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医农学院

一、居安思危说（言文不拘，二百至四百字为限）

二、释下列一篇为白话：

士无英伟冠世之气，不足特起于末流；无痌瘝天下之心，不足泽被于一世。孟子曰：“我善养吾浩然之气。”周子曰：“志伊尹之所志。”是志也，气也，士之有振衰式靡之责者，不可一日而无者也。今夫气盖一乡，则一乡龌龊萎琐之习，有所不能染；气盖一国，则一国龌龊萎靡颓败之习，有所不能染；气盖天下，则天下龌龊萎靡颓败之习，有所不能染；惟其自立也高，故所见也远。及其显也，天下亦翕然从之。是故其意念之所经营，知虑之所擘画，皆然绝异于世俗之所为。当其未出，众日相与接，亦末由窥之耳。

三、衍下列一首为文言文或诗均可

刮了两日风，又下了几阵雪。

山桃虽是开着，却冻坏了夹竹桃的叶。

地上的嫩红芽，更僵了发不出。

人人说天气这般冷，草木的生机，恐怕都被摧折。

谁知道那路旁的细柳条，他们暗地里却一齐换了颜色。

文法学院

一、作文

全国学校共同校训释义

二、翻译：语体译文言

总裁说我今天可以明白的说在三年以前敌人妄想我们中国在华北对他不战而屈到三年后的今天我们就要使日本军阀在华南战场上不战而死乃至不战而败敌军现在军纪的颓败战斗精神的低落都出乎我们意料之外他现在所凭借者不过是他比较优势的武器但武器是要有战斗精神的部队来使用的现在国内经济危机日深外交彷徨无措毫无出路厌战反战的空气弥漫全国这种动荡不安的因素当然放映到前线士气的衰落我在去年五中全会时已经透彻论述敌人必败之道说他已经陷入挂行和死地处处都处于欲进不得欲退不能的地位自从他侵占南宁之后无论天时地利与人和上他更是陷于绝境了他的最后失败的时期必不远了我们只待他最后覆灭的时期到来加以一举而歼灭现在姑不论我们随时随地都给敌军以积极的不断的打击即使我们和他作消极的防御战我们亦可以使他们不战而死促进他最后的失败

国立暨南大学

一九四七年

一、作文

我从投考大学到毕业以后的全部计划

二、文言译语体

五代史冯道传论曰礼义廉耻国之四维四维不张国乃灭亡善乎管生之言也礼义治人之大法廉耻立人之大节盖不廉则无所不取不耻则无所不为人皆不知廉耻而至于无所不取无所不为则天下其有不乱国家其有不亡者乎然而四者之中耻尤为要故夫子之论士曰行己有耻孟子曰人不可以无耻无耻之耻无耻矣又曰耻之于人大矣为机变之巧者无所用耻焉所以然者人之不廉而至于悖礼犯义其原皆生于无耻也故士大夫之无耻是谓国耻吾观三代以下世衰道微弃礼义捐廉耻非一朝一夕之故然而松柏后凋于岁寒鸡鸣不已于风雨彼众昏之日固未尝无独醒之人也顷读颜氏家训有云齐朝一士夫尝谓吾曰我有一儿年已十七颇晓书疏教其鲜卑语及弹琵琶稍欲通解以此伏事公卿无不宠爱吾时俯而不答异哉此人之教子也若由此业自致卿相亦不愿汝曹为之嗟乎之推不得已而仕于乱世犹为此言尚有小宛诗人之意彼阉然媚于世者能无愧哉

三、语体译文言

灯下看《雁门集》，忽然翻出一片压干的枫叶来。

这使我记起去年的深秋，繁霜夜降，木叶多半凋零，庭前的一株小小的枫树也变成红色了。我曾绕树徘徊，细看叶片的颜色，当他青葱的时候是从没有这么注意的。他也并非全树通红，最多的是浅绛，有几片则在绯红地上，还带着几团浓绿。一片独有一点蛀孔，镶着乌黑的花边，在红、黄和绿的斑驳中，明眸似的向人凝视。我自念：这是病叶呵！便将他摘了下来，夹在刚才买到的《雁门集》里。大概是愿使这将坠的被蚀而斑斓的颜色暂得保存，不即与群叶一同飘散罢。

