㉒ 参见徐喜辰《井田制度研究》第二章第二节。吉林人民出版社1982年版。.6
出自一章的几道算题，为什么在分派原则上会有这样的差别呢？有可能的是，它表明了“均输术”自产生到完善经历了一个发展过程。最初的方法不计算返乡途中花费的劳动，后来在实践中逐渐暴露了它的不完善，并没有彻底解决因为行道远近造成的劳逸不均，而被人们加以改进，成为第4题中较为复杂，但愈发全面、公平的分派制度。
另外，第4题中征发赋役的对象不是“户”、“人”，而是“算”。“算”在两汉主要指成年男女负担的人头税，见《汉仪注》：“民年十五以上至五十六出赋钱，人百二十为一算。”⑩ 庶民百姓到了15岁即称“大男”、“大女”，⑪不仅要交纳算赋，并且开始服徭役。⑫因此，“算”在当时又被做为成年人的代称。如《汉书•贾山传》说文帝时“礼高年，九十者一子不事，八十者二算不事。”就是指家中如果有一位80岁以上的老人，可以免除该户两个交纳算赋的人（成年男女）服徭役。⑬江陵凤凰山十号汉墓出土的简册中，也有某乡安排徭役的竹简，写道：“邓得二、作甲二、宋则二、野人四，凡十算，遣一男一女，男野人女惠。……⑭”是说上述四户共有十名成年人——“十算”，派遣一男一女去服役。这里的“算”也是指成年的适役者。第4题中所说的“以算出钱”，即根据各县成年人的数目多少，来分摊赋粟和运输的费用。
这两道题的计算，由于参与的比例条件增多而变得更为复杂，如第4题所言，“粟有贵贱，佣各别价，以算出钱，令费劳等。”但是，分派的原则和基本方法没有变化，还是采用“均输术”，排列各县的每一种比例数字，将备组依次相乘，得出每个县的赋粟、发车率。分派各县的赋粟时，粮价、僦费或佣价都以铜钱为计算单位，也就是说，人们所交纳的实物赋税和运输时花费的劳动，都折合成通行的货币来计算、摊派；得出结果以后，在进行检验的时候，各县每户或每算的负担多少也要用钱币来折算，看看数字是否一致。
两题演算的具体过程是：
A 先算出各县运一斛粟到输所的价值（当地粟价加上运费）。如第3题，是以一车僦价（一里一钱）乘以各县到输所的里数，再除以一车的装载量（25斛），得出一斛栗的运费；再分别加上各县一斛粟的当地价格就行了。第4题则比较复杂，需要先算出各县车辆到输所的往返日数（行道日数加上“载输之间各一日”、即二日），乘以挽车的六人，又分别乘以各县的佣价（一日五钱或十钱），再除以25斛（一车的装载量），就是一斛栗的运费；加上各县一斛粟的当地价格，即得出一斛栗到输所后的价值。
B排列各县户（算）数目的正比与各县一斛粟到输所后价值的反比，两者相乘，就得出各县的摊派比率————“列衰”。第3题为1026：684：399：494：270，第4题为42：24：16：15：20 :16。
C用各县赋粟、出车的总数分别乘以各县出粟、车的比率，第 3 题为 1 万斛，400 辆车，分别乘以 1026/2873、684/2873、399/2873、494/2873、270/2873；第4题为6 万斛，2400辆车，分别乘以42/133、24/133、16/133、15/133、20/133、16/133；所得就是各县赋粟，出车多少的数字。
D进行检验，把各县分别交纳的赋粟数额折算成钱币，再各自除以本县的户数或算数，得出平均数字，这几个县每户（算）的负担是一致的。如第3题，“得率，户出三钱二千八百七十三分钱之一千三百八十一。⑮”第4题，“得率，算出九钱一百三十三分钱之三。⑯”由此得出“均赋”的结论。
那末，“均赋粟”在汉代是属于哪一种性质的赋税呢？这个问题很难做出确切的回答，两汉敛取粮粟的赋税主要是田租一一土地税，但是，田租是“以顷亩出税”，按个人或家庭占有土地的面积多少来征收，而“均赋粟”是以户或算（成年男女）为对象来课取的，是一种人头税，与田租不同。
汉代名目为“赋”的人头税，有算赋（纳税人为15一56岁的成年男女）、口赋（纳税人为3-14岁或7-14岁的未成年者）、更赋（服徭役、兵役者所交纳的代役税），史籍中未见有“均赋”之称大凡单称“赋者，多指算赋。如
《汉书•贾捐之传》：“孝文皇帝闵中国未安，偃武修文，则断狱数百，民赋四十，丁男三年而一事。”注引如淳日“常赋岁百二十钱，岁一事，时天下民多，故出钱四十，三岁而一事。”
《汉书•西域传》：“征和中，……上乃下诏，深陈既往之悔曰：‘前有司奏欲益民赋三十助边用，是重困老弱孤独也’。”颜师古注曰：“三十者，每口转增三十钱也。”
《汉书•成帝纪》建始二年，“减天下赋钱算四十。”
