㉒ 参见徐喜辰《井田制度研究》第二章第二节。吉林人民出版社1982年版。.7
在廩粟方面，汉代政府对官吏、军人发放的粮粟，虽然在俸禄上有等级差别，但是主要和官秩有关，而和爵位的高低（特别是第八级公乘到第一级公士之间的低爵阶层）没有多少联系，可参见下列史实：
西汉的俸禄情况见颜师古注《汉书•百官公卿表上》：“汉制，三公号称万石，其俸月谷三百五十斛。其称中二千石者月各百八十斛，二千石者百二十斛，比二千石者百斛，千石者九十斛，比千石者八十斛，六百石者七十斛，比六百石者六十斛，四百石者五十斛，比四百石者二十七斛，一百石者十六斛。”
东汉建武二十六年颁布的俸制，见《后汉书•百官志五》：“百官受奉例大将军、三公奉，月三百五十斛。中二千石奉，月百八十斛。二千石奉，月百二十斛。比二千石奉，月百斛。千石奉，月八十斛。六百石奉，月七十斛。比六百石奉，月五十斛。四百石奉，月四十五斛。比四百石奉，月四十斛。三百石奉，月四十斛。比三百石奉，月三十七斛。二百石奉，月三十斛。比二百石奉，月二十七斛。一百石奉，月十六斛。斗食奉，月十一斛。佐史奉，月八斛。凡诸受奉，皆半钱半谷。”
荀绰《晋百官表注》中提到的东汉延平中俸例是，“中二千石奉钱九千，米七十二斛。真二千石月钱六千五百，米三十六斛。比二千石月钱五千，米三十四斛。一千石月钱四千，米三十斛。 六百石月钱三千五百，米二十一斛。四百石月钱二千五百，米十五斛。三百石月钱二千，米十二斛。二百石月钱一千，米九斛。百石月钱八百，米四斛八斗。㉓”
以上材料表明，终汉一代，官吏俸禄中的粮粟发放多少，并不和爵位高低有直接联系，而只是和官秩有关。从居延汉简的大量记载来看，西汉中叶到东汉前期，边郡的军吏、士卒每月领取的口粮“廩食”标准基本上是一样的，通常为小石三石三斗三升少，月小则扣发一日，为三石二斗二升少。㉔折合大石约为二石。家属则按照不同的年龄每人每月领取一石至二石多（小石）不等。因为受禀者的爵位高低与廩粟数量无关，发放月廩的登记册“廩名籍”中只说明是某某部、某某燧、障及军吏、戍卒的姓名，并不注明领取口粮者的爵级。例如《居延汉简释文合校》第180.1、180.2二简所载：
“鄣卒冯纵 廩六月三石三斗三升□
四月壬戌自取以付卒□□
第四燧长张临五月食粟三石三斗三升少卒成竟五月食四月癸未卒魏羽取
粟三石三斗三升 四月祭未卒魏羽取
卒魏羽五月食粟三石三斗三升 四月癸未自取
卒张常五月食粟三石三斗三升 四月癸未卒□□取”
又见26•21号简文，记载令史三人、尉史二人，鄣卒十人取月廩粮粟都相同，也是只见职务、姓名，而不记爵级。简文中每条句尾都有一个“卩”字，系当时领取廩粮的画押，而非正文，故省去不引。原文如下：
“令史□□粟三石三斗三升少十二月□□自取
尉史囗伊粟三石三斗三升少十二月□□自取
令史皇楚粟三石三斗三升少庚子自取
尉史郭当粟三石三斗三升少戊十二月戊申自取
令史郭充粟三石三斗三升少十二月丙午自取
右奉食吞远
鄣卒□□之粟三石三斗三升少十月壬申自取
鄣卒赵忘生粟三石三斗三升少十月癸酉自取
鄣卒马定粟三石三斗三升少十月癸酉自取
鄣卒弋南粟三石三斗三升少十月癸酉自取
鄣卒孟延寿粟三石三斗三升少十月癸酉自取
鄣卒孔胜之粟三石三斗三升少十月癸酉自取
鄣卒徐充粟三石三斗三升少十月癸酉自取
鄣卒王奴粟三石三斗三升少十月癸酉自取
鄣卒李寿王粟三石三斗三升少十月癸酉自取
施刑桃胜之粟三石十一月庚子自取”
“施刑”即“弛刑徒”，是在边郡服徒刑的犯人，因为得到皇帝的赦令诏书，被解除所戴的刑具及身穿的囚服，可以著常人的服色，但是服刑期限不变㉕。因为属于囚犯身份，所以生活待遇低于普通士兵，领取的廩粮数量略少一些。
尽管军吏和士卒领取的月廩都是三石三斗三升左右（小石），但是他们的爵位级别却有不同，自第一级公士到第八级公乘不等。如担任隧长者多数爵为公乘，㉖而低于公乘者也不乏其人。如：第七级公大夫，见《居延汉简释文合校》第179•6简：“肩水候官执胡陇长公大夫奚路人中劳三岁一月。”此外，如：
第五级大夫，58•2简：“居延甲渠第廿八隧长居延始居里大夫孟宪年廿六。”
第二级上造，225•11简：“居延甲沟第三隧长间田万岁里上造冯匡年二十一。”
