爱因斯坦已经用了一整节（第8节）来讨论基本张量 g 的一些性.2
三个方程都称为欧拉方程。狭义相对论的发现，使质量、能量和动量合
并为一个能动张量。狭义相对论中的欧拉方程，是通过令这个张量的协
变散度的4个分量为零而得到的。
[37]
麦克斯韦是怎样用数学方程表示电磁定律的？这些方程又如何受到引
力的影响？
在这一节中，爱因斯坦基本上重现了他几个月前发表在普鲁士皇家
科学院快报上的《电动力学麦克斯韦场方程的新形式解释》。那次的发
表简化了对他1914年的综述文章《相对论广义理论的形式基础》中同一
论题的表述。它可以立即过渡到广义相对论。爱因斯坦对麦克斯韦方程
的这个简化了的新协变形式感到很高兴，并就此与洛伦兹通过信。1915
年9月，他很高兴地通知洛伦兹说：“考虑了引力以后，我也证明了电磁
场能量动量守恒原理的有效性，以及真空方程的简单的协变理论表示，
其中‘对偶’6矢量概念被证明是非本质的。”
到19世纪中叶，英国物理学家法拉第和苏格兰物理学家和数学家麦
克斯韦已经引入了电场和磁场的概念。那时，已经在经验上建立了几个
关于电荷和电流，以及电场和磁场之间关系的物理定律：
·高斯定律，描述由（正或负）电荷产生的静电场。
·磁场的高斯定律，陈述了自然界中不存在磁荷（磁单极）。它们
总是成对出现（偶极子），就像磁罗盘针的“南极”和“北极”。磁性材料
产生的静态磁场，是由这样的偶极子生成的。
·安培定律，陈述的是电流产生磁场。环绕电流的磁场线是闭合
的。
·法拉第定律，陈述了随时间变化的磁场产生电场。环绕磁场的电
场线是闭合的。
麦克斯韦对这些定律增加了一个陈述：磁场也可以由随时间变化的
电场产生。因此，随时间变化的电场的行为就像电流（所谓的位移电
流）。这不是任何实验结果的要求，而是麦克斯韦巧妙洞察力的结果。
大约在1862年，他发表了首个版本的一组数学方程，用来描述所有这些
定律。这些方程就是著名的麦克斯韦方程组。它们构成了经典物理史上
最大的统一方案，将电学、磁学和光学结合成一个框架。麦克斯韦方程
组预言了电磁波的存在，它在空间中以光速 c传播。
与狭义相对论的闵可夫斯基形式相一致，有可能从反对称的电磁场
张量 F 导出麦克斯韦方程，而
是从电磁势（电场势和磁场势）的导
μν
Fμν
数构造的。爱因斯坦在这一页上开始了这个过程。1912年，科特勒
（Friedrich Kottler）首先写出了广义坐标下的麦克斯韦方程。
[38]
“以太” 在前相对论物理中起什么作用？为什么爱因斯坦最终认为没有
以太的空间是难以想象的？
光速明确地出现在麦克斯韦方程组中。这提出了一个问题：这个速
度是根据什么来测量的？物理学家假定了一种无质量的不可见媒质弥漫
在整个空间中，提供了一种绝对参考系，用来定义光速。这个媒质也用
来传递作用在电荷和磁极上的力。爱因斯坦的狭义相对论潜在的基本假
定是，光速在所有参考系中都是不变的，所有参考系都以恒定速度相对
其他参考系运动（惯性参考系）。这个假定决定了惯性参考系之间的变
换规律。麦克斯韦方程组在这样的变换下是不变的。
在狭义相对论中，光速在所有惯性参考系中都是相同的，以太的概
念成为多余的。因此，爱因斯坦在他的理论框架中，完全摒除了以太概
念。然而，在1920年他却远离了这个观点，把广义相对论的动力学时空
认同于以太，尽管不是作为绝对参考系。1920年10月在莱顿所做的关
于“以太和相对论”的演讲中，他作了如下陈述：“我们可以说，根据广
义相对论，空间被赋予了物理属性；所以，在这个意义上，以太是存在
的。根据广义相对论，没有以太的空间是难以想象的；……但是这个以
太不能看成具有可衡量的媒质的特性，比如由可随时间追踪的各个部分
组成那样的特性。运动的思想不适用于它。”这段引用中的最后一句与