日本学者加藤繁在《关于算赋的小研究》中说：“除了算赋以外，虽然有口赋、更赋等带有赋字的租税，但是单是说赋的话，它不是指这些赋税，而必定是指算赋，令人想到算赋才是赋的本体。⑰”
不过，“均赋粟”和以上几种以赋为名的课税又有明显的区别，这就是算赋、口赋、更赋征收的都是货币--铜钱，汉儒郑玄注《周礼•天官•太宰》“九赋”时说：“赋，口率出泉（钱）也。今算泉（钱），或谓之赋，此其旧名与？”而“均赋粟”则是敛取粮粟，与之不同。
探讨汉代史籍中的有关记载，与“均赋粟”性质相类者，即征收粮粟，又以户口为敛取对象，以“赋”为名的课税，大致有以下几种：
第一，算赋的以粟折纳。算赋虽然是交纳铜钱的，但是在特殊的情况下，例如遇到大丰收，粮价太低，政府有时也下令准许用粮食折价来交纳。如汉昭帝元凤二年六月诏曰：“……三辅、太常郡得以叔粟当赋。”元凤六年诏曰：“夫谷贱伤农，今三辅、太常谷减贱，其令以叔粟当今年赋，”说的就是这类事情。从第3、第4题所记载的粟价来看，分别为每斛10、12、13、14、16、17、18、20钱。据《史记•货殖列传》所述，西汉时期粟的正常价格在每斛30-80钱之间，"夫粜，二十病农，九十病末，末病则财不出，农病则草不辟矣。上不过八十，下不减三十，则农末俱利。”每斛10-20钱属于很低的价格，由此看来，“均赋粟”算题有可能是反映了这种情况。
第二，临时征调的苛捐杂税。汉代除了算赋、口赋、田租等正税之外，还经常由于某些原因向百姓摊派各种临时性的费用，亦称为“赋”。比如：
《汉书•食货志》晁错言：“……勤苦如此，尚复被水旱之灾，急政暴赋，赋敛不时，朝令而暮改。”
《汉书•成帝纪》载修建昌陵时，“多赋敛徭役，兴卒暴之作。”
《汉书•翟方进传》：“奏请一切增赋，税城郭堧及园田、过更、算马牛羊，增益盐铁，变更无常。”
《汉书•薛宣传》：“会邛成太后崩，丧事仓卒，吏赋敛以趋办。”
《汉书•食货志》载王莽时“用度不足，数横赋敛，民俞贫困。”
《后汉书•翟酺传》：“卒有不虞，复当重赋百姓。”《后汉书•李固传》：“新创宪陵，赋发非一。……”
这种临时摊派的课税，被称为“横赋敛，⑱”并不像算赋、口赋、更赋那样，完全按人头出钱，有时也按户交纳，或者根据官府的需要而上缴各种实物，折价时往往把钱数压得很低。 如：
《盐铁论•禁耕》中文学曰：“县邑或以户口赋铁而贱平其直，良家以道次发僦运盐铁，烦费邑或以户，百姓病苦之。”
《汉书•武五子传》载燕王旦“遂招来郡国奸人，赋敛铜铁作甲兵。”
《汉书•萧望之传》：“今有西边之役，民失作业，虽户赋口敛以赡其困乏，古之通义，百姓莫以为非以死救生，恐未可也。”颜师古注曰：“率户而赋，计口而敛也。”
如果遇到军兴、灾变，粟即成为急需物品，官府以此为名，赋取于民，令其运往输所，也不是没有可能。另外，从“均赋粟”征取的数额来看，并非很多，折成钱币，第3题平均每户仅负担三钱余，第4题每算负担九钱余，不算太重，亦有可能是属于常赋之外的临时性苛捐杂税。
第三，由贡献演变而成的实物赋税。汉代地方郡国每年要向朝廷进贡“方物”——土特产品贡献的置办费用，也是向百姓征收，按人口交纳若干钱，官府代为采买，再转运到京师，亦称为“赋”。见《汉书•高帝纪》十一年诏：“欲省赋甚。今献未有程，吏或多赋以为献，而诸侯王尤多，民疾之。令诸侯王、通侯常以十月朝献，及郡各以其口数率，人岁六十三钱，以给献费。”武帝时，桑弘羊行“均输法”，“乃请置大农部丞数十人，分部主郡国，各往往县置均输盐铁官，令远方各以其物贵时商贾所转贩者为赋，而相灌输。置平准于京师，都受天下委输。” ⑲ 是让郡国把可以用来贩卖获利的特产当做贡品，交给中央设在各地的均输官，再由均输官转运到价贵之处或者京师贩卖；但仍称为“赋”，由百姓负担。均输法在执行的过程中，逐渐发生了一些变化。均输官不仅收取当地的特产，也赋敛或低价征购普通常见的生活用品。如《盐铁论•本议篇》文学所言："间者郡国或令民作布絮，吏恣留难，与之为市。吏之所入，非独齐陶之缣、蜀汉之布也，亦民间之所为耳。”除了布帛，还有大量的粮粟。桑弘羊曾说：“往者财用不足，战士或不得禄，而山东被灾，齐赵大饥，赖均输之蓄，仓廩之积，战士以奉，饥民以赈。故均输之物，府库之财，非所以贾万物而专奉兵师之用，亦所以赈困乏而备水旱之灾也。⑳”《史记•平准书》写“均输法”推行之后，“而诸农各致粟，山东漕益岁六百万石。一岁之中，太仓、甘泉仓满，边余谷诸物均输帛五百万匹，民不益赋而天下用饶。”
