孟子生活的时代，“圣王不作，诸侯放恣，处士横议，杨朱、墨翟之言盈天下”（《孟子•滕文公下》，以下所引《孟子》，仅注篇名）。为了游说诸侯，和以杨朱、墨翟为代表的诸子百家辩论，孟子必须“好辩”，也必须善辩。尤其是“墨家的缜密思想、富于逻辑头脑，还是令人惊叹的；他们在建立知识论和逻辑方面的努力，可以说超过了古代中国的任何其他学派”①。这就要求孟子的思想也有相当程度的缜密和逻辑性，才能和墨家争辩，而这恰恰和数学密切相关。学界已经关注到孔子、荀子与数学的关系②，至于孟子的数学思想，则尚未见到较好的研究成果。本书对此进行总结。总结时，注重与《论语》《荀子》进行对比研究，以窥见先秦儒家数学成就之一斑。
一、《孟子》中的数量词
据笔者统计，《孟子》一书中，直接涉及数量的字词出现772次，约占《孟子》总字数的2.2%。作为一本主要讨论政治的著作，这个比例无疑是比较高的。相比而言，《论语》和《荀子》中的数量词分别出现220、1685次，分别占全书总字数的1.5%、1.9%。可见《论语》《孟子》《荀子》都比较重视数字。
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① 冯友兰，赵复三.中国哲学简史[M].北京：生活•读书•新知三联书店，2009：143.
② 骆承烈.孔子与数学[J].曲阜师院学报（自然科学版），1985（2）：91-95.衣抚生.《荀子》的数学成就初探[J].邯郸学院学报，2020（2）：15-20.
《孟子》中出现的整数，最小的是“一”，最大的是“亿”：“商之孙子，其丽不亿。”（《离娄上》）这里的“亿”不是10000万，而是10万。然而，“亿”字仅出现过一次，从一到十、百、千、万等数则大量出现。我们由此可以知道，万及万以下的整数在当时被广泛使用。相比之下，《论语》中“万”字只出现了两次，没有出现万以上的数字，取值范围明显不如《孟子》。《荀子》中的最大整数则是“兆”（100 万），比《孟子》还要大。《论语》《孟子》《荀子》中的整数取值范围逐渐增大，或许说明随着春秋至战国时期生产力的大发展，导致人们应用到的数字也随之逐渐增大。
《论语》中的分数比较简单，只是“三分天下有其二”这样暗含分数的表述，“还没有现在几分之几这样的表现形式”①。《荀子》也大致如此。《孟子》有一定的独特之处，比如“海内之地，方千里者九，齐集有其一。以一服八，何以异于邹敌楚哉？”（《梁惠王上》）这里出现了两个分数1/9和8/9，在比较两个数的大小时，孟子说的是“以一服八”，换成数学语言，那就是：两个分数进行比较时，如果分母相同，只需要比较分子的大小就可以了。类似的例子还有一些，比如，“天下有达尊三：爵一，齿一，德一……恶得有其一以慢其二哉？”（《公孙丑下》）天下最尊贵的东西有三样，孟子占了“齿”（年龄大）、“德”两样，是2/3，齐宣王只有“爵”这一样，是1/3。因此，孟子不认为自己比齐宣王低一等。
《孟子》中约数的表述方式，基本上和《论语》《荀子》类似。值得注意的是，《孟子》中出现了表示接近和超过的两种约数。“凶年饥岁，君之民老弱转乎沟壑，壮者散而之四方者，几千人矣。”（《梁惠王下》）“几”的意思是接近。“商之孙子，其丽不亿。”（《离娄上》）“不亿”的意思是超过十万。接近和超过两种约分形式的区分，无疑会
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① 骆承烈.孔子与数学[J].曲阜师院学报（自然科学版），1985（2）：91-95.