国立复旦大学

一九四七年

一、作文（任择一题）

君子自强不息说

过去与未来

二、测验（五题全作）

1．暴、景、区、唯，四字有几种读法？

2．原故、缘故、缘因、原因、因缘五词中，有正有误，试指出之。

3．解释敝、蔽、弊、币四字字意。

4．说明鐘与鍾、恃与持、儒与懦、蓝与篮之分别。

5．指出调济与调剂、锻炼与锻练、断片与段片、片段与片断之正误。

大夏大学

一九四七年

一、译下列文言文为语体文

文学之于人也，譬乎药。善服有济，不善服为害。或曰：圣人见一善，必汲汲慕之；夫丹朱商均，虽曰不肖，岂便毒于豺虎哉；何其嗣之远也！且善足以保身，不足以保天下，噫！丹朱商均苟非尧舜之子，一身且不保，况天下哉！

二、作文（文言语体任便）

富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈，此谓之大丈夫论。

光华大学

一九四七年

一、作文

欲修其身先正其心说

二、试将下一段文译作白话

景公出猎上山见虎下泽见蛇归召晏子而问之曰今日寡人出猎上山则见虎下泽则见蛇殆所谓之不祥也晏子曰国有三不祥是不与焉夫有贤而不知一不祥知而不用二不祥用而不任三不祥也所谓不祥乃若此者今上山见虎虎之室也下泽见蛇蛇之穴也如虎之室如蛇之穴而见之曷为不祥也

上海大同大学

一九四七年

一、顾亭林谓士大夫无耻为国耻，试申其义

二、欧战蠡测

任作一题

上海圣约翰大学

一九四七年

一、作文

自述为学方法

二、断句

叙曰古者庖牺氏之王天下也仰则观象于天俯则观法于地观鸟兽之文与地之宜近取诸身远取诸物于是始作易八卦以垂宪象及神农氏结绳为治而统其事庶业其繁饰伪萌生黄帝之史官仓颉见鸟兽蹄迒之迹知分理可相别异也初造书契百工以义万品以察盖取诸夬夬扬于王庭言文者宣教明化于王者朝庭君子所以施禄及下居德则忌也仓颉之初作书也盖依类象形故谓之文其后形声相益即谓之字文者物象之本字者言孳乳而浸多也著于竹帛谓之书书者如也以迄五帝三王之世改易殊体封于泰山者七十有二代靡有同焉周礼八岁入小学保氏教国子先以六书一曰指事指事者视而可识察而见意上下是也二曰象形象形者画成其物随体诘诎日月是也三曰形声形声者以事为名取譬相成江河是也四曰会意会意者比类合谊以见指撝武信是也五曰转注转注者建类一首同意相受考老是也六曰假借假借者本无其事依声托事令长是也及宣王太史籀著大篆十五篇与古文或异至孔子书六经左丘明述春秋传皆以古文厥意可得而说也

其后诸侯力政不统于王恶礼乐之害己而皆去其典籍分为七国田畴异亩车途异轨律令异法衣冠异制言语异声文字异形秦始皇帝初兼天下丞相李斯乃奏同之罢其不与秦文合者斯作仓颉篇中车府令赵高作爰历篇大史令胡毋敬作博学篇皆取史籀大篆或颇省改所谓小篆也是时秦灭书涤除旧典大发吏卒兴戍役官狱职务繁初有隶书以趣约易而古文由此而绝矣自尔秦书有八体一曰大篆二曰小篆三曰刻符四曰虫书五曰摹印六曰署书七曰殳书八曰隶书

汉兴有草书尉律学童十七以上始试讽籀书九千字乃得为史又以八体试之郡移太史并课最者以为尚书史书或不正辄举劾之今虽有尉律不课小学不修莫达其说久矣孝宣皇帝时召通仓颉读者张敞从受之凉州刺史杜业沛人爰礼讲学大夫秦近亦能言之孝平皇帝时徵礼等百余人令说文字未央廷中以礼为小学元士黄门侍郎扬雄采以作训纂篇凡仓颉以下十四篇凡五千三百四十字群书所载略存之矣