总的来说，汉代以“赋”为名、按户口征收粮粟的课税比较多，“均赋粟”的计算分配方法，看来具有较广泛的应用范围，可以在许多场合下使用，以满足统治者的需要。考虑到《九章算术》是一部通行全国的数学教科书，如果掌握了“均输术”的算法，自然能够根据各种条件，运用它的公式处理相类的问题。因此，笔者认为“均赋粟”可能就是用“均输术”来分派赋粟（按户口征纳粮食）的意思，恐怕不会只是专指某种特定的课税。
在《九章算术》的“均输术”里，强调的重点是以行道远近为反比来均平各地的赋役。像刘徽所说的那样，“均输”的含义是“以御远近劳费”；在这方面，它和桑弘羊的“均输法”有着相同的内容，即各地上缴赋税、贡品的时候，要把运费开支包括在贡赋的总额里，使远方和近地的人民在负担上相等，并不因为长途运输而多花费劳动。例如“均赋粟”的两道算题，分配赋粟的时候，远县输粟的行道日数较多，它所摊派的户（人）均赋粟数额就相应减少，使距离输所远近不同的各县每户或每算承担的赋役在劳动价值上持平，都是3又1381/2873钱或9又3/133钱。桑弘羊所作的“均输法”，规定地方政府向均输官交纳贡赋（其中也有上缴中央的租税）的数额里，也要包括运费的开支，“谓州郡所出租赋、并雇运之直，官总取之。市其土地所出之物，官自转输于京，谓之均输。㉑”远方郡国运费较多，上缴的贡赋就会相应减少，使它们的负担与抵近京师的郡国相同。均输官再拿这笔费用征购或折收当地的土特产品，自己组织贩运别处或输送到京师。故桑弘羊言道：“平准则民不失职，均输则民齐劳逸，故平准均输所以平万物而便百姓。㉒”
但是，《九章算术》所讲的“均输术”，在另外一些方面又和桑弘羊的“均输法”有着明显的区别。前者的内容仅仅是平均百姓的赋役劳费，而后者是在“齐劳逸”的基础上从事官营商业贩运，来赚取利润。《盐铁论•本议篇》里文学们在抨击桑弘羊的“均输法”时，曾经指出汉代以前就已经有了“齐劳逸而便贡输”的“古之均输”，和桑弘羊搞的那套制度不同，并不带有经商的目的，“非以为利而贾万物也。”《越绝书》中提到“吴两仓，春申君所造。西仓名日均输，东仓周一里八步”，这里所说的“均输”是什么含义，据吴慧同志解释，可能是指高输所远的地方贡输数量相对少一些，近地则相对多一些，以均齐劳逸、平衡负担、便利贡输而已。㉓也有“均输”之名在战国后期出现的记载。1984年1 月，湖北江散张家山西汉初年墓葬中出土了篇名为“均输律”的竹简。㉔ 上述几条史料的内容虽然还不十分清楚，但是它们都反映了在桑弘羊行“均输法”之前确已存在了名为“均输”的制度，很可能就是那种按行道远近劳费摊派贡输赋役的分配方法。看来，《九章算术》的“均输术”应是渊源于此，它的实际产生要早于桑弘羊的“均输法”，而后者是在它的基础上进一步发展而来的。
《周礼•地官》中曾提到西周的“保氏”官职，其职责是以“礼、乐、射、驭、书、数”六门课程来教育贵族子弟。其中数学又分为九个细目，称为“九数”；它的详细内容，《周礼》并没有记载，只是东汉郑玄在注解它的时候，引郑众之说：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要，今有重差、句股。”郑众的解释能不能说明“均输术”最早产生在西周呢？结合其它一些历史记载来看，这种可能性是很小的，因为西周征派赋役时并不是按远近劳费来均平负担的。周代我国长期处在诸侯割据、小邦林立的状态，天子的王畿或诸侯的封国，都普遍划分为“国”、“野”两大政治区域，叫做“体国经野” ㉕。统治中心——城邑及其近郊称为“国”，居民为“国人”；远郊、野外称为“野”，居民为“野人”。“国”与“野”的对立，是这一时代特有的社会现象。国人和野人都从事生产劳动，承担赋役；虽然在居住地区距离服役、输栗（税）的地点——城邑有远近之分，而野人提供的赋税徭役并不因为路远而得到减轻，恰恰相反，甚至比居住在城内和近郊的国人还要沉重一些。例如：
赋税方面，《周礼•地官•载师》写道：“凡任地，国宅无征，园廛二十而一，近郊十一，远郊二十而三，甸稍县都，皆无过十二，唯其漆林之征，二十而五。“征地”，即分配土地；“征”即征税。郑玄注曰："国宅，城中宅也；无征，无税也。"园患是指园围和惠地（院墙以内、房前屋后的土地）。“郊”，指离城50里的周围界限。郊内称“近郊”郊外称“远郊”，指离城50里到100里之内的范围。“甸”、“稍”分别离城二百、三百里，见贾公彦疏文：“小都言稍，据三百里京邑言甸，据三百里。“县”、“都”则离城四百至五百里，见郑玄注引《司马法》曰："四百里为县，五百里为都。”《周礼•地官•载师》的上述记载大意是说：国家向居民分配土地，城邑中的宅屋不征税，园地、粤 地征取收获的1/20，近郊（50里内）征收1/10，远郊（百里内）征收3/20，甸稍县都（200里至500里内）征收不超过2/10，只有对种植漆林的土地征收 5/20。按照这种原则来课取租税，距离城邑（相当于后代的输所）越近者，税率越轻；距离越远者税率越重。《孟子•滕文公•上》中也提到：“请野九一而助，国中什一使自赋。”指出野外居民所受的赋税剥削比率为“九一”，要高于国中居民的“什一”。
