洞论据解释在这本书的第二章（p.25）.也可参见Michel.5
现在我们作一个很自然的假设：即使没有K ，即不存在有限空间中
狭义相对论很好成立的坐标系，质点在引力场中的运动也服从协变的方
程组（46）。我们作这个假设还有更多的根据，因为（46）中只包
含 g 的一阶导数，在它们之间没有任何联系[51]，即使在
存在的特殊
μν
K0
情况下也是如此。
假如克利斯朵夫记号的分量都为零，则质点做匀速直线运动。所以
这些量规定了运动对于匀速直线的偏离，它们是引力场的分量。
§14. 无物质的引力场方程
此后，我们将对“引力场”和“物质”作一个区分，我们称引力场以外
的一切东西为“物质”。因此“物质”一词不仅包括通常意义下的物质，也
包括电磁场。
我们下一个任务是寻求在不存在物质情况下的引力场方程。在这
里，我们依然使用上一节写出质点运动方程时所用的方法。所求的方程
必须满足的一种特殊情况，即 g 是某些常数值的狭义相对论的情况。
μν
考虑在某一确定的坐标系K 中的某一有限空间。相对于这个坐标系，
（43）所定义的黎曼张量的所有分量B
ρ都等于零。对于所考虑的空
μστ
间，它们为零，所以对于任意其他的坐标系，也应该等于零。
因此，如果所有的B
ρ分量都为零的话，则所求的无物质引力场方
μστ
程，一定在任何情况下都满足。然而，这一条件太过分了。因为很明
显，例如质点在其附近所产生的引力场肯定不会被变换掉，无论选择怎
样的坐标系都不行。这就是说，它不会被变换到 g 等于常数的情况。
μν
这一点促使我们转而要求，由张量B
ρ导出的对称张量
对无物
μστ
Gμν
质引力场为零。这样一来，我们对于10个量 g 得到了
μν
10个方程，所有
B
ρ都等于零的特殊情况满足这些方程。在坐标系这样的选定之下，并
μντ
考虑到（44），无物质引力场的方程成为
必须指出，在这一组方程的选择中，仅有最低的任意性。因为
由 g 及其不高于二阶的导数构成的二秩张量，而且这个张量又是这些
μν
二阶导数的线性式，则这个张量只能是G 。[52]
μν
根据相对论广义理论的要求，通过纯数学方法得到的这些方程，和
运动方程（46）一起，在一级近似下给出了牛顿万有引力定律，在二级
近似下给出了由勒维耶（Leverrier）发现的水星近日点的进动的解释
（这种进动在作了扰动校正后仍然存在）。这些事实，在我看来，必然
是这一理论正确性的令人信服的证明。
§15. 引力场的哈密顿函数，能量动量定律
为了证明引力场方程与能量动量定律相对应，最方便的办法是把它
们写成下述哈密顿形式：
其中，在我们所考虑的四维区域的边界上，变分为零。
首先我们必须证明，（47a）的形式与方程（47）等价。为此，我
们把H看作为是 g 和 μν（＝
）的函数。
μν
gσ
? gμν/?xσ
但是
式中圆括号内最后两项的符号相反，而且通过交换指标μ和β可以由
一个得到另一个（因为求和指标的标记是无关紧要的），它们在δH的式
子中所乘的又是对于指标μ和β为对称的量Γ α，所以这两项互相抵消，
μβ
只剩下圆括号中的第一项，再考虑到（31），我们得
于是
（对（47a）变分，我们首先得
考虑到（48），此式与（47）一致，即得所证。
将（47b）乘以 g μν，由于
σ
从而有
我们得到方程
或者[53]
其中，考虑到（48），（47）的第二式和（34），有
值得注意的是，tσα并不是张量，另一方面，（49）适用于所有
=1的坐标系。这一方程表示了引力场的能量动量守恒定律。事实上，这
