在更为精确的数量关系方面，《周髀算经》卷下中根据一些假设和圭表测影的数据，利用勾股弦定理进行推算，得出"极下者，其地高人所居六万里，滂沲四■而下。天之中央，亦高四旁六万里"；"天离地八万里，冬至之日，虽在外衡，常出极下地上二万里"。所谓"外衡"，就是冬至时太阳运行的轨道，即"冬至日道"。这里说明北极天中比冬至日道高出6 万里。由于天恒高于地8 万里，所以冬至日道仍高出极下地面2 万里。《周髀算经》还根据圭影得出"冬至日道下"（即冬至时地面上"直日下"的地方，也即现在所说的南回归线）到极下地中的距离为23.8 万里；"夏至日道下"（即北回归线）到极下地中为11.9 万里；以周地为代表的"人居处"（黄河流域一带）到夏至日道下为1.6 万里，所以人居处距极下地中10.3 万里，距冬至日道下13.5 万里。
根据这些数据，盖天说设计出了"七衡六间图"，以说明日月星辰的周日运动，昼夜的长短变化和四季二十四节气的循环交替。
盖天说认为，太阳在天盖上的周日（视）运动在不同的节气是沿不同的轨道进行的。以北极为中心，在天盖上间隔相等地画出大小不同的同心圆，这就是太阳运行的七条轨道，称为"七衡"，七衡之间的6 个间隔称为"六间"。最内的第一衡为"内衡"，为夏至日太阳的运行轨道，即"夏至日道"；最外的第七衡为"外衡"，是冬至日太阳运行的轨道，即"冬至日道"。内衡和外衡之间涂以黄色，称为"黄图画"，即所谓"黄道"，太阳只在黄道内运行。从《周髀算经》卷下所载二十四节气，可知太阳在七衡六间上的运行与二十四节气的关系是：七衡相应于十二个月的中气，六间相应于十二个月的节气。具体的对应关系如后页图所示。
这样，太阳在365■日内，极于内衡、外衡各一次，完成一个循环，即"岁一内极，一外极"。
由于内衡、外衡分别与地面上的北回归线、南回归线上下相对应，所以内衡的半径为11.9 万里，外衡的半径为23.8 万里，其间相距11.9 万里，共六个间隔，因而相邻各衡之间相距11.9 万里÷6，即19833■里。
盖天说认为，日光可照到的距离为16.7 万里，人也只能看第一衡（内衡） ■夏至第一间 芒种 小暑第二衡 小满 大暑第二间 立夏 立秋第三衡 谷雨 外暑第三间 清明 白露第四衡（中衡） 春分 秋分第四间 惊蛰 寒露第五衡 雨水 霜降第五间 立春 立冬第六衡 大寒 小雪第六间 小寒 大雪第七衡（外衡） 冬至到这么远的光源射来的光，因此以周地为中心，以16.7 万里为半径所画出的圆，就是居住在周地的人所能看到的天体范围，这个部分被涂以青色，称为"青图画"。盖天说以此解释了若干常见的自然变化。如盖天说能够大体上说明四季常见的天象和气候变化，这在2000 多年以前的科学发展状况下，可以说是相当了不起的。
《周髀算经》还包含了一些令人极感兴趣的其他论述。例如，盖天说的七衡六间与现今地球上的五带划分存在着对应关系，中衡对应于地球上的赤道，内衡与外衡对应于北回归线与南回归线；盖天说所说的"极下"，即现在所说地球的北极。所以，盖天说对地球上各地气候差异所作出的准确解释，也就不难理解了。《周髀算经》卷下之一称："璇玑径二万三千里，周六万九千里，此阳绝阴极放不生万物"；"极下不生万物。北极左右，夏有不释之冰。"这是说北极径二万三千里的范围内，常年结冰，万物不生。《周髀算经》的这个结论，是有定量根据的，因为即使在夏至之日，太阳距北极仍有11.9 万里远；而冬至时太阳离夏至日道也为11.9 万里，这时"夏至日道下"（北回归线）的"万物尽死"，由此可知即使太阳移至内衡（夏至）时，北极下也不生万物，何况其他季节？《周髀算经》还进一步得出："凡北极之左右，物有朝生暮获"。这是指北极地带，一年中6 个月为长昼，6 个月为长夜，1 年1 个昼夜，所以作物也在长昼生长，日没前就可收获了。同样，"中衡左右，冬有不死之草，夏长之类；此阳彰阴微，故万物不死，五谷一岁再熟"。这是对赤道南北热带地区的气候和作物情况的精确说明。这些论述的巧妙正确，确实令人惊叹不已。