这个事实有关：可用来解释广义相对论中时空性质的以太概念，不能理
解为力学媒质，不是爱因斯坦所摒弃的前相对论物理中的以太观念。
协变的矢量与张量和逆变的矢量与张量之间的区别也适用于狭义相
对论。麦克斯韦方程组中描述法拉第定律（见前一页）和磁场高斯定律
的两个方程，是从电磁场张量 F 的协变形式导出的，而另外两个方程
μν
是从逆变形式导出的。爱因斯坦一直记录这个区别，用撇标记从张量 F
的逆变形式中导出的方程中的电场和磁场分量。由于狭义相对论中度规
张量的形式很简单，磁场和电场的带撇和不带撇的值是相同的，在对待
狭义相对论时，这个区别通常就忽略了。
爱因斯坦用字母 n表示电场，用 f表示磁场。在印刷版本中，用了当
时更常规的记法 e和 h。
在爱因斯坦67岁时写的《自述》中，他表达了对麦克斯韦理论的迷
恋：“在我还是学生时，最迷人的课题就是麦克斯韦理论。这个理论的
革命性在于从超距作用转变到了将场作为基本变量。”
[39]
冯·劳厄起到了什么关键作用？
现在，爱因斯坦准备构造电磁场的能动张量了。他从4个方程开
始，这4个方程指定了作用在系统上的力以及提供力的能量。借助于在B
部分所发展的数学工具，这些方程可以变形，以识别能动张量的分量：
下一页上的（66）和（66a）两式。在一个封闭系统中，（66）式的右
边等于零，我们能证明这个方程等同于在C部分推导的表达能量动量守
恒的（57）式。
我们已经提到过手稿的D部分，是基于爱因斯坦对“物质现象的规
律”（电动力学和电磁学）的论述。在那个论述中，他提到他对这个话
题的论述，利用了闵可夫斯基—劳厄形式，亦即，狭义相对论的闵可夫
斯基张量形式和狭义相对论中连续物质流的冯·劳厄形式。
冯·劳厄（Max von Laue）对相对论的发展做出了重要贡献，尤其是
指明了爱因斯坦质能关系 E= mc 2对加深理解相对论性连续体动力学的重
要意义。从流体力学的弹性理论中我们已经熟悉，根据质能关系，压强
也体现了能量，因而能改变动体的惯性性质。事实上，所有形式的能量
一定具有质量。与此相反，在经典物理中，压强不影响物体的运动，例
如，当压强是由一对大小相等、方向相反、沿同一直线作用的力产生的
时候。甚至当处理延展体的时候，在经典物理中，总是可能用单个量，
即它的惯性质量，来描述力对其整体运动的影响—而撇开其形变。然而
一般来说，在相对论中，不再有像质量这样的单一量，能用来刻画一个
延展物理系统的惯性行为。大约在1911年，冯·劳厄的工作使人们很清
楚地看到，为此目的，至少需要10个函数，一起组成时空中一个几何对
象的分量，这个几何对象就称为“应力—能量张量”或“能量—动量张
量”。早在1912年，爱因斯坦就认识到，在他的引力场的场方程中，这
个张量必须起到源项的关键作用，取代相对应的经典物理中牛顿引力势
的泊松方程中的质量密度。
然而在最初时刻，冯·劳厄自己一直对爱因斯坦的理论持怀疑态
度。1913年8月，他在给史利克的信中写道：“这个理论是极端的、实则
是不可思议的复杂，因此我强烈地拒绝它。幸运的是，它的最直接结果
之一，太阳附近光线的弯曲，可以在1914年的日食期间进行检验。之
后，这个理论很可能会销声匿迹。”
[40]
理论的有效性如何由实验检验？
在这份手稿的A,B，C和D部分，对于广义相对论这个引力的相对论
性新理论，爱因斯坦已经完成了他的理论框架和数学准备。这些部分都
有各自的标题；而E部分没有标题。爱因斯坦在E部分一开始就给出了
21节，删除了原来的标题，并用一个更简单、更短的标题来取代。E部
分讨论了广义相对论有效性的首批检验：解释观测到的水星近日点的进
动，来自遥远恒星的光线在太阳引力场中的弯曲，以及引力场中所发射