让约数更加精确。
《孟子》中有丰富的倍数信息。《孟子》中不只是有整数倍，还出现了分数倍的情况。“夫物之不齐，物之情也。或相倍徙，或相什百，或相千万。”（《滕文公上》）这里出现的倍数关系是倍（2倍）、徙（5 倍）、什（10倍）、百、千、万。“故事半古之人，功必倍之，惟此时为然。”（《公孙丑上》）这里出现了半（1/2倍）和倍（2倍）两种倍数关系。
值得注意的是，孟子注意到客观存在的数量关系和人们主观认识的数量关系之间，存在不一致甚至完全相反的情况。两个数进行比较时，大的数可能被认为是小的，小的数反而可能被认为是大的。比如，方圆七十里（4900平方里）比方圆四十里（1600平方里）大。统治者如果将园囿“与民同之”，就算园囿的面积多达方圆七十里，老百姓也不会觉得大，还会“民以为小”；统治者如果将园囿据为己有，不与百姓分享，哪怕园囿的面积只有方圆四十里，老百姓还是会“民以为大”。这样就发生了客观存在的数量关系和人们的主观感受不一致的情况。比如，赵简子让王良给他的宠臣嬖奚驾驶马车，出去打猎。王良“为之范我驰驱”，按照正常程序来做，结果是一天收获了0件猎物。后来，王良“为之诡遇”，违反规定驾车，结果是一个早晨就打了10只猎物。孟子的评价是：“御者且羞与射者比，比而得禽兽，虽若丘陵，弗为也。”（《滕文公下》）通过违反规定而获得的野兽，不要说是10只，就算是堆成一座小山，也不如不违反规定的空手而归。也就是说，是否遵守规定，决定了猎物的数量是否有意义。这就产生了10不如0的情况。又比如，在著名的五十步笑百步的故事中，孟子说，如果是临阵脱
逃，那么逃五十步和逃一百步是一样的。五十步和一百步明明差别较大，为什么会是一样的？这是因为他们的前提是临阵脱逃。我们可以用数学语言来描述：临阵脱逃这个分母趋向于无穷大，因此分子是50还是100，并不重要，结果都等于0。由此可见，孟子考虑的不只是纯数学，还要考虑人的主观意愿对数量关系的认识的影响。
二、《孟子》中的度量衡
（一）度（长度、面积）
《孟子》中最常用的长度单位是“里”，出现了45次，最常用的面积单位是“亩”，出现了19次。这是因为，《孟子》这本书主要是孟子游说诸侯的记录。诸侯国国土面积的计量单位一般都是“里”，如“千里之国”“百里之国”。孟子政治主张的重要内容是农民的土地问题，农民土地的单位一般是“亩”，如“百亩之田”。所以，“里”字和“亩”字才会在《孟子》中大量出现。
《孟子》中还出现了有关长度和面积的工具：“离娄之明，公输子之巧，不以规矩，不能成方员。”“圣人既竭目力焉，继之以规矩准绳，以为方员平直，不可胜用也。”（《离娄上》）“规”即圆规，“矩”即直尺，是用来画几何图形方员（圆）、测量长度的必备工具。孟子认为，这些工具的作用非常大，画出来的几何图形，比最心灵手巧的人——眼力极好的离娄、手艺最巧的公输子（鲁班）——都要好。这是对科技工具的准确认识。
孟子具备一定的计算土地面积方面的能力。“今滕，绝长补短，将五十里也，犹可以为善国。”（《公孙丑上》）孟子没有直接说滕国的领土面积，而是在进行一番“绝长补短”的计算后，说膝国的国土面积“将五十里”。这里的“五十里”，更常见的说法是“方五十里”，是先秦秦汉时期常见的土地面积计算方法，读者最熟知的名称可能是《九章算术》中所说的“方田术”。岳麓秦简《数》中的“方田术”，只有例题，没有“术”，其记载大致是如下类型的：“田方十五步半步，为田一亩四分步一。”①张家山汉简《算数书》“方田术”是已知正方形的面积，求其边长，与《九章算术》的内涵不同。《算数书》的“大广”算题与孟子所言较为接近。该算题的详情，请参见本书第一章第二节。《九章算术》的“方田术”为：“今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步。”②这就说明孟子熟悉“方田”类算题，有一定的计算土地面积的能力。我们还有更为直接的证据：“方里而井，井九百亩，其中为公田。八家皆私百亩，同养公田。”（《滕文公上》）这里是一段经典的土地面积计算。计算的预备知识是：“六尺为步，步百为亩”③，“三百步为一里”④。即：长度单位1里=300步，面积单位1亩=100平方步。因此，1里×1里=300步×300步=90000平方步=1井，1井=90000平方步÷100平方步/亩=900亩。将900亩的中间画一个“井”字，恰好可以分成9份土地，每份100亩。我们由此可以看出，孟子具备一定的整数乘除法和土地面积计算的知识。
（二）衡（重量）
孟子说：“权，然后知轻重。”（《梁惠王上》）意思是通过称重，才能知道物体的轻重，可见孟子对重量的测量及其工具有着清晰的认识。《孟子》中有几处关于粮食生产的句子，隐含粮食的重量计算：“百亩之田，勿夺其时，八口之家可以无饥矣。”（《梁惠王下》）孟子在这里一定计算过百亩之田每年的粮食产量，八口之家每年需要吃多少粮食，两相对比，发现粮食生产是可以维持一家开销的。这个计算过
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① 陈松长.岳麓书院藏秦简（壹一叁）释文 [M].上海：上海辞书出版社，2018：91.
