“粟重一䄷，为十六斗大半斗，舂为米只斛曰䊪；（粝）。”
“糳，䊪（粝）米一斛舂为九斗也。”
“粺，毇也。“毇，米一斛舂为八斗也。”
加工比率为粟16.6： 粝米10： 糳米9： 粺米8。数据和“粟米之法”一致，而粺米和糳米掉换了位置，是说粺米精于糳米。哪部书的记载是正确的呢？清代学者段玉裁在注释《说文解字》时发现了这个问题，他认为《九章算术》的记载是对的，所以按照“粟米之法”改动了《说文解字》的数据，并在注释里加以说明。①
1976年，云梦秦简出土之后，整理小组在《秦律•仓律》里看到了和《说文解字》记载相同的粟米加工比率，文字如下：
“〔粟一〕石六斗大半斗，舂之为䊪（粝）米一石，䊪（粝）米一石为凿（糳）米九斗；九〔斗〕为毁（毇）米八斗②”。
证明粺米是精于糳米的，《说文解字》的记载并没有错，而是《九章算术》把糳米和粺米的加工比率弄颠倒了（也许系后人传抄误写），应为“粟率五十，粝米三十，糳米二十七，粺米二十四，御米二十一。③”
再如麦和小䵂的加工比率，按“粟米之法”，麦45：小䵂13.5，即麦45斗加工后的副产品——小䵂为13.5斗（其余部分为面粉）。云梦秦简《秦律•仓律》写道“麦十斗，为䵂三斗。”加工比率是10：3。“粟米之法”中的麦45：小䵂13。5也可以约成10：3，二者完全相符。④
对照《说文解字》和《秦律•仓律》等史料，证明《九章算术》关于原粮和米面的加工比率除有个别谬误之外，基本上是符合历史实际的。
（2） 粟和其它谷物的换算比率
“粟米之法”云：“粟率五十，……菽、荅、麻、麦各四十五，稻六十。”参照《说文解字》和《秦律》的记载，我们判断它反映的是各种谷物在相同重量的条件下不同体积的比率。
《说文解字》曰：“䄷，百二十斤也。稻一䄷为粟二十斗，禾黍一䄷为粟十六斗大半斗。”又有“粲，稻重一䄷为粟二十斗，为米十斗曰剿，为米六斗大半斗曰粲⑤”《秦律•仓律》也有“稻禾一石，为粟二十斗，春为米十斗⑥”的律文。此处的“粟”指的是未去壳的稻谷或禾谷，可参见《尔雅翼》：“粟，古以米之有孚谷者，皆称粟。”秦汉的“石”既是重量单位（120斤），又是容积单位（10），在不同场合使用时有不同的含义，很容易混淆。东汉时计算粮食容量用“斛”而不用“石”，以示有别。《说文解字》和《秦律•仓律》的记载是说在一石（䄷）的重量情况下，稻谷的体积为20斗，禾谷的体积是16.6斗，它们的比率是20：16.6，亦等于稻60：禾50，正是“粟米之法”所言的“粟率五十，……稻六十”。
《秦律•仓律》还有“叔（菽）、荅、麻十五斗为一石⑦”是说一石重量的大豆、小豆或麻籽的体积为十五斗，而《说文解字》记载一石重量的粟之体积为十六斗大半斗，比率是粟16.6：菽、荅、麻 15，亦等于50：45，恰好是“粟率五十，……菽、苔、麻、麦各四十五。”
（3）粮米和各种饭食的加工比率
如粝米、粺米、糳米，御米和这几种米做成的米饭之比率，菽、荅和豉、熟菽、麦和蘖之间的比率，表现了各种粮米制成饭食后在体积上的变化。由于缺少这方面的旁证材料，其内容无法详考。
有的同志认为，“粟米之法”反映的是古代商品贸易中以物易物的交换情况，它记载的比率表示出商品的扩大的价值形态，“可见古代把商品交换中等价物各自的（标准）数量称为率⑧”这种看法是值得商榷的。
首先，从“粟米之法”中原粮与米面的比率来看，它们各自的价值量是不相等的。例如粟50斗可以舂成粝米30斗，但是30 斗粝米的价值应该是高于50斗粟的；因为在粝米的价值量里还包含了把粟加工成米的劳动。其它原粮和米面或米面与饭食的比率情况也是如此。“粟米之法”中的有关比率数据只是说明了粮米在加工后的体积变化，并不意味着它们的价值是相等的。
其次，从粟与其它谷物的比率数据来看，它们的价值量也是有差别的。“粟率五十，……菽、荅、麻、麦各四十五，稻六十。”如果认为它们的价值相等，50斗粟能够交换45斗豆、麻、麦，或是60斗稻；那么，是豆、麻、麦的价格最高，粟价居中，稻价最低。可是古代粮价的实际情况与此截然相反，五谷中稻因为种植时花费劳力较多，是最贵的。孔子曾说：“食夫稻，衣夫锦，于女安乎⑨？”认为衣食中最上等的是锦和稻。《论衡•艺增篇》亦云：“五谷之于人也，食之皆饱。稻粱之味，甘而多腴；豆麦虽粝，亦能充饥。食豆麦者，皆谓粝而不甘。”也是说稻米为上，豆麦为下。菽、麦之贱于粟，又见云梦秦简《法律答问》，“有禀叔（菽）麦，当出未出，即出禾以当叔（菽）麦，叔（菽）麦贾（价）贱禾贵，其论可（何）殴（也）？当赀一甲。⑩”是说官吏发放豆麦，错给了禾黍，因为豆麦价贱而禾黍贵，给政府造成了损失，要受到罚出一副铠甲的处分。《后汉书•献帝纪》载兴平元年“是时谷一斛五十万，豆麦二十万，”虽然不是正常物价，但也反映出豆麦的价格是低于谷粟的。因此，“粟米之法”中粟与其它谷物的比率数据，只是表示了它们在加工前后体积数量的差别，并没有反映商品交换当中各种粮食的价值比率。根据以上分析，我们认为“粟米之法”没有直接表现出以物易物的商品交换情况，这张换算表中的“率”也不是某一标准的价值数量，而是加工产品的一定体积。