的光频率的减小（引力红移）。爱因斯坦早就从等效原理推断出后两种
现象了。然而，如果他也能从等效原理给出引力红移的正确的定量值，
他不得不等到完成整个理论，才能得到正确的光线弯曲角度。爱因斯坦
在代表太阳的点质量球对称弱引力场中考察了这些现象，相当于真空中
引力场方程（47）式的牛顿极限。
在爱因斯坦看来，一个可接受的引力理论，在极限或特殊情形下应
退化到牛顿理论，这个要求不仅是自然的而且是绝对必要的。归根结
底，经典牛顿引力理论是经验所验证的引力知识。在寻找广义协变理论
的爱因斯坦—格罗斯曼合作过程中，这个要求不仅作为一个可接受的引
力场方程的条件，而且作为了构造场方程的出发点。1912年，他们抛弃
了里奇张量，这是无源情形引力张量的自然候选者，因为他们（错误
地）认为，在极其弱场的情形下，它回不到牛顿表达式。只是在1915年
11月，当爱因斯坦致力于水星近日点问题时，他才意识到应该怎样解释
牛顿极限。
引力势由度规张量 g 表示（
μν
53[8]页）。在狭义相对论中，完全忽
略引力，度规张量就退化到方程（4）所给的形式。我们可以预期一个
由矩阵 g 表示的弱引力场，其
的形式与方程（
μν
gμν
4）相比，差一个比1
小得多的量。因为牛顿理论中的引力势是由单一函数表示的，我们可以
预期，在牛顿极限下，只有 g 会不同于
44
1，因为它代表那个极限下的引
力势。然而，情况不可能如此。坐标条件 g=-1（在现在的情形下，g是
对角元之积）暗示了假如 g 不等于
44
1，那么其他对角项必须不等
于-1[26]。这个结果令爱因斯坦和格罗斯曼感到吃惊。在弱静态引力场情
形下，新理论回不到牛顿表达式。爱因斯坦一遍又一遍地重复牛顿极限
问题。直到1915年11月，对这个问题的误解，一直是寻找广义协变理论
的主要绊脚石之一。
[40a]
作为事后思考，爱因斯坦想要澄清和强调的是什么？
爱因斯坦完成了手稿，并对页码编了号，然后又决定在D部分结尾
处增加一些评论。星号是编辑的指令，告诉排字工人将这一页插入到上
一页中标注星号的位置。
爱因斯坦想要再次强调的是，引力场方程的推导和守恒定律的形式
是基于相应于 g=-1的特定的坐标选择，这简化了数学表达但并不影响结
果的普适性。
在B部分的结尾处，他基本上重复了他这个最后的评论（第90—
92[27—28]页），他在那里写道，这篇论文中的所有关系，都将由这个
坐标选择所带来的简化形式给出，并加上这样的话：“如果在特殊情形
下是令人满意的，那么恢复到广义协变方程，也是一件容易的事了。”
我们知道在写这篇手稿的时候，他在考虑在任意坐标下重新推导场
方程。这从本书呈现的一份5页手稿中就能清楚地看出来，这份5页手稿
他最初打算包含在这篇文章的主体中，后来又打算作为附录。最终，他
决定不放进这篇文章，而是大约半年以后，作为一篇独立的文章发表了
—《哈密顿原理和广义相对论》。（本书附录给出了这篇文章的中译
本。）
有可能这一页上的评论代替了那5页手稿，并且用最后一句话给出
了解释：“我认为就这个问题进行再扩大范围的思考是不值得的，因为
它们毕竟没有给我们任何实质性的新东西。”
MPIWG图书馆
[41]
牛顿极限下，度规张量是什么样子的？
现在爱因斯坦使用一个近似步骤，将引力场中物质粒子的运动方程
（46）式约化到牛顿极限。右边含有空间和时间坐标对沿粒子轨迹运动
时间的导数。μ，v=1，2，3的方程相应于物质的速度，在牛顿极限下，
运动速度远小于光速（在这里的记号下，就是远小于1），因此可以忽
略。导致的结论就是，只留下μ=4，v=4的项，并得到（67）式。这就是
牛顿理论中质点的运动方程。爱因斯坦指出：“这个结果中引人注目的
是，在一级近似下，基本张量的 g 分量独自决定了质点的运动。