一方程对于三维体积 V的积分得出下述4个方程
其中 l,m， n表示边界表面的面元 dS上向内的法线方向余弦（在欧几
里得几何的意义上）。这是通常形式的能量动量守恒定律。我们把 t α称
σ
为引力场的“能量分量”。
我现在赋予（47）以第三种形式，这种形式对于真正领会本文内
容，是特别有用的。将场方程（47）乘以 gνσ，得到“混合”形式的方程
根据（34），这个量等于
或者（通过改变求和指标）写作
此式的第三项与从场方程（47）的第二项中产生的一项抵消了，利
用（50），第二项可以写成
其中 t= t α。代入（
α
47），可得
§16. 引力场方程的普遍形式
§15得到的没有物质空间的引力场方程与牛顿理论的场方程
进行比较，我们希望得到一个与泊松（Poisson）方程对应的方程
式中 ρ为物质的密度。
狭义相对论已经得出结论：惯性质量恰恰就是能量，它的完整的数
学表示是一个二秩对称张量，即能量张量。因此在广义相对论中也必须
引入一个相对应的物质的能量张量T α，这个张量与引力场的能量分量
σ
tσ[见（49）、（50）二式]相类似将具有混合张量的特性，并且应是对
称的协变张量[54]。
方程组（51）告诉我们，能量张量（对应于泊松方程中的密度 ρ）
是怎样引入引力场方程的。因为，如果我们考虑一个完整的系统（例如
太阳系），这一系统的总质量，因而也包括它的引力作用，将取决于系
统的总能量，即取决于有质体的能量和引力能量。这将导致（51）中引
入 t σ
σ，即物质的能量分量和引力场的能量分量之和，以取代单独的
μ +Tμ
引力场的能量分量。
这样，我们得到代替（51）的张量方程：
其中我们已令T=T μ（劳厄标量）。这就是我们所要找的混合形式
μ
的普遍的引力场方程。由此倒推回去，得到替代（47）的方程为
必须承认，这种引入物质的能量张量的方法，不能单独由相对性公
设来证明合理。由于这个原因，我们在这里的推理，是从下述要求出发
的，即引力场的能量和其他别的能量一样在引力方面起作用。然而选用
这些方程的最充足的理由，与（49）和49a）精确对应的，关于动量和
能量守恒的方程，对于总能量分量很好地成立。这将在§17中讨论。
§17. 普遍情形下的守恒律
对（52）进行变换，容易使其右边第二项为零。将此式对指标μ和σ
进行缩并，将所得结果乘以 再将所得结果与（52）相减，可得
对此式作?/?x 运算，得
σ
将圆括号中第三项中的求和指标α和σ对调，β和λ对调，即可看出右
边圆括号中的第一项和第三项互相抵消。将其第二项利用（31）改写，
从而得
（52a）左边第二项给出
或者
对于我们已经选定的坐标系，从圆括号最后一项所导出的式子根据
（29）等于零。另外两项可以根据（31）结合在一起给出
再考虑到（54），我们得到下列恒等式：
由（55）和（52a），最后得
这样，我们从引力场方程导出了能量动量守恒定律。这一点从导出
（49a）时的考虑中最容易看出。两处彼此相异的是，这里用的是物质
和引力场的能量分量，而不是那里仅有的引力场的能量分量。
§18. 物质能量动量定律作为场方程的推论
将（53）乘以? gμν/?x ，按照
σ
§15中所用的方法，并考虑到下式为
零：
得到下列方程
或者考虑到（56），
此式与（41b）的比较表明，在我们已经选定的坐标系中，此式正
好是物质能量的散度为零的预言。在物理上，上式左方第二项的出现表
明，能量动量守恒定律在严格意义上并不单独对物质成立，或者说只
在 gμν为常数时，即引力场强处处为零时成立。这第二项表示在单位体
