① 吕思勉：《隋唐五代史》第十九章《隋唐五代人民生活》。 .5
（四）隋唐五代科技发展的时代特征中国古代的科技发展，在隋唐五代步入了鼎盛时期，那些出自天文历法、数学、农业、地理、医药、水利、建筑、物理、化学、陶瓷、冶炼、印刷、造纸、纺织、造船等科技领域的重大成果，远远地领先于欧洲的水平，这就不是偶然的社会现象，而有着深刻的文化内涵。
首先，隋唐五代的科技成果，是这一时期较为良好的社会环境的产物。
隋唐建国初期，都在政治和经济领域进行了改革。国家采取奖励垦荒、发展农业生产的政策，在大规模地进行经济建设的同时，大力发展中外思想文化的交流，朝廷完善了科举制度，对科技人才委以重任，各种学科纷纷成为官修的内容。这些开明的举措，极大地激发了劳动人民的创造潜能，科技成果大量涌现，并且强烈地显现出这一时代特有的雄强伟大的豪迈气概。
盛唐所处的公元626 年至740 年前后，正是欧洲最黑暗的年代，封建领主进行着野蛮落后的统治。他们割据领土、频繁征战，国家政权十分软弱，教会乘机兴起，拥有强大的政治权力，同时也垄断了文化知识，凡与教义不符的思想均被严禁，背离神学的书籍尽被焚烧，宗教裁判所操纵着生杀大权，科学发现被视为离经叛道，至高无上的神学成为禁锢人们思想的精神枷锁，致使中古时期的欧洲在科学技术上再无建树，无法和中国的隋唐帝国相提并论。
但在隋炀帝时期和"安史之乱"以后，封建贵族内部的矛盾激化，藩镇割据日益加剧，严重地破坏了社会环境，压抑着科技人才的出现和科技事业的发展。
其次，隋唐五代的科技成果，是对中国古代科技成就的继承和创造。中国古代的官方哲学信奉"天人合一"，推行"政治伦理主义"，维系着奴隶制帝国和封建制帝国的统治和压迫，在较多的岁月里，阻碍着生产力的发展。但是，古代的劳动人民也坚信"人定胜天"，有着战天斗地的光辉业绩。隋唐五代的科学技术人才，全面继承前人的科技文化遗产，并且发展到了崭新的阶段。例如，唐代的蚕桑染织技术，就是对商周以来的养蚕、植桑、织帛、印染技术的总结、继承和提高；而体系庞大的《十部算经》，则是对周代以来历代数学成果的整理和发展；唐代的采矿冶炼技术，则是建立在商周的青铜冶炼、春秋战国以来冶铁技术的基础之上；古老的天文学，为唐代天文学的发展提供了丰富的经验；雕版印刷术的发明，又和汉代的造纸技术有着密切的联系；火药的出现，又是道家们的一大贡献；而隋炀帝乘坐的巨大龙舟，其技术源流更为久远；规模宏伟的都城建筑，也凝结着殷商以来土木建筑的技术成果；隋唐那些大大小小的水利工程，则是"大禹治水"以来水利科学知识的成功运用。。古老悠久的科技文明，是一座丰富的宝库。
二、隋唐五代的天文历法伴随着封建经济的发展，隋唐五代时期的天文历法取得了卓越的成就。
唐政府设置太史局（或叫浑天监、司天台等），内置天文博士、历法博士、天文观生、历生等，掌管天文，制定历法。这一时期涌现出一大批优秀的天文学家，如刘焯、张胄玄、李淳风、僧一行、傅仁钧等。他们在总结前代天文历法研究成果的基础上，努力探索，不断创新。在天文测量、历法编纂、测量仪器的改进等方面取得了重大进展，谱写了光辉的篇章。
（一）定朔法的应用及历法的改进准确推算合朔的时刻，一直是历法中的一个重要问题。在南北朝以前，由于人们还不完全知道日、月的视运动是不均匀的，在历法中一直采用平朔法来确定合朔时刻，用平气来定节气。也就是说用一个朔望月的平均日数确定合朔时刻，这种方法因其所取的分数不是过大，就是过小，推算合朔发生的时刻不是提前就是推后，不能得到真正的合朔时刻。他们曾用调整分数的方法来解决这个问题，但是由于日、月的运动速度是随时间不同而变化的，因此都不能从根本上解决这一问题。平气也是同样，他们根据一年太阳行一周天，每天太阳行一度，一年是365 度，认为每个节气日数也是相等的，推算出每气15.2 日。这样定出的节气也不符合实际情况，产生不准的问题。公元1 世纪，天文学家发现了月亮视运动的不均匀性，曾提出用月亮的实际运行情况，来确定合朔时刻，即定朔法，但都遭到非难。关于平朔、定朔的争论十分激烈，多次反复，延续了数百年。北齐张子信经过多年的观察，发现了太阳的视运动也是不均匀的，提出"日行在春分后则迟、秋分后则速"（《隋书·天文志》）。这一发现对定朔法的应用起到极大的推动作用，根据日、月的实际运行情况来确定合朔日期的定朔法应用势在必行。