及亡新居摄使大司空甄丰等校文书之部自以为应制作颇改定古文时有六书一曰古文孔子壁中书也二曰奇字即古文而异者也三曰篆书即小篆秦始皇帝使下杜人程邈所作也四曰左书即秦隶书五曰缪篆所以摹印也六曰鸟虫书所以书幡信也

壁中书者鲁恭王坏孔子宅而得礼记尚书春秋论语孝经又北平侯张苍献春秋左氏传郡国亦往往于山川得鼎彝其铭即前代之古文皆自相似虽叵复见远流其详可得略说也而世人大共非訾以为好奇者也故诡更正文乡壁虚造不可知之书变乱常行以燿于世诸生竞逐说字解经谊称秦之隶书为仓颉时书云父子相传何得改易乃猥曰马头人为长人持十为斗虫者屈中也廷尉说律至以字断法苛人受钱苛之字止句也若此者甚众皆不合孔氏古文谬於史籀俗儒鄙夫玩其所习蔽所希闻不见通学未尝睹字例之条怪旧埶而善野言以其所知为秘妙究洞圣人之微恉又见仓颉篇中幼子承诏因曰古帝之所作也其辞有神仙之术焉其迷误不谕岂不悖哉书曰予欲观古人之象言必遵修旧文而不穿凿孔子曰吾犹及史之阙文今亡矣夫盖非其不知而不问人用己私是非无正巧说邪辞使天下学者疑盖文字者经艺之本王政之始前人所以垂后后人所以识古故曰本立而道生知天下之至赜而不可乱也今叙篆文合以古籀博采通人至于小大信而有证稽撰其说将以理群类解谬误晓学者达神恉分别部居不相杂厕也万物咸睹靡不兼载厥谊不昭爰明以喻其称易孟氏书孔氏诗毛氏礼周官春秋左氏论语孝经皆古文也其于所不知盖阙如也

* * *

[1]　语体文即白话文。

[2]　1928年南京国民政府改组，增设铁道部。交通大学移归铁道部管辖，将设在上海、北平、唐山三处的交通大学各学院合并，统称铁道部交通大学，分上海本部、唐山土木工程学院和北平交通管理学院。

[3]　1937年7月1日，经创办人陈嘉庚函请，南京国民政府同意将私立厦门大学改为国立。

[4]　1938年国立交通大学北平铁道管理学院暂行并入国立交通大学唐山工程学院，并多次迁校。1946年迁回北平，命名为国立北平铁道管理学院。

[5]　根据资中筠先生回忆，西南联大刚复校的前几年，清华、北大、南开还联合招生，只是录取分数线不同。

[6]　1946年南开大学迁回天津并改为国立。

[7]　1939年定名为浙江省立英士大学，1942年经国民政府决议改为国立英士大学。

数学之部

国立北平师范大学

一九三三年

一、算术

二数之和为36，其大数之二倍较小数之三倍多2，试问各数为何。

二、代数

1．某甲作工若干日，共得工洋36圆。如其每日多挣二角，则虽少作二日，亦可得相等之工资。问其每日工价若干，又问其作若干日。

2．试解下列联立方程式

三、几何

1．两圆相外切（tangent externally）于A，又有一外公切线（common external tangent）切两圆于B及C，试证∠BAC为直角（right angle）。

2．已知三角形之三角及其面积，求作其圆。

南开大学

一九三三年

理科

1. Two straight roads intersect at an angle of 30°. If two automobiles start at the same time at the junction, one at the rate of 60miles an hour and the other at the rate of 40 miles an hour, how far apart will they be in 15 minutes?

2. Draw the graph of the equation (1)y=x3﹣x2﹣x+1. Use the graph to locate the roots of the equation (2) x3﹣x2﹣x+1=0. Check by solving the equation algebraically.

3. Find the area of the triangle out off from the first quadrant by the tangent to the ellipse 2x2+3y2=14 at the point (1,2).

4. Find the equation in polar coordinates of the straight line which is perpendicular to the polar axes at a distance of 5 units from the pole.

5. Reduce the hyperbola 4x2﹣9y2﹣24x+36y﹣36=0 to standard form.

6. ABCD is a rectangle, and a straight line APQ cuts BC in P &DC extended in Q. Locate the point P so that the sum of the areas of the two triangles ABP & CPQ may be a minimum.

