竹子是秦汉时期重要的经济作物，史籍多有记载，出土文献也多有实物。以下若干条记载引起笔者的思索：
竹竿万个。①
（杨仆）坐为将军击朝鲜畏懦，入竹二万个，赎完为城旦。②
今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？答曰：一个，五钱四十七分钱之三十五。③
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① 司马迁.史记[M].北京：中华书局，1982：3274.
② 班固.汉书[M].北京：中华书局，1962：655.
③ 郭书春.九章算术新校[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2014：74.
今有出钱五百七十六，买竹七十八个。欲其大小率之，问各几何？答曰：其四十八个，个七钱。其三十个，个八钱。①
这些记载说明，竹子的计量单位是“个”。尤其是后三者，说明竹子作为经济作物出售时，是以“个”为单位的，而非以重量或者长度为单位（算题中，每个竹子的价格为5.7或7.4钱）。这就涉及一个问题：不同的竹子长短不同，粗细不同，有时还会差别很大，怎么能都以“个”为单位呢？这说明，当时对作为经济作物出售的竹子的长短、粗细等方面，一定有统一的规定。最起码的，应该规定最低长度、最小直径（或周长）。只是由于材料的限制，我们已经无法确知其具体规定。幸运的是，张家山汉简《算数书》中的“程竹”算题，对我们理解用于制作竹简的竹子的长度、直径等方面的官方标准，有所帮助。为论述方便起见，先将“程竹”算题的内容罗列如下：
程竹 程曰：竹大八寸者为三尺简百八十三，今以九寸竹为简，简当几何？曰：为二百五简八分简七。术曰：以八寸为法。
程曰：八寸竹一笛为尺五寸简三百六十六。今欲以此竹为尺六寸简，简当几何？曰：为三百廿（卌）三简八分简一。术曰：以十六寸为法。②
“程”字很重要，表明本算题记载的都是官方标准。宋杰先生在《〈九章算术〉与汉代社会经济》一书中，对“程”字代表秦汉时期的官方标准，已经有比较细致的总结与说明，感兴趣的读者可以自行参
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① 郭书春.九章算术新校[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2014：75.
② 张家山二四七号汉墓竹简整理小组.张家山汉墓竹简二四七号墓（释文修订本）[M].北京：文物出版社，2006：141.内容根据学者们的研究成果，有一定修正。
考，这里不再赘述。① 既然是官方标准，内容又涉及竹简制作，因而对学者们关注甚多的竹简形制、竹简选材等方面的研究，都会有所裨益。因此，“程竹”算题是《算数书》中非常有价值的一道算题。本书从以下几个方面进行讨论：
一、制作竹简的竹子种类
文中的“八寸”“九寸”都是指竹子的直径。秦汉时期的8寸是18.84厘米，9寸是20.79厘米。一位南方同学韦夏宁对我说：“这道题里的竹子怎么会那么粗？竹子很少有这么粗的！”笔者是北方人，对竹子了解不多。她的话引起笔者的重视。笔者向中国文化遗产研究院刘绍刚老师请教：制作竹简用的竹子是什么品种？刘老师回复说：“因地制宜，毛竹比较多。”笔者查阅了《中国竹类植物图志》，发现竹子确实大都直径在8厘米以下，很少有达到18厘米的，然而毛竹是特例：
毛竹……大型竹，秆高达20m以上，径18cm，节间短，壁厚……为我国最主要的笋用与材用竹种……分布：秦岭汉水流域以南各地，并已占我国竹林总面积的2/3以上，是我国面积最大、分布最广的经济竹种。②
毛竹的直径恰好和《算数书》中的数据相一致，均为直径18厘米左右，加上刘绍刚老师的解答，可证这道算题所用的竹子，应该就是毛竹，《算数书》的记载是非常符合当时的实际情况的。
《中国竹类植物图志》说的“节间短”也值得重视。据谢芳先生研
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① 宋杰.《九章算术》与汉代社会经济 [M].北京：首都师范大学出版社，1994：1.
② 朱石麟，马乃训，傅懋毅.中国竹类植物图志 [M].北京：中国林业出版社，1994：
123.
