第一章 出土算术材料研究的方法论问题 第一节 证据不足时如何确定功能：以清华简《算表》为例 第二节 数学推演与数字复原：以《算数书》“大广”算题为例 第二章 出土算术材料具体问题研究 第一节 从《算数书》看秦汉竹简的选材与制作 第二节 《算数书》第120～125简缀合札记 第三节 张家山汉简《算数书》“孥脂”考 第四节 岳麓秦简《数》文本研究二则 第三章 数学史研究第一节 《孙子算经》成书年代再考察第二节 秦汉时期普通受教育者的数学水平第四章 先秦儒家数学研究第一节 《孟子》的数学成就初探 第二节 《孟子•寡人之于国也》的跨学科解读第三节 《荀子》的数学成就初探 第五章 数学史视域下的史学研究第一节 孔子“奉粟六万”小考第二节 霍去病军“士有饥者”新论第三节 秦汉之际重要数字辩证四则第四节 修订本《史记》中的纪日问题 第五节 《汉书》诸表勘误札记第六节 《资治通鉴》勘误札记29则
后 记
绪 论
研究综述
战国秦汉数学的研究，大致可以分为两种类型：数学史学者关注其中的数学，代表作是两部大部头著作——吴文俊先生主编的《中国数学史大系》和郭书春先生主编的《中国科学技术史•数学卷》，邹大海先生所著《中国数学的兴起与先秦数学》也是一部力作；史学家从算术材料中抽取若干材料，以进行史学研究，代表作是宋杰先生的《〈九章算术）与汉代社会经济》。当今的研究热点是出土算术文献，是以文字释读为基础，结合上述两种类型的综合研究。
这里主要介绍出土算术文献的若干研究成果。需要说明两点：第一，本书不采用常见的罗列文献的研究综述方式，而是在学术史发展的脉络上，细致分析学者们的具体贡献。第二，由于相关文献较多，本书仅叙述具有首创、新见或较为重要意义的成果，对一看即知的简单研究成果不予论述。
一、张家山汉简《算数书》研究综述
张家山汉简《算数书》于1983年年底、1984年年初，在湖北江陵张家山地区的一座小型汉墓之中出土。最早由彭浩先生，在《江汉考古》杂志1985年第2期上，予以公布。彭先生公布了《算数书》的竹简数量（“一百余”枚竹简）、性质（“数学问题集”）、标题（“近六十个”），并将其和传世数学经典文献《九章算术》进行了初步的对比，认为两者存在密切的关系，“它们的命题和解法几乎完全一样”①。由于《算数书》比当时公认最早的数学著作《九章算术》还要早约200 年，因此，这一消息一经公布，就引起了学术界的高度重视。然而，《算数书》的整理、公布过程较为缓慢。直到2000年，《算数书》的释读全文——《江陵张家山汉简〈算数书〉释文》，才在《文物》杂志2000年第9期发表②。此后，学术界迅速展开了相关研究，产生了不少研究成果。值得特别指出的是，《算数书》已经有了两个英文译本、一个日文译本，分别是：（1）剑桥大学李约瑟研究所的Christopher Cullen 先生，在2004年将《算数书》翻译成英文版——The Suan sha shu 算数书：Preliminary matter③。（2）Joseph W.Dauben先生得到中国科学院自然科学史研究所、纽约城市大学联合资助，在2007年将《算数书》翻译成英文版——算数书Suan Shu Shu：A Book on Numbers and Computa-tions：English Translation with Commentary ④。（3）日本“张家山漢簡『算数書』研究会”，在2005年将《算数书》翻译成日文版——《漢簡『算数書』——中国最古の数学》⑤。这显示了国外学者对《算数书》的重视。
首先，应特别指出彭浩先生的贡献。彭先生是《算数书》的整理者，为我们提供了一个较为准确的注释本，这也是后来研究的基础。释
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① 彭浩.江陵张家山汉墓出土大批珍贵竹简[J].江汉考古，1985（2）：1-3.
② 江陵张家山汉简整理小组.江陵张家山汉简《算数书》释文 [J].文物，2000（9）：78-84.
③ Christopher Cullen. The Suàn sh sh算数书：Preliminary matter [M].Cambridge，UK：Needham Research Institute,2004.
④ Joseph W.Dauben.Suan Shu Shu：A Book on Numbers and Computations [M].Beijing，New York：Springer-Verlag，2007.