7. Find the area bounded by the curves.

y=sinx of y=sinx between x=0 and x=π.

8. Evaluate the determinant.

齐鲁大学

一九三三年

下列各题分A、B、C三组，A、C每组至少各答二题，B组至少答一题。

A1．解下列二式

1．（a2﹣b2）（x2﹣1）=4abx

2．

A2．一坐自行车者以平均速度行过180哩，设彼每小时迟行三哩，则行此路程须多加三小时，问其速度若何？

A3．求117﹣36之平方根。

B4．设A、B、C为一三角形之三角，设证sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC。

B5．有ABC三角形，已知B=15°，b=﹣1，c=+1，试求其余各项。

C6．一定点D在AB及AC两直线间，求作过D至AB、AC两线之直线，并D为所作线之三等分点之一点，并证有二此等线。

C7．试证同底之三角形且在同平行线内其面积相等，又证明如何作一三角形令其面积等于已知之四边形。

C8．试证圆内之等弦距圆心均等。又证圆内之两等弦相交割其所割相当之部分各相等。

C9．自一平面外之一点A向平面上作AB垂线，CD为平面内之任一线，AE线垂直于CD，证BE线垂直于CD。

河北省立女子师范学院

一九三三年

一、有长方体积之冰块，其长2步，阔1步3尺，厚4尺，而此冰之比重为0.93，若置其于水中，浮出水面之高几寸？

二、有甲乙二童赛跑于若干丈之间，甲每分时之速度较乙之3倍少18丈。若乙先行48丈，甲始出发，则经8分时同达。问1分时甲乙速度各如何？

三、劈下列各式之生数[1]：

1．3a2+a﹣6a2b﹣2b

2．（2x+3y）2﹣（x﹣4y）2

3．a4+a2b2+b4

四、解明：

五、今有连续二数，其和之平方数较平方之和多220，问二数为何？

六、试言已知三角形之两角及一角之对边，求作其形之方法。

七、切线与经过切点之弦所成之角可用其截弦之半量之，

证：

任作五题

国立中央大学

一九三三年

一、解下列诸方程式：

二、甲乙二地，东西相距若干里，今有汽车于上午十时由甲地向乙地而行，至中途，折而南行，行十里时后，复向乙地前进，至下午二时达乙地，停留一小时后，由乙地向甲地驶返，每小时之速度，较前增三里，至下午五时返甲地，求甲乙二地之距离。