究，海拔高度对毛竹的节长有影响，海拔越高，节长越短，总的来说，毛竹的平均节长为24～29厘米，最长不超过40厘米。①本算题中所说的三尺简，是秦汉时期的三尺，为69.3厘米（下文所说的“三尺”，均为秦汉时期的三尺，不再单独指出），远远超过毛竹的节长，可见三尺简是使用好几节竹子做成的。然而完全忽略竹节也不可取，这是因为竹节比较坚硬，不适合加工。制作竹简时，尽量选择从竹节处分开，似乎是较为合理的。我们在下一段中对竹节长度的分析可以证实这一点。
笔者注意到，张家山汉简的出土地湖北江陵"海拔高程在40米以上（马家寨乡文新村五家河）——25.3米（沙岗镇九甲湖电排）之间”②，符合谢芳先生所说最适合竹子生长的海拔400米以下的条件，因而我们可以采用谢芳先生所统计的数据，认为本算题中的竹简节长大致为：第1～5节每节14.84厘米，6～10节每节27.28厘米，11～15节每节34.18厘米，16～20节每节39.2厘米，21～25节每节38.76厘米，26～30节每节36.2厘米，31～35节每节32.06厘米，36～40节每节22.66厘米，41～45节每节21.42厘米，46～50节每节16.76厘米。通过分析这组数据，我们可以看出：第1～5节加起来，约为三尺；6～10 节高约六尺，从中间截开，恰为两个三尺；11～35节，每两节加起来，约为三尺；36～45节，每三节加起来，约为三尺；46—50节，每四节加起来，约为三尺（竹子末梢部分较细，未必会被使用）。这或许就是制作三尺简时的截竹标准。这种标准既保证了三尺的长度，又尽量选择从竹节处截断，降低了加工难度，似乎较为可信。笔者在后文对这一问题有详细推算。《九章算术》中的部分记载，也提供了蛛丝马迹的线索：
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① 谢芳.毛竹节间性状及其海拔效应研究[J].江西农业大学学报，2002（1）：86-89.下文所引谢氏之言均出于此，不再出注。
② 江陵县人民政府.行政区划[EB/OL].江陵县人民政府官方网站，2017-5-22.
今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容，各多少？
答曰：下初一升六十六分升之二十九。次一升六十六分升之二十二。次一升六十六分升之一十五。次一升六十六分升之八。次一升六十六分升之一。次六十六分升之六十。次六十六分升之五十三。次六十六分升之四十六。次六十六分升之三十九。
术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。（《九章算术》卷六《均输章》）
这条记载表明，当时的竹子容量似乎是以若干节为同一单位的，比如算题中说的“下三节”“上四节”“中二节”等。这样做是很合理的：不同节的粗细、长度均有不同，应该将具有相近容量、长度的若干竹节，作为同样的情况进行考虑，而和其他竹节区分开来。当然，由于这一条材料为孤证，难以形成定论，故只能暂且罗列于此。
二、汉初竹简的形制问题
王国维先生在其名著《简牍检署考》中，对竹简形制有过经典论述，其文为：“古策有长短，最长者二尺四寸，其次二分而取一，其次三分取一，最短者四分取一。”① 随着出土简牍的增多，学者们发现该论述与实物并不完全符合，因而出现了很多不同的解释。这里不再赘述。笔者想强调的是，王国维先生的论断是从制度规定的角度来说的，而这些新观点都来自实物观察。制度规定和实际情况可能会有一定的差距，如果我们能从制度规定的角度，直接找出反证来，说服力无疑会更强。《算数书》“程竹”算题恰恰就提供了这样的标准。
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① 王国维，胡平生，马月华.简牍检署考校注 [M].上海：上海古籍出版社，2004：14.
