自己的几篇文献中讨论了。
布拉格
1909年，苏黎世大学任命爱因斯坦为特聘教授，这是他首次拥有一
个有声望的学术职位。不到半年之后，位于布拉格的查尔斯大学德意志
部出现了一个理论物理正教授的空缺，爱因斯坦被提名候选这个更为受
人尊重的职位。爱因斯坦的候选资格，得到了实验物理学教授兰姆帕
（Anton Lampa）的强烈支持，以及马赫（Ernst Mach）热情洋溢的附
议。马赫希望爱因斯坦能进一步发扬马赫观念。[3]
尽管爱因斯坦的妻子米列娃（Mileva）认为他留在苏黎世更适宜，
尽管学生们请求校方应该用各种努力请他留在苏黎世，在稍作耽搁后，
爱因斯坦于1911年4月接受了提议，去了布拉格。
在布拉格，爱因斯坦写下了11篇学术论文，其中6篇是以相对论为
专题的。这些论文中的第一篇发表于1911年，在文中他讨论了光线弯曲
和引力红移，这是他在1907年发现的[4]，但在这里是作为一个观测效应
来考虑的。在布拉格论文中，他着重发展了基于等效原理的自洽的静态
引力场。正如引力的牛顿理论那样，理论含有一个用单个标量函数表示
的引力势，现在可由变光速给出。在那时候，广义相对论最终理论的概
貌已被勾画出来。其中，对引力势的源的理解，不仅可以是具体物体的
质量，也可以是引力场自身能量的等效质量。然而，直到这个时期的结
尾，爱因斯坦仍然假定引力势由单一函数表示—依赖于空间的光速，并
且他所发展的理论仍然限制在静态引力场。
“在布拉格，我找到了发展广义相对论基本思想的必要浓缩。”
有趣的是，爱因斯坦在布拉格的引力工作，在很大程度上是在与物
理学家亚伯拉罕（Max Abraham）争论的背景下完成的。亚伯拉罕以对
电动力学和电子论的贡献而著称。1912年5月，亚伯拉罕首次在四维闵
可夫斯基时空框架下，建立了一个完整的引力场理论[5]。爱因斯坦对这
个理论先扬后抑。他在给朋友贝索（Michele Besso）的信中写道：“起
初14天，我也为他的形式美和简单性所折腰[6]。”然而，在随后的争论
中，亚伯拉罕和爱因斯坦都发展出了重要的见解。
在小开本畅销书《狭义相对论和广义相对论》（普及本）捷克语
1923年译本的前言中，爱因斯坦讲述了他在布拉格的工作[7]：
我很高兴看到这本小册子……现在以贵国的语言出版了。我在
1908年就已经设想了广义相对论的基本思想[他指的应该是1907
年]，而正是在布拉格，我找到了发展这个基本思想的关键所在。
在万尼克那大街的布拉格德意志大学理论物理所静谧的房间里，我
发现了等效原理蕴含着太阳旁边经过的光线会发生可观测到的偏
折……在布拉格，我还发现光谱线红移……然而，我是在1912年回
到苏黎世以后，才意识到理论的数学形式和高斯曲面理论之间的相
似性这个决定性的思想，那时我还不知道黎曼（Bernhard
Riemann），里奇（Gregorio
Ricci-Curbastro）和勒维-西维他
（Tullio Levi-Civita）的工作。通过我的朋友格罗斯曼（Marcel
Grossman），我才注意到这些工作。
苏黎世
1911年，格罗斯曼受聘为瑞士联邦理工学院（ETH）数学物理系的
系主任。他一上任，就立即写信给爱因斯坦，询问他是否有兴趣回到苏
黎世并加入ETH。稍早于此，爱因斯坦已经收到了来自乌德勒支的邀
请，还得到了去莱顿的机会，这都是很诱人的，可以接近洛伦兹
（Hendrik Antoon Lorentz）这样的同行。爱因斯坦接受了ETH，而谢绝
了乌德勒支和莱顿。不管爱因斯坦优先选择苏黎世的理由是什么，在那
时这都是正确的决定。1912年8月爱因斯坦回到苏黎世，不久以后，他
开始与格罗斯曼进行一个深入细致且成果丰硕的合作，这是广义相对论
发展的一个里程碑。
在苏黎世期间，爱因斯坦创作了3篇文献，这些文献在寻找广义相
