μν
质。现在他列出了有关这个张量的一些数学关系，将用来引入微分几何
的基本概念。
纲领理论作为走向广义相对论的中间步骤
在B部分给出的数学概念和方法已经在苏黎世笔记中探索过了（第
69[16]页）。1913年这个工作临近结束时，爱因斯坦得到的结论是，如
果引力场方程的左边含有度规张量的分量以及它们的一阶和二阶导数，
那么能量—动量守恒的要求必定意味着方程组不是广义协变的。随后，
他放弃寻找广义协变的理论，而是和他的数学家朋友格罗斯曼一起发表
了《相对论的广义理论和引力理论纲领》，后来被称为纲领（Enwurf）
理论。这个理论分两部分发表：爱因斯坦写的“物理部分”和格罗斯曼写
的“数学部分”。那里的场方程是物理策略的直接产物（第64[14]页）。
这个理论既是成功的也是失败的。它的成功在于爱因斯坦和格罗斯
曼设法得到了度规张量的场方程，这个度规张量是引力势的新的、复杂
的表现形式，它与牛顿极限相容，因此，似乎能站立于坚实的物理基础
之上。然而，纲领理论又是失败的，因为它不是广义协变的，而且并不
清楚它在何种程度上能与爱因斯坦要将相对性原理推广到加速参考系的
雄心相契合。那时，爱因斯坦说服他自己，认为这是所能做到的最佳结
果了。这留下了很多未决问题：广义协变性是一个看似合理的启发式要
求，为什么不可能实现呢？哪些是他和格罗斯曼的理论所偏好的参考
系？为什么要偏好这些参考系？在1913年到1915年期间，爱因斯坦试图
回答这些问题，并为纲领理论有限的协变性作辩护。
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在1913年春天写给洛伦兹的信中，爱因斯坦把缺乏广义协变性说成
是理论的“丑陋的黑点”，但是一年以后在给贝索的信中，他又表达了他
对这个理论完全满意。
这是手稿中最长的一页（纸的长度）。爱因斯坦写完了第23页
和第24页。接着他决定要增加几个式子到第23页上，并开始加了新
的一页23a。他意识到他并不需要一整页。他裁下一部分并粘到23
页的底部。然后他不得不对24页上的式子重新编号。
[24]
什么是矢量场的散度？矢量场的其他概念又是什么？
在这页上，爱因斯坦引入了矢量散度的概念。在经典物理中，矢量
场在空间中一点的散度是物理实体“流”出围绕那个点的微小体积的比
率。散度度量了矢量场在每一点的散发程度，并且分别在外向场和内向
场情形描述了源和汇的强度。由于静态电磁场的源是电荷，正像静态引
力场的源是质量，每种场的散度都是由那个点周围的微小体积所包围的
电荷或质量给出的。
散度这个数学概念与物理概念守恒定律有关，因为矢量场由源给
出，散度使矢量场的行为与穿过表面的净流量有关。我们以电荷作为例
子来证明这一点。在狭义相对论中，电荷密度和电流是一个矢量的4个
分量。在狭义相对论中，荷—流矢量的散度是电荷密度随时间的变化，
以及荷流出或流入围绕特定点区域的净流量之间的权衡。若非电荷被毁
灭或创生，散度是为零的，这表达了电荷的守恒定律。在广义相对论
中，导数一般应由协变导数所取代（第78[21]页）。然而，可以证明，
广义相对论中矢量散度的数学形式与狭义相对论中相同。
除了矢量散度的概念，爱因斯坦在这一页还引入了张量计算的三个
其他数学对象：
·矢量的旋度：它也是一个矢量场，它的线环绕空间中的某个轴。
将这个运算应用到电磁势就产生了反对称的电磁场张量（第110[37]页的
（59）式；也见第59[11]页）。
·一个6—矢量的反对称扩张：2秩反对称张量有6个独立分量（第
59[11]页），有时也称为6—矢量。将这个运算用到电磁场张量就产生一
个3秩反对称张量（60式），代表了法拉第定律和磁场的高斯定律（第
111[37]页，第113[38]页）。