积、单位时间内引力场传给物质的能量和动量。利用（41），可将
（57）改写成
该式使我们看得更加清楚。式中右边表示引力场对于物质在能量方
面的影响。
因此，引力场方程中包含着4个决定物质现象过程的条件。这4个条
件完全地给出了物质现象过程的方程，只要这4个的微分方程相互独立
即可[55]
D. 物质现象
11
对于在狭义相对论中所表述的那些物理定律（流体力学，麦克斯韦
的电动力学），利用B部分中已阐述的数学工具，我们能立即进行推
广，使它们也适用于广义相对论。这样做了之后，广义相对性原理并没
有进一步限制我们的可能性，却使我们不必引入任何新的假设，而认识
到引力对所有过程的作用。
于是，不必再引入关于（局限意义下的）物质的物理本性的确定的
假设。特别是可以把电磁场理论和引力场理论结合起来，能否成为物质
理论的充分的基础，这一问题留待以后解决。关于这一点广义相对论性
原理不能告诉我们什么。电磁场理论和引力学说结合起来，能否解决前
者单独解决不了的问题，还要看理论发展的进程来决定。
§19. 无摩擦绝热流体的欧拉方程
假设 p和 ρ为两个标量，我们称前者是流体的“压强”，后者是流体
的“密度”，并且假设它们之间存在一个关系式。假设一个逆变对称张量
是此流体的逆变能量张量。与这个张量相关的协变张量为
而混合张量为[56]
将（58b）的右边代入（57a），我们得到广义相对论中的欧拉流体
动力学方程。既然我们有4个方程（57a）加上已知的 p和 ρ之间的方程，
以及方程
当 g 已知时，上述这
αβ
6个方程对于决定6个未知量
就是充分的，这些方程在理论上给出了运动问题的一个完整的解。
当 g 也是未知时，还需要用到（
的
αβ
53）。存在确定 gμν 10个函数的11个
方程，这些函数似乎是过度定义的。然而应当记住，（57a）已经被包
含在（53）中，这样实际上后者只代表7个独立方程。这种不确定性，
是坐标充分自由选择的很好的理由，其留下的数学上的不确定性，达到
了这样的程度，以至于人们可以任意选择3个空间函数。[57]
§20. 自由空间的麦克斯韦电磁场方程
设φ 是协变矢量的分量，即为一个电磁矢量。根据（
ν
36），可由此
构成电磁场协变6矢量F 。它们满足下列方程组
ρσ
根据（59），电磁场将满足下述方程组
—根据（37），上式的左边是一个三秩反对称张量。因此（60）实
质上含有4个方程具体为
上式相当于麦克斯韦第二方程组，作如下定义
就立刻可以看出这一点。于是，我们可以用通常的三维矢量分析的
符号，将（60a）写作
我们将由闵可夫斯基给出的方程形式来进行推广，就获得麦克斯韦
的第一方程组。我们引入一个与Fαβ有关的逆变6矢量
以及一个逆变矢量电流密度Jμ。于是，考虑到（40），下列方程对
于任何行列式为1的坐标变换（与我们选取的坐标一致）将是不变的
令
其中的量，与狭义相对论中的量H
相同，再取
x……Ez
则（63）成为
于是，（60）、（62）和（63）三式，在我们选择坐标的约定下，
构成了自由空间中麦克斯韦方程的推广。
电磁场的能量分量 我们构成一个内积
根据（61），此式的各分量写成三维形式为
k 是一个协变矢量，其分量依次为单位体积，单位时间内带电物
σ
质，传送给电磁场的动量和能量的负值。如果不存在带电物质，即单独
在电磁场的影响下，协变矢量 k 将等于零。
σ
为了得出电磁场的能量分量T ν，我们只需要以（
σ
57）的形式，给
出方程 kσ=0。首先由（63）和（65）有
根据（60），上式右边第二项可以变为