甚至还有无爵者“士伍”，157•9简：“居延甲渠候官第廿九隧长士伍李宫。”
戍卒、田卒的各种爵位则有“士伍”，50•15简：“戍卒赵国邯郸邑中阳陵县士伍赵安世年三十五。”
“公士”，11•18简，“田卒大河郡东平陆北利里公士张福。”19•40简，“田卒淮阳郡长平业阳里公士儿尊年廿七。”65•1简，"戍卒淮阳郡苦中都里公士薛宽年廿七。”
“上造”，11•2简，“田卒淮阳新平常昌里上造柳遂年廿五。”498•14简，“田卒淮阳郡嚣堂邑上造赵德。”188•32简，“戍卒张掖郡居延孤山里上造孙感已年廿二。”533•2简，“戍卒河东皮氏成都里上造傅咸年二十。”
“簪褭”，286•14简，“戍卒张掖郡居延吕里簪褭司马骏年廿二。”
“大夫”，61•2简，“张掖居延甲渠戍卒居延宗里大夫王甲年若干，见。”133•9简，“戍卒张掖郡居延当遂里大夫殷则年𠦜五。”137•2简，“戍卒张掖郡居延吕里大夫赵宽年卅。”188•15 简，“戍卒张掖郡居延当遂里大夫淳于觉。”
“公乘”，15•22简，“戍卒汝南郡西平中信里公乘李参年廿五，长七尺一寸。”214•7简，“第十三隧戍卒河南郡成皋宜武里公乘张秋年卅四。”14015简，“河渠卒河东皮氏毋忧里公乘杜建年廿五。”
这些记载都表明了汉代廩粟的数量标准与爵位的高低（第一至第八级之间）没有什么直接的联系。正如钱大昕所说的，"公乘以下，与齐民无异。"彼此的身份地位没有根本的不同，所以领取的口粮也是相同的。这和《衰分章》算题所载的公士至大夫按爵级高低领取不同廩粟的情况不相符合；所以我们认为算题所反映的爵制等级关系并非两汉的社会实际。
那末，《衰分章》所谈到的爵次问题是不是虚构呢？非也。根据有关文献、考古资料的记载，战国至秦代，在二十等爵制度当中，确实按照爵级高低给受爵者享有不同的权益，等级界限是相当分明的，即使在较低的爵级（一至五级）中也是如此，战国时代，新兴地主阶级已经在很多诸侯国家里掌握了政权，并且进行了有利于巩固封建统治的政治改革，普遍提出了以功劳赐爵的口号和措施。魏国用李悝变法，建立了“食有劳而禄有功㉗，的任官制度，主张“夺淫民之禄”以来四方之士；就是取消旧奴隶主贵族在政治、经济上的世袭特权，而把爵禄赏给为国家立功的人。赵国也实行了“军功爵赏。㉘”申不害在韩国变法时，“见功而与赏，因能而授官；㉙”或称“循功劳，视次第，㉚”以功劳大小决定爵位的高低。在楚国，名将吴起在楚悼王的支持下主持改革，针对楚国“大臣太重，封君太众”，旧贵族垄断朝政的局面，提出了“使封君之子孙三世而收爵禄，绝灭百吏之禄秩，损不急之官以奉选练之士”㉛的措施，也实行军功赏爵。燕国采用“无功不当封。㉜”齐国则在春秋时期就建立了“勇爵”制度，目的在于“设爵位以命勇士。㉝”而按军功大小而分别赐爵的制度，在秦国发展得最完备，执行得最坚决。商鞅在秦国进行变法的重要内容之一，就是“明尊卑爵秩等级各以差次，名田宅臣妾衣服以家次。㉞”《史记索隐》解释道，“谓各随其家爵秩之班次，亦不使僭侈逾等也。”即按爵位高低而拥有不同的田地、房屋、奴隶和服装。如《商君书•境内篇》中对此就有比较详细的记载，"能得甲首一者，赏爵一级，益田一顷，益宅九亩，一除庶子一人。“其有爵者乞无爵者以为庶子，级乞一人，其无役事也，其庶子役其大夫，月六日；其役事者，随而养之。”这表明秦国对有功获爵者，每赐一级便颁给一百亩田地，九亩宅地，以及一个隶属于有爵者的无爵"庶子"，他每月要为主人无偿地服私役六天。如果遇到战事，主人出征，庶子还要随同前往。因功获高爵者还能得到赏赐的奴隶、私客和封邑。如“爵吏而为县尉，则赐虏六，加五千六百。“爵五大夫，有税邑六百家者、受客。”爵至大庶长以上，“皆有赐邑三百家，有赐税三百家家。㉟”
此外，获得一定爵位的人还可以免服徭役。《汉书•百官公卿表》颜师古注曰：“不更，谓不豫更卒之事。”秦国自商鞅变法之后、男子壮丁要“月为更卒㊱，”轮流为国家服役，每次役期为一个月。汉代只有获得第九级爵“五大夫”以上的人才能免役，看来这里所说的应是战国至秦代的事情，“不更”以上的有爵者不必去服“更卒”徭役。