刘焯（公元544-610 年），隋初著名的经学家、天文学家。字士元，信都（今河北冀县）昌亭人。对数学和天文学有较深的造诣。"推步日月之经，量度山海之术，莫不覈（hé合）其根本，穷其秘奥。著《嵇极》十卷，历书十卷，《五经述议》并行于世"（《隋书·刘焯传》）。他针对当时张宾制定的《开皇历》仍循古蹈旧的问题，曾多次向隋文帝、炀帝上书，批评现行历法，要求改制新历，并于公元600 年编制了《皇极历》。他制定的《皇极历》是当时最好的一部历法。在《皇极历》中，他第一次同时采用日行和月行速度的不均匀性理论，用以推算五星位置和日、月食起迄时刻及食分等。用定朔法代替平朔法，这在我国历法史上是一个重大的突破。他还采用定气的方法，来计算日行度数和交令时刻。他推得春分、秋分离冬至各88 日之多，离夏至各93 日之多。尽管他给定的太阳运行快慢数值与实际不大相符，但一改过去的平气之说，是历法上的一大进步。对岁差的认识，也由于刘焯的努力，在隋代达到了一个新的高度。由于地球是一个椭圆球体，自转轴对黄道平面是倾斜的，地球赤道那里的突出部分受到日月等吸引而引起地轴绕黄极作缓慢的移动。大约2.6 万年移动一周，由此产生了岁差现象。冬至点在黄道上大约每年西移50.2 秒，就是71 年8 个月差1 度。按我国古代所用的度数，也就是70.64 年差1 度。自晋代虞喜（公元330 年前后）发现岁差，指出"使天为天，岁为岁"（《大衍历·历议》）后，岁差便在历法的计算上得到实际应用。祖冲之是第一个用它来改进历法的人，他实测得冬至点在斗15 度，认为不到100 年相差2 度，得出45 年11 个月相差1 度。刘焯在他的历法中使用75 年差1 度的的岁差数值，已大大接近实际数值，这在当时是很精密的。而当时的西方仍沿用100 年相差1 度的数值。刘焯在岁差问题上，还提出黄道岁差的概念。在他之前的历法给出的岁差值都是属于赤道岁差，是由冬至点（或夏至点）赤道宿度的变化求得的。为了精确推算日月五星的行度以得定气和定朔，他曾测定了28 宿的黄道度，并与东汉时代测定的数值进行比较，发觉其中有11 个宿的黄道度有了变化。他认识到这种变化是岁差引起的，曾指出："岁久差多，随术而变"（《隋书·律历志》）。就是说，为了精确推算当时日、月、五星离冬至点的黄道积度，不能根据过去的而必须根据当时的28 宿黄道度来归算。如果要推算过去或将来的行度，则必须先按岁差求得那时候的28 宿黄道度。一行的《大衍历》接受了刘焯推算黄道日度的原理。刘焯还在推算交食时第一次考虑视差对交食的影响，也就是在地球表面观测天体和在地心观测天体所产生的天体位置差，这在当时都是十分可贵的创见。刘焯编制的《皇极历》，当时因受到太史令张胄玄和张宾等人的排斥，未能施行，但他对天文历法学的贡献却没有埋没。
在唐代的289 年中，历法先后变更了8 次。《旧唐书·历志》的记载中，"但取戊寅、麟德、大衍三历法"。这确实是三部有价值的历法。
唐初傅仁钧制订的《戊寅历》于武德二年（公元619 年）颁行。这是我国第一部采用定朔法正式颁行的历法，是我国历法史上的重大改革。
贞观十九年（公元645 年）以后，因采用戊寅历出现连续4 个大月的情况，反对用定朔的历家认为这是不应有的现象，又改用平朔。至麟德二年（公元665 年），李淳风以刘焯的《皇极历》为基础加以改进，再用定朔，颁行了《麟德历》。《麟德历》对过去定时分"有章、蔀（bù音部，古代历法名词），有元、纪，有日分、度分，参差不齐"（《新唐书·历志》）的情况加以统一，简化了计算过程。为避免连续出现几个大月或几个小月的情况，采用临时变通调整的方法，并在无中气的月分置闰月，在当时受到好评。开元九年（公元721 年），因《麟德历》所推算的日食不准，唐玄宗命僧一行重新造历。一行全面研究了我国历法的结构，并且参考了当时天竺国（印度）的历法，在此基础上大胆创新，于开元十五年（公元727 年）编制了闻名中外的《大衍历》。一行是极为严谨的天文学家，他经过认真测量，得出冬至附近日行最快，所以二气之间的时间最短；夏至附近日行最缓，所以二气之间的时间最长，指出了正确的日行快慢规律，纠正了刘焯的错误。他又测知从冬至到春分6 个定气间共88.89 日，日行一象限；从春分到夏至6 个定气间共91.73 日，也行一象限，秋分前后和春分前后情况相同。根据明代授时历实测，从冬至到平春分前三日（定春分），日行一象限，需88.91日；从平春分前三日到夏至93.71 日，日也行一象限，秋分前后相同。可见一行测量的数据是相当精确的。宋代科学家沈括曾说："开元大衍历最为精密，历代用其朔法"。《大衍历》从唐中叶到明朝末年，使用了800 余年。唐时，日本留学生吉备真备把《大衍历》带到日本，在日本广泛流传使用，影响很大。《大衍历》共分7 篇：一，步中朔，即计算平朔望、平气；二，步发敛术，计算72 候；三，步日躔术，计算每天太阳的位置和运动；四，步月离术，计算月亮的位置和运动；五，步轨漏，计算每天见到天空的星象和昼夜时刻；六，步交会术，计算日月食；七，步五星术，计算五大行星的位置和运动。在一行以前，历代编写历法，格式不一。自《大衍历》后，一直遵循这种格式，直到明末吸收西方历书的特点才有所改变。可见《大衍历》在我国历法史上的重要地位，一行也因此成为唐代最伟大的天文学家。
