——基于与《数》《算数书》《九章算术》和其他出土材料的对比研究
一、学术史回顾及研究思路
《孙子算经》是古代的《算经十书》之一，在我国数学史上占据重要地位。其作者、年代均不详。学者对此有过不少讨论。清儒朱彝尊认为其作者是孙武，阮元认为其成书于周代。由于朱、阮二人的证据较为贫乏，这里不展开论述。四库馆臣有较为细致的考证，指出《孙子算经》为北周甄鸾旧注，唐代李淳风新注，则其成书年代当不晚于甄鸾。甄鸾的生卒年难以准确定位，不过甄鸾编制的《天和历》曾于公元560 年颁布实行，可以作为大致参照。
钱宝琮先生在1929年指出，《张丘建算经》自言其“荡杯”问题是在《孙子算经》的基础上进行的拓展研究。“据此可知《孙子算经》原著时代，当在《张丘建算经》之前。”张丘建的生卒年代难以确知。钱先生通过将《张丘建算经》和《魏书•食货志》进行对比，发现二者记载的租税制度相合，因而“断定《张丘建算经》的编写年代是在466年到485年之间”①。钱先生后来在《算经十书》中进一步说：“我们依据书中有历史意义的点滴资料，认为《孙子算经》的原著时代是在公元 400年前后。”② 吴文俊先生主编的《中国数学史大系》第四卷《西晋至五代》采纳了钱先生的意见，将《孙子算经》定为“南北朝传世算书”③。
总的来说，前辈学者的研究思路，是通过查找《孙子算经》中能够反映时代信息的零星字句，来断定其成书年代。笔者认为这种研究存在问题：第一，最严重的问题是，前辈学者所依据的“有历史意义的点滴资料”，恰恰是很不可靠、很容易在流传的过程中被后人修改的内容。我们都知道，古籍的流传情况非常复杂，经常发生后人修改前人著作的情况，比如，《史记》中有司马迁去世后的事情。算术类文献的这种情况也很普遍——算术类文献在工程计算、赋税征收等方面有强烈的实用性，往往被作为相关官吏的参考手册，这就是《算数书》出土于底层官吏之墓的原因。那些时代感较强的信息，比如某一时期的度量衡信息、赋税信息等，一旦时代发生了变化，也需要进行相应的修改。因此根据时代感较强的“有历史意义的点滴资料”，来判断算术类文献的成书年代，恐怕不是好方法。第二，这种方法的证据是零碎的，反映的是局部信息，未必能代表整体情况。因此，笔者试图采取某些新的研究方法，并试图将这些方法当成研究算术类文献成书年代的一般性方法。
笔者尝试采取整体的、全面的研究方法，来重新研究《孙子算经》的成书年代。核心观点有二：第一，算术类文献的算题由问题描述、答案和计算方法三部分组成，以往研究关注的是问题描述，但它们很容易被人根据时代需求而进行修改，而且这种研究容易陷人局部和细节。相
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① 钱宝琮.孙子算经考[M]//李俨，钱宝琮.李俨钱宝琮科学史全集（卷九）.沈阳：辽宁教育出版社，1998：95-96.
② 钱宝琮.算经十书[M].北京：中华书局，1963：275.
③ 吴文俊.中国数学史大系[M].北京：北京师范大学出版社，1999：40.
比之下，计算方法改起来比较麻烦，具有内容相对稳定、不容易被修改、也就更可能保留了原貌的优点，而且不同时期有不同的计算方法和计算水平，也就是说，计算方法也可以反映时代信息。因此，本研究重点转向计算方法的研究。对全部的计算方法进行研究，也就是对全书的整体研究。第二，如前所述，问题描述部分容易被修改，这些修改可以反映某道算题的最后修改时间，而不一定能反映著作主体的成书年代那些隐蔽的、不容易被修改的、又含有时代信息的问题描述部分，才是判断成书年代的好材料。
二、通过计算方法看《孙子算经》的成书年代
（一）分数计算
《孙子算经》的算法主要是约分、分数加减法、分数的平均数计算、整数四则运算等，我们将这些算法和《数》《算数书》《九章算术》进行对比，来获得对于《孙子算经》成书年代的新认识。
1.约分
（1）《孙子算经》有一道约分算题，其内容是：
今有一十八分之一十二。问约之得几何？答曰：三分之二。术曰：置十八分在下，一十二分在上。副置二位。以少减多，等数得六。为法，约之，即得。①
《孙子算经》采用的约分术，被称为更相减损法。“以少减多，等数得六”这句话比较难理解，它并不是说18-12=6，而是不断地让分子、分母相减，将结果赋予两数之中的大者，这样就可以得到新的分子
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① 郭书春，刘钝.算经十书孙子算经M.沈阳：辽宁教育出版社，1998：9.