44
”度规
张量的其他分量仍然依赖于时空中的位置，这表明了一级近似保留了时
空曲率。然而，这些分量不影响质点的运动。然后，爱因斯坦将同样的
近似用到场方程（53）并导出（68）式（在下一页），这正是由质量密
度 ρ产生的引力势的牛顿方程。
1915年12月，爱因斯坦写信给他的朋友贝索，谈论这个新理
论：“最令人满意的是与近日点运动一致和广义协变性；然而，极奇怪
的情况是，场的牛顿理论在一级近似下就已经不正确了[27]。正是运动
方程的一级近似中不出现度规张量的分量 g ，
，
的情况，决定了
11
g 22 g 33
牛顿理论的简单性。”
爱因斯坦为什么会感到惊喜？
1915年12月22日，爱因斯坦收到了天体物理学家施瓦兹希尔德
（Karl Schwarzschild）从俄国前线写来的一封信。施瓦兹希尔德告诉爱
因斯坦，他已经完全解决了论文中提出的水星近日点问题。这是对于单
个球形非旋转质量，广义相对论场方程的第一个精确解。爱因斯坦曾在
笛卡儿坐标中处理这个问题并得到近似解。施瓦兹希尔德在推导中用了
一个更方便的坐标系。他写道：“这是多么奇妙的事，水星问题的解释
如此令人信服地从这样一个抽象的思想中产生了。”他是这样结束他的
信的：“如你所见，战争待我不赖，虽然不远处炮火连天，却容许我信
步踱入你的思想王国。”爱因斯坦敦促他发表这个结果，并承诺他自己
将在普鲁士皇家科学院的下一次会议上报告这个结果。爱因斯坦这样回
复施瓦兹希尔德的信：“我未曾料到问题的精确解的形式如此简单。这
个课题的数学处理对我极有吸引力。[28]”
1916年5月，43岁的施瓦兹希尔德离开了人世。爱因斯坦在普鲁士
皇家科学院快报上写了一份讣告，赞扬了他的工作和成就。施瓦兹希尔
德得到的解最终成为现代黑洞研究的基础，以及广义相对论天体物理应
用研究的里程碑。
[42]
天文学家如何能帮助确认理论的一些预言？
到这里为止，爱因斯坦已经表明了引力相对论性理论的基本方程，
运动方程（46）式和场方程（53）式，在弱静态引力场极限下能退化到
经典牛顿理论。然而，如我们能预期的，即使在这个极限下， g ，
11
g 22
和 g 也不会退化到
对一个弱静态球对称引力场的近似值由
33
-1。 gμν
（70）式给出。在最后一章中，爱因斯坦考察了这个结论对时空几何性
质的影响，并利用其结果得到了蕴含的天文学预言。
当爱因斯坦意识到他对数学方法不熟悉时，他转而求助于数学家格
罗斯曼。现在，他向天文学家寻求帮助和建议。能被直接观测证实或排
除的广义相对论的特定预言非常重要，因为这能使其与引力的其他理论
区分开来。爱因斯坦从1911年就一直致力于这样的预言。他预言了两个
先前未知的效应，能够帮助检验广义相对论。第一个是光线在引力场中
的偏折。1913年，爱因斯坦写信给天文学家黑尔（George Hale），请他
给出建议，看是否可能在太阳边缘附近测量光线偏折。黑尔的回答是，
探测这个效应的仅有机会是在日食期间。1914年，第一次世界大战爆发
以后，一支德国远征军计划在乌克兰于日食期间观测这个效应，但是这
支远征军被俄国当局短暂关押了一段时间。注意，预测的偏折角比后面
将要导出的广义相对论预测的正确值少一半[29]。
这是得到加利福尼亚圣马力诺亨廷顿图书馆的许可而复制的。
第二个预言是引力场中光线颜色的改变，即所谓的引力红移。爱因
斯坦试图说服德国天文学家发起对这些效应的观测，但是收效甚微。他
早就得到了弗雷温德里希（Erwin Freundlich）—那时是波茨坦天文台的
一名助手，和天体物理学家施瓦兹希尔德的支持。他特别感谢弗雷温德
里希的作用。1914年，他致信爱伦弗斯特：“天文学家弗雷温德里希已
