洞论据解释在这本书的第二章（p.25）.也可参见Michel.4

洞论据解释在这本书的第二章（p.25）.也可参见Michel.4

慢。这就使他不得不这样定义时间，即时钟的快慢与它所在的地方有

关。

于是，我们得到这样的结论：在广义相对论中，空间和时间不能用

如下的方式定义，即空间坐标之差可用单位测量棒（直尺）来测量；时

间坐标之差可用标准时钟来测量。

这样一来，我们一直使用的，在时空连续统中用一定的方法建立坐

标的方式就垮掉了，而且看来没有其他的方法对这个四维世界采用坐标

系，使得我们采用这种坐标系来把自然界的定律用非常简单的方式表现

出来。因此，没有别的办法，只有认为在原则上一切可以想到的各种坐

标系在描述自然界都同等适用的一条路了。于是，产生了下述要求：

自然界的普遍定律由一些方程来描写，这些方程对所有坐标系

都同等适用，这就是说，这些方程对于不管什么样的任意坐标变换

都是协变的（广义协变的）。

显然，满足这个公设的物理理论，也一定会满足广义相对论公设。

因为，在任何情况下，全部变换的总和，一定包含着三维坐标系的各种

相对运动所引起的变换。广义协变性要求，尽管从时空中取走了最后一

点物理客观性，但确实是一个自然的要求，这可从下面的讨论中看出。

所有的时空验证都不外乎是确定时空的重合。例如，如果事件仅由质点

的运动所构成，那么，最终能看到的只是两个或更多质点的相遇。测量

的结果无非是验证我们测量仪器上的质点同别的质点的这种相遇，时钟

的指针同刻盘上某点的重合，以及观察到的两个事件在相同地点相同时

间发生。

引入参考系的作用只不过是为了便于描述这些重合的总和。我们分

配给宇宙4个时空变量 x ， ， ， ，使得每一个事件对应于一组四个

1

x 2 x 3 x 4

数值。对于两个重合的事件，它们都对应于相同的一组数值 x

。

1…… x 4

这就是说，重合的特点就是一组坐标的全同。如果替代坐标 x

，

1…… x 4

我们引入一组它们的函数 x' ， ， ， 作为新的坐标系，使得双方的

1

x' 2 x' 3 x' 4

一一对应没有含混之处，那么，新坐标系中的四个新坐标的全同，就表

示两个事件在时空中的重合。由于所有的物理事件最后都可以归结为这

种重合，所以不存在直接的理由，可以认为某种坐标系比其他的好一

些。这就是说，我们达到了广义协变性的要求。

§4. 时空中四个坐标与测量的关系

在本文中，我并不想将广义相对论，表述成一种含有最少数目的公

理的尽可能简单的逻辑体系，我的主要目的是以下述方法来发展这个理

论，要使读者在心理上感到，我们走的这条路线是最自然的，而且感到

作为基础的那些假设，具有最高度的安全性。考虑到这一目的，让我们

用下面的原则作为出发点：

在无穷小的四维区域中，如果坐标选择得适当，狭义相对论成立。

为此目的，我们必须选择无穷小（局域）坐标系的加速度，使得不

产生引力场，这对于无穷小区域是可能的。令 X ， ， 为空间坐

1

X 2 X 3

标， X 为以适当单位[48]度量的时间坐标。如果一个刚性杆被选定作为

4

长度单位，那么当给定此坐标系以固定方位时，则四个坐标将在狭义相

对论中有直接的物理意义。这时，根据狭义相对论，表达式为

的值与局域坐标系的取向无关，并且可以通过空间及时间的测量定

出。我们称四维连续统中无限接近的两个点的线元的大小 ds。如果对于

微分元 d X

的

1…… d X4

ds 2为正，称为类时的，如果为负，则称为类空

的，这是依照闵可夫斯基方式称呼的。

对于上述“线元”，或者说对于两个无限接近的两个事件，在任意选

定的四维参考系中，还可以对应于确定的微分元 dx

。如果这个

1…… dx 4

坐标系和“局域”坐标系，都是在所研究的区域里给出的，那么 d X 可以

v

通过一个 dx 的线性齐次表达式确定地表示成：

σ

将此式代入（1）得

式中 g 是 的函数。这些不再依赖于

στ

xσ

“局域”坐标系的方位和运动状