或分母，直至分子、分母相等为止。这个等数6就是最大公约数。可以说，这句话描述得非常简略，很容易产生歧义。
（2）此类算题在《算数书》《九章算术》等算术文献中，有专门名称—— “约分术”。《算数书》的约分术是：
约分 约分术曰：以子除母，母亦除子，子母数交等者，即约之矣。
有曰，约分术曰：可半，半之；可令若干一，若干一。
其一术曰：以分子除母，少以母除子，子母等以为法，子母各如法而成一。
不足除者可半，半母亦半子。①
从表面上看，《算数书》提供了4种方法（每段都是一种单独的解决方法），但第1种和第3种都是更相减损法，只是文字表述略有差异，第4种是第2种的前半部分，实际上只有两种方法。这种混乱和重复说明抄写者并没有认真研究过这些算法，只是把它们当成可以套用的公式，需要的时候直接套用就行了。也就是说，约分有两种方法。一种是直观法，查看两个数是否有简单的公约数，比如2。另一种是更相减损法。
（3）《九章算术》的约分术是：
约分 术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。②
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① 彭浩.张家山汉简《算数书》注释．北京：科学出版社，2001：43.
② 郭书春.九章算术新校[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2014：13.
《九章算术》的约分首先是看能否同时除以2，如果不能，就采用更相减损法，来获得最大公约数。其算法和《算数书》几乎完全相同需要注意的是，《九章算术》的描述更加准确、简要，而不是像《算数书》那样，有太多的重复。
（4）三本书约分方法的比较。
通过对比《孙子算经》和《算数书》《九章算术》，我们可以发现《孙子算经》有比较古朴的特点，表现在：
第一，没有算题名称。名称是对某一类算题的抽象总结，是较高层次的东西。《孙子算经》缺乏算题名称，说明了它的简单、原始。《算数书》《九章算术》均有算题名称—— “约分术”。
第二，计算方法只有更相减损法一种，而且描述非常简略，尤其是“以少减多，等数得六”这句话，很容易让人产生误解。这说明《孙子算经》对更相减损法的总结还不到家，需要继续完善。
第三、《算数书》和《九章算术》都抽象出一般性的计算方法，对计算方法的描述，已经摆脱了具体的算题和数字。《孙子算经》没有抽象出一般性的计算方法。
通过上述分析，我们可以发现《孙子算经》计算方法的数量更少、描述更不准确，描述方式也较为原始、古朴，没有提炼出一般性的方法。因此，《孙子算经》的来源可能比《算数书》和《九章算术》更早。
2.分数加法
（1）《孙子算经》有一道分数加法算题，内容是：
今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：一十五分之十一。术曰：置三分、五分在右方，之一、之二在左方。母互乘子，五分之二得六，三分之一得五，并之得一十一，为实。右方二母相乘，得一十五，为法。不满法，以法命之，即得。①
分数相加，第一步是要进行通分，让两个分数的分母相同，再将通分后的分子加起来。最后再考虑是否要化成带整数的分数形式。
（2）此类算题在《数》《算数书》《九章算术》等数学文献中，有专门名称——— “合分术”。《数》的合分术是：
合分术曰：母乘母为法，子互乘□为实，实如法得一，不盈法，以法命之。②
文中的“□”，肖灿先生认为应该是“母”字③。这个推论是正确的。《数》的算法和《孙子算经》相同，区别是：《数》有了描述这一类问题的算法名称“合分术”；《数》已经摆脱了具体算题的束缚，抽象出一般性的方法。
（3）《算数书》的分数加法是：
合分 合分术曰：母相类，子相从。母不相类，可倍，倍；可三，三；可四，四；可五，五；可六，六；子亦辄倍，倍及三、四、五之如母。
母相类者，子相从。其不相类者，母相乘为法，母互乘子，并以为实，如法成一。
又曰：母乘母为法，子羡乘母为实，实如法而一。
其一曰：可十，十；可九，九；可八，八；可七，七；可
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① 郭书春，刘钝.算经十书孙子算经M.沈阳：辽宁教育出版社，1998：9.