（二）“粟米之法”的应用范围
恩格斯在《反杜林论》中指出：“和其他一切科学一样，数学是从人的需要中产生的；是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿中产生的。⑪”《九章算术》中的“粟米之法”是为了解决哪些社会需要而被人们总结编写出来的呢？我们看到，汉代经济领域里兑换折算粮米的活动很繁多，所以“粟米之法”的应用范围相当广泛。有些场合能够直接运用它的比率数据进行计算。
（1）官府和民间的粮食加工劳动
在秦汉封建帝国里，皇室、贵族、官吏及其仆役构成了庞大的寄生阶层；为了供养他们，需要把大量的谷物加工成米面，其中主要工作是用杵臼把粟舂捣成米。这项劳动很繁重，基本上是由刑徒和一些官府奴隶来进行的。秦汉最重的徒刑名为“城旦舂”，服役五年。见《汉旧仪》：“男髡钳为城旦，城旦者，治城也；女为舂，舂者，治米也，皆作五岁。”可见“舂”为女徒刑犯的一种刑名和劳动内容。不过，男犯有时也被派去舂米，如申公、白生得罪楚王刘戊，“胥靡之，衣之赭衣，使杵臼雅舂于市。⑫”刑徒、奴隶舂米时，每天必须完成若干数量的定额，还要保证加工的质量，不得浪费粮食。这方面的具体规定称为“程”，达不到要求叫“不中程”，要受到责罚。如《汉书•陈万年附子咸传》载刑徒“舂不中程，或私解脱钳钦，衣服不如法，辄加罪答。”同样，私人地主役使奴婢、徒附、佣客舂米时也要考课。⑬封建统治者们可以运用“粟米之法”中的有关换算比率，检验劳动者的粮食加工是否达到了规定的标准。《九章算术•均输章》第5题：“今有粟七斗，三人分舂之，一人为粝米，一人为粺米，一人为糳米，令米数等。问取粟为米各几何？”就反映了“粟米之法”在这方面的实际应用。
（2）传食制度
秦汉时代，官府在交通要道上沿途设置驿站，称为“传舍”，向来往的官吏及其随从提供食宿。“传食”就是传舍发给饭食的制度、伙食标准按过往人员的官阶、爵位分成不同等级，如《秦律•传食律》规定：“御史卒人使者，食粺米半斗、酱驷（四）升一、采（菜）羹，给之韭葱。其有爵者，自官士大夫以上，爵食之。使者之从者，食䊪（粝）米半斗仆，少半斗⑭。”发放标准是米，但供给的是做熟的饭食，见《后汉书•光武帝纪》，“光武乃自称邯郸使者，入传舍。传吏方进食，从者饥，争夺之。”这样，要按“粟米之法”中各种米和饭的比率计算量给，才能保证照律文规定的标准授与饭食，不出差错。
另外，如果掌握了比率问题的求证算法——即《九章算术》所称之“今有术”，就可以根据不同的数据条件，套用“粟米之法”的逻辑公式来解决同类问题。
（3） 廩给制度
秦汉王朝的各级官吏、边境屯戍的士卒、以及刑徒、官奴烤、仆役等许多人，都要向官府领取口粮，称为“廩给”或“廩食”。一般是以粟为发放标准，但是也经常遇到粟米不足而用其它粮食代替的情况。如《九章算术•均输章》第6题，“今有人当禀粟二斛。仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问各几何？”就是这种事例。居延汉简中也多有廩米、廩麦、廩糜等不同粮食的记载。主管官吏必须运用比率算法，把粟折换成其它粮食，才能发放。
（4） 俸禄制度
汉代官吏的俸禄皆按等级以谷粟为标准，如称“二千石”、“千石”以至“百石”。支付时部分给钱，部分给粟，⑮亦常有用其它粮食代粟的现象。如敦煌汉简有“入正月奉穬麦一斛，⑯“入七月奉麦四斛。⑰”也需要进行换算。
（5）田租制度
汉代田租是“三十税一”，实际上国家是按照每亩交纳若干定额的方法来计算征收的；像《盐铁论•未通篇》所言：“田虽三十而以顷亩出税，乐岁粒米粱粝而寡取之，凶年饥馑而必求足。”通常是每亩交纳若干升粮食，以粟为一般标准⑱。如《九章算术•衰分章》第18题所载：“今有田一亩，收粟六升太半升。今有田一顷二十六亩只百五十九步，问收粟几何？”假使农户种植的是稻、豆、麦等其它作物，官吏收税时就要按若干比率折合成粟。如湖北江陵凤凰山十号汉墓中记田租的大竹简，载有“市阳租五十三石三斗六升半，其六石一升当 （䆃）物，其一斗大半当麦，其七升半当𰀀，其一石一斗二升当秏，其四石五斗二升当黄白术（秫），……⑲”就是说在市阳里上交的田租总数中，有一部分是折算成 渠（稻）、麦等粮食的。可见，负责收税的官员亦要掌握这种算法。