态，因为 ds 2是可以对时空中无限靠近的两个事件，用钟和尺测量决定

的量，而且已明确与特定的坐标系无关。此处的 g 应选定使得

，

στ

gστ= gτσ

求和应遍及所有的 σ和 τ的值，因此求和式共有4×4项，其中12项是成对

相等的。

狭义相对论的情况，是这里的一个特殊情况，由于在有限区域内 gστ

的特殊关系，有可能在有限区域内选择一种参考系，使得 g 在狭义相对

στ

论的意义下成为常数：

稍后我们将会发现，对于有限区域，一般而言，这样的坐标选择是

不可能的。

从§2和§3的考虑可以得出， g 这个量从物理的角度来看，是一个描

τσ

写引力场和所选坐标系的关系的量。因为，如果我们现在设想狭义相对

论，适用于适当选定坐标系的某一四维区域，则 g 具有（

στ

4）给出的

值。从而一个自由质点相对于这一坐标系的运动就是匀速直线运动。然

后我们通过任意选定的坐标变换引入一个新的坐标 x ， ， ， ，在

1

x 2 x 3 x 4

这一新坐标系中 g 将不再是常数，而是空间和时间的函数。同时，那个

στ

自由质点的运动，对于这个选定的坐标系将表现为非匀速、非直线的曲

线运动，而这一运动的规律将与运动的质点的性质无关。因而我们将把

这一运动，解释为质点在这一种引力场影响下的运动。所以，我们找到

了引力场的产生与 g 的时空可变性的关系。在一般情况下，当我们无法

στ

选出坐标系，将狭义相对论应用于有限区域时，我们也相信这样的观

点，即 g 是描写引力场的。

στ

于是，根据广义相对论，与其他种类的力相比，特别是电磁力相

比，引力占据一个特殊的地位，因为表现引力场的 g 中的

στ

10个函数，同

时还定义了四维度量空间的度规性质。

B. 广义协变方程的数学辅助

我们在前文中看到了，广义相对论要求物理的方程，都需要对任意

坐标 x

的变换满足协变性，我们必须考虑怎样去找到这样的协变

1…… x 4

方程。我们现在将转入纯数学的讨论，我们将发现在解决这一问题的过

程中，（3）式给出的不变量 ds将起根本的作用。这个量我们称为“线

元”，这是从高斯的曲面理论中借用来的术语。

这一协变量的普遍理论的基本思想如下：对于一个任意坐标系，设

某种客体（“张量”）是用多个坐标函数来定义的，这些函数称为张量的

分量。而且存在一些规则，当新旧两个坐标系之间的变换关系，以及张

量对原坐标系的分量已知时，可以利用这些规则算出张量对新坐标系的

分量。这些以后称之为张量的客体还有进一步的特点，即它对新旧坐标

系的分量的变换方式是线性的和齐次的。于是，如果一个张量对于原坐

标系的分量都为零，则它对于新坐标系也都为零。因此，一个自然规律

如能表述为一个全部分量为零的一个张量，那么这个自然规律就是协变

的。考察构成张量的规律，我们就获得了描述广义协变定律的方法。

§5. 逆变4矢量和协变4矢量

逆变4矢量　线元由4个“分量” dx 来确定，其变换规律可以表示为

ν

即 dx' 可以表示为

的线性齐次函数。因此我们可以把这

σ

dxν

4个坐标

的微分看成一种特定的“张量”的4个分量，我们称这种张量为逆变4矢

量。任何相对于坐标系用4个分量Aν来定义的，而且是根据相同规律

变换的客体，我们也称之为逆变4矢量。从（5a）立即得知，若Aσ

和Bσ都是逆变4矢量的分量，则它们的和与差，Aσ±Bσ也是逆变4矢量。

相应的规律也适用于今后陆续引进的所有张量（张量的加法和减法规

律）。

协变4矢量　如果4个量A 对于任意选定的逆变

ν

4矢量Bν满足

那么我们称之为协变4矢量。协变4矢量的变化规律，可以从它的定

义得出。因为我们如果在方程

右边将Bν用（5a）的反演式

代替，即可得出

由于此式对于任意的B'σ值均成立，由此得出A 的变换规律是

σ

关于简化表达式书写方法的注释注意一下本节公式可以看出，所

有求和的指标在求和号后面都出现两次[例如（5）式中的 v]，而且只对

出现两次的指标求和。因此，可以略去求和号而不致造成误解。为此，