既然官方标准中有“三尺简”“尺六寸简”，两者均不在王国维先生所列的简长之中，这就说明王国维先生的总结是有问题的。当然，王国维先生为了弥合史书中出现的三尺法和二尺四寸法的不同记载，认为三尺指周尺，相当于汉代的二尺四寸。这么一来，似乎“三尺简”就可以解释得通了。但这种解释在本算题中也是行不通的。有两个问题：
第一，秦汉之际的官方标准“程”，为什么要用周代的度量衡单位？这样岂不是会造成混乱吗？使用者怎么可能知道“程”里的单位是“古代”的周尺，而不是“当代”的汉尺呢？明显解释不通。
第二，按照王国维先生的逻辑，汉代的二尺四寸简、一尺二寸简分别对应周代的三尺、一尺五寸。就算这里的计量单位真的是周尺，那么本书中出现的“尺六寸简”，也没有对应的周代尺寸的简牍，因而是解释不通的。
由此可知，王国维先生的总结可能无法用于秦汉竹简上。“程竹”算题从制度规定的角度，提供了新的证据。
三、制作三尺简的竹子长度的官方标准的计算
如前所述，“程”字表明“竹大八寸者为三尺简百八十三”“八寸竹一个为尺五寸简三百六十六”都是官方标准。也就是说，制作竹简的竹子，按照官方标准应该直径在八寸（以上），制成三尺简要在183 枚以上，制成一尺五寸简要在366枚以上，不符合此标准就要受罚。这说明，制作竹简时所选用的竹子一定有最低长度，而不能特别短小。我们假设竹子的表面积为S，长度为h（cm），可以计算出竹子的表面积为：
S=2mrh=π×8（寸）×h (1)
我们知道，一根竹子能做多少根竹简主要取决于竹子的表面积。假设一枚竹简的宽度为d（cm），我们可以得到如下等式：
S=30（寸）×d×183 (2)
将（1）和（2）两个等式联立，可得：
π×8（寸）×h=30（寸）×d×183 (3)
h、d均为未知数，知道其中一个，就可以计算出另外一个。需要注意的是，只有竹子的长度h是三尺的整数倍时，才能做出三尺简。比如，如果竹子长五尺，那就只有一段竹子可以做成三尺简，剩下的二尺由于长度不够，便只能被废弃。因此，如果计算出来的竹子长度，有不足三尺的部分，要将其补足三尺。这一原则将被我们用于修正计算结果。
本算题中并未给出竹简的宽度d的数值，我们可以根据实际出土竹简的宽度来进行合理推测。首先需要说明的是，新近公布的《岳麓书院藏秦简》中，出现了木牍形制的官方规定，其内容如下：
用牍者，一牍毋过五行。五行者，牍广一寸九分寸八，[1718简]四行者，牍广一寸泰半寸；三行者，牍广一寸半寸。皆谨调（护）好浮书之，尺二寸牍一行毋过廿六字。•尺[1719简] 牍一行毋过廿二字。书过一章者，章□之，辞所当止皆服之，以别易（易）智（知）为故。书却，上对而复与却书及[1731简]事俱上者，紫编之，过廿牒，阶（界）其方，江（空）其上而署之曰：此以右若左若干牒，前对、请若前奏。•用疏者，如故。[1722简]不从令及牍广不中过十分寸一，皆赀二甲。[1814简]请：自今以来，诸县官上对、请书者，牍厚毋下十分寸一，二行牒厚毋下十五分寸一，厚过程者，毋得各过[1848简]其厚之半。为程，牍牒各一。不从令者，赀一甲。御史上议：御牍尺二寸，官券牒尺六寸。制曰：更尺一寸牍[1852简]牒。•卒令丙四[1702简]
这是一个非常令人振奋的消息，对于解决学者们关注已久的简牍形制问题，会产生很大的推动作用。可惜的是，其中并没有对竹简形制的规定。我们只能自行统计和推测。关于竹简宽度方面的统计信息，目前已有邢义田先生、贾连翔先生给出过统计数据。邢义田先生在《汉代简牍的体积、重量和使用》一文中，统计了台湾地区史语所藏居延汉简的信息。其中，检测居延木简54枚，竹简14枚，单行一尺木简9 枚。邢义田先生将14枚竹简分为两组，一组12枚，宽度为0.6—1.2 厘米，平均为0.841厘米。另一组2枚，宽度分别为0.7厘米和1.2厘米，平均为0.95厘米。① 邢义田先生的统计，对于本书有一定的借鉴价值。不过，由于邢先生统计的样本较小，仅为14枚竹简，而且产地和时代信息比较单一，均为居延汉简。因此，该统计信息对本书的参考价值不是特别大。相比之下，贾连翔先生的统计范围要大一些，共涉及信阳楚简、九店楚简、慈利简、郭店简、上博简、清华简6种材料，而且每种材料都以文章的篇名为单位，进行分别统计，因而数据较为翔实②。据笔者写作本书的2018年所见材料，至少有42种简牍材料公布过竹简的宽度信息。所以，笔者决定进行新的统计。统计结果见表2-1 （排列顺序为秦一楚一汉）：
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① 邢义田.地不爱宝：汉代的简牍[M].北京：中华书局，2011：3-5.
② 贾连翔.战国竹书形制及其相关问题研究[M].上海：中西书局，2015：105-111.