《周髀算经》在关于七衡六间的叙述中，引用过《吕氏春秋》的文句，但这不表明七衡六间是在秦吕不韦之后才产生的。用七衡六间方法说明四季与太阳位置的变化，是在春秋未、战国初之间已经产生了的，这是目前比较公认的看法。
盖天说虽然在汉代以前一直在天文学界起着主导作用，但终因其自身有着不可克服的困难，而在汉代以后逐渐被"浑天说"所代替。但是，不论是"浑天说"还是另一种"宣夜说"，都可以从春秋战国时期找到它们的思想渊源。如公元前4 世纪的慎到（公元前395-前315 年）在《慎子》中说："天体如弹丸，其势斜倚；"《庄子·天下》篇中引述的名家大师惠施（约公元前370-前310 年）所提出的辩题："南方无穷而有穷，今日适越而昔来，连环可解也。我知天下之中央，燕之北，越之南是也"，都提出了大地是球形的思想。惠施的前一句话提出一直向南走可以周而复始，无穷无尽，但若认为北极的正下方为南极，则南方又"有穷"；后一句话指出无限的大地是没有中央的，或者说任何地点都可看作是中央；如果将北极和南极分别看作是北半球和南半球的中央，则天下的中央在"燕之北"、"越之南"。这段论述，被认为包含了浑天说的大地是球形的思想。另外，对于惠施的命题"天与地卑，山与泽平"，如果从浑天说的地球居于天的中央的观点来看，就很容易理解了。因为既然大地的四面八方皆为天，那么有天高于地之处，也有地高于天之处，它们无分高下；同样，此处的水面与它处的山顶也可以处在同一个高度上。当然，对这些论题的理解，也有不同的意见。①关于主张宇宙无限、天是由元气组成的宣夜说，战国时代也出现了一些有价值的先期思想。《庄子·逍遥游》中有："天之苍苍其正色邪？其远而无所至极邪？认为天其色青青，深邃幽远，是辽阔无边的。惠施所说"至大无外，谓之大一"，②也将宇宙看作是尺度无穷大的"大一"。《庄子·天运》篇中，对大地静止不动的传统说法也提出了质疑："天其运乎？地其处乎？日月其争于所乎？孰主张是？孰维纲是？孰居无事推而行是？意者其有机缄而不得已邪？意者其运转而不能自止邪？"这是说天是运动的吗？地是静止的吗？日月都在争觅着它们的处所吗？什么力量主宰着它们的张斥？什么力量维持着它们的制引？什么力量会无缘无故地推动着它们运动？莫非其中有什么机制使它们不得不如此？莫非它们运转起来以后就无法自己停止下来？《庄子》在这里虽然只是提出了疑问而没有给出答案，但在这些疑问中所隐含的天地在某种吸引和排斥的作用下运动不止的思想，却是清晰的。战国末期的李斯在《仓颉篇》中也提出："地日行一度，风轮扶之。"这里明确提出了大地运动且"日行一度"的思想，而且说明大地是在"风"的作用下运动的。这个"风"字当与宋尹学派的元气学说有关。
① 参见周桂钿：《天地奥秘的探索历程》，第240、245～247 页。
② 《庄子·天下》。
2. 天地演化思想关于天地是怎么产生出来的，也即宇宙的起源和演化的问题，很早就是中国古代思想家们探讨的问题。战国时代的大诗人屈原（约公元前340-前278 年）在《楚辞·天问》中就提出了这个问题："曰：遂古之初，谁传道之？上下未形，何由考之？冥昭瞢■，谁能极之？冯翼惟象，何以识之？明明■■，惟时何为？阴阳三合，何本何化？圜则九重，孰营度之？惟兹何功，孰初作之？"这是问宇宙初始的情况，是谁传下来的？那时天地还未形成，如何进行考察？那时浑浑沌沌，谁能弄清楚呢？阴阳交互运转于未形之先，如何察识？明明暗暗，天何以有昼夜？阴阳冲气，谁演化出谁来？穹窿天层九重，是谁营造的呢？天地阴阳的诺大功能，是谁赋予的呢？。。屈原的这些疑问，实际上已包含了在原始浑沌中，由于阴阳元气的作用而形成天地，造化出日月星辰，出现昼夜交替的思想。