② 朱汉民，陈松长.岳麓书院藏秦简（贰）[M].上海：上海辞书出版社，2011：72.
③ 朱汉民，陈松长.岳麓书院藏秦简（贰）[M].上海：上海辞书出版社，2011：72.
六，六；可五，五；可四，四；可三，三；可倍，倍。母相类止。母相类，子相从。①
《算数书》提供了四种方法（每种方法都用单独的一段表示）。第3种方法和《孙子算经》《数》完全一样。“又曰”两个字，说明《算数书》摘抄了别的著作。第2种方法的后半部分和第3种方法几乎完全相同。除此之外，《算数书》还多了两种情况：两个分数的分母之间，是2、3、4、5、6、7、8、9、10等简单倍数的情况；两个分数的分母相同的情况。因此，《算数书》的论证更加全面一些。问题在于，《算数书》的算法存在大量重复：方法1和方法4几乎完全相同，方法3是方法2的主体部分。也就是说，《算数书》其实只有两类方法。这些重复再次证明，作者没有好好检查过这些计算方法，只是进行简单的摘抄。
（4）《九章算术》的分数加法是：
合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。②
《九章算术》的分数加法，主要是两种方法：一种和《孙子算经》的描述相同，另一种是两个加数的分母相同的情况。和《算数书》相比，《九章算术》虽然少了一种简单情况的描述，但是描写更加严谨，没有重复。
（5）四本书分数加法的比较。
合分术有三种方法：第一，分数的分母相同，让分子直接相加。第
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① 彭浩.张家山汉简《算数书》注释 [M].北京：科学出版社，2001：45-46.
② 郭书春.九章算术新校〔M〕.合肥：中国科学技术大学出版社，2014：13-14.
二，分母不相同，但是分母存在2、3、4、5、6等简单倍数的情况，将分母化解为同分母后，再相加。第三，分母乘以分母；分子乘以所有的不属于自己的分母，并且相加。
通过比较四本书的算法，我们可以发现《孙子算经》更加古朴——没有算题名，没有抽象的一般算法，只有一道具体算题的方法。这说明《孙子算经》的来源应该比《数》《算数书》和《九章算术》更早。就四者所呈现出来的样子，我们可以发现一条较为清晰的由简单到复杂的发展线索：《孙子算经》（没有算题名；没有抽象的算法描述）——《数》（有算题名；有抽象的算法描述；只有一种计算方法）——《算数书》（有算题名；有抽象的算法描述；计算方法全面，但只是简单罗列，有重复）—《九章算术》（有算题名；有抽象的算法描述；计算方法全面；算法经过整合，没有重复）。
3.分数减法
（1）《孙子算经》有一道分数减法题，内容如下：
今有九分之八，减其五分之一。问余几何？答曰：四十五分之三十一。术曰：置九分、五分在右方，之八、之一在左方。母互乘子，五分之一得九，九分之八得四十。以少减多，余三十一，为实。母相乘得四十五，为法。不满法，以法命之，即得。①
分数相减，第一步是要进行通分，让两个分数的分母相同，然后再将分子相减。最后再考虑是否要化成带整数的分数形式。
（2）《算数书》的分数减法没有单独的名称，而是放在“出金”算题中。其内容为：
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① 郭书春，刘钝.算经十书孙子算经M.沈阳：辽宁教育出版社，1998：9.
出金 有金三铢九分铢五，今欲出其七分铢六，问余金几何？曰：余金二铢六十三分铢卅四。其术曰：母相乘也为法，子互乘母各自为实，以出除焉，余即余也。……
今有金七分铢之三，益之几何而为九分七？曰：益之六十三分铢廿二。术曰：母相乘为法，子互乘母各自为实。以少除多，余即益也。①
《算数书》中提供了两种计算方法，仔细辨别的话，会发现其实是同一种方法。这说明《算数书》是摘抄的，摘抄时没有进行细致区分。值得注意的是，两种摘抄都以“出金”为名，来讲解分数减法。这说明“出金”应为当时的分数减法的通用名称。原因大概是“出金”类算题的主要算法就是分数减法，而且很常见。
（3）此类算题在《九章算术》中有专门名称—— “减分术”，其内容如下：
减分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。②
我们可以看出，《九章算术》和《算数书》《孙子算经》的计算方法完全一致，差别是两点：
第一，《孙子算经》的计算方法，是通过算题的形式表现出来的，因而显得具体、原始，不够抽象，不能成为摆脱具体算题而单独存在的通用算法。
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① 彭浩.张家山汉简《算数书》注释 [M].北京：科学出版社，2001：49.