（6）交换和借贷中的粮食折算
汉代的民间贸易活动中，谷物能够充当一般等价物。《盐铁论•水旱篇》载“民相与市买，得以财货五谷新弊易货。”《后汉书•独行戴封传》亦载“以所赍粮市小棺，送丧到家。”都是用粮食来购买东西。当时还流行一种叫做“赘”或“质”的借贷方法，《说文解字》曰：“赘，以物质钱。”即用财物做抵押品来借贷钱粮。它的起源很早，《管子•山权数》中就有齐桓公以宝龟为“质”，向富人借粮之事，“请以宝为质于子，以假子之邑粟。”刘徽注《九章算术•粟米章》云：“以御交质变易。”就是说可以在交换借贷活动中运用“粟米之法”，虽然不能直接按它的比率数据去计算各种粮食的比值，但“粟米之法”的逻辑公式“今有术”是可以套用的。看来，这是比率算法在民间应用的一个主要方面。
《九章算术》成书的汉代，处于我国封建社会的前期。当时，自然经济的色彩浓重，甚至“乃有白首不入市井者⑳”商品贸易和货币的使用都很不发达。像交换中的一般等价物、国家的官俸、地税等等，后代多用银钱，两汉却多用谷粟等实物，在许多场合需要计算各种粮食的兑换比例；因此，“粟米之法”便成为经济活动当中不可缺少的一种知识和技能。此类解法的算题在《九章算术》里自成一章，也反映了它的重要作用。
注释
①段玉裁《说文解字注•米部》。
②《睡虎地秦墓竹简》，文物出版社1978年版。
③参见陈抗生《“睡简”杂辨•米率辨》（《中国历史文献研究集刊》第一集）。
④“粟米之法”云“大䵂五十四，……菽、荅、麻、麦各四十五。”大䵂与麦的比率为6：5。又见《九章算术•粟米》第31题，“今有麦一斗，欲为大䵂。问得几何？答曰：“为大䵂一斗二升。”比率相同，但似乎不是加工比率，因为麦一斗无法磨出大䵂一斗二升。是否指一斗麦的重量相当于一斗二升大䵂的重量？待考。
⑤《说文解字》“粲”条的文字略有讹误，将“毇”和“粲”字的位置弄颠倒了，参见《秦律•仓律》：“稻禾一石为粟廿斗，舂为米十斗；十斗粲，毇（殿）米六斗大半斗。”另外，按上述史料的记载推算，稻谷的比重约为每市斗15市斤，而目前的稻谷一般每市斗为13市斤，小有差别。是否因为古今粮食品种不同，质量有异，本文未能详究。
⑥见注释②。
⑦见注释②。
⑧李继闵《<九章算术>中的比率理论》（《<九章算术>与刘徽》第229页，北京师范大学出版社1982年版）。
⑨《论语•阳货》。
⑩见注释②。
⑪《马克思恩格斯选集》第3卷第77-78页。
⑫《汉书•楚元王传》。
⑬参见《太平御览》卷829引《淮南子》，“量粟而舂，数米而炊，可以治家而不可以治国。”《古文苑》卷17《僮约》：“奴老力索，种莞织席；事讫欲休，当舂一石。”
⑭见注释 ②。
⑮ 参见《汉书•百官公卿表》注，《后汉书•百官志》及注。
⑯ 劳干《居延汉简考释•附录•敦煌汉简校文》484。
⑰ 劳干《居延汉简考释•附录•敦煌汉简校文》566。
⑱ 参见本书第八篇《赋税》中“田租”一节。
⑲ 裘锡圭《湖北江陵凤凰山十号汉墓出土简牍考释》（《文物》1974年第7期）。
⑳《后汉书•循吏刘宠传》。
三 方 田
（一）计算各种形状土地面积的解题方法
土地面积的测量和计算是汉代经济生活中的一项重要内容；国家要按照百姓垦田的多少来征收田租、刍藁等赋税民户进行财产登记时，田地亩数也是必须申报的，还要依其价值向官府交纳“訾算”——财产税① 对于缺粮的贫民，封建政权也常常根据他们拥有土地的面积来贷给种实②。因此，丈量民田、即“度田”是统治者不可缺少的活动。两汉县乡等地方行政机构的官吏每年都要调查核实辖区内的垦田情况，然后造成簿籍，当做征收地税、财产税的依据和经济兴衰的标志。这项统计的结果还要和户口、“钱谷入出、盗贼多少”等项数字一齐逐级上报，直至朝廷，称为“上计”，是每岁例行的制度。另一方面，汉代民间普遍流行的私人土地买卖、租佃以及遗产的分配等等，也都离不开对田地的度量。《九章算术》这部书里，对于如何计算各种形状的土地面积，有着详细的记述，其中大部分内容在卷一《方田章》里，解题方法分为以下几类：
（1）方田术
《方田章》第1题：“今有田广十五步，从十六步，问为田几何？