经找到一种办法建立由木星引力场引起的光折射。另外，他还以惊人的
精度建立了太阳光线的强度中心向红端的移动……”然而，结果表明，
证实红移效应的声明太过草率。爱因斯坦在给施瓦兹希尔德的信中
（1916年1月）称赞弗雷温德里希：“他是能理解广义相对论意义、并且
能热心投身于有关天文学问题的第一位天文学家。”
[43]
引力场中尺的长度和钟的速率是怎样的？
我们已经知道尺的长度和钟的速率，依赖于时空中它们所在位置处
的引力场。现在爱因斯坦来证明，由球对称质量产生的引力场中的这种
依赖关系。
利用（70）式中 g 的值（在上一页），爱因斯坦考察了由一个位
μν
于原点的质量产生的引力场，对观测到的尺的长度的影响。结论是，沿
径向放置的尺略微缩短（71）式，而在垂直方向上的尺的长度不受引力
场的影响。由此推出，如果用这样一把尺来测量以原点为圆心的一个圆
的直径和周长，就会发现周长与直径的比不再是π。所以即使在引力场
的一级近似下，欧几里得几何也不成立。
爱因斯坦继续考察这样一个引力场对钟的速率的影响（在下一
页）。
有可行的广义相对论的替代理论吗？
眼下，已接近手稿的末尾，在我们即将讨论爱因斯坦理论的实验检
验时，值得提一提发表于1912年的诺德斯特吕姆（Gunnar Nordstr?m）
的引力理论。诺德斯特吕姆的理论是基于单个标量引力势并嵌入狭义相
对论。爱因斯坦有多条理由反对引力的标量理论，在1913年6月诺德斯
特吕姆访问苏黎世时，爱因斯坦与其讨论过。在那次访问之后，诺德斯
特吕姆发表了他的理论的新版本，爱因斯坦在1913年9月在维也纳所作
的演讲《关于引力理论的现状》中广泛讨论了这个版本。尽管爱因斯坦
不满意诺德斯特吕姆理论，因为该理论不能解释在有周围质量分布的引
力场中物体的惯性（马赫原理），他还是给出了这样的结论：“总的来
看，我们可以说，诺德斯特吕姆的标量理论，它是依附于光速不变公设
的，这个理论满足所有条件，是一个能给出经验知识现状的引力理
论。”的确，爱因斯坦把这个理论看成是对他和格罗斯曼的纲领理论的
唯一可行的替代理论[30]。
在诺德斯特吕姆理论中，不存在引力场引起的光线偏折；然而，在
那时不可能拒绝一个或其他基于经验理由的理论。人们寄希望于已计划
好的在1914年日食期间的天文观测能做出评判。那次没有获得成功观测
（第123[42]页）[31]，但是对诺德斯特吕姆理论缺点的裁定在1919年的
下次日食之前就变得清晰了。基于这个理论的水星近日点移动的计算预
言了7' 的后退，而爱因斯坦理论预言了观测到的43' 的进动（第129[45]
页）。
[44]
什么观测使爱因斯坦一举成名天下闻？
这一页上的第一个结果是有质量物体附近的钟会变慢。（72）式允
许我们对这个效应进行估算。发射光的原子可看成是一座钟。这种“原
子钟”在引力场中的变慢，意味着这些振荡的频率，进而是发射的光减
少了。低频光的“颜色”向光谱的红端移动。在脚注中，爱因斯坦感谢弗
雷温德里希，因为他在某些恒星的光谱中观测到了这样的效应，并评论
说这还不是关键的检验。
接着爱因斯坦考察了在距离Δ处经过质量M附近的光线所经历的偏
折，并得到结论认为，掠过太阳的光线经历的偏折是1.7' （弧秒）（这
个结果出现在下一页）。
这样预言的偏折角度是爱因斯坦从等效原理得到的偏折角（出现在
他给黑尔的信中，123页）的2倍。这个值也能由古老的（几乎已被遗忘
的）光的牛顿理论解释。爱因斯坦的预言被1919年日食期间的天文观测
所证实，观测是由天文学家爱丁顿（Arthur Eddington）带领的英国观测
队进行的，爱因斯坦一夜之间成为世界名人。不仅仅是现象本身，而且
测量到的角度导致了1919年11月7日《泰晤士报》上的爆炸性新闻标