·6—矢量的散度：这里得到的反对称逆变张量（6—矢量）的散度
是作为（下一页中）推导2秩混合张量散度的其中一步，2秩混合张量的
散度将出现在能量动量守恒定律中。
[25]
广义相对论中能量动量守恒的数学形式是什么？
在这一页中，爱因斯坦得到了2秩张量的散度。更具体地说，他在
这里得到了混合张量的散度。这是作为源出现在引力场方程（右边）的
能量动量张量的形式。
在狭义相对论中推导矢量散度的数学步骤，现在用到表示张量的矩
阵的每一行上。因此，张量的散度有4个分量：它是一个矢量。我们在
能动张量情形下来证明这个概念的意义，这在第[12]页手稿中简单提到
过。前3行包含在给定点的动量分量的密度以及这些动量分量在不同空
间方向上的流。每一行的散度代表了包围那个点的微小体积内特定动量
分量随时间的变化，与流出那个体积的动量分量之间的平衡。当没有外
力作用在系统上时，散度为零，这代表了动量守恒定律。第4行的散度
代表那个体积内包围的能量随时间的改变与不同方向上能流之间的平
衡。在一个闭合系统内，当没有外源提供能量时，这个散度为零，这代
表能量守恒定律。
从狭义相对论到广义相对论的转变迎来了一种新要素。张量分量对
空间和时间坐标的局部改变（导数）必须以协变方式得到（协变微分，
79页）。这个步骤在普通的时间和空间导数之外，引入了新的项。这些
项含有克利斯朵夫记号。它们的物理意义（75页）是将电磁张量的散度
与广义相对论中的能量—动量守恒联系起来。我们将在99页再次回到这
一点。更技术性的另一点是，我们可以指派协变的、逆变的，或者混合
的能动张量。这些形式中的任意一个都可以通过度规张量变成另一个。
不过，我们必须选择其中一个并仔细地跟踪它。做出的选择要使方程最
易于理解，并且所涉及的各量的物理意义最方便描述。结果表明，要做
到这一点最好是将能动张量表示为混合形式。这就是为什么在这一页
上，爱因斯坦谈论的是“2秩混合张量的散度”。然而，与狭义相对论的
情形相比，这里能动张量的协变导数为零不能解释为真正的物理量守恒
定律。
[26]
黎曼-克利斯朵夫张量的几何意义是什么？
黎曼—克利斯朵夫张量在微分几何，以及在广义相对论中是一个重
要的数学客体。它在每一点上度量该点邻域上的几何与平坦空间（欧几
里得空间或闵可夫斯基时空）的不同程度。它不能仅仅基于度规张量而
决定。在平坦空间中，度规张量也可以因选择坐标系而改变。相比之
下，黎曼张量可方便且直接地用来诊断空间的本性。在平坦空间中，对
任意坐标系它都为零。今天，黎曼张量更为人们所知的是称为黎曼曲率
张量。直到1916年10月，当爱因斯坦第一次将黎曼张量称为曲率的黎曼
张量时，才提到了曲率的概念（第41[A2]页）。
在微分几何中曲率是一个核心概念。可以用各种概念上不同的方法
来定义它，这些概念分别与不同的数学对象、度规张量和仿射联络相
关。然而，在我们的情形，仿射联络可以从度规导出[19]。“仿射曲率”与
勒维—西维他引入的矢量的平行移动概念相关。这可以在二维表面嵌入
三维空间的情形进行最简单的说明。在那个表面上取一条闭合的曲线，
在那条曲线的一点上附着一个与表面相切的矢量。现在我们沿着曲线移
动那个矢量，要求保持它与自身平行。当它回到起始位置时，如果表面
是平坦的，它将与初始矢量重合，如果表面是弯曲的，它将以一定的角
度偏离初始矢量。如果我们围绕着表面上的一点取了很小的一条曲线，
那么初矢量和终矢量之间的角度与曲线所围的面积之比就是那点的曲
率。二维表面上一点的曲率是一个纯数[20]。
平行移动概念也适用于分析四维空间中一点的曲率，只是情况更为
复杂罢了。定义了平行移动轨道的闭合曲线，可以位于通过那个点的无
穷多平面中任一个之上。需要两个矢量来确定平行移动在其上实际进行
的平面。并且，一般来说，在平行移动的终点，终矢量和初矢量之间的