除了得到经济上的好处，拥有爵位的人还享有司法、诉讼等方面的特权。《商君书•境内篇》言：“爵自二级以上，有刑罪则贬；爵自一级以下，有刑罪则已。”就是说，爵位在二级以上的人，如果犯了罪，可以通过降低爵位的办法来减刑。爵位在一级以下者，就只有依照法律服刑了。《秦律杂抄•游士律》中就规定：“有故秦人出，削籍，上造以上为鬼薪，公士以下刑为城旦㊲”对私出国境的罪犯，爵位在第二级上造以上者判罚较轻，服三年徒刑；而第一级公士以下者就要判罚最重的徒刑“城旦”，服役五年。《秦律•司空律》中也规定，拥有公士爵位的人以劳役赎徒刑、死刑的时候，不用穿囚服，也不戴各种刑具；而无爵的刑徒和服劳役的奴隶则必须“皆赤其衣”，穿红色的囚服，戴上颈钳、脚镣等刑具，受人监管，㊳反映了有爵者在犯罪之后的待遇也和无爵者截然不同。
在政治方面，因功受爵者能够根据功劳大小、爵位高低而担任各种官职。《商君书•境内篇》云：“能得甲首一者，乃得入兵官之史。”小吏获得爵位可以做县尉，“爵吏而为县尉”。受赐大夫爵位者可以参预政务，“爵大夫而为国治”。战国时秦的官制与汉代不同的一处，就是具有官、爵合一的特点，见《韩非子•定法》：“商君之法曰：‘斩一首者，爵一级，欲为官者，为五十石之官；斩二首者，爵二级，欲为官者，为百石之官。’官爵之迁与斩首之功相称也。”就是爵次一级，相当于五十石俸禄的官秩一级。《史记》中《秦本纪》、《商君列传》记载商轶先后被秦王封为左庶长、大良造，既是爵名，又是官名。以爵名代官名的还有拜将领兵的“五大夫陵”、“五大夫贲”、“庶长疾”、“庶长章”、“左更错”、“中更胡伤”、“大良造白起”等等，㊴说明赐爵等于拜官。反之，撤掉官职者，也常常被“夺爵”、取消爵位，成为无爵的“士伍”。
正是因为官秩大小和爵位高低有密切联系，所以在禀粟方面，汉代官吏的俸禄、廩食按官职的级别发放，而战国至秦朝因为拜爵一级即升官一级，因此可以按照爵位的次序颁给不同数量的粮粟。《衰分章》第6题云爵位最低的公士领粟一斗，按秦在统一前后均有“斗食”之吏，系官秩最低者。《史记•秦始皇本纪》十一年，“（王）翦将十八日，军归斗食以下，什推二人从军。”《史记正义》解释“斗食”云“得斗粟为料”。《汉书音义》：“斗食禄，日以斗为计。㊵”是说这种小吏只是每日领取斗粟为口粮。《汉书•百官公卿表》载秦之县官，“秩四百石至二百石，是为长吏。百石以下有斗食、佐史之秩，是为少史。”属于低级官吏。
斗食以上，或者说公士以上官爵较高的人在禀粟方面有着待遇差别。从《秦律•传食律》的规定来看，官吏外出执行公务，沿途到国家的招待所“传舍”中进餐时，按照爵位的高低享有不同等级的伙食标准。律文如下：
“御史卒人使者，食粺米半斗，酱驷（四）分升一，采（菜）羹，给之韭葱，其有爵者，自官士大夫以上，爵食之。使者之从者，食䊪（粝）米半斗；仆，少半斗。
不更以下到谋人，粺米一斗，酱半升，采（菜）羹，刍稿各半石。宦奄如不更。
上造以下到官佐、史毋（无）爵者，及卜、史、司御、寺、府，䊪（粝）米一斗，有采（菜）羹；盐廿二分升二。”㊶
这里所规定的传食标准，明显地与爵位次序有关，大致分成三种情况。
A“自官士大夫以上，爵食之。”按秦简整理小组的意见，是指在第五级大夫、第六级官大夫以上的人，照国家颁行的爵级待遇供给饭食。㊷这是因为当时高爵的划分是从第五级“大夫”开始的，见《汉旧仪》，“令曰：秦时自大夫以上，令与亢礼。“大夫五爵，赐爵五级为大夫，大夫主一车，属三十六人。”《秦律•法律答问》亦有“大夫寡，当伍及人不当？不当。”㊸是说大夫数目少，是否应当与其他人合编为伍？回答是不应当。正是由于秦时大夫系高爵，所以不与普通百姓为伍。大夫以上的高爵者属于上层统治阶级，另有详细的伙食供应等级标准。
B 第四级不更与第三级谋人（簪褭）伙食标准相同，都是粺米一斗，酱半升，菜羹，柴、草各半石。表明要他们自己（或随从）做饭。
C第二级上造以下到无爵者，供给的是最粗糙的粝米，以盐代酱。