三、求作下列诸直线：

1．过一已知点，分已知等腰梯形为两等积形。

2．垂直于一已知线，与已知圆相切。

四、于正东正南甲乙二地，测得某山之仰角为45°及30°，今甲乙两地之距离为2400尺，求山高。

五、答下列各则（其不通或不可解者，请注明不通或不可解）：

1．323与221之最大公约数为_____

2．x2+3x+9=0之两根为_____

3．（x+y）6=_____

4．x4+4之有理因子为_____

5．log100=_____，log10（﹣4）=_____

6．之两数孰大_____

7．n多边形诸角之和=_____

8．何谓圆：_____

9．之根为_____

10．tan30°=_____，tan45°=_____，tan60°=_____

辅仁大学

一九四一年

一、设AD为∠ABC之中线；∠ADB之平分线交AB于E，∠ADC之平分线交AC于F，试证EF//BC。

二、试作一正方形，与一已知长方形之面积相等。

三、设a:b=x:y，试证（a3+2b3）:ab2=（x3+2y3）:xy2

四、方程式x3﹣9x2+23x﹣15=0之诸根成为等差级数，试求之。

五、设A+B+C=180°，试证sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

六、解方程式tan﹣12x+tan﹣14x=tan﹣13

国立西南联合大学　国立武汉大学　国立中央大学　国立浙江大学

一九四一年

甲组试题

一、二次方程式x2+px+q=0有二相异实根时，若k为不等于0之常数，则方程式x2+px+q+k（2x+p）=0亦有二实根且仅有一根在前二根之间，试证之。

二、试证

三、设P点在椭圆所引之二切线与其长轴之夹角为θ1、θ2，试就下列情形分别求P之轨迹。

1．tanθ1+tanθ2为一定值

2．cotθ1+cotθ2为一定值

中国大学

一九四一年

一、算术

1．某校招考学生，投考的有540人，考取15%，是多少人？

2．某学生带银去买书籍等物；要用所有银的买字典，买地理，买文具，这样一算，付价之后，还可以剩银元；问他带去银是多少？

二、代数

1．解方程式

2．求证13+23+33+……n3=

三、几何

1．若三角形的两边不等，它的对不等边的两角也必不等，并且大角必对大边。

2．ΔABC之边AC之三等分点之中，设近于A之点为D，而BC之中点为E时，则AE为BD所二等分。

四、三角

1．求证

2．求证下列恒等式

中央政治学校[2]

一九四一年

一、解方程式

二、求级数项及无穷项之总和。其第n项为。

三、求与原点及直线x+4y=8等距离之点之轨迹方程式。

国立四川大学

一九四二年

一、已知log102=0.30103，试求下列对数之值

二、掷骰一粒，连掷十次，求掷得四次六点之几率。

三、试证：直角三角形之弦上正方形之面积，与其他两边之平方形面积之和相等。

四、求作一四角形，与一已知四角形等角而外切于一定圆。

五、解下列三角方程式

tanx+tan2x=tan3x

六、试证下列恒等式

国立北京大学　国立清华大学　国立南开大学

一九四六年

一、证明ΔABC中过B、C二顶点之二中线等长，则ΔABC为等腰，并证明其逆定理。

二、从半圆之直径AB两端各引此半圆弦AC、BD交于E，求证：AC·AE+BD·BE=AB2。

三、解下列联立三角方程式

四、两圆外切，其半径各为R和r，设两圆之外公切线之交角为θ，试证。

五、求下列行列式之值

六、1．解

2．有一元票、二元票、十元票各三张，问可付出若干种不同款额？

七、求过直线2x﹣y+4=0与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0之二交点并点（1，1）之圆之方程式。

八、试证在抛物线正焦弦两端点所作切线互相垂直，又若此抛物线之方程式为y2=2px，试求其在上述二切线为坐标轴时之新方程式。

国立交通大学

一九四六年

管理学院

一、求解方程式

a3（b﹣c）（x﹣b）（x﹣c）+b3（c﹣a）（x﹣c）（x﹣a）+c3（a﹣b）（x﹣a）（x﹣b）=0

且求其有等根之条件。

二、若ω为1之两立方虚根之一，试示

三、若整数m=paqbrc，其p、q、r为质数（primes），试求m所有约数之个数。

四、于圆内接四边形内，若两对角线成垂直，求证对角线交点与一边中点之距离，等于自圆心至对边之距离。

五、于三角形ABC之BC边上任取X点，作ABX及ACX两圆，求证此两圆直径之比为AB:AC。

六、上题中，若BX:XC=m:n，试示：

1．（m+n）cotAXC=ncotB﹣mcotC

2．（m+n）2AX2=（m+n）（mb2+nc2）﹣mna2，其中a=BC，b=CA，c=AB

理工学院

一、若l+m+n=0，试示方程式lx2+2nxy+my+2mx+2ly+n=0表两直线。若此二直线与x轴交于A及B，与y轴交于C与D，试示AD、BC两直线之连合方程式为

二、椭圆上三点P、Q，R之离心角（eccentric angles）顺次为θ、Φ、φ，试示P、Q、R处三切线所成三角形之面积（不计符号）为。

三、证明：对于一组共轴圆（co-axial circles）一定点之诸极线（polars）必通过一定点，且一定直线之诸极（poles）必在一直线上。

四、若|x|＜1，m为正整数，试示（1﹣x）﹣m可以展开作c0+c1x+c2x2+……之形式，求Ck之值，且证明c0+c1+c2+……

五、以n角形之顶点为顶点，而不是n角形之边为边之三角形共有若干？

六、路旁有塔CD，塔底D与路最近处为路上之A点。于路上B点测得塔顶C之仰角为α，又测得BC与路成角β。已知AD=l，求塔高。

国立中央大学

一九四六年

一、变换方程式x4+16x3+89x2+200x+156=0，使其缺第二项，因而求原方程式之根。

二、有相交之二直线a及b，自a上之一点作b之垂线，复自其在b上之垂足向a作垂线，更自第二个垂足作b之垂线，如此继续作成无数根垂线，设第一垂线之长为7，第二垂线之长为6，求此无数垂线长之和。