② 郭书春.九章算术新校[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2014：14.
第二，《孙子算经》没有算题名，因而无法作为分数减法这一类算题的总称。《算数书》出现了算题名，但该名称以现实生活中的实际应用“出金”为名，尚未抽取出本质内容。到了《九章算术》，算题名被进一步修正为“减分术”。这个修正无疑是非常准确的。这条线索反映了古人对分数减法认识的逐渐深入。
4.分数的“增减分”运算
“增减分”这一名词取自《算数书》，意思是分数值的增大或缩小。（1）《孙子算经》有一道“增减分”算题，内容是：
十分减一者，以二乘，二十除。减二者，以四乘，二十除。减三者，以六乘，二十除。减四者，以八乘，二十除。减五者，以十乘，二十除。减六者，以十二乘，二十除。减七者，以十四乘，二十除。减八者，以十六乘，二十除。减九者，以十八乘，二十除。
九分减一者，以二乘，十八除。八分减一者，以二乘，十六除。七分减一者，以二乘，十四除。六分减一者，以二乘，十二除。五分减一者，以二乘，十除。①
需要注意的是，这里的计算方法不是最简形式，而是最简形式的分子、分母都乘以2，这么一来，就将简单的计算搞复杂了。
（2）《数》《九章算术》都没有专门的“增减分”算法。这是因为，“增减分”是分数乘除法的一种较为简单的例子，不需要单独列出。《算数书》跟“增减分”相关的算题有两道，分别是：
增减分 增分者，增其子；减分者，增其母。
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① 郭书春，刘钝.算经十书孙子算经M.沈阳：辽宁教育出版社，1998：3.
分当半者 诸分之当半者，倍其母；当少半者，三其母；当四分者，四其母；当五分者，五其母；当十、百分者，辄十、百其母，如欲所分。①
我们可以看出，《算数书》的计算比《孙子算经》简便很多。比如，如果要算一个数的十分之一，只需要“十……其母”即可，即将该数除以10，而不必像《孙子算经》那样，先乘以2，再除以20。如果要算一个数的五分之一，只需要“五其母”，即将该数除以5，而不必像《孙子算经》那样，先乘以2，再除以10。也就是说，《算数书》用的是最简单形式，计算方法比《孙子算经》好很多。而且，我们很轻易通过《算数书》的记载，给出了这类问题的一般解决形式：如果要算一个数的M分之一，只需要将M作为分母就可以了；如果要算一个数的M分之N，可以先求得M分之一，再将分子乘以N就可以了。
5.本部分小结
除了上述分析的《孙子算经》已有的几种分数运算，我们还想讨论一下《孙子算经》所没有的那些分数运算。《孙子算经》有关分数的运算只出现过分数加法、分数减法和“增减分”运算三种情况，既没有出现分数乘除法，也没有出现整数和分数之间的乘除法。与之相反，《数》《算数书》《九章算术》中都有为数不少的分数乘除法运算，就连其中的分数加减法的难度也都远超《孙子算经》。
通过有关分数计算的分析，我们可以得出如下结论：
（1）《孙子算经》中的分数计算仅涉及分数加减法运算，不涉及乘除法运算。《数》《算数书》《九章算术》中都有不少的分数乘除法运算。这显示《孙子算经》的分数运算的水平，要比《数》《算数书》《九章算术》差很多。
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① 彭浩.张家山汉简《算数书》注释 [M].北京：科学出版社，2001：42.