表2-1 秦汉出土简牍长宽一览表
竹简材料名称 竹简长度 竹简宽度 数据出处
湖北云梦睡虎地秦简 23.1-27.8 厘米 0.5-0.8 厘米
孝感地区第二期亦工亦农文物考古训练班：《湖北云梦睡虎地十一号秦墓发掘简报》，《文物》1976年第6期，第1—10页
湖北云梦龙岗秦简 28厘米
0.5-0.7 厘米
刘信芳、梁柱：《云梦龙岗秦简》，北京：科学出版社，1997年，第11页
岳麓书院藏秦简 25-30 厘米
0.5-0.8 厘米
朱汉民、陈松长主编：《岳麓书院藏秦简》（壹）“前言”，上海：上海辞书出版社，2010年
湖北江陵扬家山 135 号秦墓 22.9厘米 0.6厘米 刘德银：《江陵扬家山135号秦墓发掘简报》，《文物》1993年第8期，第1—11页
甘肃天水放马滩 1 号秦墓 27.5厘米（73枚），26厘米（379枚） 0.7厘米（73枚），0.6厘米（379枚） 何双全：《天水放马滩秦简综述》，《文物》1989年第3期，第23—31页。
湖南长沙周家台30号秦墓 29.3～29.6 厘米，21.7～23 厘米 0.5～0.7 厘米，0.4～1 厘米 彭锦华：《关沮秦汉墓清理简报》，《文物》1999年第6期，第26—47页
湖南长沙仰天湖 25 号楚墓 20.6～23.1 厘米 1.2厘米
戴亚东：《长沙仰天湖第25号木椁墓》，《考古学报》1957年第2期，第85—94页
河南信阳长台关 1 号楚墓 68.5～69.5 厘米（遣册），33厘米（残） 0.4厘米，0.5～0.9 厘米（遣册），0.7～0.8 厘米 河南省文物研究所：《信阳楚墓》，北京：文物出版社，1986年，第67页。商承祚：《战国楚竹简汇编》，济南：齐鲁书社，1995年，第19页①
湖北江陵望山1号楚墓 39.5厘米（残） 约1厘米 湖北省文化局文物工作队：《湖北江陵三座楚墓出土大批重要文物》，《文物》1966年第5期，第33—55页
湖北江陵望山2号楚墓 64厘米左右
0.6厘米 同上
湖南长沙五里牌406号楚墓 13.2厘米（残） 0.6～0.7 厘米 夏鼎：《长沙近郊古墓发掘记略》，《科学通报》1952年第7期，第492—497页
湖南长沙杨家湾6号楚墓 13.5厘米 0.6厘米 吴铭生、戴亚东：《长沙出土的三座大型木椁墓》，《考古学报》1957年第3期，第93—101页
河南新蔡葛陵1号楚墓 原文：“简长度不详” 一般为0.8 厘米，0.6～1.2 厘米 曾晓敏、宋国定、贾连敏、谢辰、叶嘉林：《河南新蔡平夜君成墓的发掘》，《文物》2002年第8期，第4—19页
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① 研究长台关1号楚墓，有两种基本材料，分别是：（1）河南省文物研究所.信阳楚墓M.北京：文物出版社，1986.（2）商承祚.战国楚竹简汇编M.济南：齐鲁书社，1995.让人颇感诧异的是，在描述遣册长宽时，两者存在很大差异。《信阳楚墓》说：“简长68.5—68.9厘米。最长的一根是69.5厘米。简宽0.5—0.9厘米、厚0.1—0.15厘米。”（第67页）《战国楚竹简汇编》说：“宽约零点四厘米”。（第19页）简宽到底是0.4厘米还是0.5—0.9厘米呢？笔者未见到实物，且缺乏第三方佐证，只能存疑。《战国楚竹简汇编》未录长度信息，所以长度取《信阳楚墓》的记载。
续 表
竹简材料名称 竹简长度 竹简宽度 数据出处
湖北江陵九店 56 号楚墓 46.6-48.2 厘米 0.6～0.8 厘米 湖北省文物考古研究所：《江陵九店东周墓》，北京：科学出版社，1995年，第339页
湖北江陵九店 621 号楚墓 22.2厘米
0.6～0.7 厘米 同上，第340页
湖北江陵九店 411 号楚墓 68.8厘米
0.6厘米 同上
湖北荆门包山2号楚墓 68～72.3 厘米 0.5～1 厘米 包山墓地竹简整理小组：《包山2号墓竹简概述》，《文物》1988年第5期，第25-30页