就土壤的沃度来讲，离城市近的土地比较肥沃，产量最高，“负郭之田”向来被认为是最好的田地。苏秦甚至感慨地说：“且使我有雒阳负郭之田二顷，吾岂能佩六国相印乎。㉖”《史记索隐》注曰：“负者，背也，枕也。近城之地，沃润流泽，最为膏腴，故曰‘负郭’也”。不仅如此，从运输实物赋税所花费的劳动来看，近城之民显然也比郊外的“野人”负担要少，而他们交纳的赋税税率反而最低，这和“均输术”的原则完全是背道而驰的。
其它一些历史记载也表明，远郊及甸稍县都的“野人”，除了纳税较多之外，还承担着重于“国人”的力役。例如，《周礼•地官•乡大夫》记载政府征发民众服役时，“以岁时登其夫家之众寡，辨其可任者，国中自七尺以上及六十，野自六尺以上及六十有五，皆征之。其舍者，国中贵者、贤者、能者、服公事者、老者、疾者皆舍。”按贾公彦疏文解释，7尺谓20岁，6尺谓15 岁。是说国人自20岁开始服役，至60岁免役；野人则要在15 岁开始服役，到65岁才能免役，要比国人多承担10年的征徭。 而且，获得各种免役特权的人——“舍者”，也都是居住在“国”中的，野人得不到这种权利。
西周时代在赋役征收上这种“轻近重远”的原则，是和当时特殊的国家形态和阶级结构有关的。周原来只是活动于泾渭流域的一个小邦，到公元前11世纪的后期，强大起来的周人率领庸、蜀、羌等联盟部族东征中土，灭亡了商朝；随后又实行分封制度，把姬姓、羌姓等奴隶主贵族派往各地，作为周天子的屏障。他们带着所属的宗族进入占领地区之后，即居住在城邑——武装的殖民据点“国”中，或是近郊，而当地被征服的民族则被置于远郊野外，成为“野人”。“野人”尽管在身份上不同于奴隶，具有某些人身自由，但由于是被征服民族，社会地位是大大低于“国人”的。根据《左传》、《周礼》等书的记载，国人有参与政治、服兵役和入学接受教育的权利，而野人则无。㉗在居住和生活上，被迫迁到远乡僻壤的野人尽管条件恶劣，却因为身份卑贱，要承担比国人沉重的赋役。这种现象，反映了西周的社会结构有着浓厚的部族奴役色彩。
另外，周代实行分封制，域内小国林立，据《荀子•儒效篇》所言：“（周公）兼制天下，立七十一国，姬姓独居五十三人。”各邦的领土比较狭小，王畿和诸侯国中，又有相当部分土地封给卿大夫为采邑，不向国君提供赋役。这样，在输赋赴役时行道远近的差费，也不像后代统一集权国家时期那么严重，并没有造成尖锐的社会矛盾；象《盐铁论•地广篇》中文学所说的那样，“古者天子立于天下之中，县内方不过千里，诸侯列国不及不食之地。《禹贡》至于五千里，民各供其君，诸侯各保其国，是以百姓均调而徭役不劳也。”
从上述史实来看，笔者觉得“均输”——即按行道远近来平均赋役的制度，不大可能起源于西周。当时“国”、“野”之间的对立和压迫，与“均输”的原则是互相抵触的。实际上，也没有多少记载表明西周国家施行过类似“均输”的法令制度。郑众把“均输”说成是“保氏”教授“九数”中的一个内容，看来还需要史实的证明。
春秋以来生产力的发展，促使我国古代社会发生了巨大的变革，由于奴隶主贵族的没落和封建地主、小农的兴起，出现了新的阶级结构；加上居民的迁徙流动，“国”和“野”的界限逐渐消失了，国家居民所带有的部族奴役的特征也日益泯除。战国时期，秦在征服六国的战争过程里，还把本国原有的居民称为“故秦人”、“故秦”，降服的六国居民称“新民”，未降服者叫做“臣邦人”、“夏子”、“邦客”，在身份地位上保持着某种程度的不平等㉘。而到秦始皇统一天下之后，随即宜布“更民名曰黔首”㉙，以表示全国百姓皆为皇帝子民，不再有征服民族与被征服民族之分，也不用人们居住生活的不同地域来标志居民的等级身份，象《之罘刻石》所写的：“……黔首改化，远迩同度，临古绝尤。㉚”西汉王朝建立后，又改“黔首”之名为“齐民”、“编户齐民”，《史记•平准书》集解引如淳曰：“齐等无有贵贱，故谓之齐民。若今言平民矣。”庶民百姓不分民族和居住地域，身份一律平等；这样，在赋税、徭役的征调上，就不能再有显著的差别了。