对论中起到了重要作用。它们是苏黎世笔记、爱因斯坦—格罗斯曼纲领
（Entwurf）[8]和爱因斯坦—贝索手稿。我们将在爱因斯坦广义相对论的
道路图有关章节中，讨论这些文献的内容和意义，现在只是作一些简要
的描述。
“在这里（苏黎世），在数学家朋友（格罗斯曼）的帮助下，我将克服所有困难。”
苏黎世笔记是爱因斯坦对引力相对性理论研究的中间状态的笔记，
那时他在格罗斯曼的帮助下探究张量计算与黎曼几何的概念与方法。笔
记共有96页，并不都是专用于探究相对论。不过，爱因斯坦仍给笔记取
了“相对论（Relativit?t）”这样一个题目。笔记写于1912年中期到1913年
初。爱因斯坦从封面和封底分别开始写这本笔记，两个方向书写的内容
在本子的四分之一处倒着汇合。该笔记在科学史上是一个非常重要的文
献，对我们理解广义相对论的起源是至关重要的。[7]
苏黎世笔记本质上已勾画了广义协变理论的蓝图，但是由于一个我
们马上就要讲到的尚不成熟的物理理解，爱因斯坦放弃了它。作为替
代，他和格罗斯曼发表了题为《相对论广义理论和引力理论纲领》一
文，此后一直被称为纲领理论，因为题目中有Entwurf这个德语词，意
思是提纲或纲领。[9]虽然这个理论不满足爱因斯坦最初的广义协变性要
求，他说服自己认为这是最佳做法了，任凭理论有这样或那样的缺点，
直到1915年夏天，他仍然对纲领表示满意。
所谓的爱因斯坦—贝索手稿是一本计算集子，大约有50页，其中近
半为爱因斯坦书写的，另一半为贝索所写。这本集子含有两个计算：其
一，基于纲领理论场方程的水星近日点进动的计算；其二，在转动坐标
系中的度规张量的计算。[10]
瑞士内政部批准了ETH授予爱因斯坦正教授职位的请求，然而，职
位仅延续3个学期。为此，爱因斯坦无法拒绝来自柏林的下一个邀请，
这是他迫切需要的。
柏林
1913年，普朗克（Max
Planck）当选为普鲁士皇家科学院的理事
长。当选后不久，普朗克便发起一项选举爱因斯坦到科学院的活动。
1913年7月，普朗克和能斯脱（Walther Nernst）一起来到苏黎世，向爱
因斯坦提出了一个诱人的三重条件：推荐到科学院并给予丰厚的基金资
助；担任威廉（Kaiser Wilhelm）物理研究所所长，且不用履行实际行
政工作；担任柏林大学的教授而没有任何教学任务。
“你要知道，她（埃尔莎·路温萨尔）是我来柏林的主要理由。”
爱因斯坦接受了这个邀请，他还给不同的人以不同的理由来证明他
的决定是值得的。在给洛伦兹的信中他写道：“我无法抵御这样一个职
位的诱惑，它免去了我所有的职责义务，使我能让自己完全沉浸在深入
思考之中。”[11]但是，在他写给好朋友赞格尔（Heinrich Zangger）的信
中，他却承认接受邀请的主要原因是为了能更接近他的表姐埃尔莎，在
那段时间里，爱因斯坦狂热地追求她，她后来成为他的第二任妻子。爱
因斯坦在信中写道：“尽管在柏林，我却要忍受孤独。不过在这里，有
让我的生活更温暖的事，那就是，有一个女人让我很依恋。……你要知
道，她是我来柏林的主要理由。” [12]
1913年11月，皇帝威廉二世陛下确认了爱因斯坦当选为科学院物理
—数学学部的正式成员。于是，年仅34岁的爱因斯坦成了有史以来最年
轻的科学院成员。
爱因斯坦到达柏林不久，第一次世界大战爆发了。面对战争的现
实，他最终离开了科学象牙塔，成为德国参战的政治对手。在柏林，爱
因斯坦目睹了反犹太主义的现象，并且比以往任何时候都更意识到他的
犹太身份。[13]在柏林，他与米列娃的关系恶化到分手的程度—米列娃
和孩子们回到了苏黎世。在遭受所有这一切的时候，爱因斯坦狂热地投
入到他的科学工作中去，用他自己的话说，前所未有的努力。
爱因斯坦继续在他和格罗斯曼的引力纲领理论上努力，并且提出新