湖北黄冈曹家岗 5 号楚墓 12.8～12.9 厘米 0.7～0.75 厘米 吴晓松、洪刚：《湖北黄冈两座中型楚墓》，《考古学报》2000年第2期，第257-292页
湖南常德德山夕阳坡2 号楚墓 68厘米 1.1厘米 骈宇骞、段书安：《二十世纪出土简帛综述》，北京：文物出版社，2006年，第437页。
湖北江陵砖瓦厂 M370 楚墓 61.1～62.4 厘米（残简4枚不统计） 0.7～0.9 厘米
同上，第457页
湖北荆州郭店1号楚墓 15-32.4 厘米
0.45-0.6 厘米
王传富、汤学锋：《荆门郭店一号楚墓》，《文物》1997年第7期，第35—50页
湖南慈利石板村 36 号战国墓52 约45厘米
0.4—0.7 厘米
湖南省文物考古研究所、慈利县文物保护管理研究所：《湖南慈利县石板村战国墓》，《考古学报》1995年第2期，第173—207页
上博简 24～55.5 厘米 0.5～0.7 厘米，以0.6 厘米居多 马承源主编，上海博物馆编：《上海博物馆藏战国楚竹书》（一一九），上海：上海古籍出版社，2001年—2012年
清华简 16～47.5 厘米 0.5～0.7 厘米，《算表》为1.2厘米 李学勤主编，清华大学出土文献研究与保护中心编：《清华大学藏战国竹简》（一五），上海：中西书局，2010年—2015年
湖北随州曾侯乙墓 70～75 厘米 1厘米 萧圣中：《曾侯乙墓竹简释文补正暨车马制度研究》，北京：科学出版社，2011 年，第4页
江苏扬州胥浦 101 号汉墓 22.3厘米（16枚），36.1厘米（1枚） 1.2～1.9 厘米（16枚），0.9厘米（1枚） 王勤金、吴炜、徐良玉、印志华：《江苏仪征胥浦101号西汉墓》，《文物》1987 年第1期，第1—17页
河北定县八角廊 40 号汉墓 11.5厘米 0.8厘米左右 李均明、何双全：《散见简牍合集》，北京：文物出版社，1990年，第44页（八角廊汉墓发掘简报未记载长度、宽度信息）。
湖北江陵凤凰山 8 号汉墓 22.4～23.8 厘米 0.55～0.8 厘米 同上，第55页
湖北江陵凤凰山 10 号汉墓 23厘米 0.7厘米 同上，第66页。
湖南长沙马王堆 1 号汉墓 27.6厘米 0.7厘米 同上，第108页。
湖北江陵藤店1号汉墓 18厘米（残） 0.9厘米 同上，第131页
北京大葆台汉墓 20.5厘米 0.7厘米 同上，第131页
陕西咸阳马泉汉墓 6厘米（残） 0.7厘米 同上，第131页—132页
湖北江陵张家山汉简《算数书》① 25厘米 0.6～0.7 厘米 彭浩：《张家山汉简《算数书》注释》，北京：科学出版社，2001年，第2页
北大简（西汉） 30.2～30.4 厘米，31.9～32.2 厘米，23～23.2 厘米 0.7～1 厘米 朱凤瀚、赵化成等：《北京大学藏西汉竹书分述》，《文物》2011年第6期，第57—89页。北京大学出土文献研究所：《北京大学藏西汉竹书》（伍），上海：上海古籍出版社，2014年，第216—224 页。北京大学出土文献研究所：《北京大学藏西汉竹书》（肆），上海：上海古籍出版社，2015年，第140—143页
敦煌汉简 23.3厘米，36～37 厘米 约0.8厘米，0.6～1.3 厘米 中国简牍集成编辑委员会：《中国简牍集成》（第三册），兰州：敦煌文艺出版社，2001年，第6、196页
湖北江陵凤凰山168号汉墓 24.2～24.7 厘米 0.7～0.9 厘米
纪南城凤凰山一六八号汉墓发掘整理组：《湖北江陵凤凰山一六八号汉墓发掘简报》，《文物》1975年第9期，第1—7页
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① 《张家山汉墓竹简二四七号墓》（释文修订本）一书不含宽度信息，彭浩先生透露其中的《算数书》简宽0.6～0.7厘米，不知其他简长。
续 表
竹简材料名称 竹简长度 竹简宽度 数据出处
