音律的五音与历法的四季都和五行、五方联系在一起。音律和节气的联系则更为密切，比如十二律与十二月更是相互对应与配合。《汉书·律历》称：“律十有二，阳六为律，阴六为吕；律以统气类物，吕以旅阳宣气。”“十二律”的名称，按最长的管算起顺序为黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射和应钟。黄钟是基音，管长九寸，并以此为准，求得其他各律的音阶长度。在两个音之间的音高距离叫音程，它是以两个音的频率比表示的。当为了求得音高或音程的和谐，达到古人理想的“五声和，八风平，节有度，守有序”(146)的效果，也就是为了更好地利用和探索声音这种自然现象，在弦线上确定各种音程比并表现其内部联系和规律时，古人发明了“三分损益”这种数学方法。如《史记·律书》所云：
九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为傲。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。
三分损益相生法中有两个相生因子：2/3与4/3。三分损一（即2/3）后的音比其前的弦音高纯五度；三分益一（即4/3）后的音比其前的弦音低纯四度。除了1/1和1/2之外，这两个相生因子在数学上是最简单的，而在音感上，由它们产生的纯四度和纯五度又是完全协和音程（1/1和1/2为绝对协和）。由三分损益法产生的五声音阶的任一调式只有大全音和五度律小三度两种音程，其音阶结构甚为简单。这是三分损益法的优点，也是它在历代被沿用的原因。(147)三分损益法也是科学史上将自然现象总结为数学规律的最早、最成功的尝试。
但是，按照三分损益法的计算最终不能返宫。亦即经过五度损益之后，出现音差，不能返回到起始的黄钟律而形成一个圆圈。为了消除这个音差，自汉代京房以后很多大儒沿着三分损益法作了许多新的有益探索，结果都没有成功。
刘焯在研究这一问题时，决心摆脱三分损益法的羁绊，另创一种数学方法，声学史上，称为“刘焯定律”。据《隋书·律历志》载：
仁寿四年（604），刘焯上启于东官论张胄玄历，兼论律吕。其大旨曰：乐主于音，音定于律，音不以律，不可克谐，度律均钟，于是乎在。但律终小吕，数复黄钟，旧计未精，终不复始。故汉代京房，妄为六十，而宋代钱乐之更为三百六十。考礼诠次，岂有得然，化未移风，将恐由此。匪直长短失于其差，亦自管围乖于其数。又尺寸意定，莫能详考，既乱管弦，亦舛度量。焯皆校定，庶有明发。其黄钟管六十三为实，以次每律减三分，以七为寸法。约之，得黄钟长九寸，太簇长八寸一分四厘，林钟长六寸，应钟长四寸二分八厘七分之四。其年，高祖崩，炀帝初登，未遑改作，事遂寝废。其书亦亡。
戴念祖在《声学史》论及刘焯的章节中，按此记载，将其法按现代数学等式列出：
Ln＝63－3n/7＝9－3/7n
式中L代表管长度，n相应于十二律。刘焯以这一等式求得十二律的管长，以公差3/7n构成各律管的等差数列。并以之与现代等程律相比照，发现两者之间的差距很大。就这样，刘焯打破了三分损益的律学传统，企图以长度上等差数列定律达到旋宫目的。然而，这种计算虽然获得相邻两律间的长度差均为3/7寸，但是，这样不仅不能旋宫，而且会使十二律的音高相混淆。究其原因是：一则其未作管口校正，管与弦等同看待；二则是误将“长度等差”看做近代所谓的“音程等比”。尽管如此，刘焯大胆地突破三分损益法却是一个创举，为后人创建等程律提供了一个可贵的失败例证，这种勇于探索的精神仍然是值得嘉许的。
律历之学自汉代已被称为绝学，刘焯不仅精通其学，而且为推进其发展，做出了卓越的贡献。颜之推曾说：“算术亦是六艺之要事，自古儒士论天道、定律历者，皆学通之。然可以兼明，不可以专业。”(148)“不可专业”者，非谓不可以此为业，乃不可专以此为业也。只守一艺谓之专，兼而明之谓之通。史传称刘焯为“数百年已来，博学通儒无能出其右者”(149)，可谓名副其实，信非虚语。
参考文献
［1］杜石然《中国古代科学家传记》上册，科学出版社，1992年1版。
［2］陈遵妫《中国天文学史》，上海人民出版社，2006年版。
［3］张广军《中外科学家发明家丛书》《刘焯》，中国国际广播出版社，1996年1版。
［4］张蕙慧《中国古代乐教思想论集》，台北文津出版社，1991年初版。
［5］戴念祖《中国物理学史大系·声学史》，湖南教育出版社，2001年1版。
