洞论据解释在这本书的第二章（p.25）.也可参见Michel.6
等式。在微分形式的语言中，切矢量是由测试函数定义的微分算子，1—形式是切矢量的对偶，
它们都有明确的几何意义。——译者注
[13]严格地说，这句话应当是：在平坦时空，用洛伦兹群SO（3，1）的张量来描述物理方程。
事实上，基于狄拉克（P.A.M.Dirac）的伟大工作，人们在1928年后进一步认识到旋量也能描述
物理方程。从现代数学观点来看，张量是旋量的一种特殊情形。在弯曲时空，张量应在一般坐
标变换下具有协变性，也就是说，广义相对论及修正引力理论，都应具备一种微分同胚不变
性。这时的旋量，可以用标架来描述。——译者注
[14]这里所谓的自然体积元，即现代微分几何中的不变体积元，或称流形上的不变测度，它在
坐标变换下是不变的，从而可以定义积分。在坐标变换下，坐标微分和度规行列式都不一定是
不变的，但两者的适当组合却是不变的，由此定义了不变体积元，它将平坦空间的体积元概念
推广到了弯曲空间。——译者注
[15]所谓的幺模变换是指
的变换，这时不变体积元就约化成与平直空间的体积元一样的表
达式。——译者注
[16]从现代的观点来看，与广义相对论方程有关的变换群是特殊复二维线性群SL（2，C），它
与固有正时序洛伦兹群同态。SU（2）群、SU（1，1）群、SL（2，R）群以及幺模变换群
U（1）都是SL（2，C）群的子群。更准确地说，方程在微分同胚变换下是协变的。——译者注
[17]为了使读者明了黎曼空间的概念，我们先列出下式：黎曼几何微分拓扑点集拓扑，其中记
号“”表示包含关系。点集拓扑研究的是一般拓扑空间，微分拓扑研究解析流形，而黎曼几何研
究的是带有黎曼度规的解析流形。数学家所说的微分几何处理的是解析流形，并带有某种附加
结构。这里所谓的附加结构可以是一个黎曼度规，也可以是一个联络，或是一个张量场。——
译者注
[18]用现代广义相对论语言来说，偏导数与克利斯朵夫记号在微分同胚下都不是协变的，但它
们可以组合成协变的微分算子。——译者注
[19]数学家和物理学家在使用术语“黎曼几何”时，常常会有所不同。在广义相对论中，事实上采
用的是挠率为零的黎曼几何，那么仿射联络与克利斯朵夫记号相同，或者说它可以从度规导
出。物理学家将带挠的黎曼空间称作嘉当空间。近几年来，有挠的引力理论研究方兴未艾，仍
有大量研究者在从事对它的探索。——译者注
[20]原文如此（pure
number）。事实上，应为“是一个标量”。曲率是具有量纲的量，不是纯
数。——译者注
[21]黎曼几何诞生于1854年，黎曼的开拓性演讲在他去世后两年才出版。在1870年左右许多新
工作发展了这种新几何。数学家早已用Γ k或 ， 标记克利斯朵夫记号，并不是物理学家特有
ij
Γk ij
的记号。——译者注
[22]爱因斯坦在该信中，还写道：“倘若其后仍有什么不明白之处，那这种不足之处也是很容易
弥补的。”该信较长，信中演算了下述四个部分：1）拉格朗日形式的方程式；2）守恒定律；
3）引力方程的混合形式；4） A 为零之求证。在信中，爱因斯坦还写道：
μ
“注：我始终略去求和
号。如果指标两次出现，则总是要进行求和。”这是爱因斯坦首次使用“求和约定”。信中的克利
斯朵夫记号是用Γ标记，而不是用括号标记的。——译者注
[23]原文如此。使用当前流行的术语，应是：这种方法用拉格朗日量或哈密顿量描述粒子的运
动，这里采用的是拉格朗日量。两者之间相差一个勒让德变换。——译者注
[24]爱因斯坦所指的最近表达的错误，是指1915年11月发表的论文中的前三篇中的坐标约束-
g=1。坐标约束显然与相对性原理相悖，而在第四篇论文中，爱因斯坦解放了自己，也解放了全
体引力学家。——译者注
[25]利用诺特定理，从时间平移不变性可导出能量守恒定律；从空间平移不变性可导出动量守
恒定律；从空间的各向同性可导出角动量守恒定律。诸如电荷守恒、色荷守恒等，可以从粒子
物理的规范不变性导出。——译者注
[26]作者很随意地将2秩协变张量称为矩阵，可能是出于照顾不了解微分几何的读者，但是这样
容易产生误导。读者会因此将广义协变性的概念丧失殆尽。在广义相对论的最终版本中，不存
在幺模条件 g=-1，球对称引力场由施瓦兹希尔德解表示，该解确实满足 g
-1，并在低速和
44=- g 11
弱场近似下，回到牛顿经典理论。——译者注
[27]这是爱因斯坦寄给贝索的一张明信片，邮戳上盖的是“柏林，1915年12月21日下午1—2时”。
爱因斯坦说的极奇怪（strangest）之事，并不真正的奇怪。在广义相对论对r的一级近似下，当