我们引进下面的约定；除非另有声明，凡公式中某一项一个指标出现两

次的，就意味着对这个指标求和。

协变和逆变的4矢量的区别在于它们的变换规律[分别见（7）和

（5）]。在前文讨论的意义上，两种形式都是张量。它们的重要性也就

在这里。按照里奇和勒维—西维他的方法，我们把指标写在上面表示逆

变性质，写在下面表示协变性质。

§6. 二秩和高秩张量

逆变张量若用两个逆变矢量Aμ和Bν的分量构成全部16个乘积Aμν：

则根据（8）和（5a），Aμν满足下列变换规律：

我们把由相对于任意坐标系的16个量构成的，并且服从变换规律

（9）的客体，称为二秩逆变张量。并不是每个二秩逆变张量都必须由

两个逆变4—矢量按照（8）构成。可以很容易地证明，任意满足变换规

律（9）的16个量都可以表示为适当选

定的4对逆变4—矢量构成的AμBν之和。因此，我们要证明二秩逆变

张量（9）应服从几乎所有的规律，只要用最简单的方式，即证明它们

对特殊的张量（8）成立就可以了。

任意秩的逆变张量显然，遵循（8）和（9）的路线，也可以定义三

秩或更高秩的逆变张量，它们有43或更多的分量。根据（8）和（9）也

可以同样说，在这个意义上逆变4矢量是一秩逆变张量。

协变张量另一方面，如果用两个协变4矢量A 和 构成

μ

Bν

16个乘积

A ：

μν

它们的变换规律为

这一变换规律定义了二秩协变张量，前面所说的关于逆变张量的各

个方面，也同样适用于协变张量。

注　我们可以方便地将标量（即不变量）看成是零秩逆变张量或零

秩协变张量。

混合张量　我们也可以定义下列形式的二秩张量：

这种张量对于指标μ是协变的，对于指标 ν是逆变的，它的变换规律

是

自然而然，可以定义带任意多个协变指标和任意多个逆变指标的混

合张量。协变张量和逆变张量可以看成是混合张量的特殊情况。

对称张量二秩的协变张量或逆变张量，如果对调两个指标的分量彼

此相等，称为对称张量。于是，张量Aμν或A 若对于任何一对

μν

μ， ν满足

或者

就是对称张量

必须证明这样定义的对称性质，与所选的坐标系无关。事实上，如

果考虑到（14），由（9）可得

在上述推导中，我们对调了求和的指标μ和 ν，这只是记号的改变。

反对称张量　一个二秩、三秩或四秩的逆变张量或协变张量，如果

对调其分量中的任意两个指标所得的分量与原分量等值反号，则称为反

对称张量。例如张量Aμν或Aμν若对任意μ， ν有

或者

则此二秩张量是反对称的。

在反对称二秩张量Aμν16个分量中，有4个Aμμ为零，其余的成对地

等值而反号，因此实质上只有6个分量数值不同（6—矢量）。与此类

似，反对称三秩张量Aμνσ中，实质上只有4个数，而反对称的四秩张量

Aμνστ只剩下一个数。而在四维连续统中，大于四秩的反对称张量是不存

在的。

§7. 张量的乘法

张量的外乘有一个 n秩张量和一个 m秩张量，将前者的每一个分量

乘以后者的每一个分量，就得到了二者的外积，一个 n+ m秩的张量的所

有分量。例如，不同种类的两个张量A和B可以产生外积T：

T的张量性质可以由表达式（8）、（10）、（12）或变换规律

（9）、（11）、（13）直接证明。（8）、（10）和（12）本身就是几

个一秩张量的外积的例子。

混合张量的“缩并” 对于任意一个混合张量，我们可以取其一个逆变

指标与一个协变指标相同，并对这个指标求和，这就是缩并，结果得出

一个秩数少2的张量。例如一个四秩的混合张量，可以缩并成一个二秩

张量：

由此再有一次缩并，可以得到一个零秩张量：

缩并的结果确实具有张量性质，既可以由推广（12）式的规则，并

结合（6）式来证明，也可以用（13）式的推广来证明。

张量的内乘和混合乘法这是外乘与缩并的结合。

举例有一个二秩协变张量A 和一个一秩逆变张量

μν

Bσ，先作它们的

外积，得到一个混合张量

然后再对 ν和σ两个指标作缩并，可以得出一个协变的4矢量

这被称作两个张量A 和

μν

Bσ的内积。类似地，我们可以由两个张量

A 和

μν