从上述律文来看，是把第一至第四级低爵者的伙食标准分成二等，而对大夫以上的高爵者，则是逐级提高待遇，所说的情况和《衰分章》算题的内容略有不同；后者对低爵者也是逐级增加禀粟的数量。不过，它们在廩粟（食）的原则上基本一致，而和汉代的情况不同，即按爵位次序不是按官秩发放不同数量的禀粟，对低爵者亦然。表明《衰分章》算题所说的情况确实不是虚构，而是有一定真实性的。它和《秦律•传食律》在内容上的个别差别，可能是属于秦在不同历史时期爵制规定略有变动而造成的，前引《商君书•境内篇》的各条记载反映了战国中期商鞅推行变法的时候，各级爵次的待遇差别相当分明，即使是大夫以下的各级低爵之间也是如此，像爵一级为五十石之官，爵二级为百石之官，增爵一级即益其田宅。所以我们分析《衰分章》所讲的大夫至公士各级依爵次分鹿、出钱、廩粟的现象很可能属于这个时代，而《传食律》则是战国末年到秦朝初年的法典，出现较晚，可能在爵制方面发生了一些变化，使低爵四级的待遇差别缩小了，一、二级合为一等，三、四级合为一等而到汉代，低爵八级之间的身份、权益差别就演变得更加接近了。
《九章算术》既然成书于汉代，怎么可能会出现反映战国情况的算题呢？这是因为，它的许多解题方法是产生于秦代以前的，刘徽在《九章算术注•序》中说：“往者暴秦焚书，经术散坏，自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。”提到《九章算术》当中有些内容是根据遗留下来的先秦算书残篇整理删补的。《衰分章》中三道涉及爵次的算题，或者属于此类，就不足为怪了。
那末，二十等爵的制度为什么到了汉代就发生了这样明显的变化呢？我们认为，它的演变和战国到西汉封建生产关系的发展、地主阶级内部各个阶层地位的升降有密切的关系。爵制属于上层建筑领域，它的存在和发展必须适应特定历史时期内经济基础的需要。春秋战国时期，正是我国从奴隶社会转向封建社会的过渡阶段。先进的封建生产方式的代表--新兴地主阶级要发展、壮大自己阵营的势力，打击、削弱旧奴隶主贵族的世袭特权，还要在诸侯之间的兼并战争中取得胜利，因此主要以军功为赐爵的基本条件，如秦“有军功者，各以其率受上爵。㊹”相反，如果是没有军功的人，即使是宗室贵族，也不能获得爵位和优厚的待遇。“宗室非有军功论，不得为属籍。㊺”《史记索隐》解释道：“谓宗室若无军功，则不得入属籍。谓除其籍，则虽无功不及爵秩也。”受爵的对象大都为士兵、军吏、将军，或者是对国家立有其它事功的人。战国至秦朝，是军功地主占据统治地位的时代，西汉初年仍是如此。刘邦统一天下，做了皇帝以后，曾经多次下诏奖励随他南征北战的将士，对有功者加官晋爵，赏赐田宅，复除赋役。汉初的朝廷大臣和地方长官，也多是行伍出身，少有旧的世袭贵族。这方面的情况可以参见下列记载：
《史记•张丞相列传》：“自汉兴至孝文二十余年，会天下初定，将相公卿皆军吏。”
《汉书• 景帝纪》中六年五月条，“先是吏多军功，车服尚轻，故为设禁。”
《汉书•张苍传》：“汉兴二十余年，天下初定，公卿皆军吏。”
《汉书•儒林传》：“孝惠、高后时，公卿皆武力功臣。”
反映了西汉高帝至文帝时，朝廷的三公九卿、地方郡县长官，大多是军功地主。但是经过“文景之治”几十年的休养生息，随着封建地主经济的成长，凭借兼并土地、兴办工商业而壮大了实力的豪强地主集团开始“武断乡曲” ㊻，控制地方，登上政治舞台。这些人尽管没有官秩和很高的爵位，却因财力雄厚而称雄一隅。司马迁在《史记•货殖列传》里提到当时“若至力农畜，工虞商贾，为权利以成富，大者倾郡，中者倾县，下者倾乡里者，不可胜数。……千金之家比一都之君，巨万者乃与王者同乐。”讲的就是他们的情况。在现实的社会生活中，战国至秦代那种身份贵贱按功劳大小、爵级高低排列的次序便被打破了，财产多少成了衡量社会地位的新标准，富翁与贫民之间建立了种依附、隶属关系，是西汉中叶以来的普遍现象。像司马迁所说的，“凡编户之民，富相什则卑下之，伯则畏惮之，千则役，万则仆，物之理也。㊼”其中的大姓、豪族，“馆舍布于州郡，田亩连于方国。身无半通青纶之命，而窃三辰龙章之服；不为编户一伍之长，而有千室名役之役。荣乐过于封君，势力侔于守令，财赂自营，犯法不坐，刺客死士，为之投命。㊽”而原来掌权的军功地主阶层势力则逐渐衰弱，子孙多为不肖之徒，大部分腐朽没落，“忘其先祖之艰难，多陷法禁，陨命亡国，或亡子孙，讫于孝武后元之年，靡有孑遗，耗矣。㊾”到宣帝时，政府调查汉初功臣的后代，“咸出庸保之中。㊿”已经没有能力再来操纵国家机器了。