山东临沂银雀山汉墓 27.5厘米 0.5～0.7 厘米 骈宇骞、段书安：《二十世纪出土简帛综述》，北京：文物出版社，2006年，第396页
湖北沙市萧家场26号汉墓 23.7～24.2 厘米 0.6～0.9 厘米 同上，第458页
湖南沅陵虎溪山 1 号汉墓 14厘米（黄簿），27厘米（日书），46厘米（美食方） 0.7厘米（黄簿），0.8厘米（日书、美食方） 同上，第474、475页
湖北随州孔家坡8号汉墓 34厘米（长），27厘米（短）
0.8厘米（长），0.6厘米（短）
同上，第476页
江苏连云港东海县尹湾汉墓 22.5～23 厘米 0.8～1 厘米，0.4 厘米 连云港市博物馆、东海县博物馆、中国社会科学院简帛研究中心、中国文物研究所：《尹湾汉墓简牍》，北京：中华书局，1997年，第175—180页
说明：
1.该表仅统计竹简，不统计木简、竹牍。学界一般认为简牍的长度有重要价值，和简牍的内容、用途密切相关，因而简牍整理者对长度信息非常重视，均有著录。宽度信息则为许多整理者未曾注意，故而信息不多。
2.尹湾汉墓竹简的宽度，学者一般引用整理者的说法，分大简（0.8～1厘米，所记内容为《神乌赋》）和小简（0.3～0.4厘米）两种（见《尹湾汉慕简牍•前言》）。但据该书文后的“简牍尺寸索引”可知，该尺寸实际上是脱水后的尺寸，会比实际尺寸略小一些，本书采用脱水前的尺寸。
下面，我们再统计不同宽度的竹简出现的频率，见表2-2：
表2-2 不同宽度的战国秦汉简牍出现频率表
竹简宽度（厘米） 出现次数 所占比例（%）（取整数）
0.4 3 2
0.5 11 9
0.6 24 20
0.7 29 24
0.8 20 17
0.9 13 11
1 7 6
1.1 4 3
1.2 7 6
1.3以上（含） 3 2
合计 121 100
通过上面的统计，我们可以知道：战国秦汉时期竹简宽度一般为0.6～0.9厘米，比例合计达70%。少数竹简会长一些，如敦煌简有达到1.3厘米者，放马滩秦简甚至有达到1.9厘米者。还有少数简牍会非常短，如尹湾汉墓出现了宽仅0.4厘米的“小简”。宽度相差如此之大，无疑会给我们的研究带来很大困扰：究竟该选取何者为计算标准？
很显然，竹简做得越宽，一根竹子可以制作的竹简枚数就越少，也就越难以完成“程”所要求的枚数。反之，竹简做得越窄，就越容易完成“程”所要求的枚数。但是太窄了，又会导致书写困难。因此，必须规定竹简的最低宽度。
值得注意的是，长台关1号楚墓竹简、九店411号楚墓竹简、包山2号楚墓竹简、夕阳坡2号楚墓竹简、曾侯乙墓竹简的长度分别为68.5 ～69.5厘米、68.8厘米、68～72.3厘米、68厘米、70～75厘米，与题目中说的“三尺简”（69.3厘米）接近，其最低宽度为0.4厘米或0.5厘米，所以我们可以认为，本算题的最低宽度可以取0.4厘米或0.5厘米。在实际的制作过程中，可以根据情况进行调整，适当做得更宽一些，但也不宜过宽，否则会浪费原材料、影响携带和使用。
当宽度取0.4厘米时，h=30（寸）×0.4厘米×183÷m÷8（寸）=91.5厘米（π值按照秦汉时期的惯例，取3），约合汉尺4尺（合今92.4厘米）。
当宽度取0.5厘米时，h=30（寸）×0.5厘米×183÷π÷8（寸）=114.375厘米，约合汉尺5尺（合今115.5厘米）。
这两个计算结果还需要被修正。如前所述，能制作三尺简的竹子长度必须是“三尺”的整数倍。因此，两者都应该被修正为6尺（138.6 厘米）。
同理，当宽度取0.6厘米时，计算出的高度h为6尺。但这样会导致竹子的利用率太高，接近100%，制作时不能有任何差错。这样的规定显然是不近人情的，所以笔者倾向于将其修正为9尺。我们可以将竹简宽度和竹子高度的对应关系总结为（宽度超过1.4厘米的较罕见，不计算，读者可自行推导）：
竹简宽0.4～0.5厘米，竹子高度为6尺（138.6厘米）。
竹简宽0.6～0.8厘米，竹子高度为9尺（207.9厘米）。
