以《算数书》“大广”算题为例
数字残缺问题，是出土算术类文献整理中的常见问题，对出土算术文献的研究造成了较大的困扰，亟须解决。目前来说，其解决方法主要有：通过红外线扫描，获得更为清晰的图像；结合残余笔画，进行字形分析；采用数学运算，进行推测。本节讨论数学推演在其中所能发挥的作用，主要是介绍两种在特定情况下简单有效的新方法：穷举法、特性分析法。
穷举法，即将取值范围内所有的可选项逐一验证，直到验证完毕。这种方法的要求是：可选项必须是有限的。它在分母完整、分子缺失的情况下，非常简单有效，通常可以极大地缩小范围，甚至是直接得出正确答案。特性分析法，是根据算题的特性，灵活地采取相应的解法。为了简便起见，笔者介绍的是一类特殊的特性分析法——乘数因子包含大素数的特性分析法。
笔者以《算数书》“大广”算题为例，来介绍这两种方法。当然，笔者关注的不是“大广”算题本身，而只是将其作为介绍穷举法和特性分析法的一个例子。
“大广”算题可能是《算数书》最费思量的算题之一。该算题的算法很简单，只是两个分数相乘，得到另一个分数。但由于两个乘数残缺的数据较多，导致复原起来难度较大，而通过细致计算又有可能推导出来。因此，“大广”算题就变成了非常有趣的智力游戏，郭书春、郭世荣、纪志刚、吴朝阳、王元钧等很多学者都进行过细致研究。目前尚未见到能从算法上进行全面无遗漏的推算者，因此笔者决定对该算题进行再校勘，重点在于从算法上涵盖所有的可能性。
需要说明的是，笔者关注的不只是这一道算题，而是试图以此为例，为这一类数字残缺的简牍的复原寻找到一般性的解决方法。
一、问题描述
“大广”算题的内容是：
大广 广七步卌九分步之□□□□□□□□□□□□□□□□□为□六十四步有（又）三百卌三分步之二百七十三。大广术曰：直（置）广从（纵）而各以其分母乘其上全步，令分子从之，令相乘也为实，有（又）各令分母相乘为法，如法得一步，不盈步以法命之。①
用纯数学语言来表达，是：74 ×？=64 。计算方法是：把两个乘数都化为假分数，然后分子乘分子，得数为结果的分子；分母乘分母，得数为结果的分母。然后把结果化为真分数。为了后续的说明和计算方便起见，我们将该算题表述成如下真分数的形式：7 ×B =64 （A、B、B1、B2均为正整数，且1≤A≤48，1≤B1< B2）。
学者们的研究结果主要有：
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① 张家山二四七号汉墓竹简整理小组.张家山汉墓竹简二四七号墓（释文修订本）[M].北京：文物出版社，2006：156. 34
（1）郭书春先生的校勘结果，对本算题的已知条件有较大修改，主要包括：将“广七步”改为“广十二步”，将“为□六十四步”改为“为百六十步”，等等①。
（2）郭世荣先生的校勘结果，也对算题的已知条件进行了较大的修改，主要是将“广七步”改为“广三步”②。
（3）王元钧先生的推导结果，也对算题的已知条件进行了较大的修改，主要是从“广七步卅九分步”中去掉了“九”字，将“为□六十四步”改为“为田六十五步”，等等③。
以上三位先生的推导存在一个共同的问题：修改原文已知条件。要知道，已知条件是我们进行推论的基础，这个基础如果不存在，可以进行任何修改，那么本算题就根本无法进行校正。
（4）吴朝阳先生通过仔细观察图版，勉强辨识出“七”“步”“分步之”“田”等文字，在此基础上，通过计算，得到：
广七步卌分步之七，从九步十四分步之一。问为田几何。得曰：为田六十四步又三百卌三分步之二百七十三。④
吴先生的结论是正确解之一。只是笔者志不在此，故暂且存而不论。值得注意的是，日本“张家山漢簡『算数」研究会”编的《漢簡『算数』——中国最古の数学書》，和吴先生有同样的计算结果⑤
（5）纪志刚先生的观点值得重视，他通过计算机程序，得到11种
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① 郭书春.《算数书》校勘[J].中国科技史料，2001（3）：202-219.
② 郭世荣.《算数书》勘误[J].内蒙古师大学报（自然科学汉文版），2001（3）：276-285.
③ 王元钧.张家山汉简《算数书》“大广”脱字补[DB/OL].简帛网，2009-11-7.
④ 吴朝阳.张家山汉简《算数书》研究[D].南京：南京师范大学，2011：133-135.