题。
《泰晤士报》上刊印的重大新闻：科学的革命，宇宙的新理论，颠覆了牛顿理论。
红移结果直到20世纪50年代晚期才被证实。现如今，在GPS技术的
计时系统中必须考虑引力对钟的速率的影响[32]。
这一页切出去一个方形，这反映了那时候通常的编辑过程：编辑从
手稿中移除了图并将它们送到图形部；剩下的部分送往打字部。少掉的
图重新放在这里。爱因斯坦用这个图解释了在计算中出现的对坐标 x 和
1
x 的选择。
2
版权属希伯来大学
[45]
水星近日点进动的解释：从失望到胜利
牛顿的引力理论证实了开普勒观测到的行星在椭圆轨道上绕太阳运
动。假如在太阳系中只有一个行星，那么，轨道的近日点位置（最接近
太阳的点）在空间中就是固定的。然而，由于其他行星的影响，近日点
会有一个缓慢的进动。天文学家发现，从地球上观测，水星绕太阳的轨
道，在100年中旋转了5600' ，或者1.55°（度）[33]。这个旋转角度中的
绝大部分可以由其他行星所施加的力解释，但是尚有43' 不能解释。这
个问题在1859年，在法国天文学家勒维耶（Urbain Le Verrier）的工作
以后，就已经提出来了，但一直没有解决，直到爱因斯坦创立了广义相
对论。
1907年12月，当爱因斯坦在通往引力的相对论性理论的路上刚刚迈
步时，甚至在他还没有任何理论的时候，他就意识到，这或许能给这个
长期存在的问题一个答案。他写信给他的朋友哈比切特：“这会儿我正
致力于水星近日点的一个长期不能解释的变化的相对论性分析。”爱因
斯坦—格罗斯曼纲领理论发表后不久，爱因斯坦就和他的朋友贝索进行
了一个计算，检验这个新理论能否解释水星近日点的不规则进动。他们
得到的结论是这个差异中只有18' 能由这个新理论解释。这个令人失望
的结果并没有令爱因斯坦怀疑纲领理论的有效性。事实上，他从未发表
过这个结果，完全忽略了它，直到1915年11月，用它作为论据来证明抛
弃纲领理论是正当的决定。
最后一页代表了他仍然致力于他的新理论的最后阶段时所得到的结
果，他在1915年11月18日已经将这个新理论提交给了普鲁士皇家科学
院。这个结果在理论的最后版本中没有变化。在脚注中，对于计算细
节，爱因斯坦请读者参阅这个工作和施瓦兹希尔德的工作。手稿的最后
一句话是这样的：“计算给出了水星轨道每百年旋转43' ，这与勒维耶的
天文观测严格一致；因为天文学家已经发现了，在这颗行星的近日点进
动中，在考虑了其他行星的扰动后，有这样大小的一个不能解释的剩余
部分。”
在这页的下半部分，编辑的铅笔标注表明了这份手稿收到的日
期：1916年3月20日。
[A1]
为什么爱因斯坦决定不将这个附录包含在手稿《广义相对论基础》
中？
这是爱因斯坦最初打算包含在手稿中的5页中的第1页。
从“§14”（在标题行之间）和这一页被他划掉的方程的编号判断，他曾
计划将这些页插到13节之后，并立即从“变分原理”[在（97[46]页）上解
释过]推导引力场方程。后来，爱因斯坦决定采用循序渐进的做法。先
是借助于变分原理，他推导了没有物质时的场方程，紧接着，引入了物
质，引入的方式与引力场的能量动量出现在方程中的方式相同。后来，
爱因斯坦打算将这个计算作为手稿的附录，很清楚地在题目中作了说
明，并相应地对页码编了号。最终，他没有将这部分放进手稿中。1916
年10月，他提交给普鲁士皇家科学院一篇文章，题为《哈密顿原理和广
义相对论》（在我们的评论中，我们称这篇文章为“十月论文”），那篇
文章与这里的从未发表的手稿附录相比较，相似与相异之处都很明显。
在手稿的C部分，引力场方程的推导依赖于坐标条件- g=1。在[40a]
页，爱因斯坦声明，即使不选择特殊坐标系，也能得到C部分结尾处所