Bστ，通过外积和两次缩并得到内积AμνBμν。通过外乘和一次缩

并，我们还可以从两个张量A 和

μν

Bστ得出一个二秩混合张量

D τ

μ =AμνBντ，这一运算可以适当地认为是一种混合运算，先对指标μ和τ

作外积，再对指标 ν和σ作内积。

我们现在来证明一个命题，它常常作为张量特征的证据。前面已经

提到，若A 和

μν

Bσt是张量，则AμνBμν就是一个标量。而我们也能作出下

面的论断：对于任意选定的张量Bμν，都是一个标量，则A 具有张量的

μν

特性。因为，根据假设，对于任意的坐标代换有

（9）但是，利用（9）的反演式，可得

将此式代入前一个等式，有

只有括号中的式子为零，此式才能对任意的B'σt成立，于是得到变

换关系（11）。上述命题对于任意秩、任意性质的张量都成立，在所有

情况下，证明都是类似的。

这一规则还可以下述形式出现：如果Bμ和Cν是任意矢量，而对于它

们的任何取值，内积A

就是一个协变张量。甚至

μνBμCν是标量，那么Aμν

在条件更特殊一点的情况下，上述命题也能很好地成立。倘若对于任意

选定的4矢量Bμ，内积A

满足附加的对

μνBμBν、都是一个标量，其中Aμν

称条件A

，我们可以用上述方法证明（

）的张量性质，再

μν=Aνμ

Aμν+Aνμ

用A 的张量性质证明它的对称性。容易将此推广到任意秩协变和逆变

μν

张量的情况。

最后，由以上的证明可知，这一规则还可以推广到任意张量。如果

对于任意选定的4矢量Bν，乘积A

是一个二

μνBν构成个一秩张量，则Aμν

秩张量。这是由于，如果Cμ是任意4矢量，根据AμνBν的张量性质，不论

Bν和Cμ如何选择，内积AμνCμBν一定是一个标量，由此命题得证。

§8. 基本张量 g 的一些性质

μν

协变基本张量　在线元平方的不变量

的表达式中， dx 这一部分所起的作用，是一个可任意选取的逆变

μ

矢量的作用。又由于 g

，根据上一节的考虑可知，

明是一个二

μν= gνμ

gμν

秩协变张量，我们称之为“基本张量”。下面我们将导出这个基本张量的

一些性质，诚然，这些性质是任何二秩张量都有的，但是作为基本张量

在我们的理论中起着特殊的作用，是引力效应特有的物理基础，所以我

们将要推导的关系，只有在论及基本张量时，对我们才是重要的。

逆变基本张量如果在由 g 的各分量构成的行列式中，取每个

的

μν

gμν

余子式并除以行列式 g=| gμν|，则得到一些量 gμν= gνμ），下面我们就来证

明，这些量构成一个逆变张量。

根据行列式的一个已知性质

其中δ ν当

μ

μ= ν时等于1，μ≠ ν时等于零。我们可以把上述 ds 2的公式改

写成

利用（16）得

但是，根据上一节的乘法规律，这个量

是一个协变4—矢量，而且事实上是一个任意矢量，因为dx 就是任

μ

意的。将这个量引入我们的公式中，得

由于此式是一个标量。而矢量dξ 是可任意选定的矢量，又根据定

σ

义， gστ对于指标σ和τ是对称的，所以根据上一节的结果， gστ是一个逆

变张量。

由（16）进一步得出δ ν也是一个张量，我们称之为混合基本张

μ

量。

基本张量的行列式　根据行列式的乘法规则，有

另一方面

因此得

体积标量　我们首先寻找行列式 g=| gμν|的变换规律，根据（11）有

应用两次行列式的乘法，得

或者

另一方面，根据Jacobi定理，体积元

的变换规律

将两个变换式相乘，得

我们在以后引入 来代替 ，根据时空连续统的双曲性质，前者永

远是实。不变量

在数值上等于在局域坐标系中，在狭义相对论的意

义下，用刚性尺和时钟测量出来的四维体积元。

关于时空连续统性质的注释　我们关于狭义相对论永远可适用于

无穷小区域这一假设，直接导致 ds 2永远可以通过4个实的量 d X1…… d X4

变为（1）。如果我们用 d 表示

，则有

τ0

“自然”体积元 d X1 d X2 d X3 d X4