在唐德宗建中年间（公元780-783 年），民间曾出现一种《符天历》，系天文学家曹士。。（wěi，音伪）所编。它以显庆五年（公元660 年）为历元，不用上元积年。它以雨水为气首，以一万为基本天文数据的分母，也即把数据化为十进小数，从而大大减轻了计算工作，也简便易行。但不为当时一般历官所重视，被贬称为"小历"，只在民间受到欢迎，曾流行于唐末、五代直到宋的好几百年之间。历法，本是封建统治权的象征之一，在我国古代一般是不许可各地颁行与中央不同的历法。但由于当时的藩镇割据，中央的历书已不能遍及全国，而人民的生产生活又必须有历书，这就为民间历书的流通创造了条件。
（二）一行及其对子午线的测定僧一行（公元683-727 年），魏州昌乐人，俗名张遂。从小刻苦好学，聪慧过人，"博览经史，尤精历象、阴阳、五行之学"（《旧唐书·一行传》）。因不愿结交权贵武三思而出家为僧，隐居于河南嵩山。出家之后，仍勤奋攻读，求师闻教，在天文、数学等方面造诣很深。公元717 年，因当时行用的《麟德历》出现误差，被唐玄宗强召入京，令其"考前代诸家历法，改撰新历"。一行以极其严肃认真的态度，深入实际，大胆革新，在天文历法学方面作出了卓越的贡献，把我国古代的天文历法研究推向一个前所未有的高度，成为隋唐时期最伟大的天文学家。
他的主要贡献，一是和梁令瓒合作，制成了观测天象的铜浑天仪和黄道游仪；二是在天文观测中发现了恒星移动的现象；三是制定了沿用800 年之久的《大衍历》；四是组织在全国各地测量日影，客观上实施了对地球子午线的测定。这些都是旷世纪的工作，尤其是对地球子午线的测定，这在全世界还是第一次。
我国古代的历法不但包括了年、月、日的安排，而且还包含了日、月食的预报，各个节气日的昼夜时刻长度等等。这些项目都跟观测地球的纬度有关。开元十三年（公元725 年），在一行的倡议下，唐政府派南宫说等人到全国13 个地方进行观测。观测的项目包括：这一地点的北极出地高度，冬至、夏至和春秋分日太阳在正南方向的时刻八尺高表的影子长度。在这次测量中，以南宫说等人在今河南省的四个地点进行的一组最重要。他们除了测量北极高度和日影长度外，还测量了这四个地点之间的距离。这四个地点是：白马、浚仪、扶沟和上蔡，它们的地理经度几乎完全相等，误差很小。一行根据这些地点实测所得的数据算出：从白马到上蔡，距离相差526 里270 步，（唐代尺度一步等于5 尺），夏至日表影的长度差2 寸挂零。这一次观测再一次证明古代流传的"南北地隔千里，影长差一寸"的说法是错误的。"千里一寸"的说法，早在公元442 年（南北朝宋文帝元嘉十九年）就被天文学家何承先所否定了。但是何承先却认为，影差一寸的任意两地，其间南北距离的差总是相等的。这个说法意味着地是平的，结论自然是错误的。隋代刘焯就曾否认这个说法，提出影差和南北距离差的比率不是常数，但他仅是估测，没有实测。一行根据南宫说等人的实测证实了刘焯、李淳风的说法是正确的。他完全放弃了"地隔千里，影差一寸"的概念，而代之以北极高度差1 度，南北距离差多少的概念。根据南宫说等人的实测，一行求出南北两地间距离相差351 里80 步，北极高度相差1 度。我国古制1 里等于300 步，一步等于5 尺，1 尺约合24.525 厘米，1 度等于365.2565-360 度。换算为现代单位，即为南北相距131.11 公里，北极高度相差1 度。这实际就是测量地球子午线上1 度的长度。按现代测量的结果，在纬度35 度处，子午线1 度长为110.94 公里。一行所得的数据比现代测量的数字偏大20.17 公里，虽然误差大了一些，但它是世界上第一次对地球子午线长度的实测，具有划时代的意义。西方国家最早关于子午线的测量，是伊斯兰教阿尔曼孟于814 年在美索不达米亚地方举行的，比我国实测晚了90 年。一行这次测量的地理范围，南到北纬17 度线的林邑（今越南中部一带），北到52 度线的铁勒回纥部（位于现在蒙古人民共和国乌兰巴托西南的喀拉和村遗址附近）。中经朗州武陵（今湖南省常德市）、襄州（今湖北襄樊市）、太原府（今山西太原市）和蔚州横野军（今河北蔚县东北）等13 处。其规模之大也是史无前例的。一行生活在儒、佛、道等封建思想盛行的年代，又是一个僧人，尽管在他的思想中充塞了很多封建迷信的糟粕，但他力行实践，并尊重实践的结果，这是很可贵的。通过这次测量活动，他还初步认识到在很小范围有限的空间得到的认识，不能任意不加分析地扩展到很大甚至是无限的空间去使用，这在我国科学思想史上是一个进步。正如他所说："古人所以恃句（gōu，勾的古字）股之术，谓其有征于近事。故未知目视不能远，浸成微分之差，其差不已，遂与术错"（《旧唐书·天文志》）。