得到的引力场方程和能量动量守恒定律。这个附录就将证明这一点。然
而，爱因斯坦最终的看法认为这是不值得的，因为从这里学不到新东
西。所以，他决定不将这部分包含在他的《广义相对论基础》中。
爱因斯坦使用了一个哈密顿（拉格朗日）形式—既不同于希尔伯特的
形式，也不同于他自己先前的形式
爱因斯坦将变分法用到一个哈密顿函数上—今天我们称之为拉格朗
日量—它依赖于度规张量（引力势）的分量，依赖于它们的导数，还依
赖于描述物质的参量及其导数（引力场之外的所有东西）。与希尔伯特
相反，爱因斯坦不指定这些参量的类型。希尔伯特考虑了同样的问题，
但假定这些参量是电磁势的4个分量。希尔伯特的方法，是基于米的理
论（99[31]页），约定了所有物质都是起源于电磁，物质的能动张量应
该仅仅依赖于电磁量。在这页的脚注中，爱因斯坦声称希尔伯特假定哈
密顿量仅仅依赖于电磁量及其导数，这并不是很有前景的。
爱因斯坦将哈密顿量分成两部分， 和 ，第一部分只依赖于引力
场参量，第二部分依赖于所有的引力和物质变量。然后，他推导这两部
分哈密顿量所满足的场方程，（78）和（79）两式（在下一页的顶
部）。（79）式在这里是作为一个数学表达式出现的。爱因斯坦应该已
经令其等于零了，以使其成为哈密顿量的物质部分 的场方程[34]。
[A2]
为什么爱因斯坦最终决定发表这个附录的修正形式？洛伦兹和希尔伯
特起了什么作用？
完成广义相对论以后，爱因斯坦渐渐知道了哈密顿形式的重要作
用，并与同行就此进行通信交流。1916年1月，他致信洛伦兹：“我能很
好地理解你用哈密顿原理的方式，从场方程推导引力所做的尝试。为了
方便地推导守恒定律的表达式，我自己也被迫回过头来推导哈密顿函
数。”尽管已经完成了这个推导，他并没有把它包含在两个月后最终提
交的综述文章中。在同一封信中，他又写道：“不过，我必须承认，实
际上我在哈密顿原理中所看到的只不过是一种方法，可用来将张量方程
体系约化到一个标量方程，守恒定律对此方程总能满足并且容易推
导。”
这一页爱因斯坦解释了，如何保证由（76）式中的积分所定义
的“作用量”是一个不变量（标量），从而对这个作用量的“变分”会产生
广义协变的方程。在脚注中，他指出这个方法是希尔伯特和洛伦兹提议
的。在“十月论文”中，爱因斯坦在开篇句中提到希尔伯特和洛伦兹，并
且在脚注中提到他们的工作。
很可能是洛伦兹和希尔伯特的工作促使爱因斯坦发表他自己的主题
版本。他可能早在半年前就完成了。无论如何，以最大普遍性证明协变
性和守恒定律之间的关系，这对他来说是很重要的。引用“十月论文”的
第一段是有启发性的：“最近洛伦兹和希尔伯特已经用一种特别便于理
解的方式，通过只从变分原理推导场方程，而成功展示了广义相对论。
这篇论文也将这样做。在这里，我的目标是展示广义相对论原理所允许
的明晰且全面的基本联系。与希尔伯特的展示相比，对于物质的组成，
我将做尽可能少的假设。另一方面，与我自己最近对这个主题的处理相
比，坐标系的选择将是完全自由的。”
爱因斯坦将变分方法用到哈密顿量的引力部分， 。依赖于度规张
量的分量和它们的一阶和二阶导数的唯一的适当的不变量，是通过内乘
积和缩并，从度规张量和黎曼张量得到的（80）式。现在我们称其为里
奇标量。在“十月论文”中，爱因斯坦首次在类似段落中称黎曼张量为黎
曼曲率张量。尽管“时空曲率”已成为描述大质量物体对时空效应的通用
概念，更早的时候，爱因斯坦并没有使用这个术语。
在给外尔的信中，爱因斯坦明确地批判了希尔伯特的方法：“希尔
伯特关于物质的假设在我看来很幼稚，就像一个什么都不懂的孩子。无
论如何，将来自相对论公设的可靠的考虑，与关于电子或物质结构的如
此大胆的毫无根据的假设混在一起，是不能容忍的。我很乐意承认，对