另外，经过春秋时期的诸侯兼并战争，众多的小邦合成了对峙的战国七雄。至秦朝统一寰宇，消除了我国长期存在的分裂割据状态，“地东至海暨朝鲜，西至临洮、羌中，南至北向户，北据河为塞，并阴山至辽东。㉛”在辽阔的大地上首次建立了统一的专制集权国家。疆域的扩展、由于郡县制代替分封制而引起的政体演变，使人民在输纳赋役时劳役不均的现象突出了，不仅是地方各郡到京师运送贡赋的路途远近差距很大，就是在一郡之中，各县到输所、居所的距离也有不小的区别，会造成输赋、服役者所花费的劳动不同。如果忽视对这类问题的解决，会带来种种社会矛盾。像《汉书•贾谊传》写道：“今淮南地远者或数千里，越两诸侯而县属于汉，其吏民徭役往来长安者，自悉而补，中道者敝，钱用诸费称此，其苦属汉，而欲得王者至甚，逋逃而归诸侯者已不少矣，其势不可久。"就是说淮南等边远郡县的吏民到京师长安去服役，苦于往来跋涉的辛劳，有很多人逃亡到邻近的诸侯国里去了。由于社会的阶级结构和国家组织发生了重大变化，封建统治者必须采取相应的措施，改革赋税徭役的征收办法，使各地的居民在负担上尽量平均，消除因为行道远近而带来的劳费不等。《九章算术》中以“齐劳逸”为宗旨的“均输”制度，看来是在上述历史背景下逐渐形成和完备起来的。因为史料缺少，目前还难以准确地判断“均输术”起源的年代。根据前面的分析，笔者估计它的产生不会早于国野制的崩溃以及中央集权政体的建立，应在春秋以后，而到统一的秦汉帝国时期则成为普遍推行的固定制度，并且得到了改进和完善。
注释
①《汉书•兒宽传》：“……大家牛车，小家担负，输租缉属不绝。”《后汉书•光武帝纪》建武十二年九月诏：“……其令南阳勿输今年田租刍稿。”
②《盐铁论•未通篇》。
③《汉书•枚乘传》。
④《史记•平准书》。
⑤见注释④。
⑥《汉书•食货志》董仲舒语：“……又加月为更卒，已复为正，一岁屯戍，一岁力役，三十倍于古。”
⑦见注释⑥。
⑧《汉书•昭帝纪》注。
⑨参见裘锡圭《汉简零拾》，载于《文史》第12辑。
⑩《汉书•高帝纪》注。
⑪参见杨连升《汉代丁中、廩给、米果、大小石之制》（《国学季刊》7卷1期），陈公柔等《关于居延汉筒的发现和研究》（《考古》1960 ,年第1期）。
⑫参见本书第七篇“福役”中“关于汉代服役者的年龄问题”一节。
⑬ 汉代史籍中的“事”多指服徭役，可参见《汉书•高帝纪》五年五月诏：“……非七大夫以下，皆复其身及户，勿事。”注引如淳曰：“事谓役使也。”七年春，“民产子，复勿事二岁。”注：“勿事，不役使也。”
⑭ 释文见弘一《江陵凤凰山十号汉墓简牍初探》（《文物》1974年第6期），“遣”字弘一同志未释，此处从黄盛璋同志之释，参见黄盛璋《江陵凤凰山汉墓简牍及其在历史地理研究上的价值》（《文物》1974年第6期）。
⑮《九章算术•均输》刘徽注。
⑯ 见注释 ⑮。
⑰ 加藤繁《中国经济史考证》第一卷，商务印书馆1962年版。
⑱《汉书•平帝纪》元始元年春，“……以元寿二年仓卒时横赋敛者，偿其直。”
⑲ 见注释④。
⑳《盐铁论•力耕篇》。
㉑《后汉书•朱晖传》。
㉒《盐铁论•本议篇》。
㉓吴慧《桑弘羊研究》第167页，齐鲁书社1981年版。
㉔《江陵张家山汉简概述》（《文物》1985年第1期）。
㉕《周礼•天官•家宰》序。
㉖《史记•苏秦列传》。
㉗参见徐喜辰《试论西周时期的“国”、“野”区别》（《吉林师大学报》1978年第2期）。胡新生《西周春秋时期的国野制与部族国家形态》（《文史哲》1985年第3期）。
㉘参见《商君书•徕民》；《睡虎地秦墓竹筒•法律答问》，文物出版社1978年版；苏诚鉴《“天下之民不乐为秦民”》（《安徽师大学报》1981 年第3期）。
㉙《史记•秦始皇本纪》。
㉚见注释㉙。
㉛见注释㉙。
十 爵 次
《九章算术》卷3为《衰分章》：“衰分以御贵贱禀税。“衰（cuī）分”亦即“差（cī）分”，是指按照一定的标准递减进行分配。该章共有三道涉及爵制的算题，其内容都和爵位高低与分配多少的比例有关。原文如下：
第1题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？
答曰：“大夫得一鹿三分鹿之二。
不更得一鹿三分鹿之一。
簪褭得一鹿。
上造得三分鹿之二。
公士得三分鹿之一。
术曰：“ 列置爵数，各自为表，副并为法。以五鹿乘未并者，各自为实。实如法得一鹿。
第6题：“今有禀粟，大夫、不更、簪鹿、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问各几何？
答曰：“大夫出一斗四分斗之一。
不更出一斗。
簪褭出四分斗之三，
上造出四分斗之二。
公士出四分斗之一。
术曰：“各置所禀粟斛斗数，爵次均之，以为列表，副并而加后来大夫亦五斗，得二十以为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。”