答曰：“一亩。”
第2题：“今有田广十二步，从十四步，问为田几何？
答曰：“一百六十八步。”
方田术曰：“广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一顷。”
这里的“方田”，是指方形（包括正方形和长方形）的田地。田广若干步，从若干步，说的是整块田地的宽度有多少步，纵长有多少步。“步”是古代计量“亩”、“里”的长度单位之一，周代及秦汉一步皆为六尺。“方田术”的具体演算过程是把方田的两边——广和纵的步数相乘，“得积步”，就是田地面积的平方步数。西周时，一亩的面积是100平方步，即所谓“百步为亩”。秦孝公时商鞅变法，废除旧的亩制，实行240步的大亩③。但是直到西汉初年，国内的亩制仍没有统一，关东仍有某些地区采用周制百步的小亩，称为“东亩”、“东田”，后至汉武帝时才将其废除，通令天下皆以240步一亩为准。④“方田术”中的田亩面积，也是按照这种标准计算：“以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一顷。”就是把田地的平方步数除以240，得出亩数；如果面积较大，再除以100，可知合多少顷。
“方田”代表方形的田地，但这只是它狭义的概念。做为本章篇名的“方田”，含义则有所不同，因为这一章算题的内容，是包含着各种形状田地面积的计算方法，并非只有求证方形田地面积的解题术。唐代李籍《九章算术音义》说："方田者，田之正也。诸田不等，以方为正，故曰方田。”这里的“方”，有“平方”——单位面积的意思；各种田地虽然形状、大小不等，但是都可以通过计算得知它们的“方”——单位面积有多少。所以，不同形状的田地计算单位面积的各种解法，也可以统称为“方田”；这就是该名词的广义概念。
（2）里田术
《方田章》第3题，"今有田广一里，从一里。问为田几何？
答曰：“三顷七十五亩。”
第4题：“又有田广二里，从三里。问为田几何？”
答曰：“二十二顷五十亩。
里田术曰：“广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。”
“里田”是大田，即宽度、长度均超过一里的田地。汉代政府拥有广阔的“公田”--国有土地，其中包括山林、苑圃、池泽与未开发的荒原，国家常常组织民众、士兵在公田上进行屯垦，或者迁徙贫民、流民到那里去，授予他们土地耕种，即“赋民公田⑤”在屯垦和徙民之前，应该先测量、计算出该处可耕地的面积，以便估计出可以容纳多少劳动力；否则，盲目迁徙人口、调遣士兵会导致土地或劳力的过剩。像赵充国给汉宣帝上书，请求屯田时，就提到他对当地可耕荒田的估算，“计度临羌东至浩亶，羌虏故田及公田，民所未垦，可二千顷以上，⑥”准备用万人屯田，“田事出，赋人二十畮（亩）。⑦”
另外，两汉私人大土地所有制比起前代有很大发展，豪强地主们“馆舍布于州郡，田亩连于方国，⑧”拥有巨量土地，如宁成，“乃贯贷买陂田千余顷。⑨”阴子方家“田有七百余顷。⑩”对于这类土地，政府官员也要进行测量登记，作为纳税的依据。而大面积集中的公田、私田，以步计算显然是太繁琐了，故采用“里”——“三百步”做长度单位。由于“里田”仍然是方形，计算方法和“方田术”没有差异，还是“广从相乘”，得出“积里”、即平方里，再换算成亩数，“以三百七十五乘之。”
（3）乘分术
《方田章》第19题：“今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？
答曰：“三十五分步之十二。”
第 20、21题内容从略，“乘分术曰：“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。”
使用“乘分术”计算的田地面积仍为方形，解题术基本上与前两种相同，区别仅在于田地的宽度、长度不是整数，而是分数，均不足一步。以分数相乘，所以叫做“乘分”。
（4）大广田术
《方田章》第22、23题从略，第24题：“又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六。问为田几何？
答曰：“一亩二百步十一分步之七。
大广田术曰：“分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法，实如法而一。”