② 郭书春.九章算术译注[M].上海：上海古籍出版社，2009；13.
③ 班固.汉书[M].北京：中华书局，1962：1119.
④ 李淳风.孙子算经[M].北京：中华书局，1985：1.
程，应该类似于《汉书食货志》记载的李悝、晁错的估算①。其详情我们已经无法得知了，但我们可以在《孟子》中找到旁证：“耕者之所获，一夫百亩，百亩之粪，上农夫食九人，上次食八人，中食七人，中次食六人，下食五人。”（《万章下》）孟子一定知道一个人每年需要消耗多少粮食，五类农夫（上、上次、中、中次、下）每年的粮食产量，才能分得这么细。我们还可以根据《汉书•食货志》记载的李悝所言“食，人月一石半”，大致推测当时的粮食产量。每人每月消耗1.5石粮食，那么每年消耗18石。上、上次、中、中次、下这五个等级的农夫的百亩之田的产量分别为18×9=162石、18×8=144石，18×7=126 石，18×6=108石，18×5=90石。考虑到《孟子》说的百亩之田“八口之家可以无饥”，笔者倾向于认为在农夫尽力的情况下，百亩之田产量144石左右是正常的。
（三）量（体积）
《孟子》中涉及体积的内容不多。“布帛长短同，则贾相若；麻缕丝絮轻重同，则贾相若；五谷多寡同，则贾相若；展大小同，则贾相若。”（《滕文公上》）这里所进行比较的内容，涉及了度—— “布帛长短”，量—— “五谷多寡”“屡大小”，衡—— “麻缕丝絮轻重”。
《孟子》中的度量衡描写，是为孟子的政治主张服务的。和孟子的政治主张关系较为密切的“里”“亩”等就多写，其余的就少写。因此，《孟子》书里的度量衡的记载，并没有完全反映孟子在这方面的水平。
三、数学在《孟子》中的作用
数字、度量衡、数学在《孟子》一书中，很多时候都是被有意应
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① 班固.汉书[M].北京：中华书局，1962：1125-1132.
用的，以服务于孟子的论辩。笔者曾总结数学在《荀子》中的作用是：“叙述某一问题的准确情况或大致情况；描述事物的发展顺序或等级关系；为荀子的主张提供数据上的支持；通过数据对比，来阐明事情真相或凸显某一方面的作用；表达特殊含义。”数学在《孟子》中的作用也大致如此，为避免和有关《荀子》的论述重复太多，笔者只介绍以下三个方面的内容：
（1）为孟子的主张提供数据上的支持。比如，孟子经常说，行仁政就能无敌于天下，哪怕是小国也可以。证据就是商汤、周文王一开始都是小国国君，由于行仁政而成为天子。“臣闻七十里为政于天下者，汤是也。”（《梁惠王下》）“以德行仁者王，王不待大。汤以七十里，文王以百里。”（《公孙丑上》）孟子的时候，齐、魏这样的大诸侯国都是地方千里——长、宽都是一千里，即100万平方里，周文王的地盘却只是方百里，即1万平方里，不过是齐、魏的1%，商汤的地盘更小，方七十里，即4900平方里，只是齐、魏的0.49%。既然这么小的国家都可以成功，齐、魏这种大国实行仁政就更容易了。
（2）通过数量对比，来揭示主次矛盾，阐明事情真相。同一件事情，从不同的角度来看，可能都会找出来一些看似合理的理由，从而产生完全相反的观点。要想解决这个问题，较好的方法之一，可能是分析主要矛盾和次要矛盾，不要被次要矛盾迷惑。数字常常能非常直观地表明何者是主要矛盾，何者是次要矛盾。比如，邹穆公曾经觉得邹国的老百姓都很可恶：“吾有司死者三十三人，而民莫之死也。诛之，则不可胜诛；不诛，则疾视其长上之死而不救，如之何则可也？”邹国和鲁国发生了战争，邹国有33名长官阵亡，老百姓却坐视不管，一个为国捐躯的都没有。邹穆公很生气，觉得老百姓太不像话了，向孟子请教惩罚老百姓的方法。对邹国这样的小国来说，33名长官阵亡，确实是一个不小的数字。邹穆公的话看起来有道理。孟子直接用数字来反驳邹穆公的观点，分析邹国老百姓为什么不愿意为国捐躯：“凶年饥岁，君之民老弱转乎沟壑，壮者散而之四方者，几千人矣。而君之仓廪实，府库充，有司莫以告，是上慢而残下也。”（《梁惠王下》）邹国君臣在国库充盈的情况下，坐视老百姓忍饥挨饿，结果是饿死了将近1000名老百姓。到底是谁更过分呢？是33名长官的生命重要，还是1000名老百姓的生命更重要？老百姓对邹国政府没感情，不愿意援救他们的君长，难道不是必然的吗？