角度不在平行移动的曲线的平面上。因此，需要由初矢量和终矢量所定
义的第二个平面来确定这个过程的结果。曲率仍然是偏离角度与闭合曲
线面积之间的比值，但是现在它依赖于所涉及的两个平面的取向。决定
这两个平面的4个矢量中的每一个，都对定义曲率的表达式贡献了一个
指标。这个表达式就是4秩黎曼曲率张量。
沿着一个微小的闭合环移动一个矢量，需要追踪这个矢量沿曲线运
动时的变化。在数学上，这相当于计算一个矢量的导数。这必须由引入
克利斯朵夫记号来表达的协变微分来完成（第79[21]页）。此外，在闭
合曲线两边比较矢量的变化，也将引入克利斯朵夫记号自身的变化。因
此，黎曼（曲率）张量是克利斯朵夫记号和它们的导数的组合，见下一
页的（43）式。
[27]
推测的引力张量是什么？它为什么被丢弃了？
在苏黎世笔记中，在寻找从度规张量的导数构造的协变的数学表达
式时，出现了黎曼张量。在那里，它由4指标记号（ ik， lm）表示。它
用标签加注了“格罗斯曼张量4秩”，表明是格罗斯曼使爱因斯坦注意到
这个张量。
?Hebrew University?版权属于希伯来大学
与黎曼张量密切相关的是里奇张量，它是从黎曼张量通过将其逆变
指标与一个协变指标进行缩并得到的。结果是两个2秩协变张量之和
（44）式。选择 g=-1的幺模变换（第71[17]页）的优势现在就显而易见
了。做了这样的选择后，这些项中的其中一项为零。因此，做了这样的
坐标选择后，理论的形式极大地简化了。爱因斯坦强调，采用这样的坐
标选择仅仅是为了方便，在理论得到充分发展后，很容易恢复到广义协
变的形式。里奇张量是广义相对论的里程碑。
在苏黎世笔记中，里奇张量用来生成场方程中引力张量的候选者。
格罗斯曼的名字再次出现在页面的顶端。
?Hebrew University?版权属于希伯来大学
爱因斯坦将这个张量的第二项标记为“推测的引力张量 Til”。为了接
受这个张量作为引力张量，他必须证明在弱静态引力场情形下，这个张
量能约化到牛顿极限，必须证明它满足能量动量守恒，必须证明它允许
相对性原理的广义化。在苏黎世笔记时期，爱因斯坦和格罗斯曼认为这
个候选者不能通过检验，所以将它扔掉了。在1915年11月纲领理论寿终
正寝后，这个候选者又枯木逢春了。
[28]
爱因斯坦何时开始对纲领理论失去信心？
1915年11月4日，爱因斯坦宣布他已经找到一种方法，能实现他最
初所想象的广义相对性原理，他认为这体现在广义协变性的数学需求
上。那时，他写道：“我对我已经得到的场方程失去信任，取而代之的
是，要寻找以一种自然的方式限制可能性的方法。在这种孜孜以求之
中，我达到了广义协变性的需求，在3年前当我和我的朋友格罗斯曼一
起工作时，我曾经抛弃过这个需求，尽管那时心情沉郁。事实上，那时
我们已经非常接近问题的答案了，接下来我将给出这个答案。”然而，
直到11月25日，他才最终解决了这个问题。
现在，推导广义相对论所需的数学体系已得到充分描述。爱因斯坦
一直与数学斗争直到晚年，不仅仅是为了努力将引力与电磁统一为一个
理论框架，还为了寻找场论的替代理论，例如，描述现实的代数理论。
1943年1月，爱因斯坦收到一封来自华盛顿的年轻姑娘芭芭拉
·李的一封信。她向他倾诉：“我在数学上低于平均水平。我在这
上面花的时间比我的大多数朋友都长……”对这点，爱因斯坦回复
道：“不要担心你在数学上的困难；我可以向你保证，我的困难比
你还要大。”
C部分基本上是关于理论的更详细且综合的阐述，是在1915年11月
以4封连续通信形式递交给普鲁士皇家科学院的，没有明确提及那项工
作，也没有提到在苏黎世笔记和纲领理论中所体现出的他与格罗斯曼合
作的工作。
粒子如何在引力场中运动？
爱因斯坦迈出的第一步，是探索粒子在引力场中的运动。在经典物