成书于公元前400 年左右的《老子》（《道德经》）中称："道生一，一生二，二生三，三生万物。"还说："天下万物生于有，有生于无。"把这两句话联系起来，就是说宇宙万物都是从"道"生成的，而"道"就是"无"，宇宙是从"无"生"有"的；老子哲学也因此曾被认为是唯心论的。但实际上，在《老子》第二十五章中说："有物混成，先天地生，寂兮寥兮，独立而不改，周行而不殆，可以为天下母。吾不知其名，字之曰道。"可见，老子哲学中的"道"是先于天地的、无形无象的"混成"之物，是实实在在的"有物"。那么为什么又说是"无"呢？在第一章中说："无名天地之始，有名万物之母"，说明只是由于对"天地之始"的这个混沌状态的"物""不知其名"，才名为"无"。所以道家所说的"道"，其实是最原始的"始基"之物；"有生于无"是说天地是从最原始的"道"演化出来的；而"道法自然"，它以它自身的样子存在着。
从道家的"道"，后来又衍生出"太极"、"无极"等概念。战国时期出现的《周易·系辞传》称："易有太极，是生两仪，两仪生四象"，说明天地（"两仪"）和春夏秋冬四时（"四象"）都是从"太极"演化出来的。到了宋代道学家周敦颐那里，在"太极"之前又加了个"无极"，这或许是为了更符合"有生于无"的本意吧。
春秋战国时期，也诞生了以"气"为宇宙本原的学说。战国中期的宋尹学派认为"其细无内，其大无外"的"精气"充塞天地之间，构成万物的本原，不过这个学说还未说明天地是否也是由精气演化出来的。《庄子·至乐》则发展了"气"的学说，指出"气变而有形，形变而有生"，认为一切有形的东西都是由无形的气变化而来的。在《庄子·知北游》中更断言："通天下一气耳。"这就把整个世界归结于统一的气了。在战国末期到秦汉时代成书的《黄帝内经》的《素问·阴阳应象大论》中，则进一步用气说明天地的形成："积阳为天，积阴为地"；"清阳为天，浊阴为地。"以上这些气一元论的思想，后来得到了深入的发展，成为在我国的传统哲学思想中有深远影响的学说。
关于宇宙万物的起源，《管子·水地》篇还提出了"水"和"地"为万物之本原的思想，不过其"本原"性还只是指它们处处存在，万物莫不以它们为生之意，并未包含它们"产生"天地万物的意思。
3. 天地不毁说与天地起源说相关联的天地不坠不陷的问题，在春秋战国时期也进行过不少讨论。
《庄子·天下》篇记载，公元前318 年，魏相惠施出使楚国时，"南方有倚人焉，曰黄缭，问天地所以不坠不陷，风雨雷霆之故。惠施不辞而应，不虑而对，遍为万物说"。惠施的万物说虽然没有留传下来，但从先秦文献中还可以看到当时的学者们对这一问题的解答。大体说来，有三种说法。（1）水浮说《管子·地数》篇认为，"地之东西二万八千里，南北二万六千里，其出水者八千里，受水者八千里"。这是一种盖天说思想，即认为大地是一近于正方形的有限实体，载水而浮，是以不陷。这个大地半没水中、半露水上的想法，后来为浑天说所吸收。
（2）气举说在《素问·五运行大论》中记载了所传黄帝与歧伯的一场对话："帝曰：地之为下，否乎？歧伯曰：地为人之下，太虚之中者也。帝曰：凭乎？歧伯曰：大气举之。"这是说处于大虚之中的大地，是凭借大气的举力而悬浮于太空之中的。把大地看作是被大气托举于太空中的一个有限物体的想法，和宣夜说是相合的。在《列子·天瑞》篇所记"杞人忧天"的故事中，有"天，积气耳，亡处亡气"，"日月星宿，亦积气中之有光耀者"，"虹■也，云雾也，风雨也，四时也，此积气之成乎天者也"等论述，说"天"本身就是"气"，这与元气说思想是一致的。
（3）运动说认为天地都由于处在永不停息的运动之中而不坠不陷。《管子·侈靡》篇称："天地不可留，故动，化故从新，是故得天者高而不崩。"说天地的运动使其不断演进更新，永不毁坏。这就把运动本身看作是保持天地不坠不陷的原因。这种思想是非常卓越的。前面引述过的《庄子·天运》篇对"天运地处"的质疑中，不仅认为天地永远处于运动之中，而且还提出了引起天地运动的动力机制问题，其思想也是很深刻的。