如果在四维连续统中某一点上的

等于零，那就意味着，在这一点

的无穷小“自然”体积元对应于坐标中的零体积。我们假设这种情况永不

发生。于是 g就不能改变符号。我们将假设，在狭义相对论的意义上， g

永远取有限的负值。这是对我们所讨论的连续统的物理性质的一个假

设，同时也是选用坐标的一种约定。

但是，如果- g永远取正的有限值，那就自然而然会对坐标作这样的

后验选取使得这个量永远等于1。我们在后面将看到，在这样的选择坐

标限制之下，有可能使自然界规律的表述，得到重要的简化。

于是，代替（18），我们可以用简单的 dτ'= dτ，利用Jacobi定理，由

此得

于是，在这种坐标选定之下，只有那些在变换时行列式为1的坐标

才是允许的。

然而，若认为这样的做法是表示了部分地放弃广义相对性的公设，

那就错了。我们要问的不是“哪些是对于该行列式为1的所有变换协变的

自然定律？”而是“哪些是广义协变的自然定律？”我们在后面将会看

到，由于对坐标选择的这类限制，就显著地简化了自然定律。

用基本张量构成的一些新张量　用基本张量对一个张量进行内

乘、外乘或混合乘，可以得到一些不同性质和不同秩的张量。例如

还应特别注意下列形式：

它们分别是协变张量和逆变张量的“补”。还有

B 称为

的约化张量。类似地有

μν

Aμν

应当指出，gμν不是别的，正是g 的补，因为

μν

§9. 测地线方程，粒子的运动

由于线元 ds的定义与坐标系无关，连接四维连续统中两点 p和 p' 并满

足 ∫ds为极值的线，即测地线，具有与坐标的选择无关的意义。测地线的

方程是

用通常的方法进行变分，由此能得出4个定义测地线的微分方程。

为了完整起见，我们将这一过程补充在这里。令x 是一个

ν

λ的函数，并

令它定义一个曲面族，族中各曲面都包含着测地线，以及所有与测地线

直接邻近的由 p到 p' 的曲线。于是，任何这种曲线都可以假设其坐标x 为

ν

λ的函数而给出。令符号δ表示由所要的测地线上一点到对应于相同λ的

邻近线上一点的转变。于是，我们可以用下式代替（20）：

但是，因为

以及

在分部积分之后，由（20a）得

式中

由于δx 的值是任意的，由此得出

σ

如果沿着测地线 ds不为零，我们就可以选择测地线的“弧长” s来代替

参数λ，这时 w=1，而（20c）可以改写成

或者，只改变一些记法，成为

在式中，按克利斯朵夫的建议，我们使用了下列记号

最后，将（20d）乘以 g （对指标

στ

τ作外乘，对指标σ作内乘），我

们得测地线的方程为

式中，根据克利斯朵夫的建议，我们使用了下列记号

§10. 用微分构造张量

借助于测地线方程，我们就可以容易地用微分的方法，从原有的理

论推导出新理论中的自然定律。这意味着我们首次能够写出广义协变的

微分方程。我们达到这一目的是由于反复运用了下述简单的定律：

如果在我们的连续统中给定了一条曲线，曲线上各点用从曲线上某

一定点出发实际测出的距离 s来表征，又设φ是空间的不变函数，那

么 dφ/ ds也是一个不变量证明的关键是 ds和 dφ都是不变量。

由于有

所以

也是一个不变量，而且对这连续统中，由一点出发的所有曲线都是

不变量，也就是说，对于矢量dx 的任意选择都是不变量。因此立刻可

μ

以得出：

是一个协变4—矢量，即φ的“梯度”。

根据我们的规则，在一条曲线上所取的微商

同样也是一个不变量，将Ψ的值代入上式，可得

从这里不能立刻推出一个张量的存在，但是我们可以把我们沿着进

行微分的曲线取为测地线，那么通过（22）将 d 2xν/ ds 2代入，得

因为我们可以改变微分的次序，又因为根据（23）和（21），克利

斯朵夫记号对于μ和v都是对称的，所以式子对μ和v都是对称的。由于在

连续统中的测地线，在某点可以沿任意方向出发，所以 dxμ/ ds是一个4—

矢量，其分量之比可以是任意的。由§7可知，

是一个二秩协变张量。于是我们得到下列结果：我们通过微分，从

一个一秩协变张量

得到一个二秩协变张量