理中，根据牛顿第一定律，一个不受力的物质粒子以恒定速度沿直线运
动。早在1912年，爱因斯坦一经认识到引力反映在时空几何上，他就清
楚了，遵循最直的可能路径，直线的自然推广当然就是测地线。所以他
得到了结论，不受力（引力除外）的物质粒子沿测地线运动。
粒子在引力场中的运动方程（46式）等同于测地线方程（第76[20]
页的22式），只不过爱因斯坦已将代表克利斯朵夫记号的大括号换成了
字母Γ。方程的左边是粒子位置对沿运动路径（测地线）距离的二阶导
数。这个距离是以时间单位测量的。因此，左边是粒子的加速度。在相
对论中，这个时间称为固有时，当速度远小于光速时，它退化为通常的
时间。按照爱因斯坦所说的，克利斯朵夫记号表示引力场，所以当引力
场不存在时，克利斯朵夫记号为零，加速度为零，粒子以恒定速度运
动。在牛顿理论中，加速度依赖于引力场；在广义相对论中，（46）式
取代了牛顿运动方程。
在1912年夏天爱因斯坦已经找到了正确的运动方程。而最大的挑战
是场方程。
[29]
爱因斯坦的最大挑战是什么？
爱因斯坦寻找引力的相对论性理论的最大挑战是寻找场方程，这个
场方程既要以合理的方式推广牛顿理论，同时又要将从等效原理和狭义
相对论中得到的顿悟结合起来。这里，爱因斯坦没有过多显示他奋斗的
踪迹，反而强调了数学的优美。我们已经强调了引力场是由物质产生
的。然而，没有物质作为源时，引力场也能存在。爱因斯坦从这种特殊
情形开始，表明了绝对微分学的数学框架几乎立刻就提出了一个场方
程。实际的场方程应该是没有物质存在情形的自然推广。
爱因斯坦的出发点是先前引入的4秩黎曼—克利斯朵夫张量。爱因
斯坦早就意识到，类似于电磁场，方程的右边相应于场源，必定是2秩
能动张量。所以，方程的左边，描述了代表引力场的时空几何，也必定
是一个2秩张量。我们已经见到过这样的张量，它是通过缩并黎曼—克
利斯朵夫张量得到的（第90[27]页）的（44）式。局限在幺模坐标中（-
g=1），它约化为里奇张量 R 。这就是场方程（
μν
47）式的左边，其中克
利斯朵夫记号用Γ表示[21]。没有物质存在时，方程的右边为零。
然而，在这点上，爱因斯坦放弃了这样的物理论据，提议没有物质
存在时的场方程可立即从他的“数学策略”中得到。他首先考虑了没有物
质的场方程，要求它也能覆盖狭义相对论的情形下，或者更具体地说，
在某个区域以及在某种坐标系中度规张量的分量为常数。在这种情形
下，黎曼张量的所有分量为零。因此，若黎曼张量为零，场方程也要满
足。那么，爱因斯坦就主张这个条件太苛刻了，放宽它的自然方式是只
要求里奇张量的分量为零。这就给出了无物质情形的场方程（47）式。
爱因斯坦用一段话（在下一页）结束了最后两节，用他自己的话来
表达很恰当：“这些从相对论广义理论的要求出发，用纯数学方法得到
的（47）式，与运动方程（46）式结合起来，给出了牛顿引力定律的一
级近似，并且给出了勒维耶所发现的水星近日点进动解释的二级近
似……在我看来，这些事实可以作为理论正确性的令人信服的证据。”
爱因斯坦这里所指的是对水星近日点进动的计算，这是他在1915年
11月给普鲁士皇家科学院的第三封信中的内容。这个评论似乎有点脱离
这里的上下文，但爱因斯坦寻求的是，让读者明白他走的路是正确的。
[30]
拉格朗日形式是什么？它在广义相对论发端时的作用是什么？
1915年11月，爱因斯坦提出了他的快速发展的新引力理论，是以简
短总结、匆忙写就的通讯形式，提交给普鲁士皇家科学院的。之后，爱
因斯坦和他在莱顿的朋友、理论物理学家洛伦兹和爱伦弗斯特互通了几
封信。他们支持他的工作和普遍结论，但是提出一些质疑，爱因斯坦试
图根据11月论文进行解释。大约在1916年1月底或者更晚的某个时间