的论断来支持它的有效性。他对纲领理论非常满意，在1914年10月已做
好准备，写了一篇综述文章来总结这个理论，题为《相对论广义理论的
形式基础》[14]，发表在普鲁士皇家科学院的会议报告上。过了不到一
年的时间，他就后悔了。
爱因斯坦对纲领理论的怀疑始于1915年夏天。他最终放弃了这个理
论，创造力的大爆发加上艰苦工作，使他于当年11月完成了他的广义相
对论。
柏林是当时物理学的世界中心，普朗克、能斯脱以及其他许多学者
聚集在这里，爱因斯坦也加入了进来。甚至在战争年代的艰难困苦中，
柏林在物理学界仍保持着令人鼓舞的学术氛围和日常工作。霍尔顿
（Gerald Holton），一位在历史和哲学背景下进行爱因斯坦学术研究的
先驱，提出了这个问题[15]，“1915年到1917年后期，这些事实对爱因斯
坦在柏林发展广义相对论的独特能力起到了多少作用？倘若他接受了来
自另一个国家某个城市的重要职位，他还能创立广义相对论吗？”霍尔
顿的回答很清楚：“除爱因斯坦之外，没有人能创造出广义相对论，也
不会是在柏林之外的其他任何城市。”尽管并非没有从苏黎世的朋友们
那里得到帮助！
尽管列车在飞驰，咖啡并不会洒出杯子。这就是经典相对性原理。
向引力挑战
1905年的相对论已建立了对时间和空间的新理解，并且从此以后所
有的物理相互作用必须纳入这个框架。此外，这个理论已将能量守恒定
律和动量守恒定律结合成单一的定律，并将质量表示成能量的一种形
式。狭义相对论的结果可以用闵可夫斯基（Herman Minkowski）发展起
来的一种新的数学形式方便地描述，闵可夫斯基是爱因斯坦在苏黎世
ETH时的老师。这个形式[16]将时间和空间组成单一的客体—时空，并且
对不同位置和时间发生的两个物理事件赋予一个几何距离。人们通常将
时空中的点称为事件，因为它们是由发生的位置与时间刻画的。这个距
离的平方就是两个事件之间时间间隔的平方减去空间间隔的平方。对于
两位相互以常速度运动的观测者来说，可以利用他们各自的位置与时间
的测量结果分别去计算这个值，他们将得到相同的结果。换句话说，闵
可夫斯基四维时空装备了“度规”指令，用来测量事件之间的距离。这可
以与三维空间两点之间的距离测量相比较，后者装备了熟知的度规指
令：笛卡儿坐标间隔的平方和。
将电磁学领域纳入狭义相对论新的时空框架并不困难，实际上，狭
义相对论是受到了麦克斯韦电动力学的启发。但是，用这个框架来表述
两个质量之间的引力时出现了困难。由于引力的牛顿定律假设在距离上
是瞬时作用，这一经典形式的定律与狭义相对论截然不相容。狭义相对
论的推论之一是，没有任何物理效应能以超过真空中的光速传播。于
是，人们目前需要一个新的引力理论，但是尚不清楚这种理论应该是怎
样的，可以做出什么样的启发性假设，甚至连应该满足什么样的具体标
准都不清楚。
但是，存在一种显而易见的方法，可以使经典的引力理论与狭义相
对论的原理在形式上相容，爱因斯坦最初就遵循了这条思路。然而，这
个推广出现的问题是，所得到的引力理论似乎违反了关于所有物体都以
等加速度下落的伽利略原理。这是经典物理学的基本原理之一，由伽利
略从比萨斜塔顶部扔下不同质量的物体，从而神话般地建立了起来。
它们都在同一时间坠落！
伽利略原理规定，所有物体的自由落体加速度都是相同的。牛顿通
过设定惯性质量等于引力质量来解释这一原理。惯性质量决定了给定力
引起的物体的加速度，而引力质量决定了给定引力场施加在物体上的
力。狭义相对论中惯性质量对能量的依赖性必定意味着，在相对论性引
力理论中，物理系统的引力质量也应该以精确已知的方式依赖于能量，
以便维持伽利略原理。爱因斯坦由此得出结论说，如果理论没有以自然
的方式实现这一点，就应当将它舍弃。而同时代的科学家，如亚伯拉罕
和米（Gustav