竹简宽0.9～1.1厘米，竹子高度为12尺（277.2厘米）。
竹简宽1.2～1.4厘米，竹子高度为15尺（346.5厘米）。
由此我们可以知道，官方在制作竹简时，会把竹简截成一段一段的，每一段要求制作成若干枚竹简，而不是以竹子的节或者整个竹子来要求的。
笔者注意到“百八十三”是一个特殊数字。它出现在“程”中，显然是官方标准，这个官方标准的个位数不是0这样的特殊数字，说明是经过严格计算的。考虑到183=3×61，我们可以进行合理推测：熟练的工匠制作三尺简时，动作应该是非常快，制作出来的竹简误差非常低，每一段三尺竹制作出来的竹简数量差不多。如果这一推测成立，那么这段竹子应该是可以分成3段“三尺”竹，每一段都需要制作成至少61枚竹简。因此，制作三尺简的官方标准最有可能是：竹简的宽度在0.6到0.8厘米，即汉尺3分左右（一寸等于十分），相对应的竹子的高度是9尺，可以分成3段三尺竹，每一段都需要制作成61枚以上竹简。这跟表2-2统计的竹简宽度频率相一致，因而是比较可靠的。
联系到上文所述竹节的长度，我们可以认为，古人在制作竹简时，分别将毛竹的第1～10节、第11～16节、第17～22节、第23～28节、第29～34节截成一个单元，进行加工制作。
还有一个问题需要考虑：我们都知道竹子越往上越细，竹子直径低于八寸的部分要怎么办？难道要全部丢弃吗？事实可能并非如此。本算题的规定为各种情况都留下了灵活的操作空间：当竹简宽度为0.6厘米时，理论上说，只需要使用其中的四尺就可以了，利用率为6尺÷9 尺=67%，利用率很低，有33%的调整空间。我们可以用类似的方法计算出如下的竹子利用率：竹简宽0.7厘米，利用率为77.8%。竹简宽0.8厘米，利用率为88.9%。
可见，“程”中规定的值，为竹简的制作预留了足够的调整空间。这样一来，就可以在竹子变细时，也依然能做出符合要求的三尺简。
四、竹简划痕
目前所知，竹简划痕问题，最早由包山楚简的整理者在1991年提出，经孙沛阳先生在《简册背划线初探》一文的深入研究而广为人知。孙先生通过研究包山楚简、清华简（一）、岳麓简《质日》等出土竹简，得出若干重要结论：“简册背划线可分为两大类，一种是刻线，一种是墨线。刻线的情况常见……简册背有墨线的情况较少……当然，也有一些简册没有背划线……简册背划线绝大部分都是自左起，向右下斜行，这是一个规律……简册背划线的形态可能还会有‘W’字形、‘V’字形等模式……简册背划线应该与简册的编联有关……简册背划线都形成于编联之前……‘书写—划线——编联’与‘划线—书写——编联’两种情况都可能存在……在今天整理竹简的工作中，应该可以利用简册背划线来尝试调整局部简序，或者检验编联的正确与否……虽然简册背划线有提示简序的作用，但只是辅助性的，不可以孤立运用。”①
竹简划痕是进行竹简编联的重要参考。学界探讨较多的是划痕和竹简编联、书写的前后问题。本书想探讨的问题是划痕和竹简制作的前后问题，即划痕是什么时候刻上去的？是还没有制作竹简的时候，就先在竹筒上刻出划痕，再制作竹简，还是先把竹筒制作成竹简，再刻划痕？由孙沛阳先生的研究，我们可以知道，简背划痕一般都是不闭合的，这意味着：如果是前者，那么一条划痕将涵盖该竹筒制作出的所有的竹简（当然，如果是孙先生所说的“V字形”，那么一条划痕可以只涵盖一半的竹简）；后者则无此限制。这就是我们进行判断的基础。
我们知道，一段直径八寸、长三尺的毛竹的圆周长为π×8（寸），它能制作三尺简的数量为π×8（寸）÷竹简宽度。我们只需要将这个数据和划痕涵盖的竹简数量进行对比，就能很容易地得出结论。
为了弄清这个问题，我们需要统计一条划痕涵盖多少枚竹简。孙沛阳、贾连翔两位先生均有过相关的统计工作。我们将这些统计结果进行罗列，见表2-3。
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① 孙沛阳.简册背划线初探[J].出土文献与古文字研究，2011：449-462.