“大广田术”仍是方形田地面积的计算法，关于这一名称的来历，李淳风曾在注文中说：“大广田者，初术直有全步而无余分，次术空有余分而无全步，此术先见全步复有余分，可以广兼三术，故曰大广。”上述的“初术”是指方田术，即只有整数而没有分数的乘法；“次术”是指乘分术，即只有分数而没有整数的乘法。而大广田术中既有整数，又有分数，能够包括方田、乘分两种计算方法，所以说它“可以广兼三术，故曰大广。”
（5）少广术
《少广章》第1至11题，内容都是已知方形田地的宽度—— “田广”，或一步半、或一又几分之几步，以及面积（皆为一亩），求证这块田的纵长有多少步。如第1题：“今有田广一步半，求田一亩，问从几何？
答曰：“一百六十步。
术曰：“下有半，是二分之一，以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。”
“少广”一名的来历，据李淳风注文解释：“一亩之田，广一步，长二百四十步，今欲截取其从少，以益其广，故曰少广。”是说标准田制一亩的宽度为一步，纵长为240步。现在要减少它的纵长，增长它的“广”——宽度，故以“少广”为名。这种方法看来是根据现实生活中的需要而产生的。汉代小块土地的买卖很流行，有时限于各种条件，只做一亩土地的交易，如《房桃枝买地券》：“中平五年三月壬午朔，七日戊午，雒阳大女房桃枝从同县大女赵敬买广德亭部罗西造步兵道东冢下余地一亩，直钱三千，钱即毕。⑪”而田地的纵长又不足240步，这就需要使用“少广术”来计算它的边长。
（6） 圭田术
《方田章》第25题：“今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？
答曰：“一百二十六步。”
第26题：“又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二。问为田几何？
答曰：“二十三步六分步之五。
术曰：“半广以乘正从。”
“圭”也作“珪”，本来是古代君王、贵族举行隆重仪式时所执的玉制礼器，上尖下方，形制大小因爵位及用途不同而有别。⑫圭的尖角部分称“圭角”。李籍《九章算术音义》说：“圭田者，其形上锐，有如圭然。”但确切地说，“圭田”的形状不是像圭，而是像圭角。如《夏侯阳算经》卷上注“圭田”曰：“三角之田”。从算题的内容来看，圭田的形状属于等腰三角形；题中的“广”是等腰三角形的底边，“正从”是它的高。解题术所说的“半广以乘正从”，是以底边长度的一半去乘以它的高度。
“圭田”一词，最初是指先秦井田之外不规则的边角土地，见焦循《孟子正义》：“凡零星不成井之田，一以圭法量之，圭者合二句股之形。井田之外有圭田，明系零星不井者也。”《九章算术》题中的“圭田”，面积也很小，分别只有百余步、二十余步，可能也是大田附近受地形、道路等条件限制而出现的小块三角田地。
（7）邪田术
《方田章》第27题：“今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？
答曰：“九亩一百四十四步。”
第28题：“又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？
答曰：“二十三亩七十步。
术曰：“并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。”
汉代典籍中，“邪”字常同“斜”。如《汉书•司马相如传》载《子虚赋》言齐地“邪与肃慎为邻，右以汤谷为界。”颜师古注曰：“邪读为斜，谓东北接也。”据程大位《算法统宗》所言，“邪田”是直角梯形的田地。解题术“并两邪而半之，以乘正从若广。”是说把直角梯形平行的两边相加，除以二，再乘以它的纵长、或者宽；又可以把梯形的纵长（高）先除以二，或将长短两个底边分别除以二后相加，再长宽相乘。
（8）箕田术
《方田章》第29题：“今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？
答曰：“一亩一百三十五步。”
第 30 题：“今有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？
答曰：“四十六亩二百三十二步半。
术曰：“并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。”