⑤ “强家山漢簡『算数書』研究会”.汉简『算数書』——中国最古の数学書M.京都：朋友芒店，2005：9-10.
可能性，经过排除，留下两种组合，分别是：
广七步四十九分步之七，从九步十四分步之一。问为田几何。得曰：为田六十四步又三百四十三分步之二百七十三。
广七步四十九分步之卅二，从八步 七分步之十九。问为田几何。得曰：为田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。①
纪先生通过计算机寻找各种可能性，具有较强的说服力，结论较为可取，但也存在以下几点缺憾：
第一，纪先生的排除方法有错误。他计算出来的“从”全部都是最简分数，没有注意到“从”可以不是最简分数。以纪先生的计算结果来说，7 、7 都不是最简分数，他却要求“从”必须是最简分数，并据此进行排除。这是难以说服人的。比如，8 被排除了，理由是分母3不是7的倍数。其实，我们完全可以把该分数变成非最简分数8 ，这样就可以满足条件了。
第二，纪先生假定第二个分数的分母小于343，问题在于，它为什么就不能大于343？要知道，结果是经过一定程度约分的，它完全可以大于343，经过约分后变成343。当然，纪先生这么做是有苦衷：倘若不限制第二个分数的分母大小，那就会有无穷无尽种可能。他只能人为设定一个最大值。这恰恰说明计算机穷举法在这道题上的局限性。只有一般性的算法才能真正解决这个问题。
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① 纪志刚.《算数书》“小广”“大广”二问的释读与校勘[J].自然科学史研究，2005（3）：229-235. 36
第三，纪先生是用计算机进行暴力破解的，尝试的排列组合超过（1+2+3+…+342）×48×2=5630688种。这种方法虽然给出了答案，但是没有算法和计算过程，这不能不说是一个遗憾。
总之，纪先生的计算方法不是很完美，存在这样或那样的问题，却是很有价值的，原因在于，这种计算方法实际上已经具备了穷举法的雏形，值得引起我们的重视。
在进行具体的计算之前，我们先讨论这道题目的两个限制条件。限制条件1：我们可以根据缺失的字数，大体推断出A、B、B所占的字数。按照《算数书》和秦汉数学材料的表述规范，我们可以给“大广”算题补充一些文字（用加粗字体标识）：“大广广七步卅九分步之□□从八（或‘九’，由下文可知）步□□分步之□问为田几何。曰：为田六十四步有（又）三百卌三分步之二百七十三。”其中，“问”字可以省略，《算数书》公布答案的句式有“曰”和“得曰”两种，也就是说，A、B1、B2的字数加起来是4（“得曰”）到6（省略“问”字）个字之间。当然，我们还需要提醒读者秦汉数学的某些特殊表达；包括：（1）百位数、千位数、万位数等是1的情况下，可以把“一”字省略。（2）20、30、40、70可以分别简写为“廿”“卅”“卌”“ ”。
限制条件2：我们注意到，计算结果343可以化为49×7，而被乘数的分母是49，这表明7这个因子应该来自B2。如果上述8组数据的B 不能整除7，需要将B1、B2都乘以7。
二、暴力破解法
纪志刚先生试图用计算机软件给A、B、、B赋予不同的值，来尝试各种可能性。他尝试了几百万种可能性，结果却只是差强人意。这种做法并不可行，反而将问题搞复杂了。实际上，暴力破解法是最简单、最直观的方法，我们不需要管B、B1、B2的值，只需要根据1≤A≤48这一限制条件，尝试A的48种可能性，就可以根据B =64 ÷7 ，算出相应的B、B1、B2的值————我们将所得结果化为带整数的分数，整数部分即为B，分数部分的最简形式，其分母即为B2，分子即为B1（当然，我们可以根据需要进行调整，使之成为非最简形式）。例如，我们可以尝试A为3的情况，64 ÷7 =64 ÷7 =9 ，因此B=9，B2=346，B1=61。以此类推，只需要尝试48次，就可以得到所有的结果。由于这个结果多达48个，而且容易获得，这里就不详细论述了。
48种可能性之中，能够满足限制条件的只有A为2、7、27、32、37、38、42、47这8组数据，再根据限制条件2进行调整，可以发现只有A为7、32、38、42这4组数据成立。至此，我们得到该算题的全部四种可能：7 X9 =64 ，7 X8 =64 ，7 X8 =64 ，7 X8 =64 。它们对应的最终文字是：
（1）广七步册九分步之七，从九步十四分步之一。问为田几何。得曰：为田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。