⑤ “張家山漢简『算数書』研究会”.汉简『算数書』——中国最古の数学書[M].京都：朋友書店，2005.
文公布仅一年后，彭先生就出版了《张家山汉简《算数书》注释》①一书，对《算数书》进行逐字逐句的解释，订正疏漏，推导算法，并讨论了《算数书》的成书年代、主要成就、与《九章算术》的关系等重要问题。这为后来的研究提供了极大的便利和启发。可以说，彭先生的整理研究对《算数书》的研究是至关重要的。
（一）校勘方面的研究成果
《算数书》公布后，很多学者都进行了校勘工作。篇幅较长、研究较为全面的研究成果，主要有我国台湾省学者苏意雯先生等人的《<算数书>校勘》②、郭世荣先生的《<算数书>勘误》③、郭书春先生的《 <算数书>校勘》④、彭浩先生的《张家山汉简<算数书>注释》、刘金华先生的《 <算数书〉集校及其相关问题研究》⑤、吴朝阳先生的《张家山汉简<算数书>研究》⑥、日本“张家山漢簡『算数書』研究会”编的《漢簡『算数書』——中国最古の数学》⑦、胡忆涛先生的《张家山汉简《算数书》整理研究》⑧等。
苏意雯等先生首次给出“饮漆”算题的正确计算方法（但他们没看懂题意，没有给出正确的解释）；首次指出“以圆材方”和“以方材圆”两道算题是互逆的，因而可以互相校正，并进行了正确的修正。郭世荣先生首次将第121简和第122简级合，并补充其中缺失的13个字；指出“以圆材方”算题和“以方材圆”算题是互逆的；首次尝试对
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① 彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社，2001.
② 苏意雯，苏俊鸿，苏惠玉，等.《算数书》校勘[J].HPM通讯，2000（11）：2-20.
③ 郭世荣.《算数书》勘误[J].内蒙古师大学报（自然科学汉文版），2001（3）；276-285.
④ 郭书春.《算数书》校勘[J].中国科技史料，2001（3）：202-219.
⑤ 刘金华.《算数书》集校及其相关问题研究 [D].武汉：武汉大学，2003. ⑥ 吴朝阳.张家山汉简《算数书》研究[D].南京：南京师范大学，2011.
⑦ “张家山漢簡『算数書』研究会”.漢簡『算数書』——中国最古の数学書》[M].京都：朋友書店，2005.
⑧ 胡忆涛.张家山汉简《算数书》整理研究 [D].重庆：西南大学，2006.
缺失18个字的“大广术”算题进行补正。郭书春先生首次对残缺的“行”算题进行分析，补足计算方法和答案；指出“斩都”对应《九章算术》中的“刍甍”算题，而非“堑堵”算题；尝试对“大广术”算题进行补正。刘金华先生正确补充了“舂粟”算题的缺失文字（由于不清楚石是重量单位，导致计算不正确）；对“行”算题进行了不同于郭世荣先生的分析。吴朝阳先生解释了“缯幅”算题中的“从利”一词，指出该词反映了秦尺和汉尺存在三寸的差别；将“挐脂”算题的生僻字 释读为“省”；较好地对“医”算题进行了补正；对“传马”算题中的“二马”进行了再解释。马彪先生指出，《算数书》中的“舆田，即按照契约已经授予承租人的田亩……有时又称为‘税田’”，这一结论得到彭浩先生的赞同。①
此外，比较重要的校勘成果还有：金一清先生在吴朝阳先生研究成果的基础上，将释读为“胜”（腥），训为生肉②。纪志刚先生对“大广术”算题进行了迄今为止最好的补正③。
（二）算题、算法研究（以算题为中心）
算法研究是《算数书》校勘和研究的基础，学者们在这方面进行了许多工作，很多学者都进行过完整的公式推导和演算。因此，笔者只总结学者们在算法上的独特贡献。
“饮漆”算题：此算题是《算数书》最难解释的算题之一，苏意雯先生等人虽然不知道该如何理解和解释，但是给出了正确的计算方法。日本学者大川俊隆、田村诚两位先生给出了正确的解释：本算题前后提
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① 马彪.《算数书》之“益耎”“与田”考[DB/OL].简帛网，2006-11-22.“授与”并非词语，似乎应改为“授予”。彭浩.谈秦汉数书中的“舆田”及相关问题[M] //简帛，上海：上海古籍出版社，2011：21-28.