然不会回到牛顿经典物理，只有考虑到弱场与低速的情形，爱因斯坦引力场方程才会回到泊松
方程，而测地运动方程回到牛顿运动方程。——译者注
[28]爱因斯坦在1915年12月29日的回信中，还写道：“我对这个理论感到特别满意。从这个理论
得到牛顿近似已经不是那么轻而易举了，更妙的是，这个理论还证明了近日点运动和谱线移
动……现在最重要的就是光线弯曲的问题了。”——译者注
[29]这里所指的“预测的偏折角”是指纲领理论预言的偏折角，它是广义相对论预言值的一半。广
义相对论计算的偏折角Δθ=1.75弧秒，而牛顿理论计算的偏折角是广义相对论预言值的一半，牛
顿理论的预言值与纲领理论一致。1919年5月发生日食时，两个观测队分别测得的结果是
Δθ=1.98±0.12弧秒和Δθ=1.61±0.30弧秒。这与广义相对论的结果相符。这是一个戏剧性的时刻，
从此爱因斯坦成了世界级的名人。——译者注
[30]在广义相对论发表百年之后，不少物理学家回到了笛卡儿哲学沉思的范式上，振聋发聩地
发问：爱因斯坦的广义相对论在理论与观测两方面都是不二的理论吗？事实上，爱因斯坦采用
了等效原理和广义协变性两个假设，得出了广义相对论，但它们不能唯一确定广义相对论。从
这个角度来看，爱因斯坦的顿悟式飞跃，在逻辑上存在着罅隙。从现代观点来看，通过斯图克
尔伯格（E.C.G.Stückelberg）技巧，总能使任何理论在广义坐标微分同胚群下是不变的。由此得
到结论，广义相对论的根本原理不是广义协变性，也不是等效原理！广义相对论是螺旋度为2的
无质量粒子的非平庸相互作用理论。其他的性质是这个论述的推论，而不能将因果颠倒。沿着
这样的思路，当代物理学家正在探索包括有质量引力理论在内的各种引力新理论。——译者注
[31]英文版的页码有误，已改正。——译者注
[32]GPS是由大约30颗卫星组成的系统，至少要接收来自其中4颗卫星的信号才能正确地算出时
间和位置。根据狭义相对论，卫星上的时钟会比地球上的时钟每天慢7微秒。此外，根据广义相
对论的引力红移，引力越强时间过得越慢。通过计算，卫星上的时钟每天走快46微秒。两者的
总效应是卫星的时钟每天快了Δ t=39微秒。眨一次眼睛大约是10万微秒，初看起来39微秒十分短
暂，但是光速 c很快，所以每天误差Δ S= cΔ t。这个计算表明，地图的误差是每天11.7千米。更重
要的是，这个误差随时间的增加而增加。所以，广义相对论与人们出行、航行和驾驶飞机密切
相关。——译者注
[33]空间角的单位为1°=60'=3600' 。勒维耶用牛顿定律计算其他行星对水星近日点进动的影响
时，发现理论计算和天文观测值之间有百分之一的偏差。为此，许多科学家曾假设这个偏差是
由太阳周围的尘埃，或者是由于太阳不是精确的球形而引起的，不过观测否定了这些假设。广
义相对论断言这个偏差是由牛顿定律的不精确所引起的，并计算出这个偏差值是每世纪43弧
秒，与勒维耶发现的值相等。——译者注
[34]在正式出版的《哈密顿原理和广义相对论》一文中，手稿的（78）和（79）两式为（7）和
（8）两式。令（79）式为零，确实就是（8）式。——译者注
[35]希尔伯特曾说过这样一句话：“在哥廷根，就连路边的小孩都比爱因斯坦更懂几何学。”爱因
斯坦是通过格罗斯曼才懂得了黎曼几何的初步知识，而年长爱因斯坦17岁的希尔伯特精通几何
学。不论在当年，还是今后，关于谁先发现引力场方程的争论会一直存在下去。不过，这两位
超凡的科学巨匠，将永远受到人类的尊敬。——译者注
[36]在本书出版不久后的2015年9月，科学家首次直接观测到了引力波。2016年2月发表了这项
探测结果。翌年，诺贝尔物理学奖授予了该项发现。——译者注
[37]广义相对论允许存在排斥性的引力，它使宇宙加速膨胀。在牛顿力学中，一个物体的引力
强度只与其质量有关，引力总是吸引的。在广义相对论中，引力源也与压强 p有关。一些非常有
弹性的物质（即负压强 p＜- ρ/3）可以产生排斥性的引力，而不是吸引性的引力。宇宙学常数的
p=- ρ，其中 ρ是质量密度。1998年，两个独立的研究组利用对遥远超新星的测量发现，宇宙正在
加速膨胀。这一观测结果，可以用具有宇宙学常数的广义相对论解释。——译者注
[38]在本书出版不久之后的2015年9月14日上午9时50分45秒，科学家终于观测到了引力波信
号。该信号的频率是35—350赫兹，它与广义相对论预言的双恒星质量黑洞的旋转系统并合的波
形一致，这是首次直接观测到引力波，也是第一次观测到双黑洞并合。信号源位于红移z=0.09
处，距离约为13亿光年。——译者注