根据对称性，上式中最后一式又可以写成
此式又可写成
此式的第一项，可以写成较简单的形式
第二项在进行微分运算和整理之后成为
将全部三项合并在一起，我们有
其中
如果 k 等于零，则考虑到（
σ
30），方程（66）将等价于（57）或
（57a）。因此，T ν是电磁场的能量分量，借助于（
σ
61）和（64）两
式，很容易证明，这个电磁场的能量分量就是狭义相对论中的著名的麦
克斯韦—坡因廷（Poynting）表达式。
我们在一直使用
=1的坐标系情况之下，已经推导出引力场和物
质所满足的普遍规律，我们用这种使用特殊坐标系的方法，达到了对公
式和计算相当大的简化，没有堕入处处协变要求的束缚。
尽管如此，提出下列问题是有意义的：不用特殊的坐标系，能否从
引力场和物质的能量分量的普遍定义出发，去构成（56）形式的能量守
恒定律和（52）或（52a）形式的引力场方程，使得左边是（通常意义
下的）散度，而右边是物质和引力场的能量分量之和。我已经找到了，
上述两点确实都是有可能的。我认为就这个问题进行再扩大范围的思考
是不值得的，因为这些想法毕竟没有给我们任何实质性的新东西。
E
§21. 作为一级近似的牛顿理论
我们已经不止一次说过，狭义相对论是广义相对论的特殊情况，其
特征是 g 取（
μν
4）给出的常数值。我们也已说过，这样就意味着完全忽
略引力的效应。如果我们考虑到 g 与（
μν
4）给出的值的差值，与1相比
为小量的情形，而且忽略二阶或更高阶小量时，我们就达到了与实在较
接近的近似（第一种近似方式）。
还可以进一步假设，如果在我们考虑的时空领域中，在适当选择坐
标系的情况下，在空间趋向无限远时， g 趋向于（
μν
4）给出的值，这时
我们所考虑的引力场，可以认为是完全由有限区域内的物质所产生的。
也许会想到这些近似必然会导致牛顿理论。但是，为了得到牛顿理
论，我们还必须对基本方程采用第二种近似方式。我们来注意一个质点
按照方程（16）的运动。在狭义相对论的情况下，下列分量
可以取任意值，这就意味着小于真空光速（ ν＜1）的任意的速度
都可以发生。如果仅限于讨论那些几乎所有的经验提供给我们的情
形，即速度 ν远小于光速。这表明下列分量
应该作为小量来处理，而 dx 4/ ds在精确到二阶小量的情况下应等于
1（第二种近似方式）。
现在我们注意到，根据第一种近似方式，Γ τ中的各值至少是一阶
μν
小量，看一下（46）就知道：从第二种近似观点来看，我们只需要考虑
μ= ν=4的那些项。我们限于仅取最低阶的项，首先获得了代替（46）的
其中我们已经令 ds= dx 4= dt；或者根据第一种近似观点只保留那些一
阶项：
此外，如果我们假设引力场是拟静态的，即仅讨论产生物质运动
（与光速相比）是很慢的引力场，我们可以在右边，与对空间坐标微分
的项相比，忽略对时间微分的项。于是我们得到
（67）就是牛顿理论中，质点的运动方程，其中 g44起着引力势的
作用。在这一结果中，引人注目的是，在一阶近似下，基本张量的 g 44
分量独自决定了质点的运动。
现在我们讨论场方程（53）。这里我们必须考虑到，“物质”的能量
张量密度几乎全部由局限意义下的“物质”的密度，即由（58）[或者
（58a）或（58b）]的右边第二项决定。如果我们作这样的近似，除了
一个分量T44=ρ=T之外，其他所有的分量都等于零。在（53）的左边的
第二项是一个二阶小量，而第一项在我们的近似下为
对于μ= ν=4，忽略对时间微分的各项后，此式给出