表2-3 划痕涵盖的竹简枚数
简牍名称
竹简宽度 一条划痕涵盖多少枚竹简 来源
《岳麓书院藏秦简》（一）《二十七年质日》 0.5～0.8厘米 14、23两种 孙
《岳麓书院藏秦简》（一）《三十四年质日》 0.5～0.8厘米 7、23、33三种 孙
《岳麓书院藏秦简》（一）《三十五年质日》 0.5～0.8厘米 16、27两种 孙
清华简《尹至》+《尹诰》 0.6厘米 3、8两种 孙
清华简《程寤》 0.7厘米 11 孙
清华简《耆夜》 0.6厘米 2、4、6三种 孙
清华简《金滕》 0.6厘米 25 孙
清华简《皇门》 0.5厘米 4、7、8三种 孙
清华简（前三辑） 0.5～0.7厘米 2～26 贾
注：“孙”指孙沛阳：《简册背划线初探》，《出土文献与古文字研究》（第四辑），2011年，第449—462页。“贾”指贾连翔：《战国竹书形制及其相关问题研究》，上海：中西书局，2015年，第85—87页。
下面，我们分别计算“程竹”算题的竹子能够制作多少枚上述简牍：
（1）《岳麓书院藏秦简》（一）《二十七年质日》：最少可以制作π×8（寸）÷0.8厘米=π×8×2.31厘米÷0.8厘米≈72.57枚，最多可以制作 m×8（寸）÷0.5厘米=π×8×2.31厘米÷0.5厘米≈116.1枚。我们对结果只取整数，答案是可以制作72～116枚此类竹简。
（2）同理可知，《岳麓书院藏秦简》（一）《三十四年质日》和《岳麓书院藏秦简》（一）《三十五年质日》也对应72～116枚。清华简对应制作82～116枚。
如果是还没有制作竹简的时候，就先在竹筒上刻出划痕，那么《岳麓书院藏秦简》的一条背划线应该涵盖72～116枚竹简，实际上却只涵盖7～33枚，两者相差太大。清华简也有类似的问题。对此，我们可以有两种解释：
（1）先把竹筒制作成竹简，再刻划痕，因此背划线没有涵盖完整的一段竹筒。
（2）还没有制作竹简的时候，就先在竹筒上刻出划痕，不过竹简制作好了以后，被分别用来编制成不同的简册。我们认为，这种可能性并不大。理由是：简背划痕制作好了以后，再人为地大幅度调整，是有违制作简背划痕初衷的；同一根竹筒制作出来的简牍数量，完全能够写下《岳麓书院藏秦简》（一）《三十四年质日》、清华简《耆夜》《皇门》等的内容，但它们却将连贯的内容，写在具有三条不同背划线的竹简上，这也说明竹筒上没有划痕。
因此，我们不同意贾连翔先生“简背的划痕现象在‘竹筒形态’时已然形成”① 的观点，而认为划痕是制作成为竹简以后，才刻上去的。贾先生的证据之一，是将这些简牍合起来，能够形成一条曲线。我们认为，并且亲测，将竹筒制作成竹简后再画线，也有类似效果。因此这一依据并不成立。贾先生的另一个证据是，少数背划线有被破坏的痕迹。这确实是贾先生的一条比较有力的证据。如何回答这一问题，我们还需要继续思考。
五、其他
测量人员又是如何进行测量的呢？很显然，先把竹子砍倒，再测量直径的做法并不可取，太过烦琐（而且，万一砍倒以后发现不够八寸呢？）。实际上的测量方法，应该是测量竹子的周长（假设C为周长，R
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① 贾连翔.战国竹书形制及其相关问题研究 [M].上海：中西书局，2015：100.
为直径）：
C=mR=3×8（寸）=24（寸）=2尺4寸（合今55.44厘米）
也就是说，测量人员只要拿着测量工具，测量竹子的周长是否是2 尺4寸即可。那么，测量员又该从何处开始测量呢？今天的人们，买卖树木的时候，都是选择一定高度为起点，由此起点测量树围。我们怀疑古人可能也是这样的，只是缺少证据，不敢断定。