（2）广七步册九分步之卅二，从八步百五分步之册九。为田几何。曰：为田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。
（3）广七步册九分步之卅八，从八步廿一分步之七。问为田几何。曰：为田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。
（4）广七步卅九分步之册二，从八步十七分步之十九。为田几何。曰：为田六十四步有（又）三百四十三分步之二百七十三。
需要注意的是，当A=7或42时，7 不是最简分数；当A=32或38时，B 不是最简分数。也就是说，该算题肯定存在并非最简分数的形式。
通过这道算题，我们可以看出：穷举法有可能会成为解决这一类问题的通用方法——如果一个分数的分母是完整的，分子有残缺，就可能将分子的取值限定在一个较小的范围内，配合以其他限制条件，或许会很容易得到几组最优解。退一步讲，就算分母也残缺，只要没有完全残缺，还是可以用枚举法。比如，如果本算题被乘数的分母“49”残缺了一个数字，我们就完全可以假定该数字为从0—9的数字，进行代人计算。其计算步骤依然是有限的，并且涵盖了所有的可能性。因此，在分母齐全或者部分残缺并知道残缺的位数的情况下，穷举法是具有较大价值的推导方法。
三、特性分析法
特性分析法是指先寻找该算题的特性，再根据这些特性，尽量缩减可能性和计算范围。如前所述，本算题采取的实际上是乘数因子包含大素数的特性分析法（主要体现在下文的“性质3”中）。我们将等式7 ×B =64 化为假分数的形式，可以得到方程1： × = 。采用特性分析法的计算过程如下：
性质1：我们可以推测B的大致范围。B 的值介于64 ÷7 ≈8.1和64 ÷7 ≈9.2之间，B只能取值8或者9。
当B=9时，7 =64 ÷9 <64 ÷9≈7.2，A的取值范围为[1，9]。
当B=8时，7 =64 ÷8 >64 ÷9≈7.2，A的取值范围为[10,48]。
性质2：343=49×7，这表明7这个因子应该来自 B2，可表述为B2=7m（m是正整数）。在计算的过程中，m被当成公因子消去了，所以没有显示在结果的分母值343中。
性质3：通过分析方程1可知，343+A和B×B2+B1之中至少有一个能整除127，因此本题可以化解为两个部分：343+A能整除127；B×B2+B1能整除127。所有的可能解均在这其中。
（1）343+A能整除127
由于1≤A≤48，343+A的取值范围是[343，391]，其中能被127整除的只有381，此时A=38。由7 ×？=64 可知，？的最简分数形式是8 ，参考性质2可知，该分数应变成8 。
（2）B×B+B能整除127
即B×7m+B1=127d，其中m、d均为正整数，0<B1<7m，B=8或9。我们可以分成如下两种情况进行讨论：
①B=9，即9×7m+B1＋=127d，变形得：B1=127d-9×7m。由于0<B1<7m，可得： d<m<d，即1.81d<m<2.02d，m=2d。B1=127d-9×7×2d=d。第二个乘数是9 =9 ，第一个乘数是64 ÷9 =7
②B=8，即8×7m+B1=127d（方程2）变形得：B1=127d-8×7m。由于0<B1<7m，可得： d<m< d，即2.02d<m<2.27d，只有当 d、 d的整数部分不一样时，整数m才可能存在。由此可知，d≥4。当d≥7时，B2将是三位数，字数超出限制，不符合要求。因此，d 的值只能取4、5、6、7之一。其中存在两个可能解，即7 ×8 =64 ，7 ×8 =64 。
至此，我们就会得到该算题的全部四种可能解。即如果343+A能整除127，那么对应的解是：7 ×8 =64 。如果B×B2+B1能整除127，且B=9，那么对应的解是：7 ×9 =64 。如果B×B2+B1能整除127，且B=8，那么对应的解是：7 ×8 =64 ，7 ×8 =64 。相关的文字已经在上文表述过了，这里不再赘述。
四、结语
我们可以看到，上述两种计算方法适用的情况不一样：在分母完整（或者是部分残缺，且明确知道残缺了多少位）、分子残缺的情况下，穷举法较为简单有效，只需要将分子按照从1到分母减1的顺序，逐个代人即可。在数字存在某些特性，尤其是存在大素数乘数因子的情况下，特性分析法较为简单有效。我们在明确等式两边都有该大素数因子的前提下，通过查找该大素数因子所在的位置，可以将计算简化为几种情况。也就是说，这两种方法都是针对特定情况的有效方法。我们认为，数学是出土算术类文献的核心要素，加强数学运算在出土算术类文献整理和研究中的比例，似乎应该成为应有之义。