（我们不知道确切日期），他意识到他应该详细地跟他们解释他是怎样
得到引力场方程的。他给爱伦弗斯特写信道：“今天你总算应该对我满
意了。我很高兴你对这个问题有这么大的兴趣。我不会在论文中给出具
体推导，但我将详细计算给你看。[22]” 爱因斯坦请爱伦弗斯特将这封信
也给洛伦兹看看，然后再将这封信返还给他，“因为没有别的地方能使
我把这些东西如此漂亮地写在一处。”
很可能当爱因斯坦写手稿的C部分时，这封信就放在他面前。从15
节向前的推导紧跟着这封信，除了克利斯朵夫记号仍然采用大括号。注
意，有意思的是，正是在这封信中，爱因斯坦才明确地引入了求和约定
（59页）。
他依然要证明由方程（47）式所定义的不含“物质”源的引力场方程
独自满足能量动量守恒定律。为此，爱因斯坦应用了拉格朗日形式，他
在1914年推导纲领理论的场方程时就用过的。那时他相信这个推导只能
得到纲领方程。结果证明这个结论是错的，但在那时，这巩固了他对理
论有效性的自信。
在广义相对论的发展中起到如此重要作用的拉格朗日形式是什么
呢？牛顿力学的基础是力的概念，在数学上力是用矢量表示的。从莱布
尼兹的工作开始，又经欧拉、拉格朗日和哈密顿进行了扩展，于是出现
了另一种理论，其应用可远达力学之外。这种方法的基础是将一个物理
过程，比如粒子的运动，刻画成一个量—通常称为拉格朗日量或哈密顿
量，但这里称为哈密顿量—这个量依赖于描述系统状态的参量以及它们
对空间（或时空坐标）的导数[23]。动力学是由变分原理而不是运动方
程描述的。按照首先由哈密顿引入的这个过程，运动的初点和终点是固
定的，初终点之间的可能路径是由一个称为作用量的标量刻画的，它是
通过拉格朗日量的时间积分得到的。粒子的实际运动（或者物理系统的
动力学）是由这个积分的极值（极小或极大）给出的。从哈密顿的“变
分原理”，就有可能得到运动的微分方程，即所谓的欧拉—拉格朗日方
程。拉格朗日形式是用来描述各种各样物理系统动力学的主要工具之
一。它已经用来推导电磁场方程。在场的情形，拉格朗日量看起来像一
个标量，但它实际上是一个标量密度，就是说，是一个标量乘以一个因
子，这个因子依赖于坐标变换以确保体积不变。
在爱因斯坦看来，广义相对论基本方程的拉格朗日形式的优势在
于，优美地证明了方程与能量动量守恒的要求是相容的，而在以前，这
是寻找正确场方程的一个主要问题。
[31]
没有物质时能量动量守恒原理意味着什么？或者，引力场可以是自身
的源吗？
爱因斯坦首先应用拉格朗日（他称其为哈密顿）形式来推导没有物
质时的场方程（47）式。然后，他重新整理这个方程，在这个过程中出
现了一组新的量t v看起来像一个张量的分量。然而， v不是张量。相
μ
tμ
反，它代表了引力场的能量和动量，它不是一个协变量，而是依赖于所
选的参考系。不过，借助于引力场的这个能量动量“复合体”所进行的方
程变形，对爱因斯坦来说起到了重要的启发作用，提示了物质的能量动
量张量应该以何种形式引入场方程。（49）式的第一式代表引力场的能
量动量守恒定律。这个形式在所有 g=-1的坐标系中都有效。
1912年，当爱因斯坦还在致力于静态引力场理论时，他就已经知道
引力场能量动量的重要性以及它在引力场方程中的作用。他的理论的第
一个版本违反了能量动量守恒。当他增加了一项以作修正时，他意识到
这一项代表了引力场自身的能量动量。这个顿悟，决定性地影响了他对
场方程的进一步探索。
爱因斯坦的主要竞争者是谁？
1915年11月，爱因斯坦完成广义相对论的最后阶段是一个孤军奋战
的阶段。除了与数学家希尔伯特（Avd Hilbert）交流过他们各自工作的
进展以外，他很少就这个话题进行通信。希尔伯特一直对自己的物理公
理化项目中的一些基本问题感兴趣。他被米（Gustav Mie）在1912年发