（2）《孙子算经》的算题没有名称，《数》《算数书》《九章算术》则均有算题名称，用于总结某一类算题。
（3）《孙子算经》的算题解法只有一种，而且这一种算法尚没有脱离具体的算题，必须借助算题来进行说明。《数》《算数书》《九章算术》则均对算法进行过一般性的总结，已经可以摆脱具体的算题而存在。这表明，《数》《算数书》和《九章算术》具有更高的抽象程度。
（4）《孙子算经》的算法描述，存在着模糊不清的地方，而且多有不贴切之处，约分术尤其如此。《数》《算数书》《九章算术》的算法则更为准确。
我们知道，在没有断层的情况下，科学知识的发展规律，一般都是由简单到复杂、由模糊到准确、由具体到抽象。相比之下，《孙子算经》是较为简单的、模糊的、具体的，《数》《算数书》《九章算术》是相对复杂的、准确的、抽象的。这说明《孙子算经》的成书年代，应该早于《数》《算数书》和《九章算术》。
（二）《数》《算数书》《九章算术》需要的基础知识
我们知道，《数》《算数书》《九章算术》不是从零基础开始写的，而是假定读者具有一定的数学基础。这些基础包括：
第一，各种度量衡的换算比例。《数》《算数书》《九章算术》中涉及大量的度量衡运算，然而它们提供的度量衡的换算比例信息却很少，只是《数》中提供了较多的重量单位的换算比例。它们认为读者已经知晓这些单位之间的换算比例。《孙子算经》中恰恰有比较完备的度量衡换算比例，可以用作《数》《算数书》《九章算术》的基础。①
第二，九九乘法运算。《数》《算数书》《九章算术》并无九九乘法，原因是它们默认读者已经会了。九九乘法和整数的四则运算规则是孩童时期学习的东西，过于基础，不需要讲解。它们所不讲的基础知
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① 郭书春，刘钝.算经十书孙子算经M.沈阳：辽宁教育出版社，1998：1.
识——九九乘法（《数》为了教会读者在九九的基础上，掌握分数乘法，涉及7条九九），恰恰在《孙子算经》中出现了：“九九八十一……八九七十二……一一如一。”①
第三，算筹的运算方法。算筹是当时最主要、最常见的计算工具，也是学习数学的基本工具之一。《算数书》和《九章算术》的运算，显然是以算筹为基础的。《算数书》使用算筹，最明显的例子是“铜耗”算题：
铜耗铸铜一石耗七斤八两。今有铜一斤八两八铢，问耗几何。得曰：一两十一铢百卅四分朱九十一。术曰：置一石铼数为法，亦置七斤八两者铢数，以一斤八两八铢者铢数乘之，如法一铢。②
依照原文，计算过程应该是： 铢= 铢=36 铢。然而，《算数书》的作者在计算的时候，却将“1681920”误写为“1641920”，导致出现了错误的结果。郭世荣先生指出，这是作者将算筹摆错了的结果——4的算筹表示形式是“││││”，8 的算筹表示形式是“ ”，只需要将一根算筹摆错，就会导致这一错误结果。③郭先生的考证无疑是非常正确的。
《九章算术》的内容比《算数书》更多，算法更复杂，因而也是需要用到算筹的。我们举一个简单的例子：
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① 郭书春，刘钝，算经十书•孙子算经 [M].沈阳：辽宁教育出版社，1998：3-5
② 彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社，2001：62.
③ 郭世荣.《算数书》勘误[J].内蒙古师大学报（自然科学汉文版），2001（3）：276-285.
开方 术曰：置积为实。借一算，步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算，步之如初。以复议一乘之，所得副以加定法，以除。以所得副从定法。复除，折下如前。若开之不尽者，为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实，乃开之。讫，开其母，报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。①
我们不对该算法进行详细解释，只是提醒读者注意文中出现的“借一算”“借算”等词语。“借一算”“借算”的意思是借一根算筹，用来定位。这就是《九章算术》的运算用到算筹的明确证据。
《算数书》和《九章算术》都用到算筹，却没有介绍算筹的运算知识，显然是因为算筹的运用是比较基础的知识，无须赘述。《孙子算经》里记载了用算筹进行整数乘法和除法的方法。②
我们想强调的是：第一，这些知识在秦汉之际的《算数书》的成书时代，肯定都已经具备了。要不然就不会有《算数书》的出现，《算数书》也不会是我们今天所看到的样子。第二，这些知识和《孙子算经》的记载相一致。这就说明：这些知识被保存在《孙子算经》或者是跟《孙子算经》极为类似的书中（可称为《孙子算经》的前身或早期版本）。因此，我们可以知道，《孙子算经》的主体部分来源一定很早，应当不晚于《数》《算数书》所在的秦汉之际。
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① 郭书春.九章算术新校[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2014：125-126.
② 郭书春，刘钝.算经十书孙子算经M.沈阳：辽宁教育出版社，1998：2.