一行组织的这一次大规模的天文测量活动，开创了我国通过实际测量认识地球的途径，把地球子午线的测量同地面距离结合起来，从中寻找出接近实际的变化规律。彻底推翻了千里差一寸，以地平推算宇宙半径的荒谬观点。从而为制订新的历法提供了较科学的依据，也为后来的大地天文测量提供了基础。一行这次测量的实践活动和数据成果，很可惜没有引起更多人们的重视；根据浑天说中地球如鸡子的猜想，一行和他的同事们如果具有更大胆的精神，完全有可能推算出地球的大小了。由于受历史的限制，我们可以看到，他们把目标过于放在数据的精确性方面，而没有把所得的材料从整体方面综合起来思考，没有去思考大地和日、月、星之间的确切关系和根本运动规律。而当时的哲学家们也把主要精力放在文化性的事物方面，论述天人关系，即使是牵涉到宇宙和天的问题，他们也对天文学家的计算数据乃至新的发现不够注意。唐后期的刘禹锡（公元772-842 年）和柳宗元（公元773-819 年）对天的问题很关心，分别写了《天论》和《天说》，但他们不过是从朴素的唯物论出发，指出天命论的错误，从没有考虑大地和日月星辰的结构问题，只把日月星辰的排列运行和山崩地裂等自然现象看成是与神和人事无关而已。但于天体结构则相去甚远，唯有一行在天文史上率先测知子午线这一伟大功勋，才是永远不会磨灭的。
（三）浑仪的改进与测天精度的提高浑天仪是我国古代研究天文的唯一测器。自汉以来，天文学家都以制造浑天仪为其首要任务，其制造技术不断改进提高。浑天仪制造技术的提高，也使测量天文常数的精度进一步提高。
隋文帝时，耿询（字敦信，丹阳人）就曾改进、试造浑天仪，"不假人力，以水转之"与天象密合。他还曾制作十分精巧的"马上刻漏，世称其妙"（《隋书·耿询传》）。
唐初李淳风鉴于当时北魏造的铁浑仪不够精密，因而立意改革，于贞观七年（公元633 年）造了一架新型的浑天黄道铜仪。同时写了《法象志》一书7 卷，论述"前代浑天仪得失之差"。李淳风所造的浑仪在前人基础上作了重大改进，它吸收了北魏铁浑仪设有水准仪的优点，"下据准基，状如十字"。进一步把浑仪由两重改为三重，就是在六合仪和四游仪之间再安装一重三辰仪。李淳风把张衡浑天仪的外面一层，由地平圈、子午圈和赤道圈固定在一起的一层叫做六合仪，因为中国古时把东西、南北、上下六个方向叫做六合。把里面能够旋转用来观测的四游环连同窥管，叫做四游仪。在这两层之间新加的三辰仪是由3 个相交的圆环构成。这3 个圆环是黄道环、白道环和赤道环。黄道环用来表示太阳的位置，白道环用来表示月亮的位置，赤道环用来表示恒星的位置。古时把日、月、星叫做三辰，所以称之为三辰仪。三辰仪可以绕着极轴在六合仪里旋转；而观测用的四游仪又可以在三辰仪里旋转。这样就可直接用来观测日、月、星辰在各自轨道上的视运动。由于黄白交点在黄道上有较快的移动，李淳风在黄道环上打了249 个小洞眼，每过一个交点月，就把白道环移过一对洞眼，较好地解决了实际的需要。浑天仪用三层，是从李淳风开始的。经这样改进后，黄道经纬、赤道经纬、地平经纬都能测定。
李淳风黄道浑仪的研制成功，是对天体产生新认识的结果，标志着我国古代在天文学研究方面进入了一个新的阶段。
一行在开元九年（公元721 年）接受修订新历后，提出直接观测太阳视运动的要求。但当时由于李淳风的黄道浑仪亡佚，"官无黄道游仪，无由测候"。一行和另一位天文学家梁令瓒合作，制成了铜浑天仪和黄道游仪。铜浑天仪是在汉朝浑天仪的基础上加以改进制成的。一行为了使铜浑天仪能自己转动，应用了古代计时漏壶滴水的原理，在仪器上安装一个齿轮，用漏壶滴水的力量推动齿轮，齿轮带动浑天仪绕轴旋转，每天转动一周，用水力运转仪器反映天体现象。其中还安装有自动报时器，"立二木人于地平之上，前置鼓以候辰刻，每一刻自然击鼓，每辰则自然撞钟"（《旧唐书·天文志》）。整个位置构思精巧，结构精细，在天文钟的发明制作和机械工艺史上都是一个大创造。