第8题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？
答曰：“大夫出八钱一百三十七分钱之一百四。
不更出一十钱一百三十七分钱之一百三十。簪褭出一十四钱一百三十七分钱之八十二。上造出二十一钱一百三十七分钱之一百二十三。公士出四十三钱一百三十七分钱之一百九。
术曰：“置爵数各自为衰，而返衰之，副并为法。以百钱乘未并者各自为实。实如法得一钱。”。
算题中所说的大夫、不更、簪褭、上造、公士，都是秦朝以及西汉、东汉实行的二十等爵制度中的爵名，可参见《汉书•百官公卿表•上》的记载和颜师古的注文：“爵，一级曰公士（注：言有爵命异于士卒，故曰公士也），二上造（注：造，成也，言有成命于上也），三簪褭（注以组带马曰褭。簪褭者，言饰此马也），四不更（注：言不豫更卒之事也），五大夫（注：列位从大夫），六宫大夫，七公大夫（注：加官、公者，示稍尊也），八公乘（注：言得乘公家之车也），九五大夫（注：大夫之尊也），十左庶长，十一右庶长（注庶长，言为众列之长也），十二左更，十三中更，十四右更（注：更言主领更卒，部其役使也）。十五少上造，十六大上造（注：言皆主上造之士也），十七驷车庶长（注：言乘驷马之车而为众长也），十八大庶长（注：大，更尊也），十九关内侯（注：言有侯号，而居京畿，无国邑），二十彻侯（注：言其爵位上通于天子），皆秦制，以赏功劳。”
又见《汉旧仪》：“汉承秦爵二十等，以赐天下。爵者，禄位也。公士一爵。赐爵一级为公士，谓为国君列士也。上造二爵。赐爵二级为上造，上造乘兵车也。簪褭三爵。赐爵三级为簪态。不更四爵，赐爵四级为不更，不更主一车四马。大夫五爵。赐爵五级为大夫，大夫主一车，属三十六人。官大夫六爵。赐爵六级为官大夫，领车马，公大夫七爵。赐爵七级为公大夫，领行兵伍，公乘八爵。赐爵八级为公乘，与国君同车。五大夫九爵。赐爵九级为五大夫，以上次年德者为官长将率。秦制生以为禄位，死以为号谥。左庶长十爵，右庶长十一爵，左更十二爵，中更十三爵，右更十四爵，少上造十五爵，大上造十六爵，驷车庶长十七爵，大庶长十八爵，关内侯十九爵，列侯二十爵。秦制二十爵，男子赐爵一级以上，有罪以减，年五十六免无爵为士伍，年六十乃免老，有罪各尽其刑。”
《九章算术•衰分章》算题中所提到的五种爵名，正是秦汉二十等爵中最低的五等。爵禄制度早在奴隶社会的商朝、西周就已经存在了，最高统治者"王"、"天子"把王畿之外的地区用"封邦建国”的方式，分封给各级诸侯管辖治理；诸侯们再把自己封国的一部分，给卿大夫们去做采邑，在剥削阶级内部进行财产、权力的再分配。不过，其爵名、次序与后来的二十等爵制度不同。《礼记•王制》称：“王者之制爵禄，公、侯、伯、子、男凡五等。”又有“人有十等”的说法，见《左传•昭公七年》：“故王臣公，公臣大夫，大夫臣士，士臣皂，皂臣舆，舆臣隶，隶臣僚，僚臣仆，仆臣台，”其中王、公、大夫、士四等属于奴隶主贵族，皂、舆、隶、僚、仆、台六等属于庶民和奴隶。通过规定爵制、身份等级的做法，把奴隶主阶级内部大小贵族世袭的经济利益、政治特权固定起来，借此巩固他们的统治地位，体现了奴隶社会各个阶级、阶层的尊卑贵贱。
春秋以来，随着社会生产力的发展，新兴的封建生产关系及其代表一地主阶级的势力迅速成长，后者在政治领域里逐渐占有一席之地，他们要求为本阶级规定新的爵秩等级，用它来维护和扩大自己的权力和利益，好为新兴地主阶级取代旧奴隶主贵族的统治开辟道路。在这种情况下，旧的封爵制度逐步解体，而出现了新的、以奖励功劳（主要是军功）的爵禄等级制度，打破了“世袭”的传统 凡是立功者都可以封爵受赏。从《衰分章》算题中二十等爵名称的历史渊源来看，其中一些爵号最早出现就是在春秋时代的秦国。如《左传•成公十三年》（公元前578年）载晋师伐秦，“战于麻隧，秦师败绩，获秦成差及不更女父，”杜预注曰：“不更，秦爵。”孙诒让《春秋左传正义》曰：“秦之官爵，有此不更之名，知女父是人之名字，不更是官爵之号。”《左传•襄公十一年》（公元前562年）载：“秦庶长鲍、庶长武，帅师伐晋以救郑，”春秋战国之际的学者墨翟在他的著作《墨子•号令篇》里也曾提到“官吏豪杰与计坚守者，士人及城上吏比五良者，皆赐公乘。“丞及吏比于丞者，赐爵五大夫。”后来，商鞅在秦国主持变法，进行巩固新兴地主阶级统治地位的政治改革，为了奖励军功和其它功劳，正式创立了系统、完备的赐爵制度，公士、上造、簪褭、不更、大夫等爵名才同时出现。《后汉书•百官志》注引刘劭《爵制》曰：“商君为政，备其法品为十八级，合关内侯、列侯凡二十等，其制因古义。……秦依古制，其在军赐爵为等级，其帅人皆更卒也，有功赐爵，则在军吏之例。自一爵以上至不更四等，皆士也。大夫以上至五大夫五等，比大夫也。九等，依九命之义也。自左庶长以上至大庶长，九卿之义也。关内侯者，依古圻内子男之义也。秦都山西，以关内为王畿，故曰关内侯也。列侯者，依古列国诸侯之义也。然则卿大夫士下之品，皆放古，比朝之制而异其名，亦所以殊军国也。”在《商君书•境内篇》里，也可以见到公士、上造、簪褭、不更、大夫、官大夫、公大夫、公乘、五大夫、大庶长、左更、大良造等爵名。