封建政府为了获得豪强地主阶层的支持，不得不满足他们的政治需要，改变原来的军功赏爵制度，因为豪强地主并非靠战功起家，而是依仗其在经济方面的优势；所以，汉代爵级的提升由以军功为主改变为多种途径。例如：
A可以入钱、入粟来买爵。西汉时惠帝、文帝、景帝、武帝、成帝均颁布过卖爵令，人钱者每级交纳千钱至二千钱不等。 输粟买爵的规定始于文帝，“令民人粟边六百石，爵上造；稍增至四千石，为五大夫万二千石，为大庶长，各以多少级数为差。○51”景帝时，“上郡以西旱，亦复修卖爵令，而贱其价以招民及徒复作，得输县官以除罪。○52”有钱千文以上，有粟数百石、数千石乃至万石可以买到爵位者，自然只能是地主、商人阶层，“粝食褐衣”的贫苦农民是无力问津的，这种制度的实行显然有利于豪强地主们获得免役、减罪等特权和荣誉。
B可以徙边赐爵。汉代由于西北地区经常和匈奴等游牧民族作战，为了增强边境的经济、军事力量，吸引百姓由内地迁移到人口稀少的西边、北边，政府曾经采取了官家供给移民衣食、房屋、工具的做法，并宜布对徙边者和输奴婢于边境安家者赐以高爵。其具体规定见《汉书•晁错传》：“陛下幸忧边境，遣将吏发卒以治塞，甚大惠也。然令远方之卒守塞，一岁而更，不知胡人之能，不如选常居者，家室田作，且以备之。以便为之高城深堑，具蔺石，布渠答，复为一城其内，城间百五十步，要害之处，通川之道，调立城邑，毋下千家，为中周虎落，先为室屋，具田器，乃募罪人及免徒复作令居之；不足，募以丁奴婢赎罪及输奴婢欲以拜爵者；不足，乃募民之欲往者。皆赐高爵，复其家。予冬夏衣，廩食，能自给而止。郡县之民得买其爵，以自增至卿。”对于豪强地主来说，徙边赐爵也是有利的，他们不用亲身前往，也可以通过输送奴婢的办法来获得较高的爵位。
C可以由普赐民爵而晋级。战国、秦代普赐民爵的事例很少，偶而出现过几次，也都是有特殊的原因。例如长平之战激烈进行时，秦昭王“发卒十五以上悉诣长平，遮断赵救及粮食，”○53为了鼓舞士气，曾经赐民爵一级。秦始皇在位时仅对治驰道者和迁北河、榆中的3万家赐爵一级。○54而汉代自惠帝、文帝以后，遇到国家喜庆之事，常常在全国范围内无条件地普赐民爵，两汉各有数十次之多。但是，汉代政府将第九级五大夫作为高爵的起点，又规定赐民爵累计不得超过第八级公乘；超过公乘的爵级，只能移给兄弟、子侄。由于公乘以下的低爵没有多少权益，平民百姓在普赐民爵当中捞不到什么好处，封建政权用这种办法来限制普通吏民通过赐爵升入高层，控制国家机器；也是为了保证那些财力充足、能够用钱粮买爵的豪强地主获得高爵，使他们的社会地位不受威胁。
以上所述，就是西汉二十等爵制度发生变化的主要原因。《衰分章》算题所谈到的那种公士、上造至大夫五种爵级的获得者身份、权利各异，地位等级分明的现象，到汉初就已经是往日烟云，不复存在了。到了东汉，由于门阀地主势力的膨胀，仕进之途已经被豪强垄断。他们可以通过察举、征辟而担任中央、地方的各种官职，或直接用钱买官。另外，因为更戍制的废除和募兵制的实行，列侯以下的各级爵位与人民的赋税、免役及社会地位没有什么直接联系，原来高爵（九至十八级）所拥有的种特权及优待也被取消了。二十等爵制度名存实亡，只剩下一个徒具虚名的躯壳。王粲说：“民不知爵者何也夺之，民亦不惧；赐之，民亦不喜，是空设文书而无用也。○55”魏晋以后，它便逐渐被策勋等其它制度完全取代了。
注释
①《汉书•东方朔传》。
②《史记•梁孝王世家》。
③《后汉书•梁冀传》。
④《史记•田叔列传》。
⑤《睡虎地秦墓竹简•秦律十八种》文物出版社1978年版。
⑥见注释⑤。
⑦见注释⑤。
⑧《急就篇》。
⑨《汉书•贡禹传》。
⑩《汉书•晁错传》。
⑪见注释⑤。
⑫《汉书•文帝纪》。
⑬见注释⑫。
⑭《列宁全集》第6卷第93页注。
⑮《汉书•高帝纪》。
⑯《汉书•惠帝纪》。
⑰见注释⑯。
⑱见注释④。
⑲《汉书•高帝纪》注引《汉仪注》：“民年十五以上至五十六，出赋钱。人百二十为一算，为治库兵车马。”