黄道游仪是在李淳风黄道浑仪基础上加以改进的。先是用木试制，后用铜铁浇铸。铜游仪于开元十三年（公元725 年）造成，唐玄宗"亲为制铭，置于灵台以考星度"。黄道游仪制作时，在赤道环和黄道环上每隔一度都打上洞，使黄道环也可以沿赤道环转动，白道环也可以沿黄道环移动，成为"动合天运，简而易从"的天文观测仪器。
由于天文仪器的改进和人们艰苦的探索，这一时期的天文测量和天象记录等方面也取得了辉煌的成果，天文常数的测量精度也进一步提高。如隋代张胄玄的《大业历》（公元608 年），在五星位置的推算上给出了令人惊叹的五星会合周期的准确值，其中火星误差最大，为0.011 日，木星和土星的误差均为0.002 日（2.88 分），水星仅差0.001 日（1.44 分），而金星则达到密合的程度。又如这一时期的十余种历法中所用交月点的长度同理论推算值之间的差异，绝大多数均在1 秒以下。近月点长度值的误差为1.5 秒左右，达到了历法史上精确度的高峰。关于交食周期的数值，也达到十分精确的程度。郭献之的《五纪历》（公元726 年）中采用716 个朔望月122 次食季的交食周期，这同19 世纪末西方的所谓纽康（Newcomb，Simon，美，1835-1909年）周期是相等的。以后边冈的《崇玄历》（公元893 年）使用了3087 个朔望月有526 食季的交食周期，由此推算得交食年的长度为346.6195412 日，这同理论推算值仅有14 秒的误差。再如徐昂的《宣明历》（公元822 年）所用的黄赤交角值为23°34′55″，仅比理论值小37″。
一行用他制造的仪器在唐开元十二至十三年（公元724-725 年），重新测定150 余颗恒星的位置，同时也测量了二十八宿距离北极的度数，经过他们的测量，发现与前代测量的数据有很大差异，从而推断出恒星在天体上的位置也在缓慢地移动，并不象古人认为恒星位置是永恒不动。早在唐初贞观年间（公元627-649 年），李淳风为修《麟德历》而进行的观测中，就已发现了二十八宿距星间的距度有变化，但他在这个问题上陷入保守。而一行则在自己的历法中革除了沿用几百年的陈旧数据，改用自己测定的数据。这在世界天文史上是第一次。1718 年，英国天文学家哈雷测量恒星的黄道度和古希腊不同，提出恒星移动的理论，这已比一行的观测结论晚近1000 年了。在敦煌发现的唐代星图上标有1350 颗星，是当今世界上留存星数最多而又最古老的星图。这份绘于8 世纪初的星图，从12 月开始，按照每月太阳的位置，分12 段把赤道带附近的星，用圆筒投影的方法画出来，再把紫微垣画在以北极为中心的圆形图上。据分析它可能是更早星图的抄本，但也表明了我国古代测天成就达到相当高的高度。敦煌星图于1907 年被英国人斯坦因带走，现存英国伦敦博物馆内。
在天象记录方面，也留下了十分珍贵的记录。如唐代对彗星的记载：仪凤元年（公元676 年）7 月丁亥，"有彗星于东井，指北河，长三尺余。东北行，光芒益盛，长三丈，扫中台，指文昌"。记录的不仅形象逼真，而且位置准确。《新唐书·天文志》中还记录有彗星分裂的现象，如唐"乾宁三年十月，有客星三，一大二小，在虚、危间，乍合乍离，相随东行，状如■（dǒu，今简作"斗"），经三日而二小星没，其大星后没"。记录的非常细致。
由于这个时期天文科学的发展，天文知识的普及也出现繁荣的局面。唐初王希明所作的《步天歌》，以七字一句的诗歌形式专门介绍陈卓星图中283个星官，1464 个星辰的知识。它把全天分为31 个天区，即后世流传的所谓"三垣二十八宿"的分区法。这种对星空的区分方法，一直沿用到近代，这也是《步天歌》的创造。每个天区绘有星图，配上诗句，便于人们对照和背诵，是一部普及天文知识的优秀著作，对古代普及天文学知识起了很大作用。三、隋唐五代的数学隋唐五代时期，由于社会相对稳定，经济日趋繁荣，农业、手工业和商业的长足发展，加之编制新的历法，开筑大运河和城市大规模建设等的需要，促进了这一时期数学的发展。出现了王孝通的《缉古算经》这样有成就的著作和刘焯、僧一行等人在天文历法计算方面的突破。另外在数学教育的开展、数学知识的普及和计算技术的改进等方面也比前代有明显的进步，这些为后来宋、元时期的数学大发展奠定了基础。