“箕田”也是一个象形的名称，“箕”是用竹编成的簸箕，用米扬米去糠或撮走尘土，形状是前宽后窄，呈等腰梯形，古代常用它来形容人、物的形态。如称伸展两足而坐为“箕踞”，见《汉书•张耳陈余传》：“高祖箕踞骂詈”。注：“箕踞者，谓申（伸）两脚其形如箕。”箕形——等腰梯形的田地被称为“箕田”。李籍《九章算术音义》曰：“箕田者，有舌有踵，其形哆哆，有如箕然。“舌”是指箕口的伸展部分；“踵”的本义是人的脚后跟，这里是指箕底的收敛部分。题中的“舌广”、“踵广”分别是梯形的长短底边，箕田面积的计算方法与邪田相同。
（9）圆田术
《方田章》第31题：“今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？
答曰：“七十五步。”
第32题：“又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。问为田几何？
答曰：“十一亩九十步十二分步之一。术曰：“半周半径相乘得积步。
又术曰：“周径相乘，四而一。
又术曰：“径自相乘，三之，四而一。
又术曰：“周自相乘，十二而一。”
“圆田术”是求证圆形田地面积的方法，其术有四种，以周三径一为圆周率，不太精确，得数只是大略而已。
（10）宛田术
《方田章》第33题：“今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？
答曰：“一百二十步。”
第34题："又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？
答曰：“五亩六十二步四分步之一。
术曰：“以径乘周，四而一。”
“宛”是隆起的山丘，见《尔雅•释丘》：“宛，中隆。”注曰：“言山形中央蕴聚而高者名隆。”因此，“宛田”是半球形或球冠形的田地，李籍《九章算术音义》曰：“宛田者，中央隆高。”《夏侯阳算经》称其为“丸田”，注曰：“形如覆半弹丸。”其算法与圆田术第二种相同。
（11）弧田术
《方田章》第35题：“今有孤田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？
答曰：“一亩九十七步半。”
第36题：“又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？
答曰：“二亩一百五十五步八十一分步之五十六。
术曰：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。”
“弧田”即弓形的田地，《夏侯阳算经》写做“弓田”，注曰：“形如弓样”。题中的“弦”即为弓形的底边，“矢”为弓形的高，算法是以弓形的底长乘以高，再以其高度自身相乘，两个得数相加后除以二就是弧田的面积；亦不精确。
（12）环田术
《方田章》第37题：“今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？
答曰：“二亩五十五步。”
第38题内容从略，“术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。”
“环田”即圆环形的田地。“环”为古人常佩之玉饰，这里借用为形状相似之田地的名称。《夏侯阳算经》中亦有“环田”，注曰：“此外周而心空，如环，”算法是把中（内）周、外周的周长相加，除以二，再乘以径（圆环外周与内周的半径差）长，即得出其面积。
（二）对汉代社会制度一些特点的反映
上述计算田地面积的35道例题中，有28道题的数据在5亩以下，其中不足1亩的又超过了半数。可以看出，算书的编纂者很重视畸零土地的测量问题，即使它们的形状不太规则，面积又很小，如圭田、宛田、弧田、环田等等，也要算出其亩数、步数，甚至是近似值。这些解题方法和具体内容反映出汉代社会制度的一些特点。
自春秋鲁国“初税亩”以来，随着土地私有制的发展，“履亩而税”，即按照私人耕地的面积多少收税，逐渐成为国家赋税剥削的一个主要项目，田亩的度量方法由此越来越受重视。汉代官府为了增加赋税的收入，除了对大块、小块的平常耕地“以顷亩出税⑬”之外，对畸零的田地也不放过；例如城郭近旁的边角余地，农民房前屋后的小片园圃等等。见《汉书•翟方进传》：“奏请一切增赋，税城郭埂及园田。”张晏注：“酒，城郭旁地。”有些官吏为了搜刮民财，甚至在“度田”当中，“并度庐屋里落，⑭”连草棚、居室和院落的面积也要测量，按其面积征税。《九章算术》的有关内容，正是为国家的税收活动提供了必须的手段，满足了统治阶级的实际需要。