于是，（53）的最后一个方程给出
（67）和（68）一起等价于牛顿引力定律
根据（67）和（68）两式，引力势的表达式成为
而对于我们所选定的时间单位，牛顿理论给出
式中K表示常数6.7×10-8，通常称为引力常数。两者比较，我们得到
§22. 静态引力场中的尺和钟行为，光线的弯曲，水星轨道的近日点运
动
为了获得作为一级近似的牛顿理论，我们在引力场的10个 g 中只
μν
计算了一个分量 g ，因为只有这一个分量进入了质点在引力场中的运
44
动方程的一阶近似（67）中。由此也可看出， g 的其他分量必然比
μν
（4）给出的值，差一个一阶小量。这是由条件 g=-1所要求的。
对于一个位于坐标原点的点质量所产生的场，在一级近似下，径向
对称解为
式中δ 当
ρσ
ρ=σ时为1，当ρ≠σ时为零， r是
。考虑到
（68a），令M表示产生引力场的质量，有
很容易验证，在一阶小量的情况下，满足质点M的场方程（在质点
之外）。
现在我们来考虑质点M所产生的场，对于空间的度规性质的影响。
在“局域”测量（§4）的长度和时间 ds与坐标差 dx 之间的关系式
ν
是永远成立的。
例如，与 x轴“平行的”一把单位直尺，我们应当令 ds 2=-1，
而 dx
2。如果再加上单位直尺在
2= dx 3= dx 4=0。因此-1= g 11 dx 1
x轴上，
（70）的第一个方程给出
在第一阶近似下由这两个关系得出：
因此，由于引力场的存在，如果单位直尺沿着半径方向放置，单位
直尺相对于该坐标系来说，显得稍微短了一些。
用类似方法可以得出在切向坐标的长度。例如令
所得结果是
因此，点质量的引力场，对于切向直尺的长度没有影响。
存在引力场时，即使在一阶近似的情况下，欧几里得几何学也是不
成立的，因为我们想用同一把直尺，在不同地点和不同方向上，实现同
样的间隔是做不到的。尽管如此，但从（70a）和（69）可以看出，对
地面上的测量来说，这种偏差是太小了，根本无法察觉。
现在我们来考察静止于一个静态引力场中的单位时钟速率，对于一
个时钟周期 ds=1； dx 1= dx 2= dx 3=0，因此得
或者
因此，时钟若放在有质量物体的附近，它走得要慢一些。由此可以
得出，由大的星体表面发出，并到达地球的光线的谱线，要向光谱的红
端移动[58]。
现在我们考查光线在静引力场中的过程。根据狭义相对论，光的速
度由下式给出
因此，在广义相对论中由下式给出
如果方向已知，即给定比 dx ：
：
，（
1
dx 2 dx 3
73）将给出
因而也就给出在欧几里得几何学意义下的速度γ：
我们很容易认可，如果 g 不是常数，光线将相对于坐标系发生弯
μν
曲。如果 n是垂直于光传播的方向，则惠更斯（Huyghens）原理指出，
在（γ， n）平面中看来，光线将具有曲率 γ/? n。
我们看一下光线在质量M旁边经过距离为Δ时的曲率。如果我们采
用附图所示的坐标系，光线的总的弯曲（若弯向原点作为正值）在充分
的近似下为
而（73）及（70）给出
从而，得到最后计算结果
根据此式，光线经过太阳邻近时的偏折为1.7”；经过木星邻近的偏
折约为0.02”。
如果我们以更高阶的近似去计算引力场，而以同样的精度去计算一
个相对无穷小质量的物质的轨道运动，我们将发现其运动与行星运动的
开普勒—牛顿定律的差异如下，即其轨道椭圆将在运动方向上有一个缓
慢的进动，它的每圈进动大小为
其中 a为长半轴， c为通常意义下的光速， e为偏心率， T为以秒为单
位的公转周期[59]。