五、数学知识的积累春秋战国时期，人们在生产和生活实践中，积累了不少的数学知识。但对于数学这个学科，诸子百家中没有一位专门从事它的研究，因而也没有一部专门的数学著作流传下来，数学知识只是散见于各种典籍中。总的说来，这个时期还属于数学知识的积累阶段，尚未形成数学体系。
（一）四则运算、分数和筹算1. 记数与四则运算在殷墟甲骨文卜辞中，已有很多记数的文字，当时已采用了十进位制。
到了春秋时期，记录大数已经用亿、兆、经、■等字表示数字的十进单位。《国语·郑语》载史伯对郑桓公说："合十数以训百体，出千品，具万方，计亿事，材兆物，收经入，行■极。"后世记录大数则改从万进或其他进法。四则运算方法在春秋战国时期已趋完备。如战国初年李悝（kuí，音魁）《法经》中有关于一个农家收支情况的计算，其中已经讲到了减法、乘法和除法，还出现了"不足"之数，虽然当时还未形成"负数"的概念，但为这个概念的出现提供了来源。
不少先秦典籍中，出现有乘法口诀的例句，说明此前早已出现了乘法口诀，只是到春秋战国时期，才有不完全的记载。《夏侯阳算经》说："乘除之法先明九九。"当时的乘法口诀是从"九九八十一"起到"二二如四"止，共36 句，因口诀由"九九"二字开头，故用"九九"作乘法口诀的简称。汉文帝时为博士的韩婴，在他所撰《韩诗外传》卷三里讲了一个故事："齐桓公设庭燎，为便人欲造见者，期年而士不至。于是东野有鄙人以九九见者。桓公使戏之曰，九九足以见乎？鄙人曰，。。夫九九薄能耳，而君犹礼之，况贤于九九者乎？。。桓公曰，善，乃因礼之。期月，四方之士相导而至矣。"这个故事说明春秋时期乘除算法已是不足为奇的"薄能"了。
2. 算筹和筹算我国古代用算筹作为记数工具，并用它发展起了一种独特的计算方法，即筹算。算筹是用小竹棍做的；利用算筹在案上摆成数字进行计算，就叫筹算。
秦以前算筹的长短粗细已无法考证，很可能尚无固定规格，随便找些小木棍即可充用。《方言》中有"木细枝为策"的说法。《汉书·律历志》说："其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚，而成六觚为一握。"据一汉尺长23 厘米折合，算筹长六寸合13.8 厘米。271 根正好合成一个一手可以握住的六角形束。1954 年在长沙左家公山一座战国晚期楚墓中出土的文物中，有竹棍40 根，长短一致约12 厘米，可能就是算筹的实物。
1978 年在河南登封出土的战国早期陶器上，刻有算筹记数的陶文；在战国时期的货币中，也有一些是用算筹记写的数目为纹式的。表示数目的算筹有纵横两种筹式：用筹来表示一个多位数字，其方法就像现在用数码记数一样，把各位的数目纵横相间地从左到右横列，个位用纵式，十位用横式，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式。如6673，筹式是■■。数字中遇有零时，就用空位表示，如86032，筹式就为■■，百位上的空位不放算筹。由于筹式用的是"十进位值制"，"位值制"也叫"地位制"，不同位值要纵横相间摆设算筹，所以数字中的空位很容易辨别。筹算的加减法很简单，摆上两行数字，位数对齐，相加相减变成一行数字就得出结果。乘除法的步骤稍复杂一些。乘法分三层摆筹，上位、中位、下位分别相当于被乘数、积和乘数。先以上位的首数乘下位各数，从左到右用算筹布置乘得的数于中位，乘完后去掉上位首数的算筹；再用上位第二数去乘下位各数，两次之积对应位上的数相加。如此继续下去，直到上位各数全部去掉，中位就是二数相乘之积。如84×61，先摆成图1 中a 的样子，用"80"去乘"61"得4880. 去掉已用过的"8"，成图b 的样子；再用"4"去乘"61"加到4880 上，将上下位皆去掉，就是所求的乘积5124，如图C 所示。