[39]彼尔姆系俄罗斯中西部城市，1940—1957年间曾称莫洛托夫，位于乌拉尔山地的西侧，全
境覆盖着茂密的森林，现为交通枢纽、工业中心与商业中心。——译者注
[40]威尔逊山天文台位于加利福尼亚州，归华盛顿卡内基学会和帕萨迪那的加州理工学院共同
管理。威尔逊山是美国圣加列夫山脉的一处山峰，海拔1740米。——译者注
[41]第二次世界大战后，据波茨坦协定，哥尼斯堡划归苏联，称加里宁格勒。哈雷是德国中东
部城市，位于萨勒河东岸，早在旧石器时代就有人居住，新石器时代的文物有公元前4000年的
彩陶，公元968年建市。——译者注
[42]卢万是比利时布拉班特省的城市，卢万公教大学（Catholic University of Louvain）以天主教
研究中心而享有盛名，用法语和荷兰语授课。——译者注
[43]帕多瓦是意大利东北部城市，位于威尼斯西面，巴奇格莱恩河畔。帕多瓦大学建于1222
年，它的天文台建于1761年。帕维亚是意大利北部城市，位于米兰南部，蒂基诺河与波河汇流
处。帕维亚大学建于1361年，有意大利的牛津大学之称，尤以法律、理工、医学研究著称。
——译者注
[44]格赖夫斯瓦尔德是德国东北部城市，靠近吕克河口。格赖夫斯瓦尔德大学建于1456年。弗
赖堡是德国巴登—符腾堡州西南城市，南邻瑞士，西接法国。弗赖堡阿尔贝特—卢德维希大学
（Albert Ludwig University of Freiburg）创建于1457年，现设有神学、法律、医学、经济、哲
学、自然科学、生物学和林学等学科。——译者注
[45]当然，如果一个答案在认识论上是满意的，可是与其他的实验事实相矛盾，这个答案在物
理上还是靠不住的。
[46]厄阜以极大的精确度用事实证明了引力场具有这样的性质。[贝塞尔（Friedrich
Wilhelm
Bessel）在19世纪早期就从单摆周期与它的质量和摆锤的结构无关，在105分之一的精度内证明
了惯性质量与引力质量等效。1890年的匈牙利物理学家厄阜实验，将精度提高到109分之一；
1999年贝斯勒（S.Baessler）等人又将精度提高到1013分之一；更高的精度，期待太空实验获
得。——译者注]
[47]我们假设可以确认在空间中瞬时接近的两个事件，或者更精确一点说，在时空中接近或重
合的两个事件的“同时性”，而不对这个基本概念下定义。
[48]时间的单位应按下述方式选择，即在这个“局域”坐标系中测量到的真空中的光速为1.
[49]将一个有任意分量A ，
，
，
的矢量与一个分量为
11
A12 A13 A14
1，0，0，0的矢量作外积，即
可得出一个分量为
的张量。将类似形式的4个张量加起来，就可以得到具有任意给定分量的
张量Aμν
[50]学家已经证明，这也是充分条件
[51]从§12可知，B
ρ
μστ =0成立，仅仅是二阶（与一阶）导数之间的关系。
[52]准确地说，仅能确认的张量是
其中λ是常数。然而，倘若设该张量为零，我们再次
回到等式Gμν=0。
[53]引入因子?2k的理由见后。
[54] g
α
和
α
ατTσ =Tστ
gσβTσ =Tαβ都是对称张量。
[55]关于这个问题，参见H.Hilbert，《G?ttingen经典学会经典数学物理信息》，1915，p.3。
[56]在无穷小区域中，人们可取狭义相对论意义下的参考系，对于共动观测者而言，能量密度
T 4等于
4
ρ- p。这给出了 ρ的定义。于是，在不可压缩流体中， ρ并不是常数。
[57]在坐标选择放弃 g=-1条件时，还余下4个自由选择的空间函数，对应于我们处理坐标选择时
的4个任意函数。
[58]根据E.Freundlich所说，对某些类型恒星的光谱测量，表明存在这一类效应，但尚未对这结
论作出决定性的核实。
[59]有关计算我参考了原始论文，A.Einstein，《普鲁士皇家科学院学报》，1915，P.831；
K.Schwarzschild，同上，1916，P.189。
[60]H.A.Lorentz的4篇论文发表在《阿姆斯特丹皇家科学院学报》1915卷和1916卷；D.Hilbert的
论文发表在《哥廷根通讯》，1915，Heft.3。
[61]到目前为止，尚未用到 g 的张量性质。
μν
[62]作为一种简写，公式中的求和号均已省去，在一项中一个指标重复出现两次的，就应对此
指标求和，例如在（4）式中的 */? g μν即表示
（
μν）。
α
Σα?/? xα ? /? gα
[63]这也就是为什么广义相对论的要求，导致一个截然不同的引力理论的原因。
[64]进行分部积分可得
[65]引入
roan和
来代替
。