计算给出了水星轨道每百年旋转43”，与勒维耶的天文观测完全一
致，而天文学家们已经发现了，在这颗行星的近日点运动中，在考虑了
其他行星的扰动后，有这样大小的一个不能解释的剩余部分。
哈密顿原理和广义相对论
阿尔伯特·爱因斯坦
洛伦兹（H.A.Lorentz）和希尔伯特（D.Hilbert）最近成功地将广义
相对论表述为一种极有理解力的形式[60]，他们从单一的变分原理导出
了广义相对论的基本方程。本文也将作同样的事情。我的目的是，在广
义相对性原理允许的范围内，将二者的基本联系表述得尽可能清晰和全
面。与希尔伯特不同的是，对物质结构我将使用尽可能少的假设。另一
方面也与我自己最近对这方面有关工作不同，本文对坐标系选择仍然是
完全自由的。
§1. 变分原理和引力及物质的场方程
引力场像通常那样用张量[61] g （或
μν
gμν）描写，物质（包括电磁
场）则用任意多个时空函数 q（ ρ）描写，我们略去了其不变性理论特
征。令 为下述各个量的函数[1]
变分原理为
倘若我们假定在变分时要求这些函数 gμν和 q（ ）互相之间是独立变
ρ
化的，而且在积分边界上δ q（ ），
均为零，（
ρ
δ gμν及?δ gμν/? xσ
1）将提
供函数 gμν和 q（ ）的数目同样多个微分方程，而这些函数正是理论所要
ρ
求确定的。
现在我们假设 是 g μν的线性函数[2]，而
μν的系数只依赖于
στ
gστ
gμν。
这时，变分原理（1）可用对我们更简便的形式取代。利用适当的分部
积分，可得：
式中 F是一个积分，其积分范围是我们所研究的整个区域的边界
上，而 则只依赖于 gμν， g μν，
），
，而与
μν无关。对我们
σ
q（ρ
q（ρ）α
gστ
感兴趣的变分，由（2）得
根据此式，我们可以将变分原理（1）式改为更简便的形式
分别对 gμν以及 q（ ）进行变分，得到引力和物质的场方程[62]
ρ
§2. 引力场单独存在的情况
一般而言，能量分量不能分成分离的两部分，使得一部分属于引力
场，另一部分属于物质。因此，我们必须作出关于 如何依赖于
gμν， g μν，
），
的特殊的假设。为了达到这一目的，我们假
στ
q（ρ
q（ρ）α
设
式中 只依赖于 gμν， g μν，
μν而 只依赖于
），
。
σ
gστ
gμν， q（ρ
q（ρ）α
于是方程（4）、（5）[3]成为
式中 与 的关系和 与 的关系相同。
必须指出，如果我们假设 或 依赖于 q（ ）的一阶以上的高阶导
ρ
数，则方程（8）或（5）将变成另一种形式。同样，如果我们认
为 q（ ）不是相互独立而是根据某些条件相互联系的话，方程（
ρ
8）和
（5）也将变成另一种形式。所有这些注释都与下面的讨论无关，因为
下面的讨论只根据（7），而（7）是对 gμν[4]变分而得出的。
§3. 基于不变量理论的引力场方程的性质
现在我们假设 ds 2是个不变量：
由此而确定了 g 的变换性质。我们并不预先对描述物质的
）作
μν
q（ρ
任何假设。但是认为在任意时空坐标变换之下，下述3个量H=
， G=
和M=
都是不变量。由这些假设可以得出，从（1）式推出
的方程（7）和（8）具有广义协变性。由此进一步得出， G等于（在一
个常数因子内）黎曼曲率张量的标量，因为再没有别的不变量具有 G所
需要的性质[63]。由此 以及方程（7）的左边也就完全确定了[64]。
由广义相对性的假设，可产生函数
的一些性质，我们现在就来推
导它们。为此目的，我们作一个无限小的坐标变换，令