■图1 乘法筹算图示古人称被除数为"实"，除数为"法"，"实如法而一"，即实中有等于法的数所得（商）为1，实中有几个法所得（商）就是几。筹算的除法也分三层摆筹，中位为实，下位为法，上位为商。法摆到实够除的那一位之下，除完向右移动。如5987÷16，先用算筹布置"实"与"法"如图2 中a。因"59"够"16"除，所以将"16"摆在"59"之下。用"16"去除"59"得商"3"（百位）余"1187"，将"16"右移一位如图b，再用"16"去除"118"得"7"（十位）余"67"，将"16"右移一位如图C。最后用"16"去除"67"得"4"（个位）余"3"，如图d 所示，这种摆法表示带分数的形式。全部运算可表述为："实五千九百八十七，如法十六而一，得三百七十四又十六分之三"。若恰好除尽，最后只摆出商的筹式即可。
■图2 除法筹算图示算筹记数用极简单的竹筹纵横布置，就可完全实现位值制记数法，能够表示出任何自然数，这就为加、减、乘、除的运算提供了良好的条件。我国古代数学在数字计算方面的卓越成就，应当归功于遵守位值制的算筹记数法。十进位值制记数法和以筹为工具的各种运算，是我国古代一项极为杰出的创造，它比古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法要更为优越；印度到7 世纪才有采用十进位值制记数的确凿证据。据考证，现在通用的所谓"印度-阿拉伯数码"，大约在10 世纪才传到欧洲，它很可能就是在我国十进位值制记数法的基础上形成的。英国科学史家李约瑟高度评价我国古代的这一贡献说："如果没有这种十进位值制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。"①3. 分数的广泛应用春秋战国时期，分数已常被使用，在当时的著作中，有很多关于分数及其应用事例的记载。当时历法计算中的奇零就用分数表示。在生产和生活中大量存在的分配问题，常常需要用到分数概念。在《管子》、《墨子》、《商君书》中记载的分数，大都与分配有关。
《管子》在谈到土地种植的分配时有"十分之二"、"十分之四"、"十分之五"、"十分之六"、"十分之七"等分数。《墨子》在讲到食盐的分配时有"二升少半"、"一升大半"的说法。"半"即二分之一，"少半"为三分之一，"大半"为三分之二，都是当时通用的分数术语。《商君书》中描绘一处各种地貌的比例说："地方百里者，山陵处什一，薮泽处什一，■谷流水处什一，都邑蹊道处什一，恶田处什二，良田处什四。"就是说100平方里的区域内，山陵、薮泽、■谷、都邑各占1／10，恶田与良田分别为2／10和4／10，合为10／10. 秦孝公采纳卫鞅的意见，"平斗桶、权衡、丈尺"，建立统一的度量衡制度，现在保存的当时1 斗的标准量器"商鞅量"上刻有铭文："十八年齐遣卿大夫众来聘。冬十二月乙酉，大良造鞅爰积十六尊五分尊一为升。"即公元前344 年，大良造（官职）卫鞅改定"十六尊五分尊一为升"，"尊"即"寸"，这里作"立方寸"解，可知当时定1 升为16■立方寸。
《考工记》关于各种器具制造的记载中，由于器具规格的规定而大量使用了分数，而且有了分数运算。如其中记载了一种竹制有棱无刃的兵器"殳"的规格："凡为殳五分其长以其一为之被而围之，叁分其围去其一以为晋围，五分其晋围以其一为首围。"这是说1 围＝■长，1 晋围＝1 围－■围＝■围，1首围＝■晋围。这些例子表明，"n 分其A，以其一为之B"已成为"B 为A的1／n"的规范表述。在《考工记·轮人》中还有"十分寸之一谓之枚"的说法，即"枚"为1／10 寸的单位名称，这就是后世所用的单位"分"。