⑳《汉书•宣帝纪》注引《汉仪注》：“民年七岁至十四岁，出口钱，人二十，以供天子。至武帝时，又口加三钱，以补车骑马。”
㉑《汉书•景帝纪》注：“服虔曰：万钱，算百二十七也。”
㉒《汉书•高帝纪》十一年二月诏：“令诸侯王、通侯常以十月朝献，及郡各以其口数率，人岁六十三钱，以给献费。”
㉓《后汉书•百官志五》注。
㉔参见陈直《两汉经济史料论丛》第12页，陕西人民出版社1980年版。
㉕《汉书•宣帝纪》注引孟康曰：“复音服，谓弛刑徒也。有敕令诏书去其钳钦靖衣，更犯事，不从徒加，与民为例。故当复为官作，满其本罪年月日，律名为复作也。”
㉖参见《居延汉简释文合校》第3•19，13•7，37•57号简文。
㉗《说苑•政理》。
㉘《史记•冯唐列传》。
㉙《韩非子•外储说左上》。
㉚《战国策•韩策》。
㉛《吕氏春秋•贵卒》。
㉜《战国策•燕策》。
㉝《左传• 襄公二十一年》杜预注。
㉞《史记•商君列传》。
㉟《商君书•境内篇》。
㊱《汉书•食货志•上》。
㊲《睡虎地秦墓竹筒》文物出版社1980年版。
㊳见注释 ⑤。
㊴《史记•秦本纪》、《史记•秦始皇本纪》。
㊵《后汉书•百官志•五》注。
㊶见注释⑤。
㊷见注释⑤。
㊸见注释㊲。
㊹见注释㉞。
㊺见注释㉞。
㊻《史记•平准书》。
㊼《史记•货殖列传》。
㊽《后汉书•仲长统传》。
㊾《汉书•高惠高后文功臣表•序》。
㊿ 见注释㊾。
○51 见注释㊱
○52 见注释㊻ 。
○53《史记•白起王翦列传》。
○54《史记•秦始皇本纪》。
○55《艺文类聚》卷51引《爵论》。
附
《九章算术》的源流与各算题反映的时代内容
《九章算术》这部数学典籍，由于年代久远，有关它的撰写情况在历史上缺乏明确和详细的文字记录，给后人留下了很多疑难问题；例如《九章算术》在何时成书，是由谁来编著的，它和先秦、汉代的其它数学著作之间的继承关系怎样。几十年来，学术界对这些问题始终是各执己见，争论不已的，尚未得出一致的意见。不过，这部书在东汉时代就已经广泛流传，对此大家是没有异议的。据《后汉书•马援传》记载，马援的侄孙马续“十六治诗，博览群籍，善九章算术”。马续是东汉名儒马融（公元79 年-166年）之兄，其生年大约在公元70年左右。而马融的门生郑玄（公元127年-200年）年轻时，也曾向第五元先学习过《九章算术》，精通算学。① 清朝嘉庆二十年（公元1815年），河南睢县出土过一件东汉的大司农铜斛，现在收藏在上海博物馆。据铜斛铭文所载，它作于灵帝光和二年（公元179年），是做为国家制造的标准量器而颁发于天下，铭文写道：“特为诸州作铜斗、斛、称、尺，依黄钟律历、《九章算术》，以均长短，轻重大小，用齐七政，令海内都同。”② 同铭的还有另一件铜斛和一件铜权。从上述史料来看，《九章算术》这部在东汉前期（公元1 世纪后半期）已经成书，不仅做为儒生学习的教材之一，还被封建官府当做计算度量衡标准的依据，流行的范围相当普遍。东汉时期的历史著作和考古文物上提到了《九章算术》，说明它在当时已然问世，可是记述西汉时期各种书籍的《汉书• 艺文志》中却没有见到它的名称；因此，很多学者便以此为根据把这部书的著作年代定在东汉。③
但是，另一些资料也表明，《九章算术》的成书有可能早于东汉。三国曹魏景元四年（公元263年），数学家刘徽为《九章算术》作注释时，在序言里曾经提到，这部书的历史渊源很早，它和周代的算学“九数”有关，经过秦至西汉数百年间一些学者对这部书的纂辑、修改和补充，才逐渐形成了目前流传本的内容。刘徽的注释原文如下：
“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。暨于黄帝神而化之，引而丹之，于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则九章是矣。
往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。”