三、若A+B+C=180°，求证

四、求椭圆x2+5y2=5及圆（x+2）2+y2=5之实公切线之方程式。

五、于双曲线（x﹣2）2﹣（y+1）2=1中，已知其一直径之斜度为，试求此直径及其共轭直径之方程式，若以此二共轭直径为新坐标轴，试求双曲线之新方程式。

国立浙江大学

一九四六年

一、在复素数的平面图上，解不等式

二、设a3=1，解

三、有圆锥曲线方程式为5x2﹣4y2﹣20x﹣24y+4=0，试求其中心、焦点、几近线、准线。

四、解4sin2x=1

五、设圆x+y2=a2交横轴与A、B二点，自圆上任意一点Q作切线，自A作直线垂直于切线与BQ交于P，求P之轨迹。

国立武汉大学

一九四六年

一、若多项式f（x）之系数皆为整数，且f（0）及f（1）又均为奇数，试证f（x）=0绝无整数根。

二、解联立方程式

三、设R为三角形之外接圆半径，试证acosA+bcosB+ccosC=4RsinAsinBsinC

四、试求经过二曲线x2+2y2﹣4x﹣2y﹣6=0及y2+xy﹣8=0之交点且与x轴相切之圆锥曲线方程式。

国立政治大学

一九四六年

一、解3x2﹣2x﹣5+9=0。

二、求：之正等比中项。

三、求圆x2+y2=17之切线，使平行于直线x+4y=5。

四、求原轴平移至（2，﹣5）后，曲线7x2+8y2﹣28x+80y+172=0之方程式。

国立四川大学

一九四六年

一、解

二、解2x3﹣3x2﹣3x+2=0

三、设ABCD为一平行四边形，AC为对角线，由B作任意直线各交AC、CD及AD于F、G及E，求证EF·FG=BF2

四、证明

国立复旦大学

一九四六年

第一次

一、求方程式y5﹣5y4+9y3﹣9y2+5y﹣1=0之五根。

二、解联立方程式

三、A、B、C为共线之三定点，动点P至A、B与B、C所张之角恒相等，试求P点之轨迹。

四、已与一圆及一直线，求作该圆之切线，使其自切点至该直线间之线段，等于已知长。

五、设自A地量得敌人炮台所在地B及另一地C间之角∠ABC为70°20′，自C地量得∠ACB为62°50′，且量得A、C两地之距离为10.6公里，问A地至敌人炮台之距离为若干？（sin62°50′=0.8897；cos70°20′=0.3365）