这些记载表明，我国在公元前四、五世纪已建立了分数概念，并有了普遍的应用。
从战国墓葬中出土的天平砝码的重量，以1、2、4、8、。。递增。这相当于等比数列2■、2■、2■、2■。。。在乐律研究中，《管子·地员》篇提出了"三分损益法"的乐律计算方法，其法为"先主（立）一而三之，四开以合九九"，相当于1×3■＝9×9＝81. 这两个例子说明当时已有了指数的初步概念。
① 李约瑟：《中国科学技术史》，中译本卷3，第333 页。
（二）几何知识与测量1. 勾股测量在战国未年到汉代成书的《周髀算经》卷上之一中，记载了西周开国时期周武王之弟周公姬旦与周朝大夫商高关于原始的割圆之法的问答。第一段讲周天历度之数的方法，即勾股法。商高回答说："数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。"这是从万物之象不外乎圆方，万物之数离不开圆方的观点出发，把圆、方都归宿于矩；而矩形则可从二数相乘得到。"九九"是乘法口诀，"九九八十一"即表二数相乘之意。商高接着说："故折矩以为句（勾），广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。"这是说在夏禹时已有了"勾三股四径（弦）五"这个勾股定理的特例的知识了。从《周髀算经》卷上之二所载荣方与陈子的问答，可看出陈子已经掌握了勾股弦定理。文中有"以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪（斜，弦）至日"。这是明确的勾■＋股■＝弦■的表述。荣方为周惠王大臣，陈子为陈宣公时公族，都是公元前7 世纪中叶人。所以我国发现勾股弦定理至少比古希腊学者毕达哥拉斯（公元前560-前500 年）早一个世纪，所以这个定理应称为"陈子-毕达哥拉斯定理"。
《周髀算经》卷上之一载，当周公向商高请教"用矩之道"时，商高答称："平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。"这里的"矩"是指工匠所用的由互相垂直的二直尺做成的曲尺。可见，当时已掌握了利用"矩"的不同摆法来测定目的物的高度、深度和距离了；此外，还掌握了环矩求圆、合矩求方的方法。
2. 几何测绘由于战争和生产的需要，春秋战国时期各地修建了不少城防和水利工程。早在公元前6 世纪，大型土木工程中要预先进行距离、高低、厚薄、土方等测量，并作出工程进度、劳动力安排、粮食和材料的准备等方面的预算。这当然要运用大量的几何知识。如计算土方就是求各种形体的体积，包括立方体、正四棱台等，这都有确定的计算法则。《墨子》中记载了有关城墙、城门、垛口、城楼的一系列计算问题，都与立体几何有关。
春秋时期，在一些地区有了封建制生产关系的萌芽。《春秋》记载，宣公十五年（公元前594 年）鲁国首先实行对公、私土地一律按田亩征税的"初税亩"制度。这必然要求对各种形状的面积进行丈量计算。可以相信，当时对正方形、长方形、三角形、梯形、圆等各种面积，已经有了计算法则。春秋战国时期的文献中，包含了不少测量绘图的记载。测量包括直线测量、水准测量和垂直测量，分别称为"绳墨"（或"准绳"）、"水"和"悬"。"绳墨"就是打墨线以取直；"水"就是以水平面为标准测量坡度和高程；"悬"就是用铅垂线以定竖直。《考工记·匠人》篇载有："匠人建国，水地，以悬置■以悬，■以景。""水"就是指"水平"，"水地"就是以水平面作标准把地整平；"■"为木质的表，"悬"即用绳悬挂一重物，"以悬置■"就是用挂有重物的绳作准绳，把表立得和地面（水平面）相垂直。文中还指出，作为高水平的工匠，必须作到"可规可■（矩）可悬可水可量可权"，就是要掌握（用规）画圆、（用矩）画直、（用铅垂）定垂直、（用水平器）定水平，以及进行容积测量、重量测量的六种技巧，这才能称之为"国工"。在《墨子》等书上也有"直以绳，正以县（悬）"的说法。