我们称A 为

的扩张（协变导数）。首先，我们可以证明，即使

μν

Aμ

矢量A 不能表为梯度，这一操作也会导致一个张量。为看出这一点，我

μ

们首先注意到，如果ψ和φ都是标量，则

就是协变矢量。如果ψ（1），φ（1），……ψ（4），φ（4）都是标量的

话，4个此类项之和，

也是协变矢量。因为，如果A 是矢量，它的各分量都是 的任意函

μ

xν

数，为了保证S 等于

，只需令（用选定的坐标系表示）

μ

Aμ

即可。

因此，如果用任何协变矢量取代A 放入右边，为了证明

是一个

μ

Aμν

张量，只需证明对矢量S 有这样的性质即可。可是（

μ

26）的右边告诉我

们，为了完成这后一任务，只需提供下述情况

的证明即可。现在，将（25）的右边乘以Ψ，

这是一个张量，同样，两个矢量的外积

也是一个张量。两者相加，就证明了下式

的张量性质。利用（26），我们将看到，到此就证明了

是一个矢量，作为推论，也就完成了对任何矢量A 的证明。

μ

借助于矢量的扩张，我们很容易定义任意秩的协变张量的“扩张”。

这是矢量扩张的推广，我们只就二秩张量的情况作一讨论，因为这就足

以给出形成法则的清楚概念。

正如已经提到过的那样，任意二秩协变张量都可以表示为A

类型

μBν

的张量之和[49]。只要导出这种特殊类型的张量扩张就足够了。根据

（26）式，下列两式

都是张量，将第一式用B 外乘，将第二式用

外乘，我们可得到两

ν

Aμ

个三秩张量。将这两个三秩张量相加，并令A

，即得到一个三秩

μν=AμBν

张量：

由于（27）对于A 及其一阶导数是线性和齐次的，所以，这种构

μν

造张量的规律不仅对于A

类型的情况有效，而且对于这种类型的和也

μBν

有效，这就是说，也是对任意二秩协变张量有效，我们称A

为张量

μnσ

A 的扩张。

μν

显然，（26）和（24）只是张量扩张的两个特殊情况（分别是一秩

张量和零秩张量的扩张）。

一般来说，所有构造张量的特殊规律都包含在（27）和张量的乘法

结合之中。

§11. 一些特别重要的情形

基本张量　我们首先证明几个以后有用的引理。根据行列式的微分

规则有

（28）式中，后面的等号是由下述等式导出的，如果我们记得

g

μ'就有

μν gμ'ν=δμ

gμν gμν=4，因而

由（28）得

再有，从 g

ν，经过微分得

μν gνσ=δμ

由此，分别混合乘以 gστ和 g ，然后改变指标，得

νλ

以及

由（31）可得出一个我们以后常用的公式，根据（21），有

将此式代入（31）的第二式，再考虑到（23）得

将（34）的右边代入（29），得

逆变矢量的散度　如果我们取（26）与逆变基本张量 gμν的内积，

并对其第一项作一变换之后，右边就约化成

根据（31），（29）两式，上式的最后一项可以改写成

由于求和指标是无关紧要的，此式的头两项，与上一式的第二项互

相抵消，如果我们记 gμνA

一样是一个任意矢量，最

μ=Aν，于是，Aν与Aμ

后得标量

这就是逆变矢量Aν的散度。

协变矢量的旋度　（26）中的第二项对于指标μ和 ν是对称的，因此

A

是一个构造特别简单的反对称张量。我们得到

μν-Aνμ

6矢量的反对称扩张　将（27）应用于反对称二秩张量Aμν，再依

次循环置换此式的指标得出两个公式，然后将三式相加，就得到一个三

秩张量：

很容易证明，这个张量是反对称的。

6矢量的散度　将（27）与 gμα gνβ作混合乘积，我们也能得到一个张

量。（27）右边第一项可以写成

如果我们把 gμα gνβA

记作

αβ，把再在改写后的第一项中，用

μνσ

Aσ

（34）的右边代替

结果得到的（27）的右边共有7项，其中4项互相抵消掉，得

这是一个二秩逆变张量的扩张的表达式，同样也可以构成更高秩或

更低秩的逆变张量的扩张。

我们注意到，用类似方法也可以构成混合张量A σ的扩张：

μ

当对（38）进行关于二指标β和σ的缩并（就是与δ σ作内积）时，