三、某些隐蔽、不易修改、又含有时代信息的算题
（一）从“黄金方寸重一斤”看《孙子算经》的成书经过
《孙子算经•卷上》有一道题目，讲的是相同体积的不同物品的重量问题。其内容如下：
黄金方寸重一斤。白银方寸重一十四两。玉方寸重一十两。铜方寸重七两半。铅方寸重九两半。铁方寸重七两。石方寸重三两。①
我国古代度量衡的演变情况非常复杂。本算题由于缺乏必要的历史信息，导致我们不知道应该用什么时期的度量衡来进行推演。幸运的是，我们都知道，两个体积相同的物品，重量之比等于密度之比。因此，我们可以用文中的黄金、白银、铜、铅、铁等物质的密度之比，进行合理的推测。
黄金的密度为19.26g/cm³，白银的密度为10.5g/cm³，因此，体积都为“方寸”的黄金和白银，重量之比应该等于19.26g/cm³÷10.5g/cm³≈1.83。按照文中的单位，体积都为“方寸”的黄金和白银，重量之比应该等于“一斤”：“一十四两”。也就是说，“一斤”：“一十四两”≈1.83。那么，这里的“一斤”是多少呢？是不是古代常用的“十六两为一斤”？答案是否定的，原因是16÷14～1.14，跟1.83相差太大。显然这里的“一斤”，应该有别的解释。
先秦、秦时的黄金单位，除了“斤”，还有“镒”（又写为“益”“溢”）。《史记•平准书》记载，汉代建立以后，曾经有过货币改革：
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① 郭书春，刘钝.算经十书孙子算经M.沈阳：辽宁教育出版社，1998：2 .
“为秦钱重难用，更令民铸钱，一黄金一斤”。臣瓒说，黄金改革的内容是“秦以一镒为一金，汉以一斤为一金”。① 也就是说，秦代的黄金重量以“镒”为单位，从汉代开始，黄金不再以“镒”为单位，而以“斤”为单位。很显然，这里解释不通的“斤”字，应该是由“镒”字更改而来。“镒”的重量记载有二十两、二十四两两种说法。将它们代人本算题，可得：20÷14 ≈1.43，24÷14 ≈1.71。“二十两”的说法跟本算题的误差较大，“二十四两”和本算题较为吻合。因此，本算题的一“斤”黄金应为“二十四两”。我们可以通过这一信息，推断本算题的成书时代和地域。
丘光明先生认为秦代、楚国、赵国的一斤相当于十六两，燕国的一斤相当于十两，卫国的一“镒”相当于二十四两。② 黄锡全先生通过考察楚地的出土文献、出土砝码，认为楚国的一“镒”为十六两，和“斤”相同③。石俊志先生通过出土文物证明，战国时期不同地域的一“镒”黄金的重量是不一样的——楚国相当于十六两，魏国相当于二十两，齐国和卫国相当于二十四两。④ 李零先生通过分析山东临淄出土的商王墓地的耳杯，得出结论：“齐国的‘镒’是二十四两”。⑤胡传耸先生通过分析出土文物中的“镒”，认为秦国少用“镒”，而多用“斤”：楚国的一“镒”相当于十六两；三晋和卫国一“镒”相当于二十两；齐国的一“镒”相当于二十四两。⑥ 以上诸位先生通过考古证据，来证明战国时期的“镒”的重量，结论有很强的说服力。学者们对卫国的“镒”和两的关系，有争议：丘光明先生、石俊志先生认为，卫国的一
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① 司马迁.史记[M].北京：中华书局，1982：1417-1418.
② 丘光明.试论战国衡制[J].考古，1982（5）：516-527.
③ 黄锡全.试说楚国黄金货币称量单位“半镒”[J].江汉考古，2000（1）；56-62.
④ 石俊志.试论战国秦汉黄金衡制的演变[J].中国钱币，2007（4）：19-25.
⑤ 李零.论西辛战国墓裂瓣纹银豆——兼谈我国出土的类似器物[J].文物，2014（9）：58-71.
⑥ 胡传耸.关于重量单位“镒”的几点认识[J].北方文物，2017（2）：38-41.