于电子的结构组成，寻找合适的假设，或者寻找哈密顿函数，是当今理
论的最重要任务之一。但是，‘公理化方法’在这里几乎没什么用。”最后
一句指的是希尔伯特要构造物理学的公理化形式的野心，使它更接近几
何学那样的科学[35]。
[A3]
满足守恒原理不需任何限制吗？
在这一页，爱因斯坦构想了哈密顿量引力部分的变分，其形式使它
的不变量（标量）特性很明显。他指出，哈密顿量第二部分， 的选
择，有很显著的自由度，不隐含对哈密顿量的引力部分有任何假设或限
制，因此，对引力场方程（78）式的左边没有任何假设或限制。
他在1916年11月给洛伦兹的信中强调了这一点，那时他还随信寄去
了“十月论文”：“我尤其要表明的是，关于物质的广义相对论概念，不
会对哈密顿函数的选择做出比狭义相对论的公设更高的限制，因为任何
的选择都满足守恒定律。”接着他又重复了对希尔伯特的批评：“于
是，希尔伯特所做的选择看起来是没有道理的。”
1916：艰苦奋斗和崭新开始的一年
1915年12月，爱因斯坦致信贝索：“最大胆的梦想实现了。广义协
变性。水星近日点进动非常精确。……你的心满意足却十分疲惫的
（ziemlich katputen），阿尔伯特。”
他有足够的理由感到满足并放松一会儿，与朋友和同事交流并享受
成功的喜悦。但是他并没有这样做。1916年是艰苦奋斗和崭新开始的一
年。
在完成并提交广义相对论基础手稿以后，爱因斯坦发表的第一篇文
章是在一个特定坐标系下场方程的近似解，这个特定坐标系来自天文学
家德西特（Willem de Sitter）的提议。在这篇论文中，爱因斯坦讨论了
引力波，得出的结论是，加速的大质量天体产生描述时空局域性质的度
规上的改变（今天我们称之为曲率的改变），这个改变像波一样，以光
速传播。然而，他犯了一个计算错误，导致了奇怪的结果，“引力波传
播中没有能量运输”。1918年，他纠正了这个错误，承认他以前对这个
问题的处理“被一个令人遗憾的计算错误破坏了”。他还导出了关于发射
引力辐射系统的能量损失的著名公式。然而，这个问题一直存有争议。
1937年，爱因斯坦甚至试图否定引力波的存在。
在对这个问题进行了更多的工作以后，今天，物理学家已经相信加
速的大质量天体能够产生引力波。例如，已经证明涡旋双星是强有力的
引力波源。由于地球到引力波源的天文距离，引力波在地球上的效应预
言为极其微小。尽管进行了广泛的持续的努力，想用越来越灵敏的探测
器，通过直接测量探测引力波，这个目标仍然没有实现，仍然是广义相
对论研究前沿的一个挑战[36]。
[A4]
（上一页）采用了引力哈密顿量 的特定形式后，爱因斯坦现在用
缩并的黎曼张量（83）式来表达（78）式的左边。张量 B 是主手稿中
μν
（44）式里的 G 。不过在那里，用了
μν
- g=1的条件来简化这个张量。
爱因斯坦起到了科学传教士的作用
1915年11月，在提交了广义相对论的最终版本以后，爱因斯坦正在
为科学界撰写一份理论的全面总结，将包含由当前手稿所代表的所有要
素，同时，他也已经在考虑写一本相对论的普及读物，既包含狭义相对
论也包含广义相对论。1916年1月，他致信他的朋友贝索：“引力的巨大
成功使我非常高兴。我正在考虑在不久的将来写一本关于狭义和广义相
对论的书，尽管没有强烈愿望的支持，我难以开始。但是如果我不写，
这个理论就不会被理解，虽然它基本上是很简单的。”
爱因斯坦在12月份完成了手稿，《相对论：狭义和广义理论》这本
书获得了巨大成功。1917年到1922年期间，这本书以德语出版了14次，
在光线弯曲被证实以后，又以其他语言出版了。这些版本在正文和引言
中有细微的改动。
在第一版的引言中，爱因斯坦写道：“作者力图用最简单、最明白