Mie），为了获得狭义相对论意义上的相对论性引力理
论，倾向于放弃伽利略原理。
爱因斯坦对相对论的推广始于马赫对经典力学的哲学批判。[17]年
轻的爱因斯坦十分钦佩马赫的工作。马赫声称，运动的概念，甚至惯性
质量的概念，绝不能像牛顿所宣称的那样，应用于绝对空间中的单个物
体。马赫建议所有的经典力学都应该根据物体的相对运动来重写，而且
惯性质量和惯性系的概念也应该以这种方式重新定义。特别是引起旋转
水桶中水位弯曲的离心力，不应当解释为牛顿在他著名的水桶实验中所
主张的对于绝对空间的加速运动的影响，而应解释为宇宙中存在其他物
体的影响。爱因斯坦指出，伽利略原理一定以某种方式与马赫独特的力
学观点有关，马赫的力学观点拒绝了惯性参照系的特权地位，也拒绝了
相对于绝对空间的加速度概念。在这种背景下，爱因斯坦意识到，如何
维持伽利略原理的问题必须在推广相对论原理的框架内得到回答。简而
言之，在经典力学与狭义相对论的冲突中，爱因斯坦于1907年决定保持
引力质量与惯性质量的等效原理，转而情愿接受引力理论应超越狭义相
对论范畴的观点。[18]
考虑在狭义相对论的框架内发展新的万有引力理论这个显而易见的
观念，他总结道：“结果是，在所描绘的项目框架内，这种简单的事态
不能以令人满意的方式表示。这让我确信，在狭义相对论的结构中，没
有令人满意的引力理论的合适位置。” [19]
事后，我们认识到爱因斯坦是对的。时空结构有两种不同的类型：
一种是与伽利略和牛顿的经典力学相联系，另一种则是与狭义相对论相
联系，它决定了测量尺和钟的行为，从而决定了“时间几何”。正如施塔
赫尔所强调的，任何体现惯性和引力质量等效的引力理论，都必须从支
配自由粒子行为的惯性—引力场出发。甚至在牛顿力学水平上，引力也
不能描述为作用在物体上的外力，而是对迄今为止固定的时空惯性结构
的修正。因此，创建广义相对论的挑战就是建立这两种结构之间的相容
性。[20]
爱因斯坦的探索法：等效原理
如果新的引力理论要包含伽利略原理，它必须是相对论的推广理
论，因为它必须给予加速运动与惯性运动相同的地位，将引力和惯性力
同等考虑。实际上，爱因斯坦最终用广义相对论所达到的，与其说是对
运动相对论的进一步推广，不如说是引力的“相对论”，引力与惯性结合
起来构成一个统一的惯性—引力场。[21]1905年的相对论授予匀速运动
某种特权，就像对待匀速运动的列车那样。由此，在相互作匀速运动的
参考系中，物理定律必须取相同的形式。伽利略原理表明，即使对相互
作加速运动的参考系，物理定律也应取相同的形式，因为在这类参考系
中，物体以同样的方式运动，即它们同时下落。但是，为了比较加速参
考系和静止参考系并声称它们以某种方式等价，必须引入额外的假设。
在加速参考系中空旷空间的某处，比如远离地球的宇宙飞船，物体落到
地面上是由于加速度。在地球上的静止坐标系中，物体落到地面是由于
地球引力。如果这两种情况下的行为相同，那么由于火箭加速运动而引
起的表观力，也就是惯性力，必须与引力等效。这就是爱因斯坦著名的
等效原理，它是构造广义相对论最重要的启发性线索之一。在追溯往事
时，他称这个理念是他“一生中最得意的想法”。[22]等效原理指出，引力
场的存在只是相对的，因为对一个从屋顶自由下落的观测者，至少在他
或她的近邻，暂时不存在引力场。特别地，在均匀引力场中的所有物理
过程，都等效于在没有引力场的匀加速参考系中发生的那些物理过程。
这个概念可以通过加速的宇宙飞船或者通过下落升降机的思想实验来说
明。
将惯性力包含进构建引力新理论的尝试，有着深远的含义。惯性力
是作用在加速参考系中的质量上的虚拟力，就像在旋转木马上体验到的
离心力一样。爱因斯坦用不同类型的惯性力作为新理论的测试案例，例
如，加速宇宙飞船中的惯性力。他还考虑了在旋转参照系中起作用的惯