当时在制造各种农具、车辆、兵器、乐器的工作中，常常会遇到不同部位有不同角度的要求，这就需要进行角度的测定，于是就形成了角的概念和衡量角度大小的一些单位。《考工记》把角称为"倨句"（jùgōu，音巨勾），"倨"就是钝，"句"就是锐，用"倨句"表示角就像通常的语言中用"多少"来表示量一样。一个直角在《考工记》中称为"倨句中矩"或简称"一矩"。例如在"磬氏"节中讲"磬氏为磬，倨句一矩有半"。磬为古代一种石制乐器，由大小不同的一组磬按次序吊起来，敲击发出高低不同的声音。每个石磬背部折角的大小是一个直角（矩）再加上半个直角，即135°。
《考工记》"筑氏"节记有："筑氏为削，合六而成规"；"弓人"节又说："为天子之弓，合九而成规；为诸侯之弓，合七而成规；大夫之弓，合五而成规；士之弓，合三而成规。"这里说的"削"是弯成圆弧形的刀，六个削合起来可拼成一个圆环，说明每个削的圆心角为60°。"弓人"所述也是用圆心角的大小规定弓背的曲率，要按照社会地位等级的高低制弓。天子用的弓九张合在一起成为一个圆周，士用的弓三张就可合为一个圆周。如果把弓上的弦也连接起来，就会构成圆内接正九边形、正七边形、正五边形和正三角形。
《考工记》"卤氏为量"节说："量之以为■，深尺，内方尺而圆其外，其实一■；其臀一寸，其实一豆；其耳三寸，其实一升；重一钧。""其铭曰：时文思索，允臻其极。嘉量既成，以观四国。永启厥后，兹器维则。"可知这个"■"是统治者颁布的度量衡的标准量（容）器。"■"通"釜"，齐国容量的单位是1 钟＝10 釜，1 釜＝4 区，1 区＝4 豆，1 豆＝4 升。所以1 釜或1■是64 升。当时规定1 釜的容积为1 立方尺，或1000 立方寸，所以1升的容积当为15■立方寸。
这些史料表明，春秋战国时期，适应于战争和生产发展的需要，已经积累起了较为丰富的几何知识。
3. 测量标准和量的比较《考工记·匠人》载："为规，识日出之景与日入之景，昼参诸日中之景，夜考之极星，以正朝夕。""正朝夕"即测定东西南北方位。直立木杆于地作为圆心，描下日出、日入时的杆影，过影端作圆，连接影端作弦，再作弦的垂直平分线；然后参照白天中午的杆影和夜晚北极星的方位校正此垂直平分线，即指出正南正北方向，弦则指出东西方向。
《管子·七法》称："不明于则而欲出号令，犹立朝夕于运均之上"。
《墨子·非命上》也记载墨子的话说："必立仪。言而毋（无）仪，譬犹运钧（均）之上而立朝夕也。"这都指出了在运转的陶车之上是无法测定东西南北方位的，即测量必相对于静止的参照体系进行。《墨经》经下称"［经］取下以求上也，说在泽。［说］取：高下以善（差）不善（差）为度。。。"这里指出了高低的测量应以水面（泽）为基准而测出高下之差。这和现代以海平面为基准测各种地势的垂直高度是同样的方法。
《墨经》还指出了不同质的量不能相比较，如木之长与夜之长分属空间量与时间量，不能相比较；智慧与粮食不能比较多少，等等。
（三）组合数学和运筹学的思想萌芽我国流传至今的最古典籍之一《易经》，是符号体系和概念体系的统一体。它的符号体系中包含有严格的数学逻辑性，梁启超就说过："易学也可以叫数理的哲学。"
《易经》的符号体系是由代表"阴爻"的"--"和代表"阳爻"的"-"两种基本符号通过排列组合而得出的"四象"、"八卦"和"六十四卦"的集合。
把"-"、"--"各与"-"、"--"排列一次，共有2■＝4 种组合，就是"四象"；再把"-"、"--"与"四象"各配一次，即由三个爻组成一组，共有2■＝8 种组合，就是"八卦"。八种符号分别象征天（■）、地（■）、水（■）、火（■）、风（■）、雷（■）、山（■）、泽（■）八种自然事物，再相应赋予乾、坤、坎、离、巽、震、艮、兑八个卦名，同时还分别代表八个方向。把八卦的每一卦都和八卦相配一次，即取六个爻组成一组，共有2■＝64 种组合，即"八八六十四卦"。