照刘徽的说法，《九章算术》本来起源于西周。《周礼•大司徒篇》中曾经提到：“保氏掌谏王恶而养国子以道。乃教之六艺一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。”是讲周代的官员“保氏”负责主持国中贵族子弟的教育，向他们传授礼、乐、射、驭、书、数这六门课程，其中每一门课程又包括若干条细目，例如算学“九数”里就有九项内容。《周礼》原文当中没有关于“九数”的详细说明，可是在东汉初年，学者郑众注释《周礼》时曾说：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要，今有重差、句股。"这里的“九数”纲目，只和《九章算术》的篇名有很小的区别，在于最后的“旁要”后来被“句股”所代替。秦朝采取“焚书坑儒”的文化专制政策，在此期间，周代的“九数”等算书也没有能够逃脱这一场浩劫，保留下来的只是一些断简残编。由于西汉张苍、耿寿昌等人的删补，得以重新成书。张苍是秦及汉初人，担任过秦朝的御史官，主管文书。后来他跟随刘邦起义反秦，又和项羽作战，建立了汉朝。由于他对算学、音律、历法都有所擅长，在汉初管理过郡国岁终的上计，即关于各地财政、赋税、户口的统计工作，并担任过御史大夫和丞相的要职。耿寿昌是西汉宣帝时人，官居大司农中丞。《汉书•食货志》记载他“以善为算，能商功利，得幸于上。”耿寿昌曾经向朝廷建议实行“常平仓法”，稳定了边郡市场的粮价；还主持过杜陵的修建工程，因为计划安排得当，进展顺利，而被赐爵为关内侯。他们先后对先秦遗留下来的算术书进行过修订，其纲目、语言、文字已经和原来的“九数”有所不同，“广论者多近语”，加进了许多汉代（西汉）的社会内容和数学内容。
《广韵》卷四中写有：“九章术，汉许商、杜忠，吴陈炽、王粲并善之。"提到西汉的数学家许商、杜忠都很熟习《九章算术》（或是《九章算经》）书中的计算方法。许商是西汉后期京师长安人，在汉成帝、哀帝时曾担任过博士官、河堤都尉、将作大匠，光禄大夫和大司农等官职，多次主持过水利工程的修建活动。历史上记载他“能商功利”，编写过《许商算术》26卷和《五行论历》等著作。杜忠的事迹不详，但是西汉成帝河平三年（公元前26年），陈农访求遗书，尹咸校数术时，杜忠的算学著作《杜忠算术》16卷也已经问世。从这些零星记载来看，《九章算术》的成书时代也有可能在西汉宜帝时耿寿昌修订之后，许商、杜忠的算书问世之前。
关于《九章算术》的源流、成书年代和算题所反映的时代背景，以往有不少学者从事过探讨，还存在着若干分歧。笔者不揣冒昧，也对这个问题进行一番考辨，阐述自己的某些看法，希望能够得到专家的指正。
（一）源于战国、秦代的“粟米”问题
在《九章算术》卷二《粟米章》的46道算题，有31道是涉及原粮与米面之间，或粮米与各种饭食之间的加工比率问题。这一章的卷首，载有称做“粟米之法”的一张粮食比率换算表，做为后面各道算题计算的标准依据。文字如下：
“粟率五十 粝米三十
粺米二十七 糳米二十四
御米二十一 小䵂十三半
大䵂五十四 粝饭七十五
粺饭五十四 糳饭四十八
御饭四十二 菽荅麻麦各四十五
稻六十 豉六十三
飧九十 熟菽一百三半
蘖一百七十五”
这张表把各种数据汇集成组，以粟为标准，列举了其它谷物、食品与粟的若干比率。例如“粟率五十，粝米三十”，就是指的粟 50斗可以舂成粝米 30斗，以此类推。后面的31道算题则是根据上述条件，具体对某两种粮食、食品的数量进行换算。1975年，湖北省云梦县睡虎地秦代墓葬里，发掘出了大批竹简，其中流行于战国后期到秦朝的《秦律•仓律》里，记载了有关粟米等粮食的加工比率。原文为：“〔粟一〕石六斗大半斗，舂之为䊪（粝）米一石，䊪米一石为凿（粱）米九斗，九（斗）为毁（毇）米八斗。④”律文记载与《说文解字》的有关记录相同，和《九章算术》的“粟米之法”相比，小有差别，仅在于“粟米之法”把槃米和粺米的加工比率弄颠倒了，应为“栗率五十，粝米三十，糳米二十七，粺米二十四，御米二十一，”这也许是后人传抄误写所致。
《秦律•仓律》中还有“麦十斗，为䵂三斗”，加工比率是10 ：3，“粟米之法”中麦四十五，小䵂十三半（13.5）也可以换算成10：3，两者是完全相符的。这里表现出《九章算术》中“粟米”一章的源流相当古老，可以追溯到战国至秦代官府对于粮米加工比率所做出的法律规定。