② 金一清．释张家山汉简《算数书》中的“腥脂”[DB/OL].复旦大学出土文献与古文字研究中心网站，2015-3-21.
③ 纪志刚.《算数书》“小广”“大广”二问的释读与校勘[J].自然科学史研究，2005
（3）：229-235.
到的漆是不一样的，第一次出现的是标准漆，后面出现的都是现实中的漆，题意为用现实中的漆兑水，达到标准漆的要求。他们还用化学实验证实了此算题的准确性。①
“舂粟”算题：此算题给出的数据与计算不符。学者们有不同的猜测和修正。刘金华先生指出应补充“求米一石”四字。吴朝阳先生指出，如果不把“石”字理解为体积单位，而理解为重量单位，那么本题就是正确的②，这种说法较为合理，可从。
“以圆材方”算题和“以方材圆”算题：“以圆材方”算题是已知圆的周长，求圆的内接正方形的边长。“以方材圆”算题是已知正方形的边长，求其内接正方形的边长。彭浩先生、郭书春先生对这两道题的计算都有误，改字太多，原因是没有正确理解这两道题的关系。我国台湾省学者苏意雯先生等人首次注意到这两道题是互逆的，可以互相校正，并给出了正确的解释。③
“斩都”算题：不少学者都发现“斩都”算题的体积公式与《九章算术》中的“刍甍”的体积公式相近，因而认为它们是同一种东西的不同称呼。郭书春先生发现两者存在细微的差别，即“斩都”为上底边乘以2，“刍甍”为下底边乘以2，两者应该是不同的东西。郭先生推测了“斩都”可能的形状，并探讨了推导“斩都”体积公式可能采用的方法。④
“大广”算题：“大广”算题残缺18个字，但算题的大体意思和算法是清楚的（即两个假分数之间的乘法），有补正的可能性。不少学者都进行过相关的研究。纪志刚先生借助计算机，给出了“大广术”算题
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① 大川俊隆，田村诚.张家山汉简《算数书》“饮漆”考[J].文物，2007（4）：86-90.
② 吴朝阳.张家山汉简《算数书》研究[D].南京：南京师范大学，2011：46-48.
③ 苏意雯，苏俊鸿，苏惠玉，等.《算数书》校勘J.HPM通讯，2000（11）：2-20.
④ 郭书春.《算数书》“斩都”求积公式造术初探[J].曲阜师范大学学报（自然科学版），2010 （3）：120-124.
的两组最优解，这也是到目前为止对“大广术”算题最好的补正。详情请见本书第一章第二节。
“分钱”算题：此算题的算法有误，但在解释例题时是正确的，所以很多学者都忽略过去了。吴朝阳先生据《九章算术》予以补正。
“息钱”算题：彭浩先生指出，此题的求解“已经运用了复比例化简的方法”①，与《九章算术》相似。
“里田”算题：彭浩先生指出，此题的求解包含着将庞大数字简化的方法，是《夏侯阳算经》中的同类方法的前身。
“铜耗”算题：本算题在约分的时候，出现错误。郭世荣先生正确指出，错误产生的原因是作者在计算时，误把一个算筹的方向摆反了，导致数字“8”讹变为“4”②。
（三）数学史
作为我国最早的数学著作之一，《算数书》成书年代为何时？它是一部什么性质的著作？它和《九章算术》的关系如何？这是研究者比较关注的问题。
成书年代：彭浩先生指出，《算数书》“大部分算题的形成年代至迟不会晚过秦代”，“下限是吕后二年”③。郭书春先生则认为《算数书》“是秦或先秦的作品”④。其他学者的观点大致不出这一范围，唯独刘金华先生给出一个上限：“最早则不早于公元前317年”。
性质判断：彭浩先生指出，《算数书》是一部实用之书，“许多算题与秦、汉时期尤其是秦朝县级政府的管理职责有着极为密切的关系。
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① 彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社，2001：68.
② 郭世荣.《算数书》勘误[J].内蒙古师大学报（自然科学汉文版），2001（3）：276-285.
③ 彭浩.中国最早的数学著作《算数书》[J].文物，2000（9）：85-90.
④ 郭书春.《算数书》与《算经十书》比较研究[J].自然科学史研究，2004（2）：106-120.