其中Δ x 是任意符合条件的无限小的坐标的函数。 是世界点在新
ν
x'ν
坐标系中的坐标而在原坐标中的该点坐标为 x 。与坐标的变换一样，任
ν
意量Ψ也有下列形式的变换规律
其中的ΔΨ总能用Δ x 表示出来。由
ν
gμν的协变性质，我们可以很容易
地导出 gμν和 g μν的变换规律：
σ
Δ 可以利用（11）和（12）式算出[5]，因为
只依赖于 gμν和
g μν。这样一来我们可以得到下述方程
σ
在上式中我们使用了下列缩写：
由这两个方程我们可以得出对于下文很重要的两个结论。我们知道
对于任意变换
是不变量，而
不是。然而可以很容易地证明，后
者对于坐标的线性变换是一个不变量。因而当所有的?2Δ x
都为
σ/? xν? xα
零时，（13）的右边必然总是等于零。由此得出，
必然满足下列恒
等式
如果我们进一步选择Δ x ，使它们在所考虑的区域内不为零，而在
ν
无限接近边界处为零。则方程（2）中的直到边界上的积分之值不因坐
标变换而改变，因此我们有
因而[65]
但是，上式的左边必须为零，因为
和
都是不变量，从而此
式的右边也必为零。由（13），（14）和（15）[6]，我们进一步得到
进行两次分部积分并重新整理，并考虑到Δ x 是可以任意选择的，
σ
于是得到下述恒等式
现在我们将从两个恒等式（15）[7]和（17）得出结论，而这些式子
是由
的不变性得出的，即是由广义相对论的公设得出的。
引力场方程（7）首先与 gμν混合相乘加以变换，那么我们得到（交
换指标σ和 ν）一个与场方程（7）等价的方程
其中已令
对于 t ν后一表示可由（
微分之
σ
14）和（15）核实。（18）式对 x n
后，再对 ν求和，并考虑到（17），得
（21）表示能量和动量守恒。我们称 为物质的能量分量， t ν为引
σ
力场的能量分量。
由引力场方程（7）（在乘以 g μν后，对
σ
μ和 ν求和，并考虑到
（20）），可得
或者，考虑到（19）和（21），得
式中
表示
σ。这些是物质的能量分量必须满足的四个方程。
μν
gνσ μ
值得强调的是，（广义协变的）守恒定理（21）和（22）已经单独
从引力场方程（7）以及广义协变性（相对论）的公设导出过，而没有
使用物质过程的场方程（8）。
附注：
在方程（4）、（5）前的脚注①中，爱因斯坦引进了张量分析
中求和形式写法，现在一般称为爱因斯坦求和约定。
[1]具有两个下标和两个上标的“q”已更正为“g”；编者注(6)、(7)也
涉及这类错误的更正。
[2]“”已更正为“”。
[3]“（4a）”已更正为“（5）”。
[4]“”已更正为“”。
[5]“（13）”和“（14）”已更正为“（11）”和“（12）”。
[6]“（14），（15）和（16）”已更正为“（13），（14）和
（15）”。
[7]“（16）”更正为“（15）”。
[8]因子1/2前的“-”已更正为“+”。
[1]哈恩是德国化学家，因在1938年发现核裂变现象而获得诺贝尔化学奖。他采用意大利物理学
家费米的方法，用中子轰击天然重元素，研究得到放射性产物，从而证实核裂变现象。第二次
世界大战后，他担任普朗克学会会长，他还开展了反对进一步发展和研制核武器的运动。——
译者注
[2]哈伊姆·魏茨曼（Chaim Weizmann）是以色列第一任总统，世界犹太复国主义组织主席。生
于俄国一个贫穷工人家庭。第一次世界大战为英国军火工业做出了贡献。当时急需丙酮，他发
明从玉米中提炼这种溶剂的方法，成为闻名遐迩的化学家。这有助于促使英政府发表贝尔福宣