β

我们得到矢量

考虑到克利斯朵夫记号｛βγ，α｝对于β和γ二个指标的对称性，若

Aαβ正如我们假设那样是一个反对称张量时，则右边第三项成为零。而

第二项可按（29a）进行变换，于是得

这是一个逆变6矢量的散度的表达式。

二秩混合张量的散度　将（39）对指标进行缩并，并考虑到

（29a），得

如果在最后一项中引入一个逆变张量Aρσ=gρτA σ，则这一项成为

τ

，如果进一步设Aρσ是对称的，则简化为

我们曾经引入过一个协变张量Aρσ= gρα gσβAαβ来代替Aρσ，这个张量

也是对称的，根据（31），这最后一项成为

在对称的情况下，（41）也可以用下面两式来代替：

上述两个式子在后面还要用到。

§12. 黎曼-克利斯朵夫张量§

现在我们寻找一种通过微分方法，单独地从基本张量获得的张量。

初看起来，解答是显而易见的，在（27）中用基本张量 g 去代替式中

μν

的任意张量A 即可，这样就得出了新的张量，即进行了基本张量的扩

μν

张。不过，容易验证，这样得出的基本张量的扩张恒等于零。为了达到

这一目的，我们采用下述方法。在（27）中，取

即求这个4—矢量A 的扩张。于是（在经过某些指标变动之后）得

μ

到的一个三秩张量

此式建议我们构建张量A

。因为如果我们这样做，

中的

μστ-Aμτσ

Aμστ

下列各项将同A

中的相应项抵消：第

μτσ

1项，第4项和方括号中的最后一

项，因为它们σ和τ是对是对称的；第2项和第3项之和也是如此。于是我

们得到

其中

这一结果的主要特点是（42）的右边只有A ，而它的导数并不出

ρ

现。根据A

的张量性质以及

是任意矢量的事实，由

μστ-Aμτσ

Aρ

§7的论证得

知，B

ρ是一个张量，这就是黎曼

μστ

—克利斯朵夫张量。

这个张量在数学上具有如下的重要性：如果连续统具有这样一种性

质，即存在一个坐标系而相对此坐标系 g 为常数，则所有

ρ都等于

μν

Bμστ

零。如果我们选取另一新坐标系来取代原来那个坐标系，而对于新坐标

系 g 不是常数的话，由于其张量性质，变换到新坐标系去的

ρ的各

μν

Bμστ

分量仍然等于零。因此，黎曼张量为零，是下述事实的必要条件：选择

适当的坐标系可以使 g 成为常数[50]。在我们所讨论的问题中，这一点

μν

相当于选择适当的坐标系，使得在连续统的有限区域中，狭义相对论能

很好地成立。

将（43）对于指标τ和ρ进行缩并，得到一个二秩协变张量second

rank G=no

其中

关于选择坐标系的注释　从§8的方程（18a）中已经明显看到，通

过选取坐标系以使

=1较为有利。观察一下在前两节中所得到的方程

可以看出，在这种选择之下，构造张量的规则将会大大简化。这对我们

刚刚得到的张量G 也同样适用。这个张量在下面将要提出的理论中，

μν

将起着重要作用。因为坐标系的这种选择能够带来Sμν=0的结果，从而

可使G 约化到

。

μν

Rμν

因此，在以后的讨论中，我给出的所有关系式，都将是这样特殊选

择坐标系情况下的简化形式。如果在特殊情形下是令人满意的，那么恢

复到广义协变方程也是一件容易的事了。

C. 引力场理论

§13. 粒子在引力场中的运动方程，引力场分量的表达式

在狭义相对论中，一个不受外力的自由质点做匀速直线运动，而根

据广义相对论，对于四维空间的一部分，其中坐标系可以被选为，而且

实际上确被选为其 g 具有（

时，情况也和狭

μν

4）给出的特殊常数值的K0

义相对论一样。

如果我们从任意一个坐标系K 来考查这一运动。根据

1

§2的讨论，从

K 看来质点是在引力场中运动。质点对于

的运动规律，不难从下面的

1

K1

讨论中得出。对于K 来说，运动规律相当于一条四维的直线，即相当于

一条测地线。现在，由于测地线是与参考系无关的，它的方程也就是质

点对于K 的运动方程。如果我们令

1

则质点对于K 的运动方程就是

1