（3）通过数字方面的相同，将两个不相干的事情联系在一起。这是孟子论证的重要技巧。比如，孟子喜欢说“四端”，实际上思孟学派强调的是“五行”。“案往旧造说，谓之五行……子思唱之，孟轲和之。”（《荀子非十二子》）那么，孟子为何不说“五行”，而要说“四端”呢？这是因为孟子要强调仁义思想是人生来就有的，就像是人的肢体一样：“恻隐之心，仁之端也；羞恶之心，义之端也；辞让之心，礼之端也；是非之心，智之端也。人之有四端也，犹其有四体也。”（《公孙丑上》）人人都有四肢，也就是“四体”。正是为了要和人的四肢联系起来，孟子才刻意从“五行”里面选择了仁义礼智，组成了“四端”，以与“四体”相对应。可能今人会觉得孟子的论证过于牵强，“四体”和“四端”没有任何联系。但在孟子看来，“四体”和“四端”对应的数字都是四，而且都是人所固有的，因而可以进行类比。
四、《论语》《孟子》《荀子》数学成就的比较
《论语》《孟子》《荀子》都有比较突出的数学知识，这或许可以说明先秦儒家对数学的重视。三者共同的原因可能有：第一，相传数学是周公所传，即魏晋时期的大数学家刘徽所说的“周公制礼而有九数”①，因而受到儒家重视。第二，数学是六艺之一，在当时社会有着广泛的应用，因而受到重视。第三，数学对语言表达的精确性和量化. 有很大的帮助，从而受到重视。孔子有一个特殊情况，那就是他曾经从事过专业的数学工作：“孔子尝为委吏矣，曰：‘会计当而已矣’”（《孟子•万章下》），孔子曾经保管仓库，做了大量的会计工作，因而对数学知识很是娴熟。
三者之间也有差别：《论语》中的数学最少，水平最低，《孟子》次之（如前所述，孟子具有计算土地面积的能力，水平较高），《荀子》的数学知识最多、数学水平最高。大数学家刘徽认为，我国古代最重要的数学著作《九章算术》是荀子的弟子张苍整理的：“汉北平侯张苍……皆以善算命世，苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。”② 研究数学史的大家钱宝琮、郭书春先生也都认为，荀子和《九章算术》存在密切联系：“与荀卿思想十分类似。”③“张苍是荀卿的学生，他的思想受到荀派儒学的极大影响，并把这种思想贯穿到《九章算术》的整理之中，是合乎历史的逻辑的。”④笔者通过研究《荀子》中的数学，得出相似的结论，即荀子具有高超的数学知识和数学应用能力，为先秦时期的一位大数学家。尤为特别的是，荀子主动将数学和政治统治结合起来，认为：“数学是制定标准、设计制度的重要手段和依据，数学跟官吏关系密切，数学和治民关系密切，数学在富国方面有重要作用”。这些都是《论语》和《孟子》所没有的。这显示荀子在统一的前夕，试图以数学为基础，为统一王朝的统治提供一套严谨、准确、可视化的政治模式。
综上所述，《孟子》一书中有较为丰富的数学知识和数学思想，值
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① 郭书春.九章算术新校[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2014：3.
② 郭书春.九章算术新校[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2014：3.
③ 钱宝琮.钱宝琮科学史论文选集[M].北京：科学出版社，1983：597-607.
④ 郭书春.论中国古代数学家[M].北京：海豚出版社，2012；20.
得引起我们的重视。