言，主张在巴勒斯坦建立犹太人国家。1948年以色列国正式成立。——译者注
[3]丘吉尔（1874—1965），英国保守党政治家、作家、首相，第二次世界大战期间领导英国人
民对德作战，著有《世界危机》《第二次世界大战》《英语民族史》等，获1952年诺贝尔文学
奖。——译者注
[4]泰迪是Theodore
Edward的昵称，是指维多利亚女王之子，大不列颠和爱尔兰国王（1901—
1910），讲究穿着，性喜交际。在现代英语中，引申出泰迪熊、泰迪女孩和泰迪市长等新词
组。这里是指20世纪90年代耶路撒冷的市长狄奥多·科莱克。——译者注
[5]维恩（1864—1928）是德国物理学家，因发现黑体辐射位移律，获1911年诺贝尔物理学奖。
维恩定律的精确度对较长波长会降低，经普朗克进一步研究，得到了辐射的量子论。维恩1899
年任吉森大学教授，1920年任慕尼黑大学教授。他对阴极射线、X射线和极隧射线的研究也做
出了贡献。著有《流体力学》《极隧射线》等。——译者注
[6]门德尔松（Erich Mendelsohn）是一位建筑师，以设计德国表现主义的代表作爱因斯坦塔而著
称。爱因斯坦塔是用砖和混凝土建造的，建筑造型奇特，类似雕塑。——译者注
[7]“三城记”套用了19世纪英国作家狄更斯（Charles
Dickens）的著名小说《双城记》。1859年
完成的《双城记》，以法国大革命为背景，揭露了封建贵族的残暴，是英国现实主义文学的代
表作之一。在爱因斯坦创建广义相对论的年代，布拉格、苏黎世和柏林分别是奥匈帝国、瑞士
联邦和德意志帝国的重要城市。1914年7月，第一次世界大战爆发，欧洲多国全面参战，倾尽国
力，实行定量配给，民不聊生。1918年11月11日，德国和奥匈帝国在停战协议上签字，和平局
势得到确定。奥匈帝国解体，捷克斯洛伐克成了独立国家，布拉格为其首都。——译者注
[8]尽管人们在两年后发现纲领是不尽如人意的，特别是纲领中的引力场方程不是广义协变的，
这样就不会满足微分同胚不变性的基本要求。但是，纲领具有了广义相对论最终形式的基本特
征：（i）引力场由度规张量表示；（ii）理论的数学工具是黎曼几何；（iii）引力对其他物理
过程影响的描述是广义协变的。——译者注
[9]法国数学家嘉当（1869—1951），在李群、微分几何和子代数理论方面均做出了杰出贡献。
1913年，他发现了旋量，后经由物理学家狄拉克的扩充，作为描述相对论性电子的工具。他的
名著《黎曼几何学》有中译本（科学出版社，1964年），该书用现代方式引进黎曼流形的概
念，引入外微分方法，从整体几何的角度，考察了黎曼空间的局部欧氏性质。该书中的正交标
架法，在现代广义相对论中，有广泛应用。——译者注
[10]当年《普鲁士皇家科学院学报》没有审稿制度，《关于广义相对论》1915年11月4日收到，
11月11日发表；补遗1915年11月11日收到，11月18日发表；《以广义相对论解释水星近日点进
动》1915年11月18日收到，11月25日发表；《引力场方程》11月25日收到，12月2日发表。——
译者注
[11]不论在当年，还是今天，谁胜谁负，无人知晓。世人无法知道，在11月18日以后的一周
内，爱因斯坦是否认真研读了希尔伯特的论文。不过，许多天才的物理想法，确实来自物理学
家爱因斯坦，而不是数学家希尔伯特。——译者注
[12]本书是用分量数学语言展开黎曼几何的，这是因袭爱因斯坦的做法。现代黎曼几何是用微
分形式语言展开的，这将使方程变得更简洁，并使广义相对论学家导出一些形式更为优美的恒