（一）数学教育的开展和"十部算经"的注释隋统一中国后，结束了南北分裂的局面，经济出现了繁荣景象，国家开始大规模的经济建设。经济的发展，引起了国家对数学教育的重视。隋代在国子监中设置算学，置博士2 人，助教2 人，学生80 人，开展数学教育。并在科举考试中设立了明算科。由国家创办数学教育，这在我国历史上还是第一次。唐朝建立后，继承隋朝制度。据《贞观政要》记载："贞观二年（公元628 年）大收天下儒士"，"书算各置博士学生，以备众艺"。显庆元年（公元656 年），唐在国子监设置算学馆，计有"博士2 人，助教1 人，学生30 人。"据《唐六典》记载，由算学博士"掌教文武官八品以及庶人之子为生者"。主要学习"十部算经"。"习《九章》、《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张邱建》、《夏侯阳》、《周髀》、《五经算》十有五人，习《缀术》、《缉古》十有五人，"并兼习《数术记遗》和《三等算》。学习期限规定："《孙子》、《五曹》共限一年业成，《九章》、《海岛》共三年，《张邱建》、《夏侯阳》各一年，《周髀》、《五经算》共一年，《缀术》四年，《辑古》三年"。考试也分科举行，计《九章》三帖，《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张邱建》、《夏侯阳》、《周髀》、《五经》等七部各一帖，谓之一组。又一组为《缀术》七帖，《缉古》三帖。显庆三年（公元658 年），高宗李治"诏以书、算、明经，事唯小道，各擅专门，有乖故实，并令省废"（《唐会典》卷65）。废算学馆并把博士以下人员并入太史局。至龙朔二年（公元662 年）在国子监重设算学。另外唐在地方还设有都督府、州、县学，并允许私人办学，各种学校除必学儒学经典外，还学习各种专业。唐中叶，国子监有学生8000 多人，地方州县学生达60000 多人，均有算学课程设置，可见唐代数学教育的兴盛情况。
在国家重视教育的同时，隋唐政府还十分重视对图书典籍的整理工作，曾先后大规模地组织人力抄写、整理前代散失的著作。为满足数学教育的需要，唐高宗时曾令太史令李淳风与算学博士梁述，太学助教王真儒等注释十部算经，作为国学教科书。
李淳风，岐州雍人（今陕西凤翔），明天文、历算、阴阳之学，唐高宗时任太史令。现在传本的算经十书每卷的第一页上都题"唐朝议大夫、行太史令、上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释"。这十部算经是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张邱建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》。其中除王孝通的《缉古算经》是初唐作品外，其余都是以前的作品。这些著作，过去由于传抄不一，注述庞杂，错误较多。经李淳风等人认真校对，一一整理，对其中错误予以澄清。如传本《周髀》，有赵爽注，甄鸾重述，李淳风根据实际观测，修正了经文和他们注释的错误。指出《周髀》以"地差千里，影差一寸"的假定作为算法的根据，是脱离实际的。赵爽用等差极数插直法推算24 节气的表影尺寸，不符合实际测量结果。甄鸾对赵爽的"句股圆方图说"多有误解等等。又如《海岛算经》原本是刘徽附于《九章算术》之后的"重差"一卷，原著解题方法文字概括不易理解。李淳风等详细指明了解题中的演算步骤等。这些都为当时及后人的学习和研究提供了方便。正是由于李淳风等人的注释，又经政府规定为教科书，才使这10 部算经得以流传至今。但是李淳风等人的注释工作也存在明显的缺点和错误，如没有认识到刘徽割圆术的意义，甚至轻视刘徽的发现，这是不对的。也有的注解质量并不是很高。尽管如此，这毕竟是一件古代数学的总结工作，对推动数学教育的开展和数学知识的普及具有重要意义。
数学教育的开展和数学知识的普及，无疑对当时的社会生产起了推动作用。隋唐五代时期出现了许多令世人皆叹的宏伟壮丽工程和精妙绝伦的制造技术，这些都与数学知识的发展和应用是分不开的。
但是由于传统思想的支配，统治阶级对经史治国的过分依赖，历代帝王不会把数学教育提高到应有的地位，随着封建统治内部矛盾的加深，对数学的重视也只能是每况愈下。唐时国子监原有算学学生30 人，至天宝以后，学校益废，生徒流散，贞元前后（约公元800 年）六馆已亡其三。至元和二年（公元807 年）更定员额，西京书算馆各10 人，东都算馆仅2 人而已。而且算学学生的社会地位非常低微，国子监博士的官阶是正五品上，算学博士的官阶是从九品下，所以杜佑的《通典》中说："士族所趋唯明经、进士二科而已"。这种"明经至上"的封建教育机制，不但未能使算学得到应有的支持，反倒成为算学发展的桎梏。大约至晚唐，明算科的考试便早已停止。（二）王孝通和《缉古算经》王孝通，唐代初期数学家。由于资料所限，其籍贯身世、生卒年代都不可详考。根据《旧唐书》、《新唐书》以及《唐会要》的记载，王孝通出身于平民，少年时期便开始潜心钻研数学，在天文历算方面造诣很深。唐高祖武德年间（公元623 年前后）担任算学博士，奉命与吏部郎中祖孝孙校勘傅仁钧制订的《戊寅历》，提出异议30 余条，被提升为太史丞。
