这件宝贵的律准的命运同它的理论基础密 率和朱载堉的《乐律全书》一起，被束之高阁，没有在实践中得到应用。
为验证“异径管律”理论，朱载堉制作了36支律管。由于强调音律的精 确性和律管制作的精密度，他对律管的材料——竹管的选择作了十分详尽的 描述，如“大竹不堪用，惟用小竹长节者耳。”“甜竹最佳”，“新采湿竹， 使干极乃造，湿造则不佳”，等等。律管造出后，在实验时，有一个不可忽 视的条件：吹气要适当。朱载堉说：“吹时不可性急，急乃焦声，非自然声 也”。“吹律人勿用老弱者，气与少壮同，必不相协。然非律不协也。”在 这里，指出了吹气强弱对发音影响。它与现代科学知识是相符合的：当急吹 时，吹口处压强过大，管的另一端逸出的气流形成了涡流，而老弱者吹气不 足，吹口处空气压强过小，管的另一端甚至无气流逸出。这两种情况都对管 的正常发音有影响。
朱载堉不仅用竹制作律管，还制造了铜质的金属律管，为了保证制造过 程中的准确性，他写了一份类似现代工艺流程的报告，其中对沙模、焙干、 浇铸、钻孔、抛光和截断等有关技术问题一一作了解释和交代。在当时技术 条件的限制下，朱载堉能做到这样严谨，是非常了不起的。
朱载堉还致力于古乐器的考辨，做了不少去伪存真的工作。他揭示了古 管乐器篪的开孔方法，并详细记录下它的形状、规范。中国古代的编钟在先 秦时期已经完备。其独特的形状和结构，使一钟能发出两个基音，悬挂方式 也便于敲击。但是，从宋代起，竟不知编钟如何造法，应取何种形状。朱载 堉曾对历代的青铜钟做过大量研究，再次证明“古钟扁而不圆”，“甬于架 上侧垂之，以便于击。”他还指出了钟的调音方法：“钟声清则去其厚，浊 则去其长。”这个调音方法也是符合板振动基本原理的。磬是一种石制乐器， 它的历史要比金属制的钟久远得多。但古磬的形状和规范从宋代起也失传 了，朱载堉在考察古磬和宋代特磬中，提出一组磬乐器不仅要别以厚薄，而 且要“别以大小不等”之说，他认为“宋制非也”。他的看法是符合中国早 期的编钟实际的。
在乐器制造上朱载堉作出的最重要成就之一是处理笙的调律。据现代学 者研究，朱载堉曾在笙点校上进行密率的实验。朱载堉所造的笙虽然由于演 奏不便，而且他极力推崇雅乐音乐，因而没有得到流传；但他的调律方法几 乎与我们现代的钢琴调律方法相一致。他的这些贡献，都是应该大书特书的。
朱载堉在乐器学上的另一贡献是提出合理的乐器分类问题。传统的“八 音”分类以制作乐器的材料为依据。朱载堉认识到了这种分类法有归属不清 和不当之弊，而且不能明确表明乐器的发音特点和性能。他将传统的“八音” 为分三类，一类是“吹管乐器”，一类是“弹弦乐器”，另一类是“敲打乐 器”。这无疑是乐器分类法上的一大进步。
四、天文历法
天文历法是我国古代科学中发达最早和成就最大的学科之一，经过世代 天文学家的努力，天文历法工作不断取得进展。到元代，著名科学家郭守敬、 王恂等人在进行大量观测并吸取前人研究精髓的基础上，于1281年编撰了十 分精密的历法——授时历，从而把我国古代天文历法的研究工作推向了新的 高峰。可惜，明王朝建立以后，由于对天文历法的研究工作采取了极其错误 的政策，兼之墨守成规、不思改革的思潮泛滥，致使具有优良传统和雄厚基 础的天文历法工作失去了生机，迅速从光辉的高峰上跌落下来，进入了一个 停滞不前甚至倒退的黑暗时期。
明太祖朱元璋为了加强明王朝的封建统治，采取了一系列思想控制措 施，对于天文历法的研究，也制定了极其严厉的法律条例，不许民间私自习 历、造历，违者或充军或处死。
明代所采用的历法叫大统历，其实它就是授时历，仅改变了名字而已。 大多数历官只能依样画葫芦，穷于应付皇历的颁布。虽然在使用过程中，也 曾发现预推结果与实际天象不符的情况，但多无可奈何，不了了之。在朱载 堉提出改历之议前，也曾有人提出对历法作小修小改的意见，但由于提议者 本身学识肤浅，不能切中要害，更加上反对的势力强大，这些人多以大统历
“理数极精，古今历无过之者”为由反对改革祖宗之法，所以改历之事一直 束之高阁。这样年复一年，恪守旧法之风益甚，造成了官方历法研究死水一 潭的状况，用明孝宗的话说，已经形成了“朝士鲜知星历者”的可悲局面。
朱载堉正是这样的历史背景下，开始他的天文历法研究工作的。首先朱 载堉要冒很大的风险才能从事天文历法的研究，没有足够的胆识是不敢问津 天文历法这一禁区的。其次，朱载堉必须突破祖制不可变的思想藩篱，与盲 目迷信授时历或大统历的社会思潮相抗争。如果没有这样的精神，即使涉足 于天文历法这一领域，也将一事无成。再者，朱载堉面对着朝野人士对于天 文历法基本无知的形势，他必须从头开始，靠自己的努力，一点一点地学习、 摸索，以期解其术、通其法，进而“采众说之所长”，并力求达到“青出于 蓝而胜于蓝、冰生于水而寒于水”的新境界。为此，朱载堉不知付出了多少 辛勤的汗水。