主要反映在……对土地和租税的管理……对仓储物资的管理……对劳役和工程的管理”三个方面。① 邹大海先生首次指出，《算数书》“属于一部撮编之书”②。在此基础上，郭书春先生进一步指出，“《算数书》所源自的数学著作不止一两部，甚至不止三四部，这些著作又不是同时的作品”③。
《算数书》和《九章算术》的关系是学者比较关注的问题，早在《算数书》全文公布以前，李学勤先生、李迪先生、李继闵先生等人就展开过相关的论述。彭浩先生认为，《算数书》对《九章算术》的成书有影响，“《算数书》奠定了《九章算术》前七章的基础”④。这也是学界的主流看法。持相反观点者主要是郭书春先生和邹大海先生。郭书春先生认为，“《九章算术》的主体部分完成于先秦，两者孰先孰后，无法判定……《算数书》决不会是《九章算术》之源”⑤。邹大海先生则据刘徽所说的《九章算术》源流，提出在历史上存在着周代“九数”—《九章算术》祖本——《九章算术》这一条经典文献的发展脉络，《算数书》则是非经典文献，对《九章算术》的成书并无影响。⑥
其他数学史研究：郭书春先生将《算数书》与《算经十书》进行对比，指出：从体例上来说，《算数书》和《九章算术》基本相同；在提供预备知识方面，《算数书》和《孙子算经》相似；在使用问题集方面，《算数书》和《五曹算经》等接近；《算数书》的抽象程度不及《九章算术》，但是高于《孙子算经》《五曹算经》等；《算数书》的算
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① 彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社，2001：6-10.
② 邹大海.出土《算数书》初探[J].自然科学史研究，2001（3）：193-205.
③ 郭书春.《算数书》初探[J].国学研究，2003（11）：307-347.
④ 彭浩.张家山汉简《算数书》注释 [M].北京：科学出版社，2001：26.
⑤ 郭书春.关于《算数书》与《九章算术》的关系[J].曲阜师范大学学报（自然科学版），2008 （3）：1-7.
⑥ 邹大海.从《算数书》与《九章算术》的关系看算法式数学文献在上古时代的流传[J].赣南师范学院学报，2004（6）：6-10.
数术语有多种形式，反映了在用《九章算术》规范算术表达之前的略微混乱的情况。①
（四）其他方面的研究
利用算术材料来研究秦汉社会经济，始于钱宝琮先生、陈直先生等人对《九章算术》的利用。② 这些研究不仅开创了以《九章算术》研究秦汉社会的先河，实际上亦为以《算数书》研究秦汉社会的源头。宋杰先生对《九章算术》与秦汉社会经济关系的研究，取得了很大的成功，具有典范意义，对后来的运用出土数学文献来研究秦汉社会经济，启发很大。具体到《算数书》，我们简略谈一下若干研究成果。
租税：租税问题是秦汉史研究中持续时间较长、研究较为深入、成果比较丰富的课题。随着睡虎地秦简、张家山汉简等简牍材料的公布和人们对《九章算术》等文献的再次发掘，这一问题的研究就更加深入了。限于篇幅，笔者仅介绍《算数书》公布之后，学者们利用《算数书》来研究这一问题而产生的新认识。杨振红老师在这方面有很突出的成绩。杨老师在《从新出简牍看秦汉时期的田租征收》一文中，利用《算数书》（6道算题）、龙岗秦简、《九章算术》等材料，对秦汉时期的田租征收做出如下判断：“田租征收制度是程租制……田租征收的单位是亩而非顷”；“秦统一前关东地区的田租征收方式和秦楚地区存在明显差异”等③。之后，杨老师又将这篇论文扩充成《秦汉时期的田租征收》一文④。杨老师还利用《算数书》对龙岗秦简涉及“田”
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① 郭书春.《算数书》与《算经十书》比较研究[J].自然科学史研究，2004（2）：106-120.
② 钱宝琮.汉均输法考 [M] //李严，钱宝琮.李俨钱宝琮科学史全集（卷九）.沈阳：辽宁教育出版社，1998：140-142.陈直，两汉经济史料论丛[M].北京：中华书局，2008.
③ 杨振红.从新出简牍看秦汉时期的田租征收[M]//武汉大学简帛研究中心.简帛（第3辑）.上海：上海古籍出版社，2007：331-342.