《衰分章》第（一）题所说的内容是五人共同狩猎，获得五头鹿，按他们当中爵位的高低来分配。“列置爵数，各自为衰”，就是依照其爵级数目排出等差数列，刘徽注曰：“爵数者，谓大夫五，不更四，簪褭三，上造二，公士一也。《墨子•号令篇》曰：以爵级为赐。”再按每人所占的比例计算分配。战国秦汉时代，各地的狩猎之风仍很盛行，天子、国君、诸侯的苑囿很多，“且盛荆棘之林，而长养麋鹿，广狐兔之苑，大虎狼之虚。”规模巨大的如西汉长安的上林苑，梁孝王的东苑“方三百余里，广睢阳城七十里。②”东汉梁冀“又多拓林苑，禁同王家，西至弘农，南极鲁阳，北达河、淇，包含山薮，远带丘荒，周旋封域，殆将千里。③”帝王大臣们率领属下在苑内驰骋射猎是经常的娱乐活动。民间的田猎也很普遍，《汉书•地理志下》载："江南地广，或火耕水耨。民食鱼稻，以渔猎山伐为业。”北方民众的集体狩猎活动亦时时而有，结束后共同分配猎物。④《衰分章》第1 题记载的是五人的小规模狩猎活动；当然，实际上参加者的爵位未必是正好每人相差一级，在这里为了算题的需要，有可能采用一些虚构的成分；但是要旨在于高爵者多分、低爵者少分的原则。第一级公士仅得一头鹿的三分之一，而爵位在第五级的大夫却分到"一鹿、三分鹿之二"，相当于前者的五倍。
第6题说的是爵位不同的五个人“禀粟”的事情。战国，秦汉时代，官府向个人发放衣装、粮草，或个人向官府领取这些东西，统称为“禀”。如“禀衣”，《秦律•金布律》载：“受（授）衣者，夏衣以四月尽六月禀之，冬衣以九月尽十一月禀之，过时者勿禀。⑤”发放牛马的饲料，《秦律•田律》：“乘马服牛禀，过二月弗禀，弗致者，勿禀、致。⑥”但是最主要的还是指发放、领歌粮食，包括俸禄、口粮，后者也叫“廩”；其对象相当广泛，例如：
A官吏（国家公务人员），其俸禄标准用粮食计算，或以“石”，或以“斛”；发放时半钱半谷，有时只发粮食；如《流沙坠简• 廩给类》就多有这样的简文，“入正月奉利麦三石，建武廿六年正月甲午……“入七月奉麦四斛，永平四年七月乙亥。”《秦律•仓律》中也提到宦者、都官吏、都官人因公出差到外地办事，口粮就在那里领取，“真县以减其真”，原来发放廩粟的县应该扣除他们的口粮，⑦ 汉代长吏、大臣因为为饭食由官家供给，称为“廩食县官带金银”⑧，或“廩食大官。⑨”
B边防的士兵、军吏及其随军的家属。居延、敦煌等地出土的汉简里有大量这方面的记载，其中许多简牍是属于吏卒、家属领取口粮“月禀”的登记册——廩名籍"。
C边郡移民。两汉时为了实边，曾多次招募百姓、赦免罪犯到边境居住，“予冬夏衣，廩食，能自给而止。⑩”
D官府奴婢。根据其性别、年龄和劳动分工给予不同数量的口粮。见《秦律•仓律》，“隶臣妾其从事公，隶臣月禾二石，隶妾一石半其不从事，勿禀。小城旦、隶臣作者，月禾一石半石未能作者，月禾一石。小妾、舂作者，月禾一石二斗半斗未能作者，月禾一石，婴儿之毋（无）母者各半石；虽有母而与其母冗居公者，亦禀之，禾月半石。隶臣田者，以二月月禀二石半石，到九月尽而止其半石。舂，月一石半石。⑪”
E 刑徒、囚犯。亦见《秦律•仓律》：“食饿囚，日少半斗。“日食城旦，尽月而以其余益为后九月禀所。城且为安事而益其食，以犯令律论吏主者，减舂城旦月不盈之禀。"其意为应按天（每日）发给城旦口粮，到月底时将剩余的粮食移作后九月的口粮。城旦作轻的劳役而增加了口粮，应按法令的法律对主管的吏进行论处。舂、城旦服役不满月，其口粮应予扣除。
F老人。汉代曾数次颁诏养老、尊老，“有司请令县道，年八十已上，赐米人月一石，肉二十斤，酒五斗。⑫”汉文帝还在诏书里批评那些向老人发放陈粮的官吏，“今闻吏禀当受鬻者，或以陈粟，岂称养老之意哉!”⑬
《衰分章》第6题记载廩果的五人，按照爵位高低领取廩粟，每级相差一斗。但是未说明他们的职业、身份，可能是属于“吏”——国家的公务人员，或是“士吏”，军中的士卒、军吏。