另外，由于汉代土地私有制和商品经济的发展，土地买卖，特别是小块土地的买卖在民间很流行。解放前后发现的汉代地券，有许多记载了这种交换行为。如《曹仲成买地券》记买田六亩，⑮《王当买地券》记买田十亩，⑯《樊利家买地券》记买田五亩，⑰《王未卿买地券》记买田三亩，⑱《房桃枝买地券》记买田一亩；⑲有些小块土地的形状也不规整，并非方形，像地券券文中提到的冢田、冢下余地等等。田地的买卖都是按亩计价，在测算面积大小的时候，也可以应用《九章算术》的各种解题方法来完成。
再者，算题中提到的各类田地，不仅形状上存在着差异，而且面积大小也多不相同。如“里田”有数顷、数十顷，而圭田、邪田、宛田、弧田、环田，多数只有几亩，甚至不到一亩。这种土地占有面积两极分化的现象，也是秦汉社会经济与前代有别的一大特点。
西周时期，中原华夏各族长期推行着井田制，耕地普遍划分成规整的方块，即所谓“方里而井”。据《孟子》、《周礼》、《汉书》等古籍记载，当时一夫受田的面积为百亩，就是广、纵各百步的一块方田。“百亩”也被当作土地面积的一种计量单位，称为一“田”。郑玄注《考工记•匠人》曰：“田，一夫之所佃百亩，方百步地。”据西周铜器《卫鼎》、《卫盉》的铭文反映，当时贵族、富人做土地交易时，也以“田”为计量单位。如用一块玉璋换取十田，以虎皮、鹿韍等换取三田。⑳每年春天，国君都要命令田官，“皆修封疆，审端径术，㉑”重新修整井田的疆界。在西周的基本劳动组织“邑”——农村公社里，耕地定期地在公社成员之间进行轮换分配，如《公羊传》宣公十五年何休注所言：“是故圣人制井田之法而口分之，一夫一妇受田百亩，以养父母妻子。……司空谨别田之高下、善恶，分为三品：上田一岁一垦，中田二岁一垦，下田三岁一垦。肥饶不得独乐，晓确不得独苦，故三年一换主易居，财均力平。”中田和下田通过休耕制度使农户每年都可以耕种相同面积的土地（百亩），三年重新分配一次，让公社成员轮流耕种薄田和沃土，以达到各家财力平均的目的。这种方块田和定期分配的制度，在我国西南的少数民族、以及国外的许多古代民族那里也普遍地流行过。㉒
井田划分整齐的原因，一方面是为了避免在轮换分配土地时出现不均的情况，引起纠纷。拉法格曾说：“等长的直线内包含的地块满足了平等精神和不给纷争留下余地。因此，划直线是测量的重要部分；一旦直线划定，家长就会满意，他们的平等感情得到完全满足。㉓”另一方面，它的实行也和当时社会的生产力水平有关。西周处在铜器时代，铁工具尚未广泛使用，因为红铜太软，青铜太脆，又比较贵重，不适宜用来翻土耕地；所以，农器基本上还是木石工具，如耒、耜等。限于生产力的低下，农耕的地域主要集中在黄河中下游一带，如关中、三河（河南、河内、河东）与华北的平原、河谷。那里土壤肥沃松软，易于木石农具的耕作，平整的大面积的土地为井田的划分提供了可能性。方田的大小一致，其面积的计算非常简单，用不着对这些方法著书立说，做深入的阐述。而山林、沼泽、丘岗、河汊等难以成方的复杂地形，限于当时农具的简陋，还未能大量开发。小块的、形状不规则的耕地虽然也有少量存在，如井田周围的边角余地——“圭田”，但因国家不以它们为收税对象，“夫圭田无征，㉔”所以对各种畸零土地面积的计算方法并未得到重视。
到了春秋战国时期，由于铁器和牛耕使用的日益普及，农业生产技术迅速提高，小农的个体家庭取代农村公社成为社会的基木经济单位，从而引起了土地制度的变化，由“井田”转变为“爰（辕）田”。如晋之“作爰田” ㉕，秦之“制辕田”㉖，孟康注《汉书•地理志•下》曰：“三年爰土易居，古制也，未世侵废。商鞅相秦，复立爰田，上田不易，中田一易，下田再易，爰自在其田，不复易居也。”即废除原来农村公社内部田地定期分配的制度，由国家直接向个体农户授田，允许他们长期固定地占有耕地，自己在所授田地内部进行轮耕，不再和别家交换。这一时期，中原各国的耕地仍以划分整齐的方块田为主；不过，因为生产力的发展，个人劳动能力提高，垦田的面积比以前扩大。方块田一般为长方形，纵长步数与一亩面积的平方步数相等，而宽度、即“田广”又称为“畹”， ㉗则各国制度不一。如银雀山汉简《孙子兵法•吴问》所载：“韩、巍（魏）制田，以百步为女寃（畹），以二百步为𤰿（亩），……赵是（氏）制田，以百廿步为女寃（畹），以二百卅步为𤰿（亩），公无税焉。㉘”一夫受田的面积分别为100步×200步、120步×240步。秦国自商鞅变法以后，每户授田面积是100步×240步，即大亩百亩（一顷）。见《通典•州郡典四•雍州风俗》："按周制步百为亩，亩百给一夫。