④ 杨振红.出土简牍与秦汉社会（续编）M.桂林：广西师范大学出版社，2015；119-141.
“租”的简文进行校正，解决了一些疑难问题①。彭浩先生以《算数书》考察秦、汉初的田税制度，认为“田租和刍稿都是以谷物、草料按顷计数缴纳”②。李恒全先生认为“汉初田税是以亩为单位，按实有亩数计征的，所谓西汉田税以顷征收的说法不能成立”③。臧知非先生认为“江陵凤凰山木牍反映的是田税征收的实际情况……张家山汉简《算数书》只能间接、抽象地在数学意义上反映战国后期土地和田税的计算情况，不能作为否定西汉田税‘以顷计征’的‘铁证’”④。
墨子涵（Daniel Morgan）、林力娜（Karine Chemla）两位先生，通过分析《算数书》的笔迹，认为存在A、B两个写手，而且这两个写手之间存在等级关系：“我们注意到手A有遵从并接受手B的指挥，而手B反倒有救助手A的倾向。这样，A、B两手的关系不仅仅是抄写前后关系而更是一种社会等级关系，而在这个等级关系中是手B起到组织和指挥这个活动的功能。”⑤
经济史料价值介绍：叶玉英先生从“物价、关税、合资、贷息、亩产、地租、亩制、度田、纺织、米率、传马以及仓廪物资的管理”⑥等方面论述了《算数书》的经济史料价值。吴朝阳先生亦有相关总结和论述，值得关注的是，他提出了“以吏为师”的问题，指出“秦国
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① 杨振红.龙岗秦简诸“田”、“租”简释义补正[J].简帛研究，2004（1）：79-98.
② 彭浩.张家山汉简《算数书》注释M.北京；科学出版社，2001：7.
③ 李恒全.汉初限田制和田税征收方式——对张家山汉简再研究[J].中国经济史研究，2007（1）：122-131.李恒全.从张家山汉简看西汉以亩计征的田税征收方式——兼与减知非先生商榷[J].江海学刊，2007（6）：137-143.
④ 减知非.西汉田税“以顷计征”的史实及其他——再答李恒全同志[J].徐州师范大学学报（哲学社会科学版），2009（6）：74-79.
⑤ 墨子涵（Daniel Morgan），林力娜（Karine Chemla）.也有轮着写的；张家山汉简《算数书》写手与篇序初探[J].武汉大学简帛研究中心.简帛（第3辑）.上海：上海古籍出版社，2016：235-251.
⑥ 叶玉英.论张家山汉简《算数书》的经济史料价值[J].中国社会经济史研究，2005
（1）：38-45.
传承的数学，主要便是官吏体系中递相传授的、行政管理中需要的实用数学”①。丁邦友先生将《算数书》中计算出的物价全部当成汉初的实际物价，并以此为基础来探讨汉代的经济情况，得出汉初米价回落、手工业尚未恢复、高祖时经济残破、吕后时经济恢复等结论，似可商榷。②杨志贤先生以《算数书》和《二年律令》为基础来讨论汉初的财会制度，认为“西汉初年的会计管理达到了一个较高的水平”③。此外，李孝林先生、黄小红先生也有类似介绍，较叶玉英先生的论述详细一些，在规范方面似乎有待加强。④
社会史：邹大海先生以《算数书》考察“上古医事制度”，认为《算数书》中已残的一则算题为“战国时秦国（至迟到秦代）的法规”，并认为“考核医生的法规中出现了先进的正负数概念”⑤；以《算数书》等出土材料考察秦汉时期的委输制度，认为“相应的算题和算法应该在秦代或战国时秦国出现过”⑥。
二、岳麓书院藏秦简《数》研究综述
在《数》全文公布之前，岳麓书院发表了一批研究成果，主要包括：陈松长先生对《数》进行了简单的介绍，并对《数》与《算数书》
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① 吴朝阳.秦汉数学类书籍与“以吏为师”——以张家山汉简《算数书》为中心[J].古典文献研究，2012（1）：168-188.
② 丁邦友.张家山汉简所载汉初物价初探[J].山东师范大学学报（哲学社会科学版），2009 （3）：81-84.
③ 杨志贤.从张家山汉简看汉初会计管理制度的发展状况[J].中国社会经济史研究，2007（2）：7-12.