王孝通把毕生的精力都用在数学的研究方面。称得上是这一时期最伟大的数学家。他的最大贡献是在总结前人研究的基础上，写作了《缉古算术》。后因被列为10 部算经之一，改称为《缉古算经》。在这部书中，王孝通第一次提出并解决了开带从立方法，即求三次方程的正根，是我国现存最早的开带从立方的算书，在我国古代数学史上是一个突破。李约瑟在他的《中国科学技术史·数学卷》中曾这样描述："在唐代（公元7 世纪），王孝通成功地解决了三次数学方程"，"在欧洲，斐波那契（公元13 世纪）是第一个提出王孝通那类问题的解法的人。有理由认为，他可能是受到东亚来源的影响"。
《缉古算经》全书二十问，第一问是有关天文历法的计算问题，可用算术解答。第二至十四问是立体问题，是以三次方程解答的问题。第十五至二十问是勾股问题，是以三或四次方程解答的问题。全书每问之后都有术文，说明方程各项系数的解法，在一些重要术文之后，都有王孝通的自注。注文一般是说明立术或建立方程的理论根据及运算过程。如书中第二问为："假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈。甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕。羡道从台南面起，上广多下广一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲县一十三乡，乙县四十三乡，每乡别均赋常积六千三百尺，限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台，二县乡人共造羡道，皆从先给甲县，以次与乙县。台自下基给高，道自初登给袤。问台道广、高、袤及县别给高、广、袤，各几何"。
关于仰观台和羡道的计算方法，王孝通给出四种计算方法。第一术是求仰观台高、广、袤术；第二术是均给积尺受广袤术；第三术是求羡道广、袤、高术；第四术是求羡道均给积尺，甲县受广、袤术。其中第二术术文为："以程功尺数乘乙县人，又以限日乘之，为乙积。三因之，又以高幂乘之，以上下广差乘袤差而一，为实。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高，三之为方法。又并二高，三之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即乙高。以减本高，余，即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高，如本高而一，所得，加上广，即甲上广。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得，加上袤，即甲上袤。其甲上广、袤即乙下广、袤。台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤，有增损者，皆放此"。术文之后，王孝通自注为："此应三因乙积，台高再乘，上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。以上广之高乘上袤之高为小幂二。乘下袤之高为中幂一。凡下袤、下广之高即是截高与上袤，上广之高相连并数。然此中幂定有小幂一，又有上广之高乘截高为幂一。又下广之高乘下袤之高为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又有小幂一，复有上广、上袤之高各乘截高为幂各一，又截高自乘为幂一。其中幂之内有小幂一，又有上袤之高乘截高为幂一。然则截高自相乘为幂二，小幂六。又上广上袤之高各三以乘截高为幂六。令皆半之，故以三乘小幂。又上广上袤之高各三，今但半之，各得一又二分之一，故三之二而一。诸幂乘截高为积尺"。