商鞅佐秦，以一夫力余，地利不尽，于是改制，二百四十步为亩．百亩给一夫矣。”青川秦简《为田律》中也提到了这种方田的形制，律文规定：“田广一步，表八则，为畛。亩二畛，一百（陌）道。百亩为顷，一千（阡）道，道广三尺。封高四尺，大称其高。捋（埒）高尺，下厚二尺。……㉙”是说田地每宽一步，长八则（240步），㉚要修一条田界--畛”。每亩田有二“畛”，有一条陌道每100亩为一顷，有一条阡道。陌道和阡道都有三尺宽。作为地界标志的“封”（土墩）高四尺，它的体积大小与高度相称。每一顷田的边界———“埒”（土埂）高一尺，其底宽二尺。㉛下文还提到每年八月要修整道路、封、埒，端正田地的疆界，并且铲除阡、陌等道路上的荒草。战国末年到秦朝初年的《法律答问》也提到顷田（百亩）的周围要划定田界，称为“顷半（畔）”，禁止私自移动，违者要受到刑罚处分。㉜此外，秦自商鞅变法后，又按臣民的功劳、爵位赏赐、授予田地。见《史记•商君列传》：“明尊卑爵秩等级各以差次，名田宅臣妾衣服以家次。”《索隐》曰：“谓各随其家爵秩之班次，亦不使僭侈踰等也。”这种土地占有制度亦以“顷田”（百亩）为计量单位，如《商君书•境内篇》所载。“能得甲首一者，赏爵一级，益田一顷，益宅九亩。”由此可见，秦在国家授田和以身份等级占田的情况下，土地是普遍划分成广百步、纵长240步、面积为百亩的方田的。
战国后期到西汉时代，封建土地私有制在我国社会确立了它的统治地位，田地自由买卖和兼并的现象日益严重。董仲舒说秦：“用商鞅之法，改帝王之制，除井田，民得卖买，富者田连阡陌，贫者亡立锥之地。㉝”就是这一变化的写照。一方面，大量农民的土地被富贵之家巧取豪夺，打破了“一夫百亩”的平均状况，很多人无地少地，只得佃耕豪民之田。另一方面，许多贵族、官僚、地主、商人占有的田地，又远远超过了他们身份地位的限制。因此，秦始皇于公元前216年颁布命令，“使黔首自实田”㉞就是让百姓自己向官府呈报他们实际占有田地的数量。这表明，原来国家向每户农民授给“顷田”的制度，已然受到了很大冲击；政府不能完全通过授田和根据身份来掌握各阶层人民拥有土地的实际数量，只好让他们自己申报，在法律上承认和保护私人土地占有的两极分化状况。
秦代出现的这些社会问题，“汉兴，循而未改㉟”而且愈发尖锐起来。大地产膨胀带来的恶果之一，就是自耕农小土地所有制的萎缩。许多农民迫于兼并之害，拥有的田地数量很少，且不平均。象湖北江陵凤凰山十号汉墓出土的郑里廩簿，登记了这个村庄农户的占田数字。在25户居民中，“能田者”——成年劳动力有69人，共有田地617亩，平均每户占有24亩多，每个劳动力垦田不到9亩。各家实际拥有田地的数字差距也很大，最少的8亩，最多的54亩，大部分为十几亩到二、三十亩。㊱四川郫县犀浦汉碑所载的几家分别有田8、30、38、150、190 亩，㊲也很不均衡。《九章算术》计算田亩面积的35道例题中，仅“里田”两题所言数字在百亩以上，其余都不超过50亩，这也从一个侧面反映了汉代兼并引起的田地畸零现象。从各种史料记载的情况来看，两汉农民每户拥有的土地根本达不到百亩（240步的大亩），㊳大量小块土地的形状又不规则；此外，由于土地买卖的流行，地主的田地也经常分散，和国有土地、他人的私有土地交织在一起。这种情况下，过去那种“一夫百亩”的“为田”制度是无法普遍实行的；规划整齐的、以顷为单位的方田，恐怕只有在官府的某些大面积公田和少数雄豪巨富的田庄上才能出现。所以，在东汉时成书的《九章算术》里，尽管例题内有各种形状、大小的田地，但是过去“爰（辕）田”制下的那种四周立有封、埒的“顷田”却再也见不到了。㊴
注释
①参见《汉书•景帝纪》服虔注：“皆万钱，算百二十七也。”即拥有万钱价值的财产要交纳127钱的税款。
②参见裘锡圭《湖北江陵凤凰山十号汉墓出土简牍考释》（《文物》1974年第7期）。
③参见《通典•州郡典四•雍州风俗》、《新唐书•突厥传》。
④《盐铁论•未通篇》：“先帝哀怜百姓之愁苦，衣食不足，制田二百四十步而一亩，率三十而税一。”
⑤《汉书•霍光传》：“今丞相用事，县官信之，尽变易大将军法令，以公田赋与贫民。”《后汉书•明帝纪》永平十三年诏：“……今五土之宜反正其色，滨渠下田，赋与贫人，无令豪右得固其利，”《后汉书•樊宏附准传》：“永初之初，连年水害灾异，郡国多被饥困，……悉以公田赋与贫人。”
⑥《汉书•赵充国传》。
⑦见注释⑥。
⑧《后汉书•仲长统传》引《昌言•损益篇》。