④ 李孝林，黄小红.张家山汉简《算数书》经济史料价值探索[J].淮阴师范学院（哲学社会科学版），2007（5）：615-621.
⑤ 邹大海.从出土竹简看 上古医事制度与正负数概念[J].中国历史文物，2010（5）：69-76.
⑥ 邹大海.从出土竹简看中国早期委输算题及其社会背景[J].湖南大学学报（社会科学版），2010（4）：5-10.
进行了初步的比较研究。① 肖灿先生、朱汉民先生介绍《数》主要内容、整理方法和历史价值，认为《数》“保存有很多古算法的最早例证”，“很可能是《九章算术》的编纂蓝本”，“可能是秦代的算数教程”②。他们又从“圆面积的求解方法”、“金字塔的体积公式”、“墓道问题”、勾股定理、简化计算五个方面概括了《数》中的几何知识③。以上两文对《数》进行了高度概括，具有较高的价值。此外，他们又介绍了《数》中“矩形、箕形、圆形三种平面图形土地面积”计算④；从《数》中归纳出“舆（与）田”“税田”两种土地所有制形式，认为前者为政府授田，后者为政府拥有的公田⑤；探讨了《数》中的米粟换算问题⑥。许道胜先生、李薇先生通过“术”字的不同写法，认定“《数》书很可能是主要源自两种书籍的抄本”⑦；对《数》的释文进行了校正③；对“营军之术”算题进行了释读。⑧另外，肖灿先生的博士论文对《数》进行了详细的编联、释文和注释，这也是日后公布的
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① 陈松长.岳麓书院所藏秦简综述[J].文物，2009（3）：75-88.
② 肖灿，朱汉民.岳麓书院藏秦简《数》的主要内容及历史价值[J].中国史研究，2009（3）：39-51.
③ 朱汉民，肖灿.从岳麓书院藏秦简《数》看周秦之际的几何学成就[J].中国史研究，2009（3）：51-58.勾股定理的部分又见：肖灿，朱汉民.勾股新证———岳麓书院藏秦简《数》的相关研究[J].自然科学史研究，2010（3）：313-318.
④ 肖灿，朱汉民.岳麓书院藏秦简《数》中的土地面积计算[J].湖南大学学报（社会科学版），2009（2）：11-14.
⑤ 肖灿.从《数》的“舆（舆）田”、“税田”算题看秦田地租税制度[J].湖南大学学报（社会科学版），2010（4）：11-14.
⑥ 肖灿.秦简《数》之“秏程”、“粟为米”算题研究 [J].湖南大学学报（社会科学版），2011（2）：9-11.
⑦ 许道胜，李薇.从用语“衍”字的多样表达看岳麓书院秦简《数》书的性质J.史学集刊，2010（4）：21-28.
⑧ 许道胜，李薇.岳麓书院所藏秦简《数》书释文校补[J].江汉考古，2010（4）：112-124.许道胜.岳麓秦简《数》书校读记（上）[J].湖南省博物馆馆刊，2011：300-319.许道胜.岳麓简《数》书校读记（下）[J].湖南省博物馆馆刊，2012：154-170.
⑨ 许道胜，李薇.岳麓书院秦简《数》“营军之述（衔）”算题解[J].湖南大学学报（社会科学版），2011（2）：188-192.
《数》的主要来源。① 王勇先生、唐俐先生认为《数》中的“走马”是秦代爵位，“相当于汉二十等爵中的簪袅”②。这些观点大都被收入正式出版的《数》中，从而使得《数》的整理本有一个比较高的起点。
这批早期成果起点较高。自2011年年底，《数》全文公布以来，学术界的相关研究成果可概括如下：
释文与编联：该类研究中，成绩最突出的当属日本的“中国古算书研究会”和许道胜先生。“中国古算书研究会”对《数》重新进行译注。③ 许道胜先生认为，岳麓简（一）第 0956 简当为《数》的末简，并对部分疑难简进行了再缀合。④ 蔡丹先生对《数》进行了三则缀合⑤。张显成先生、谢坤先生对《数》中的24处释文进行了补正⑥。彭浩先生还对《数》0117正简中的“般”字进行解释，认为“‘般’应读为‘縏’，训作‘囊’，是与‘帣’相当的容量单位……容三石”⑦。此外，对《数》进行文字释读校勘的还有：彭浩先生的《岳麓书院藏
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① 肖灿.岳麓书院所藏秦简《数》研究[D].长沙：湖南大学，2010.