由于"阴"和"阳"是我国古人对一切事物和现象中两种对立力量的高度概括，因而在逻辑体系上由"阴"和"阳"两种符号的排列组合而形成的"六十四卦"，就可以表示出事物和现象的六十四种可能的状态。如自然界的天和地、山和泽、水和火、风和雷；人的刚柔、喜怒、哀乐；人事的吉凶、祸福；事物的表里、虚实等。这些对立的事物和现象相反相成、互相转化构成了宇宙间的一切变化和发展。所以卦爻从下（第一个初爻）到上（第六个上爻）的每种排列，都可以表示出事物的某种发展过程。这样，《周易》就给出了一个朴素的、具有一定逻辑结构的关于事物发展变化的描述体系。卦爻还反映了二进制的数学思想。如果把阴爻"--"以"0"代替，把阳爻"-"用"1"代替，可以看出易卦就是二进制数码组。八卦和二进制数码的对应关系为：坤 艮 坎 巽 震 离 兑 乾卦画 ■二进制数000 001 010 011 100 101 110 111十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7所以，六十四卦也可表成二进制展开式和相应的自然数序：①000000／000001／000010／000011／000100／000101／000110／00011100／01／02／03／04／05／06／07001000／001001／001010／001011／001100／001101／001110／00111108／09／10／11／12／13／15010000／010001／010010／010011／010100／010101／010110／01011116／17／18／19／20／21／22／23011000／011001／011010／011011／011100／011101／011110／01111124／25／26／27／28／29／30／31100000／100001／100010／100011／100100／100101／100110／10011132／33／34／35／36／37／38／39101000／101001／101010／101011／101100／101101／101110／10111140／41／42／43／44／45／46／47110000／110001／110010／110011／110100／110101／110110／11011148／49／50／51／52／53／54／55111000／111001／111010／111011／111100／111101／111110／111111
① 按照宋代邵雍的"六十四卦方图"译为二进制数表。
56／57／58／59／60／61／62／631698 年，德国哲学-数学家莱布尼茨（1646～1716 年）在法王路易十四派往中国的传教士白晋（1656～1730 年）的影响下，开始研究《易经》。1701年4 月，莱布尼茨把自己研究的二进制数表介绍给白晋；同年11 月白晋把邵雍的伏羲六十四卦次序和伏羲六十四卦方位两张图介绍给莱布尼茨。莱布尼茨立即发现六十四卦就是0～63 的二进制数表，六十四卦圆图的结构和他研究的二进制算术是一致的。所以，莱布尼茨对于《易经》中的八卦给予了很高的评价。他说："易图是留传于宇宙间科学中之最古纪念物。"在一封信中他说："《易经》也就是变易之书，在伏羲的许多世纪以后，文王和他的儿子周公以及在文王和周公五个世纪以后的著名的孔子，都曾在这六十四个图形中寻找过哲学的秘密，。。这恰是二进制算术。。。在这个算术中，只有两个符号0 和1，用这两个符号可以写出一切数字。"①二进制是现代电子计算机所采用的主要进位制。