朱载堉从研究史志所载各家历法入手，步入天文历法领域。通过刻苦的 学习和研究，先后编撰了两种历法——黄钟历和圣寿万年历。
黄钟历和圣寿万年历均取中国古代传统历法的经典形式。黄钟历共分九 篇，分别解决24节气、72候的计算；月朔和闰月的安排；每日日影长度、 漏刻更点和南中天星象的推求；日、月交食的预报，日、月五星运动的计算 及其在恒星间所处位置的预报等等天文历法问题。圣寿万年历与之大同小 异，共分八篇。这两种历法，除所设历元不同，和因此导致的若干天文数据 有所变化外，和授时历并无重大的差异。
从表面上看，黄钟历和圣寿万年历分别取万历九年（1581年）和嘉靖三 十三年（1554年）为历元。但实际上在进行各种历法问题的具体推算时，黄 钟历是以1581年前的300年，即1281年为实际历元，而圣寿万年历则是以 1554年前的4560年，即公元前3007年为实际历元。
黄钟历和圣寿万年历对授时历最有意义的修正，是关于回归年长度及其 古今变化的研究。
我们知道，回归年长度 （T）并非恒量，而是一个随时间而变化的变量， 任一年 （t）的回归年长度值可由下式表达：
T=365.24219878-0.0000000614（t-1900）
这是由现代天体力学推导出的理论公式。
在我国古代，关于回归年长度古大今小的概念，是由南宋天文学者杨忠 辅首先提出的，在他的统天历中，他建立了求任一年回归年长度值的公式：
T=365.2425-0.000002116（t-1195）
元代郭守敬等人，接受了杨忠辅的这一概念，并在他们的授时历中给出 了经过修正的新算式：
T=365.2425-0.0002t
式中t为以1281年起算的整世纪数。
朱载堉批判地继承了杨忠辅、郭守敬等人的成果，建立了回归年长度古 今变化的新公式：
在黄钟历中，设实际历元 （1281年）的回归年长度为365.2425日，
T=365.2425-0.00000175（t-1281）
在圣寿万年历中，设实际历元（公元前3007年—公元1554年前的4560 年）的回归年长度为365.25日，
T=365.25-0.00000175（t+3006）
这两个公式基本上是等价的，依之计算，T值仅有约0.000002日之差。
这样，朱载堉纠正了郭守敬等人回归年长度消长法的不当之处，在探索 回归年长度古今变化规律的道路上又迈进了一步。
在编撰黄钟历的过程中，朱载堉几乎对古代历法的所有重要问题都作了 评述，其心得载于《黄钟历议》之中。后来在编撰圣寿万年历时，他又对历 代冬至时刻、晷影测量和交食记录作了详细的考证，而写成《万年历备考》。 这些研究工作的方法，正如朱载堉自己所说的是：“辑名历五十家，倾心考 证，时刻分秒，期吻合于玑衡”，其目的则是“采众说之所长，羽翼大统， 广其未备”。
《黄钟历议》共有36篇，其中前12篇主要论述音律与历法的关系，后 24篇则论述历法的各种问题，并对地理纬度测量新法进行了探讨。
在编撰圣寿万年历的过程中，朱载堉又进行了许多天文历法的研究工 作。特别是对冬至时刻和交食的分析测算。冬至时刻的测定，也就是24节气 的测定，它与农业生产有较密切的关系。而交食是最明显的天象之一，其预 报准确与否，是检验历法的最可靠方法。朱载堉对这两个重要问题进行了深 入的研究，其成果就是《万年历备考》中收载的《诸历冬至考》、《二至晷 景考》和《古今交食考》等3篇专题论文。
朱载堉深知历法“欲求精密，则须依凭象器测验天文，积日累月，务得 其实，而后缀以算术，立为定法，方可成一代之懿制，传之万世而无弊也”。 可是，朱载堉所面临的现实却是“仪表之具，生来目所未睹，况能知其距度 之疏密，展次之广狭乎”。这无疑限制了朱载堉天文才能的施展。虽然如此， 朱载堉还是作了力所能及的努力，他动手制作了一些小型的天文仪具，设计 了新的测量方法，取得了很好的结果。朱载堉的天文历法工作不只在于历法 的编撰本身，还在于他吸取了先辈天文历法家许多宝贵的思想和成果，并加 以发扬光大，不但给当时处于凋零枯萎的天文历法界注入了生机，也为后世 天文历法的发展开拓了道路。
五、数学研究
由于朱载堉要确定律管的内外周、内外径、横截面和容积，圆周率取何 种数值，是一个很重要的问题。朱载堉在 《律吕精义》中叙述了“新法密率 算术周径冥积相求”之法，在这里，设径为d，周为I，面积为S，按照朱载 堉的说法，则径求周为：