② 王勇，唐俐.“走马”为秦爵小考 [J].湖南大学学报（社会科学版），2010（4）：15-16.
③ 中国古算书研究会，大川俊隆，马彪．岳麓书院藏秦简《数》译注稿（1）[DB/OL].简帛网，2013-1-30.中国古算书研究会，大川俊隆，马彪.岳麓书院藏秦简《数》译注稿（2）[DB/OL].简帛网，2013-4-20.
④ 许道胜先生的此类研究成果，多为发表在简帛网上的网文，主要有：许道胜.岳麓书院藏秦简《数》书疑难语词集释[DB/OL].简帛网，2012-2-2.许道胜.岳麓秦简《数》书诸疑难简的缀合与编连[DB/OL].简帛网，2012-2-5.许道胜.岳麓秦简《数》书文字释读举隅DB/OL．简帛网，2012-2-13.许道胜.《岳麓书院藏秦简（贰）》初读（上）[DB/OL].简帛网，2012-2-20.许道胜.《岳麓书院藏秦简（贰）》初读（下）[DB/OL].简帛网，2012-2-21.许道胜.《岳麓书院藏秦简（贰）》初读补（一）[DB/OL].简帛网，2012-2-25.许道胜.岳麓秦简《数》算题新解（三则）[DB/OL].简帛网，2012-8-29.许道胜.岳麓秦简1（0956）为《数》的末简说[DB/OL].简帛网，2013-3-5.
⑤ 蔡丹.读《岳麓书院藏秦简（贰）》札记三则[J].江汉考古，2013（4）：120-121.
⑥ 张显成，谢坤．岳麓书院藏秦简《数》释文勘补J．古籍整理研究学刊，2013（5）：5-8.
⑦ 彭浩.谈秦简《数》117简的“般”及相关问题[M]//武汉大学简帛研究中心.简
帛（第8辑）.上海：上海古籍出版社，2013：269-272.
秦简《数》中的“救（求）”字》、陈伟先生的《岳麓书院藏秦简〈数〉书J9+J11中的“威”字》、许道胜先生的《岳麓秦简《数》新札》①、鲁家亮先生的《读岳麓秦简《数》笔记》（一）、马芳先生的《岳麓书院藏秦简（壹、贰）整理与研究》、谭竞男先生的《岳麓简〈数〉中“藉”字用法及相关问题梳理》等。②
算题：肖灿先生介绍了学者们对《数》中的疑难题的探讨。③日本学者田村诚先生、张替俊夫先生对未被解读的两道衰分题进行了解释。④ 吴朝阳先生对取矣程算题、“乘方亭术”等进行了辨正。⑤陈松长先生、肖灿先生研究了《数》中的衰分问题，认为“这些算题和术文中包含了一些与《九章》的‘衰分’章类似的内容，说明《九章》的‘衰分’方法和算题确实很大程度上来自先秦”⑥。第 0388 正和第 0460 正，两枚简上的“取禾程”算题，初看起来是解释不通的，肖灿先生并未解释，只是简单说明了计算步骤。“中国古算书研究会”正确指出，解释不通的原因在于：该算题默认产出是粝米，文中出现的却是粟，因而需要实现粝米和粟的转化⑦。第0841正、第0805正、第0824
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① 许道胜.岳麓秦简《数》新札[J].简牍，2013：273-278.
② 彭浩.岳麓书院藏秦简《数》中的“救（求）”字[DB/OL].简帛网，2009-11-
30.陈伟.岳麓书院藏秦简《数》书J9+J1中的“威”字[DB/OL].简帛网，2010-2-8.鲁家亮.读岳麓秦简《数》笔记》（一）[DB/OL].简帛网，2012-25. 鲁家亮.读岳麓秦简《数》笔记（二）[DB/OL].简帛网，2012-3-23.马芳.岳麓书院藏秦简（壹、贰）整理与研究[D].上海：华东师范大学，2013.谭竞男.岳麓简《数》中“精”字用法及相关问题梳理[DB/OL].简帛网，2013-9-19.谭竞男.算数文献散札（三）[DB/OL].简帛网，2016-4-21.