国立同济大学

一九四六年

一、设有一三角形ABC：假定A及B两顶为固定不移，其他一顶C在AC2+BC2=AB2之条件下运动，则其轨迹为何如？

二、证

三、用数学归纳法证下列恒等式

四、设有一三角形，其底为7cm，高为5cm，用圆规及尺作一正方形，其面积与此相等者。

甲组作一、二、三题，乙组作二、三、四题

国立唐山工学院

一九四六年

一、已知方程式2x3+x2+3x+5=0之根为a、b、c，试用变换方程式法求以为根之方程式。

二、用数学归纳法求下列级数

…至n项之和。

三、讨论方程式并绘其轨迹。

四、F点为抛物线y2=16x之焦点，O点为顶点，P点为抛物线上任一点，PQ为切线，自O点至PQ线之垂线与FP线相交于R点，求R点之轨迹之方程式并绘其图形。

五、P-ABC为一正三角锥，其底面三角形ABC正三角形之每边为10尺，而APB、BPC、CPA三个面角均为30°，求此三角锥之高。

国立北平铁道管理学院

一九四六年

一、解方程式x5﹣5x4﹣5x3+25x2+4x﹣20=0，已知各根为a、﹣a、b、﹣b、c等形式。

二、有0、1、2、3、4、5、6、7八个数字，可组成小于10000之数字有几？

三、试证三角形之高为垂足所成三角形之各角的角二等分线。

四、三角形内任意一点至三顶点A、B、C的延长线交对边于P、Q、R，则。

五、若A+B+C=180°，证sinA+sinB﹣sinC=。

六、解3cotx+2（sinx﹣cosx）=3。

华南大学

一九四六年

一、证从平行四边形之一顶点作线至对边之中点，三等分四边形之对角线。

二、sinA=，求sin、cos、tan；sin2A、cos2A、tan2A。

三、鸡蛋每个80元，鹅蛋每个90元，鸭蛋每个70元，用9700元买三种蛋共120个，求各种蛋的个数。

四、解下列联立方程式

x2﹣4y2+x+3y=2x﹣y=1

五、AO为圆之半径，过垂直于此之直径上一点B，引任意弦BP，从此弦之一端P引切线PC与OB之延线会于C，证CB=CP。

六、两树相距50呎，在此树距地5呎处观他树之树顶与树根适成90°之角，又观他树顶之仰角为60°，求他树之高。

福建协和大学

一九四六年

一、设，试求x之值。

二、某城街路为棋盘式，走向南北者有a条，而走向东西者有b条。一行人欲由西北隅向最短之路走到东南隅，问计共有若干方法？

三、求之最大值。

四、求已知圆x2+y2﹣6x+4y=12之两切方程式，与一已知线4x+3y+5=0平行。

辅仁大学

一九四六年

投考文教两院学生作一至五题

投考理学院学生作三至八题

一、分解下列二式为因数

1．x4﹣23x2+1

2．y2z2（x4﹣1）+x2（y4﹣x4）

二、若x1、x2为方程式2x2﹣5x+3=0之二根，试求以为根之方程式。

三、试将下式分为分项分数

四、试证下列恒等式

五、已知底边顶角及底边上之高，求作一三角形。

六、试论下列函数并绘其图形

β=2（1﹣cosθ）

七、试证双曲线之两渐进线及任一切线所成之三角形之面积等于一常数。

八、若a、b、C为方程式x3+px2+qx+r=0之根，试求以、为根之方程式。

国立北京大学　国立清华大学　国立南开大学

一九四七年

一、设D为ΔABC之底边BC之中点，若顶角A为钝角、直角或锐角，则底边BC分别大于、等于或小于中线AD之二倍。试证之。

二、设二圆之连心线交一圆于A、B两点，交第二圆于D、C二点，又交二圆之一外公切线于P点，设在连心线上，点A距P最近，点D距P最远，试证：PA·PD=PB·PC。

三、解下列三角方程式

sin4x﹣2sinxcos2x=0

四、1．化简下式

2．以归纳法证明二项式定理

五、解方程式组

六、AB为一圆之一条固定弦，R是圆上之一运动的点，求三角形ABR的垂心的轨迹。

七、一圆的中心在直线5x﹣3y﹣7=0上，且经过两圆之交点，求此圆的方程式。

国立交通大学

一九四七年

一、若x3+3px2+3qx+r及x2+2px+q有一个一次公因子，试问p、q、r之间，应有何种关系？又若有两个一次公因子，则其关系又若何？

二、若a=cos20°，b=cos40°，c=cos80°，试求行列式之数值。

三、设a、b、c三数成调和级数，试证

四、在平地上一点A，测得某山顶P之仰角（elevation）为60°，自A点，在平地上，向山麓前进800尺至B点。自B点沿一与平地倾斜30°之斜坡，再向山顶前进800尺，至C点，在C点测得山顶P之仰角为75°。若A、B、C、P四点在一垂直平面内，求此山之高。