表的物质的电动力学理论所吸引。希尔伯特希望像电子这样的粒子能从
电磁场中得到。它们可以由电磁场线的奇点状结构来表示。
1915年夏天，受希尔伯特之邀，爱因斯坦访问了哥廷根。之后，希
尔伯特试图将米的物质理论与爱因斯坦的引力理论结合起来，但是仍然
将纲领理论作为了出发点。希尔伯特和爱因斯坦之间直接地，也可能通
过他人间接地交换了批评和初步的结果。不过，很清楚的是，爱因斯坦
沿着他以前的研究路径，完成了理论的最后一步。
1915年11月，希尔伯特接近完成他的电磁场与相对论的整合理论，
成为爱因斯坦在形成引力场的场方程上的主要竞争者。
[32]
怎样才能将没有物质的场方程推广到含有物质？
爱因斯坦已经用变分方法得到了没有物质时的场方程（47）式。现
在的问题是，如何将这个方程推广到存在物质情形。为此，爱因斯坦将
方程变换成另外的第3种形式，“这种形式对生动理解我们的话题特别合
适”。在这个形式中（51）式，确认为引力场能动量的表达式出现在方
程的右边，起到场源的作用。现在所需的只是在方程的右边增加物质的
能动量，并使它与引力场的能动量表达式进入方程的形式相同。
作为将方程推广到含有普通物质之前的最后一步，爱因斯坦回顾了
牛顿理论中的引力场方程（所谓的泊松方程），在泊松方程中，质量密
度 ρ是场 φ的源。
在其《自述》中，爱因斯坦评论了泊松方程在物理中场的概念产生
中所起的作用。这个方程是根据充满空间的势，表达著名的牛顿引力定
律的一种方式，势在各处产生了场，进而产生了遵循牛顿定律的力。但
是描述引力如何随距离改变的引力定律本身看似任意的，而泊松方程却
将引力势与空间自身的性质联系起来，从而预期了后来的“场”的概念，
就像爱因斯坦在关于牛顿力学和力的概念的一次讨论中所指出的那样：
运动定律是精确的，尽管只要没给出力的表达式它就是空的。然
而，对于假设力的表达式，存在极大的随意性，特别是如果我们放弃了
在任意情形都不那么自然的要求：力仅仅依赖于坐标（而不依赖于，例
如，它们对时间的导数）。仅仅在那个理论框架下，来自于一点的引力
（以及电力）受势函数的支配就将是完全任意的（1/ r）。补充说明：早
就知道这个函数是最简单的（旋转不变的）微分方程ΔΦ=0的球对称
解；因此，这样考虑并不牵强：可把这看成是这个函数来自空间定律的
线索，这种尝试可能会消除引力定律的随意性。这是真正的一流见解，
使人联想到摆脱超距作用，而使理论升华，这个进展是由法拉第、麦克
斯韦和赫兹预先准备好的，只是后来在回应实验数据的外部压力时，才
真正开始的。
[33]
终于得到了引力场方程！
出现在泊松方程右边的质量密度，在广义相对论中，由物质的能量
动量张量所取代。在前一页中，爱因斯坦已经准备好了将这个张量作为
场方程的源项引入的方式。他要求物质的能量动量，与场的能动量一视
同仁地进入场方程。这个要求是假定爱因斯坦场方程特定形式（（52）
式，其后很容易地变换成（53）式）的主要动机。接着，他进一步阐明
了假设这个场方程的主要理由，是从它所推断出的物理结果。确切地
说，这将导致物质和引力场的总能量动量守恒（在下页）。
（53）式代表了爱因斯坦在寻找引力场的广义协变方程上进行奋斗
的胜利成果。他回忆这个成就时，将它看成是数学策略的结果，而没有
看成是物理和数学策略交替相融、错综复杂的探究结果。场方程的左边
是里奇张量的显式表达，在1912年爱因斯坦就已将其看成是广义相对论
的核心要素。右边场源的引入方式与以前不同，就是说，增加了一项：
能量动量张量的迹（张量的对角元之和）。
如果我们坚持右边为通常的形式，我们必须修改方程的左边，增加
里奇张量的迹。修改后左边的表达式称为爱因斯坦张量。这样修改后就
是今天我们所熟知的引力场方程的标准形式。到1918年爱因斯坦才采用