“镒”相当于二十四两，胡传耸先生认为相当于二十两。不过，学者们对齐国的一“镒”相当于二十四两这一点，并无争议。考虑到卫国距离齐国较近，我们可以称之为齐国周边地区。由此可知，一“镒”相当于二十四两为齐国一带的特征。
因此，本算题应成书于先秦时期的齐国一带。后来，随着“镒”这一黄金单位被废除，人们为了让本算题满足现实生活的需要，就将“镒”改为“斤”，但是改的时候没有注意到齐国的“镒”和秦国的“斤”存在重量差距，这道算题就有了经不起推敲的地方。这说明古书的传抄情况是比较复杂的，存世的古书既可能保存了它成书时的实际材料，又可能在流传的过程中遭到后人的修改。我们不能仅仅因为它们曾被后人修改，就将它们的成书年代往后推延。
（二）从大数进位看《孙子算经》的成书时代
《孙子算经》有一段描述大数进位的文字，内容如下：
量之所起，起于粟。六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛，十斛得六千万粟。所以得知者，六粟为一圭，十圭六十栗为一撮，十撮六百粟为一抄，十抄六千粟为一勺，十勺六万粟为一合，十合六十万票为一升，十升六百万粟为一斗，十斗六千万粟为一斛，十斛六亿票，百斛六兆粟，千斛六京票，万斛六陔粟，十万斛六秭粟，百万斛六穰栗，千万斛六沟票，万万斛为一亿斛六涧粟，十亿斛六正粟，百亿斛六载粟。
凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰垓，万万垓曰秭，万万秭曰穰，万万穰曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。①
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① 郭书春，刘钝，算经十书•孙子算经[M].沈阳：辽宁教育出版社，1998：1.
钱宝琮先生敏锐地发现，这里的大数（亿、兆、京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载）的进位有两种，一种为十进位（第一段），一种为万进位（第二段）。前者“皆以十进（位），与《诗经•周颂•丰年》‘万亿及秭’，《毛传》‘数万至万曰亿，数亿至万曰秭’大数进法正同”。后者则“显有后人增窜之证”①。笔者认为，钱宝琮先生的论断是非常正确的。如果我们可以进一步考证大数十进位是何时出现及消失的，今日常见的万进位是何时出现的，就可能弄明白第一段文字产生的大致时间。
钱宝琮先生说：“大数进法，在秦以前早有万、亿、兆、京、垓等名目，都从十进……汉以后人改从万进”②。钱先生此言基本属实，只是万进位的出现比钱先生所认定的“汉以后”要早很多。万进位的材料，最早可以上溯到《左传》：
卜偃曰：“毕万之后必大。万，盈数也。魏，大名也……天子曰兆民，诸侯曰万民。今名之大，以从盈数，其必有众。”初，毕万筮仕于晋，遇屯。辛廖占之，曰：“吉……公侯之卦也。公侯之子孙必复其始。”（《左传•闵公元年》）
“万”为什么会是“盈数”？唐孔颖达《左传正义》注释说：“以算法从一至万，每十则改名，至万以后称一万，十万，百万，千万，万万始名亿，从是以往，皆以万为极。是至万则数满也。”③ 孔颖达所言甚是。倘若万、亿、兆之间是十进位的，而不是万进位的，万便不会成
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① 钱宝琮.孙子算经考[M]//李俨，钱宝琮.李俨钱宝琮科学史全集（卷九）.沈阳：辽宁教育出版社，1998：96.
② 钱宝琮.中国数学史[M].北京：科学出版社，1963：101.
③ 阮元.十三经注疏M.北京：中华书局，2009；3877.
为“盈数”。只是这段材料的时间需要考察。一般认为，《左传》的作者是春秋左丘明，杨伯峻先生认为：“《左氏传》成于战国时，本是用战国时文字写的。”①我们知道，《左传》只记载灵验的占卜，以显示王侯将相确实有种。上述材料显然也是成于战国时，更明确地说，是成于三家分晋（公元前453年）以后。甚至有可能是魏国建立前后，为神化其由来而虚构出来的故事。因此我们认为，万进位的产生当在战国时期，时间比钱宝琮先生所说的汉代要早。战国之前，人们很少用到十万以上的计量单位，所以十进制就已经可以满足需求了。战国是一个大变革的时代，生产力发展，人口急剧增加，国家控制资源的增多等，都要求大数的计量单位从十进位变成万进位，从而可以更好地满足实际需求。如此，《孙子算经》中的十进位算题当来源甚早，很可能是战国以前的材料。
四、《孙子算经》中混入的后代信息
毋庸讳言，《孙子算经》也有一些时代较晚的信息。
四库馆臣已经发现，《隋书》在论述度量衡的时候，引用过《孙子算经》，内容却和今本《孙子算经》有所不同。这本是考察《孙子算经》被修改年代的好材料，可惜的是，四库馆臣以“盖古书传本不一，校订之儒各有据证，无妨参差互见也”为由，给忽略掉了。我们认为，数学材料，尤其是其中的度量衡信息和各种官方标准，跟社会生产的关系较为密切，有可能需要指导社会实践，因而会被不同时代的人们根据时代变化，进行必要的修改，从而会打上时代的烙印。与之相反的是，由于史书脱离社会生产，被修改的概率更低，因而史书引述的这些材料，可能会较好地保存了书籍的原貌。通过两相对比，我们就可以了解这些数学材料的原貌和修改情况。钱宝琮先生指出，这些度量衡的信息
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①《文史知识》编辑部.经书浅谈[M].北京：中华书局，1984：80.