（二）《衰分章》中所提到的“爵次”问题
《九章算术》卷三《衰分章》中有三道算题谈到按照爵位、即身份等级分配猎物、廩粟和摊派钱款的事情。
第1题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？
答曰：“大夫得一鹿三分鹿之二。
不更得一鹿三分鹿之一。
簪褭得一鹿。
上造得三分鹿之二。
公士得三分鹿之一。”
第 6 题：“今有禀粟，大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰分之，问各几何？
答曰：“大夫出一斗四分斗之一。
不更出一斗。簪褭出四分斗之三。上造出四分斗之二。公士出四分斗之一。”
第8题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？
答曰：“大夫出八钱一百三十七分钱之一百四。
不更出一十钱一百三十七分钱之一百三十。
簪褭出一十四钱一百三十七分钱之八十二。
上造出二十一钱一百三十七分钱之一百二十二。
公士出四十三钱一百三十七分钱之一百九。”
陈直先生曾指出：“以上三则算题，都是假设说，各依爵位，分鹿、分粟、出钱。考汉书百官表，汉爵因秦制，一级曰公士，二级曰上造，三级曰簪褭，四级曰不更，五级曰大夫。宋代钱文子、清代钱大昕，皆谓汉爵八级以下为民爵，八级以上为官爵，官爵即不戍边，证之敦煌居延两地所出木简，戍卒的爵衔，皆是八级以下，与二钱的推断均合，九章所拟的算题，皆是指最低的五级民爵而言。这是西汉中期齐国人民作品的明证。⑤”
上述陈先生的观点有多处可以商榷，《衰分章》三道算题中所提到的“大夫”、“不更”、“簪褭”、“上造”、“公士”等爵级，自战国中叶商鞅在秦国变法后即已建立，沿至西汉，历时数百年。题内的文字并未直接说明是属于哪个时期的事迹，也未能指出作者的籍贯，陈直先生亦没有列举什么材料来证实它完成于西汉中期的齐人之手，却称其为“明证”，岂不是太武断了吗实际上，按照爵位高低来分配猎物，领取廩粟，承担钱款的现象，并不是汉代社会生活的状况，两汉百姓八级公乘以下均为低爵（民爵），彼此间的权益、身份地位没有明显的区别，像清代学者钱大昕所说的那样，“公乘以下，与齐民无异。⑥”百姓出猎后分配获物、交纳钱款（如社钱、人头税等）都和爵位无关。”⑦在廩粟方面，数量的多少主要是和官秩的高低有关，而和爵级没有直接的关联。从一些历史记载来看，按照爵级高低给受爵者享有不同权益的制度，是流行在战国到秦代这一阶段，即便是在较低的爵级（一至五级）中也是如此。象《韩非子•定法》所载："商君之法曰：斩一首者，爵一级，欲为官者，为五十石之官。斩二首者，爵二级，欲为官者，为百石之官。官爵之迁与斩首之功相称也。”由于爵位和官秩是一致的，所以是按照爵级的高低来领取不同的俸禄（包括禀粟），彼此间的身份地位也有明显的差别。在《秦律•传食律》中，也规定了官吏外出执行公务，途中在国家的驿站“传舍”吃饭时，依照爵级享受不同等级的伙食标准。⑧汉代的赐爵制度较之战国和秦代发生了不小的变化，八级以下的民爵所享受的权益比以前大大减少了，各级爵位之间也显示不出分明的等级界限。上述《衰分章》三道算题所反映的爵次与汉代的阶级关系不相符合，而与战国、秦代阶级结构的时代特点比较接近，看来可能是这一时期社会状况的表现。
（三）“算数书”与《九章算术》的联系
在湖北江陵张家山汉墓简牍发现之前，学术界公认《九章算术》是我国现存最古的一部数学典籍，它的成书年代虽然有所争议，但是差距不大，基本上不出西汉中叶到东汉中叶这一阶段⑨。而张家山汉墓发掘出的竹简《算数书》，根据同墓所出的竹简历谱来看，是西汉前期吕后执政到文帝初年的遗物，⑩时代要早于《九章算术》。《算数书》的编写体例和《九章算术》相同，也是采取的数学应用问题解法集成的形式。目前，此书清理出来的小标题大约有六十个，其中有些篇名也和《九章算术》的基本相同。例如，《九章算术》的第四卷名为《少广》，卷首题目的文字为：
“今有田广一步半，求田一亩，问从（纵）几何？