根据术文，例为现代方程式，即为：333222 3Bhc a d bhac ahbd bhhac ahbd bh h x x x（ ）（ ）（ ）－ －＝－ －＋－＋－＋· · ·关于王孝通写作《缉古算经》的目的，他在《上缉古算术表》（约公元626 年）中称："伏寻《九章》商功篇有平地役功受袤之术，至于上宽、下狭，前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目；将来莫睹，遂于平地之余，续狭斜之法，凡二十术，名曰《缉古》"。可以看出，王孝通是依据《九章算术》的算法，结合实际，创造性地编造了一些立方体积问题，用于解决一些土木工程的计算问题。他建立的三、四次方程及其解法，虽然依据几何的性质，只限于正解，但在我国古代数学发展史方面仍不失为辉煌的成就。就当时已有的数学水平而言，如何列出合乎题解需要的三次方程，是一个很困难的问题，直到宋元时期的"天元术"出现之后，这个问题才得到解决。
（三）二次内插法的建立公元206 年，刘洪在《乾象历》中首次提出一次内插法后，三国时期的杨伟，南北朝时期的何承天、祖冲之都是用一次内插法来计算日行度数。由于日、月视运动的不均匀性，用一次内插法所行的结果与实际误差很大。随着天文观测的进步，天文学家又发现了太阳视运动的不均匀性，因而要求有更精确的计算方法来推算日、月及五星运行度数。
公元600 年，隋代的天文学家刘焯在制定《皇极历》时，首先创立了等间距的二次内插公式，这是我国数学史和天文学史上的一个重大突破。刘洪应用的一次内插公式为：f（n＋s）＝f（n）＋s△［其中△是一级差分＝f（n＋1）－f（n）］。而刘焯的二次内插公式就比刘洪的一次内插公式精密的多。刘焯的二次内插公式为：f nl s f nlsls sls f nl f nlf nl l f nl（ ） （ ） （ ）（ ） （ ）［ ， （ ） （ ），（ ） （ ）］＋ ＝ ＋＋＋－ － －＜ ＜ ＝ ＋ －＝ ＋ － ＋D DD D D DDD1 21 222 1 2221 20 1 1 12 1求太阳的视行度数时，l 是一节气的时间；求月行度数时，l 为一日的时间。利用这一公式计算所得到的历法精度大大提高。但是由于节气l 实际上不是按等间距变化，日、月、五星也不是作等加速运动，因此仍然存在缺点。为了提高历法的精确度，唐代著名天文学家僧一行在公元727 年，创立了不等间距的二次内插公式，不等间距二次内差公式为：f t s f t sl lsl lsl l l ll l s L（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（ ， ）＋ ＝ ＋＋＋＋ －－＋－ 1 ＜D D D DD D1 21 2112221 211221 2当l1＝l2 时，和刘焯的等间距二次内插公式相同。一行较好地解决了与实际较大误差问题，利用这个公式编制的《大衍历》在推算日、月、五星运行度数方面比以前进了一大步，也使我国的天文历算大大走在世界的前列。晚唐时的徐昂在公元822 年制定《宣明历》时，所用的内插公式比一行的公式形式更为简单。
二次内插法的建立，标志着我国天文历算学进入一个新的里程。
（四）数学计算技术的改进这一时期数学的进步，还表现在计算技术的改进方面。
从李淳风等注释10 部算经（公元656 年）以后，到南宋秦九韶《数书九章》（1247 年）以前，这592 年中唐宋人的数学著作，现在都没有传本。只有一本韩延的算术书，因被冠于《夏侯阳算经》之名得以流传下来，从而保存了一些珍贵的史料。《韩延算书》约成书于公元774 年前后，全书3 卷共计83 个例题，除少部分例题和《五曹算经》、《孙子算经》相同外，其它都是结合当时的实际需要，为地方官吏和普通百姓提供适用的数学知识和计算技术。根据史料记载：这一时期的算学家，除已介绍的刘焯、王孝通、李淳风、僧一行等人外，还有陈从远、龙受益、边刚、刘孝孙等人。据《宋史·律历志》记载："唐试右千牛卫，胄曹参军陈从远著《得一算经》，其术以因折而成。取损益之道，且变而通之，皆合于数"。南宋王应麟《玉海》称："江本撰《三位乘除一位算法》二卷，又以一位因折进退，作《一位算术》九篇，颇为简约"。元代胡省三据《新唐书·历志》注《通鉴》称"刚（边刚）用算巧，能驰骋反覆于乘除间，由是简捷超径等接之术兴"。《新唐书·艺文志》记载："贞元人（公元785-804 年）龙受益《算法》二卷"。《宋史·艺文志》记录：龙受益著有《算法》二卷，《求一算术化零歌》一卷，《算范要诀》二卷。虽然这些著作都没有流传下来，我们无法确切知道它们的具体内容，但不难看出，这一时期实用算术有了很大发展，人们积极从事计算技术的改进，在简化筹算乘除的演算手续，减轻数字计算工作方面取得了很大成绩。