③ 肖灿.岳麓书院藏秦简《数》疑难算题研讨[DB/OL].简帛网，2011-4-12. ④ 田村诚，张替俊夫，大川俊隆，马彪.岳麓书院藏秦简《数》衰分类未解读算题二题的解读[DB/OL].简帛网，2013-11-19.
⑤ 吴朝阳.岳麓秦简《数》之“三步甘八寸”[DB/OL].简帛网，2013-1-23.吴朝阳.
岳麓秦简《数》之“乘方亭术”[DB/OL].简帛网，2013-1-30.
⑥ 陈松长，肖灿.从岳麓书院藏秦简《数》看中国早期的衰分问题[DB/OL].简帛网，2012-2-26.
⑦ 中国古算书研究会，大川俊隆，马彪．岳麓书院藏秦简《数》译注稿（1）[DB/OL].
简帛网，2013-1-30.
正上记载的“枲税田”算题，肖灿先生没有看懂题目，“中国古算书研究会”指出关键的一步：《算数书》里有一道几乎一模一样的算题，描述更加清楚，通过这道算题就会明白，此算题实际上是圆柱体积计算，而非肖灿先生所认为的比例运算。
其他：张春龙先生、大川俊先生、初山明先生研究了秦简上的刻齿，认为不同的刻法代表着不同的数字，并对《数》中的刻齿简进行了考察。① 该发现具有较高价值。王子今先生指出，《数》中出现的“马甲”一词，“很可能是应用于骑兵作战时卫护战马的装具……可以看作最早的关于‘马甲’‘马铠’的文字信息”②。吴朝阳先生、晋文先生以《数》、北大秦简等为基础，考察秦时的亩产量，认为“粟的最高亩产为每市亩约295市斤……‘中田’粟的亩产约为177市斤”③。肖灿先生总结了《数》中的工程史料④。孙思旺先生解释了“营军之术”中涉及的军事问题，认为该算题“在一定程度上反映了周秦之际的壁垒构置与阵列部署”⑤。
三、清华简《算表》研究综述
清华简《算表》是目前所知我国最早的计算器，它的发现在我国数学史上具有重大意义。全面介绍《算表》功能的，是李均明、冯立
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① 张春龙，大川俊，韧山明.里耶秦简刻齿简研究——兼论岳麓秦简《数》中的未解读简[J].文物，2015（3）：53-69.
② 王子今，岳麓书院秦简《数》“马甲”与战骑装具史的新认识[J].考古文物，2015（4）：59-64.
③ 吴朝阳，晋文.秦亩产新考——兼析传世文献中的相关亩产记载[J].中国经济史研究，2013（4）：38-44.
④ 肖灿.试析《岳麓书院藏秦简》中的工程史料[J].湖南大学学报（社会科学版），2013（3）：26-28.
⑤ 孙思旺.岳麓书院藏秦简“营军之术”史证图解[J].军事历史，2012（3）：62-69.
旱二位先生的论文①。据称，该表可以实现乘法（含整数乘法和分数乘法）、整数乘方、整数除法、整数开平方四种运算。
四、北大秦简《算书》研究综述
北大秦简《算书》是很值得期待的未全部公布的文献。整理者韩巍先生曾在《文物》2012年第6期上，对这批简牍进行过大体介绍②。之后，韩巍先生又在2013年的《简帛》上，介绍了其中的“土地面积类算题”，将其分为“圆田术”“箕田术”“田三陋术”“田里术”“径田术”“方田术”六种。其中，“田里术”较为重要，“为前所未见”③。
五、睡虎地汉简《算术》研究综述
整理者谭竞男、蔡丹二位先生介绍了睡虎地汉简《算术》简牍的总体情况，并对其中田类算题进行了非常精到的研究。④
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① 李均明，冯立异.清华简《算表》的形制特征与运算方法[J].自然科学史研究，2014（1）：1-17.
② 韩巍.北大秦简中的数学文献[J].文物，2012（6）：85-89.
③ 韩巍.北大秦简《算书》土地面积类算题初识 [M] //武汉大学简帛研究中心.简帛（第8辑）.上海：上海古籍出版社，2013：29-42.
④ 谭竞男，蔡丹.睡虎地汉简《算术》“田”类算题[J].文物，2019（12）：71-75.蔡丹，谭竞男.睡虎地汉简的《算术》简册J.文物，2019（12）：63-70.