了这个形式。
多年后，在1936年，爱因斯坦这样描述这个方程：“这个理论……
类似于一座大楼，一侧由上等大理石建成（方程的左侧），而另一侧由
低等级的木头建造（方程的右侧）。事实上，表观上的物质只不过是粗
略替代了物质所有合理的已知属性。
[34]
守恒原理是怎样以一种爱因斯坦在理论发展早期阶段未曾预料的方式
得到满足的？
现在爱因斯坦表明了推测的场方程满足能量动量守恒，强调了守恒
的是物质和引力场的能量动量之和，而不是这两个分量单独守恒（56
式）。这解决了在探求广义协变的场方程过程中，长时间困扰爱因斯坦
的问题。起初，能量动量守恒原理是一个单独的要求，似乎与广义协变
性不相容。为了满足守恒原理，他不得不限制所允许的坐标系，从而放
弃了广义协变性。
爱因斯坦在1915年提交到普鲁士皇家科学院的4篇通讯，恰好从3年
前他与格罗斯曼一起考虑过却放弃了的场方程开始，因为那时他不能证
明方程与能量动量守恒的相容性。然而，现在在变分形式的基础上，爱
因斯坦能解决这个问题了。但是能量动量守恒的要求还留下了一个条
件。在现阶段，条件- g=1仍然充当着坐标约束（第71[17]页）。因此，
在这个“11月场方程”中，协变性和守恒定律之间仍然存在着不相符之
处。在一周后发表的下一篇论文中，爱因斯坦试图利用这个相左之处，
论证物质的电磁起源。假定物质的纯粹的电磁本性对其能量动量张量施
加了一个条件，就会解决这个问题。正是基于这个修正的理论，爱因斯
坦计算了水星近日点移动，找到了正确的值。同时，在计算过程中，他
发现，关于新理论如何得到牛顿引力理论的极限情形，他必须修正他的
想法。这个发现最终打开了一扇门，以略为不同的方式将物质的能量动
量引入场方程中，蕴含着守恒定律不再施加限制广义协变性的额外条
件。
因此，爱因斯坦对于解决协变性和守恒定律之间相左的尝试，铺平
了他的道路，最终的场方程于11月25日发表了。能量动量守恒可从广义
协变的场方程作为推论而得到。爱因斯坦结束最后一篇论文时，他宽慰
地声明道：“关于自然界中各种过程的本质，与狭义相对论已经告诉我
们的相比，广义相对论的公设没有给我们揭示更新和更不同的东西。我
最近在这点上所表达的意见是错的。[24]”
在爱因斯坦将他的理论的第一篇报告提交给普鲁士皇家科学院的当
天，他给他的儿子汉斯·阿尔伯特写了一封信：“你可以从我身上学到很
多好的东西，除我之外没人能教给你。我从如此紧张的工作中所获得的
东西，应该不仅对陌生人有价值，而且更应该对我自己的孩子有价值。
在过去几天里，我完成了生命中最好的论文之一。等你长大些，我会把
它讲给你听……我在工作中经常全神贯注，以至于忘记吃午饭。”
[35]
物理守恒定律来自自然界的对称性吗？
在他的理论的演绎构造的最后一步，爱因斯坦建立了与希尔伯特的
工作之间的联系，将希尔伯特工作的核心数学结果之一—守恒与协变性
之间的关系（后来在诺特定理中得到推广）—归并到他新近建立的引力
理论中。在纲领理论中，爱因斯坦已经用他自己的术语发展了这个关
系。后来，在他1916年10月发表的一篇论文中（将在附录130—139[A1
—A5]页的注释中详细讨论），他又进行了详细的阐述。在这份手稿
中，他在脚注中感谢了希尔伯特所发表的工作（在手稿下一页的底
部）。
诺特（Emmy Noether）是一位德国数学家，与希尔伯特一起在那时
的伟大数学中心之一的哥廷根工作。她以在抽象代数和理论物理上的开
创性贡献而闻名。在物理上，她最有名的是现在所称的诺特定理。这个
定理告诉我们，每种对称性都与一个守恒定律相联系。诺特定理已经被
看成是引导现代物理学发展的最重要的数学定理之一。在广义相对论的
情况下，广义协变性可以解释为刻画宇宙时空几何的基本对称性，能量