五、在双曲线上任意一点P，作切线交此双曲线之两渐进线（asymptotes）于Q及R，若O为此双曲线之中心，试求ΔOQR外接圆心之轨迹。

国立浙江大学

一九四七年

一、设（a﹣1）（b﹣1）＞0，a、b、θ皆为实数，求之极小值。

二、问级数……何时收敛？

三、设二斜交轴x与y交角为θ，作一圆使通过x轴上之二定点（a2，0）、（b2，0），且与y轴相切，求此圆之方程式。

四、设P为椭圆上之任意点，且F为一焦点，证明以FP及椭圆之长轴各为直径之圆必相内切。

五、解

国立武汉大学

一九四七年

一、某人每年存定款入银行，年利率依复利计算，若干年后得本利和恰为定款3倍。设年数加倍，得本利和为定款之5倍，但取款时不存入定款，问年利率若干？

二、试求（1+2x+10x2）10之展开式中x5之系数。

三、以三角形各边为直径作圆，试证任意两边上二圆公切线之长为第三边被内切圆切点所分两部分之比例中项。

四、试解方程式csc3θ+sec2θ=sinθcsc2θsc3θ。

国立复旦大学

一九四七年

一、设a、b、c为方程式x3+px+q=0之三根，Sn=an+bn+cn

1．展开下列行列式为p、q之函数

2．表明Δ＞0时，a、b、c为三个不同实根；Δ＜0时，a、b、c三根中有一为实根，其余为二相配（conjugate）虚根；Δ=0时，a、b、c为三实根且至少有二根相等。

二、已知齐次方程组式中A、B、C为三参数（parameter）

1．求此方程组x=y=z=0之一组解答外，有其他解答时A、B、C间之关系。

2．求证A+B+C=π时，x、y、z恰为一三角形之三边。

三、试述无穷级数为收敛或发散之定义（definition of convergence or divergence），并讨论普遍项（general term）如下之二无穷级数，何时为收敛？何时为发散？

1．Un=xn+1[log（n+1）]q（log表以e为底之对数）

2．Un=xn（cosnθ+cosn﹣1sinθ+cosn﹣2θsin2θ+……+sinnθ）

四、设有等边双曲线（equilateral hyperbola）xy=1。今于其上取三点A、B、C联成三角形，而A、B、C之横标（abscissa）依次为a、b、c。

1．求证过ΔABC三顶点作向对边之垂线会于一点。

2．求出三垂线之交点坐标，并证明此焦点在双曲线上。

五、设于椭圆上之M（acosΦ，bsinΦ）点，引与椭圆心O之联线OM，再由M点引正交于椭圆长轴之线MP，复由P引与OM正交之线PQ。

1．求当M点沿椭圆线移动时Q点之轨迹。

2．讨论此轨迹之形状，并绘图以明之。

国立中央大学

一九四七年

一、设a1、a2、a3……an成调和级数，试证：

a1a2+a2a3+a3a4+……an﹣1an=（n﹣l）a1an

二、解无理方程式，并就其结果讨论之。

三、圆内接四边形ABCD内，∠A=90°，AB=a，BC=b，其面积为c2，求CD、DA及圆半径之长。

四、作一正方形，令其四边分别经过四已知点。

五、于A、B、C三阵地测得敌机之仰角为60°、45°、45°，今B地在A地正北3000尺，C地在A地之正西4000尺，求敌机之高，并讨论之。

国立中山大学

一九四七年

一、圆之直径AB上任意取P点，又CD弦与直径平行，求证AP2+BP2=CP2+DP2。

二、求作圆，经过一定点，与两定直线相切。

三、分为分项分数。

四、求将81分为两整数，其一为8之倍数，其他为5之倍数。

五、设θ=2tan﹣1t，求以t表asin（θ+b）。

国立四川大学

一九四七年

一、设ABC为一直角三角形，A为直角，A之平分线与BC交于D，与此三角形之外接圆交于E。求证：ΔABC之面积=AD×AE。

二、设x、y、z为任意三个角，求证：

1．sinx+siny+sinz﹣sin（x+y+z）=4sin

2．sinxsin（y﹣z）cos（y+z﹣x）+sinysin（z﹣x）cos（z+x﹣y）+sinzsin（x﹣y）cos（x+y﹣z）=0

三、设一班有学生40人中有甲乙二生，今选四人为代表，问：

1．甲乙均被选共有几种方法？

2．甲乙均不被选共有几种方法？

四、设一三角形三边之长为方程式x3+px2+qx+r=0三根。式中p、q、r均为已知数，求此三角形之面积。

国立河南大学

一九四七年

一、对于已知圆，作一外接三角形，与已知三角形相似。

二、求方程式23x﹣31y=5，xy=之解。

三、解下列方程式：

1．2cos5θ﹣3cos3θ+cosθ=0

2．tan﹣1（1﹣x2+tan﹣1（2+x）=

四、试答下列问题：