“与唐代田曹、仓曹之制相同”①。可见，今本《孙子算经》可能经过唐代人修改。
《孙子算经》卷下有一道距离例题，也包含着历史信息：
今有长安、洛阳相去九百里。车轮一币一丈八尺。欲自洛阳至长安，问轮币几何？答曰：九万币。术曰：置九百里，以三百步乘之，得二十七万步。又以六尺乘之，得一百六十二万尺。以车轮一丈八尺为法。除之，即得。②
我们知道，长安是汉高祖时期才修建的，之前并无长安之名。也就是说，本算题应该是在汉高祖之后形成的。
《孙子算经》卷下有一道佛经例题，也包含着历史信息：
今有佛书凡二十九章，章六十三字。问字几何？答曰：一千八百二十七。术曰：置二十九章，以六十三字乘之，即得。③
这道题很简单，实质上是求29×63=？但“佛书”二字提示我们，该算题产生于汉译佛经出现之后。一般认为，最早的汉译佛经为《四十二章经》，据汤用彤先生考证：“东汉时本经之已出世，盖无可疑。”④那么，本算题应该出现在东汉《四十二章经》译出之后。跟本算题佛书字数最为接近的，大概是1858字的《阿弥陀经》，相差仅为31字。
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① 钱宝琮.孙子算经考[M]//李俨，钱宝琮.李俨钱宝琮科学史全集（卷九）.沈阳：辽宁教育出版社，1998：95.
② 郭书春，刘钝.算经十书孙子算经M.沈阳：辽宁教育出版社，1998：24. ③ 郭书春，刘钝.算经十书孙子算经M.沈阳：辽宁教育出版社，1998：18. ④ 汤用彤.汉魏两晋南北朝佛教史[M].武汉：武汉大学出版社，2008：24.
但《阿弥陀经》并不分章，而且真正的佛经不可能如此整齐，每一章都是“六十三字”，这是本题脱离实际的地方。
五、结语
通过上面的分析，我们可以知道：《孙子算经》的算题整体看来，出现的时间很早。主要证据是：
（1）书中记载的黄金重量算题，来自先秦时期齐国及其附近地区。
（2）《孙子算经》包含了战国之前的大数十进位法。
（3）《孙子算经》的算法和秦代的《数》、秦汉之际的《算数书》、两汉之际的《九章算术》相比，更为原始、古朴——《孙子算经》的算题没有名称；算题的解法只有一种，而且这一种算法尚没有脱离具体的算题和数据而存在，必须借助算题和数据来进行说明；算法描述存在着模糊不清甚至不对的地方。《数》《算数书》《九章算术》则给很大一部分算题增加了名称，用于总结某一类算题；均对算法进行过一般性的总结，已经可以摆脱具体的算题和数据而存在，因而具有更高的抽象程度；算法则更为准确。
（4）《孙子算经》包含了《数》《算数书》《九章算术》所需要的九九乘法、算筹的四则运算、各种度量衡的换算比例等各种基础知识。这些基础知识的来源必定很早。
将这些证据集中起来，我们就会得出结论：就算《孙子算经》出现得不够早，它的原型、它所蕴含的数学知识，也应该出现很早，早于秦代的《数》和秦汉之际的《算数书》。这是《孙子算经》一书的主要部分。所以，我们将《孙子算经》（或者说它的原型）断定为战国时期初步成书。
当然，反面的例子也有一些，比如出现了汉高祖以后才有的“长安”这个地名，出现了东汉以后才传入中国的“佛书”，出现了亿以上的万进位法，出现了唐代的度量规则等。这表明《孙子算经》在流传的过程中，不断被后人根据时代的变化，进行修改与添加。这两部分来源结合起来，就成了我们今天所看到的《孙子算经》。