动量守恒就是由诺特定理所隐含的相关守恒定律[25]。1935年在她离世
以后，爱因斯坦在给纽约时报的一封信中写到她：“以当今最能干的数
学家们的判断，诺特小姐是自女性接受高等教育开始以来，迄今所出现
的最具重要创造性的数学天才。”
在手稿C部分的结论中，有趣的是，爱因斯坦回顾了在1912—1913
年间所面对的困难，以及这些困难是如何在他的“十一月理论”中得到解
决的。在他寻找引力场方程时，选择一个牛顿极限（按他所理解的）能
实现的坐标系这个要求，与能量动量守恒的要求陷入矛盾。最后，爱因
斯坦认识到基于11月张量的场方程，能通过仅仅施加一个弱坐标约束而
与能量动量守恒相容，从而成功解决了这些问题。这使他看到，要从他
的近乎广义协变的理论中恢复泊松方程，他所需的只是一个坐标条件而
不再是一个坐标约束。他设法将能量动量守恒问题与恢复泊松方程问题
进行分离，从而解开了这个在苏黎世笔记中阻碍了朝引力的广义协变理
论进展的心结。
爱因斯坦在提交了他的理论的最终版本的第二天，他给他的朋友赞
格尔写信道：“这个理论有着无与伦比的美。但是只有一个同行真正理
解了它，并且那个家伙很聪明地试图盗用它。”希尔伯特没有盗用它，
尽管他是沿着爱因斯坦的脚步在走。在希尔伯特的论文中，他承认广义
相对论的发现应归功于爱因斯坦：“在我看来，这里所得到的引力的微
分方程与爱因斯坦所建立的伟大的广义相对论是一致的。”
[36]
物理学中已建立的理论，诸如流体力学、电磁学，如何纳入新的引力
理论中？
在C部分中，爱因斯坦已经导出了引力场方程（53）式，其中协变
的能动张量 T ，代表除了引力场自身以外的所有物理实体。他把引力
μν
场之外的所有东西称为“物质”。借助于在B部分所发展的数学工具，现
在他来检验这两种“物质”例子（流体力学和电磁学），如何纳入广义相
对论的框架。他着重指出，无须增添任何新的物理假定，引力场对这些
物质现象的效应是可以确定的。在这个新的背景下，人们可以重构熟知
的流体力学和电磁学的狭义相对论性方程，对它们所描述的物质过程，
毋庸任何进一步的条件。
爱因斯坦留下一个未决的问题：引力的新理论与电动力学的结合是
否会导致新的物质理论？当时诸如米那样的物理学家曾试图只在电动力
学之内建立这样的理论。爱因斯坦在这里暗指将电磁学和引力纳入一个
单一理论框架的挑战，没有明确提到希尔伯特在那个方向所做的努力。
在爱因斯坦真正努力着手寻找这样的统一理论的前几年，希尔伯特就已
朝那个方向着手探索了。爱因斯坦的统一理论之梦虽然没有成功，但这
个梦想占据了他提出广义相对论之后的几十年余生。
1914年11月，爱因斯坦发表了一篇综述文章《相对论广义理论的形
式基础》，总结了爱因斯坦—格罗斯曼纲领理论。在这篇文章中，他推
导了流体力学方程和动体的电动力学场方程，把这两种情形都称为“物
质过程规律”。这些方程在最终理论中也保持不变。唯一的区别是，在
这些方程中出现的场势 g ，必须从正确的引力方程导出。本手稿的
μν
D部
分是1914年文章有关章节的缩写本，只是对电磁能动张量的处理大大简
化了。确切地说，爱因斯坦去掉了“6矢量”，它使该主题以前的形式显
得很复杂（在下一页还出现过）。
除了质量和能量密度，内压强 p也是引力场的源，且出现在能动张
量中。内压强与构成有质量介质的粒子所做的随机运动有关。这种运动
携带能量，并且如任一种类型的能量一样，都对引力场有贡献。推广的
相对论性的欧拉方程是将方程（57a）应用到这个张量的混合形式
（58b）式上而得到的四个方程。
大约在18世纪中叶，欧拉（Leonhard Euler）发表了不可压缩流体
的运动方程。这些方程本质上表达了任何流体力学过程中质量和动量的
守恒。能量守恒方程是大约一个世纪以后才得到的，但是今天，所有这