《衰分章》第8题讲的是五人共出百钱，按照爵位的高低分摊款数的事情，与前两道题的分配原则相同，都是照顾那些爵位较高的人，“欲令高爵出少，以次渐多。”第一级公士所出的钱数，相当于第五级大夫的五倍。不过，在具体的计算方法上，这道算题和前两道却有些区别。第1、第6两题用的是“列衰”方法，就是将分配的比率按照次序排列出来，“列置爵数，各自为衰”，把它们加在一起，“副并为法”；再求每个人的分配比例是多少，分别乘以分配的总数“五鹿”、“十五斗粟”，即得到五个人各自应该获得、分摊的数量了。而第8题则采取的是“返衰”的算法，即排列出五个人所分配比率的倒数，就是1/5、1/4、1/3、1/2、1/1，将其相加后，求出各人所占的比例，再分别以百钱相乘，就得出每个人应该交纳的钱数。那末，这道算题所说的五人共出百钱是做什么用场呢？正文中没有说明。如果是共同出钱购买物品，《九章算术》中的这类算题通常都要标明，如卷七《盈不足章》的1至8题，在题首便分别写到，"今有共买物"，或共买鸡、犬、牛、羊、黄金等等。而《衰分章》第8题并未写明“共买”，看来是为了其它用途。刘徽在注释《衰分》篇名时曾提到，这种计算方法是"以御贵贱禀税"，为了解决依照身份贵贱（爵位高低）来领取廩粟和交纳赋税的问题。由此来看，第8题所讲的“五人共出百钱”是共同交纳赋税，高爵者少交，低爵者多交。
社会成员按照不同的等级享有各种权利和有区别的义务，这是古代社会特有的一种普遍现象。列宁曾经指出：“大家知道，在奴隶社会和封建社会中，阶级的差别也是用居民的等级划分而固定下来的，同时还为每个阶级确定了在国家中的特殊法律地位。所以，奴隶社会和封建社会（以及农奴制社会）的阶级，同时也是一些特别的等级。相反地，在资本主义社会中，在资产阶级社会中，所有公民在法律上一律平等，等级划分已被消灭（至少在原则上已被消灭），所以阶级已经不再是等级。社会划分为等级，这是奴隶社会、封建社会和资产阶级社会共同的现象，但是在前两种社会中存在的是等级的阶级，在后一种社会中则是非等级的阶级。⑭”既然《九章算术》是成书于汉代的作品，那末，《衰分章》三道算题记载的依爵位高低来分配猎物、领取廩粟、承担税款的事情，是不是反映了两汉社会阶级生活的真实状况呢？对照当时的其它史料来看，并非如此。清朝学者钱大昕在《潜研堂文集》卷34《再答袁简斋书》中，曾对汉代爵制做了言简意赅的叙述，其中多处与《衰分章》算题所讲的情况不相符合。钱氏原文如下：“谨按赐爵始于商鞅，以旌首功。汉时，或以军功，或以人粟、入钱得之。而赐民爵一级或二级，史不绝书。大约公乘以下，与齐民无异；五大夫以上，始得复其身。民赐爵者，至公乘而止。爵过公乘，得移与子若同产、同产子。有罪得赎，贫者得卖与人。宣帝求汉初功臣之后，复其家，史称，皆出佣保之中，及考之表，则或云公乘、簪褭或云公士、上造，大率皆有爵者。虽拥高爵，而杂佣保，爵之冗滥如此。至五大夫以上，则以赐中二千石至六百石之勤事者及列侯嗣子。然考之史汉，自卜式、桑弘羊而外，书赐爵者寥寥。非无爵也，赐不是为荣，史家略而不书也。民爵不过公乘，而入粟之法流行，则有至大庶长者，大庶长去至关内侯一级耳。然鬻爵不鬻官，官有员，爵无员，此晁错所谓出于口而无穷者也。……”钱氏在文中说到汉代爵制的一些特点，其中之一是“公乘以下，与齐民无异”。即把第九级五大夫做为高、低爵的划分界限，从五大夫开始，以上各级爵位均属高爵，可以享受许多方面的优待。例如，高帝八年曾下令，“爵非公乘以上，毋得冠刘氏冠。⑮”刘氏冠即一种竹皮冠，刘邦为亭长时常戴，他做了皇帝以后更其名为刘氏冠，做为贵族阶层专用的饰物，公乘以下的低爵是无权佩戴的。在经济上，自第九级五大夫起，各级高爵者“复其身”，可以不服徭役。在政治方面，高爵者犯了怯可以减刑，并在狱中享有优待。汉惠帝时宜布，“爵五大夫，吏六百石以上及宦皇帝而知名者，有罪当盗械者，皆颂系，⑯”不用佩戴刑具；“当为城旦舂者皆耐为鬼薪、白粲，⑰”判为重徒刑的允许减轻一等。自第八级公乘以下为低爵，彼此之间的权益、身份没有多少差别，并不像《衰分章》算题所说的那样，每级爵位之间界限分明、权利各异、地位不同。普通百姓集体狩猎之后，通常是平分猎物，并不照顾那些爵位较高的人。例如任安在武功时，“后为亭长，邑中人民俱出猎。任安常为人分麋鹿雉兔，部署老小当壮剧易处，众人皆喜，曰：‘无伤也，任少卿，分别平，有智路。⑱’”政府向百姓征收货币赋税的时候，也不按爵位高低而在税额上有所区别。如算赋，成年男女一岁每人交纳120钱；⑲口赋，七至十五岁的少年儿童每人一年交 23钱；⑳赀税，依照家庭财产的价值多少按比例交纳，1万钱每年交纳127钱；㉑献费，每人一岁交纳63钱。㉒都和爵位高低无关。