性力，例如形成旋转桶中液体表面的力，牛顿曾用它来证明绝对运动的
观念。这些“虚拟”力实际上是真实力，不过在经典物理中，它们的起源
却十分费解，因为它们被归因于绝对空间的神秘性质。倘若将这种惯性
力与众所周知的牛顿力同等考虑，那么爱因斯坦就能得出定性的结论，
也能导出他的新理论的数学结构的要求。
“虚拟力”使爱因斯坦的帽子不翼而飞了。
爱因斯坦的思想实验提供了一个重要的观念，这是一个关于光在引
力场中的弯曲和时间本性的见解。由于实验室运动和光的运动的叠加，
在一个加速实验室中的光线路径必定是弯曲的，爱因斯坦由此推断在引
力场中的光线会发生偏折。这个结果与能量不仅具有惯性质量也有引力
质量的假设，在逻辑上是一致的，因此，光应该受到引力的吸引。与狭
义相对论相反，光在引力场中的偏折表明光速不应再假设为常数。这个
定性结论得到了加速参考系中时间同步分析的支持，正如爱因斯坦在
1907年的一篇文章中所描述的那样（见注释[4]）。他的分析意味着在不
同地点加速钟行走的速率不同。通过比较位于转动圆盘上不同位置的钟
的速率，他得出了相同的结论。
旋转桶中水面的曲度是什么引起的？
几何进入物理学
旋转参考系的加入，提出了另一个观念性的挑战。爱因斯坦和玻恩
（Max Born）在1909年就遇到了与狭义相对论有关联的这个挑战。爱伦
弗斯特也独立地发现，根据狭义相对论，用来测量转动圆盘周长的杆应
该经历所谓的“洛伦兹收缩”。[23]因此，需要更多的杆来进行测量，并且
圆盘周长会比静止盘的周长更长。然而，用来测量转动盘半径的杆垂直
于运动的方向，所以杆没有变化。于是，转动盘周长对半径的比必定大
于欧几里得几何中确定的值，即在盘静止的参考系中测得的周长与半径
之比。这个困境被称作“爱伦弗斯特佯谬”，并由此引发了许多有争议的
讨论。在这场辩论中，大多数参与者认为这个问题主要是一个刚体的定
义问题。然而，爱因斯坦认为爱伦弗斯特佯谬是推广相对论的一个关键
问题。在1912年发表的一篇文章中，他认为转动实验室中圆盘的周长与
直径之比不再是π，这表明广义相对论隐含着对欧几里得几何的偏
离。[24]
假如世界是内在弯曲的，将会怎样呢？
在爱因斯坦的思考过程中，等效原理和加速实验室模型的利用，从
属于新形成的启发式原理：广义相对性原理。根据这个原理，新的引力
理论应该允许参照系处于任意运动状态，并且它应该将发生在其中的惯
性力，描述为推广的动力学引力场的作用。这个原理以及加速升降机和
旋转桶模型所暗示的概念变化，在考虑形成引力理论需用何种数学上起
到了关键作用。爱因斯坦已经意识到有必要超越欧几里得几何。想要包
括任意参照系的愿望，使他在1912年夏天有了一个想法，推广曲面的高
斯理论来构造新的引力理论，但是他首先必须把高斯理论推广到相对论
的四维世界。诸如黎曼、克利斯朵夫（Elwin Christoffel）和勒维—西维
他那样的数学家已经为这个推广提供了重要的背景，但是爱因斯坦并不
熟悉他们的工作，他不得不在他的朋友格罗斯曼的帮助下逐步学会了这
门新数学。
曲面上的直线路径就是这样子的。
经典物理学世界中熟悉的沿曲面运动的智力模型，也直接指向确定
任意引力场中运动方程问题的解决方案。一个约束在无摩擦二维曲面上
运动的物体，除了表面本身施加的力外，不受到其他力的作用，它总是
沿着最短路径运动，这条路径称为测地线。这是直线的最简单推广。这
个想法可以立即移接到从任意加速的参考系观察到的运动的情况，这对
应于在没有任何其他力的引力场中的运动。在用来描述加速参考系的曲
线坐标中，这种运动也可以表示为四维时空测地线。（然而，奇怪的
是，描述自由运动物体的轨迹，也可以是时空中两个给定点之间最长的
可能路径。这是时空度规特有的数学性质的结果。）
对引力作用的修正描述意味着，引力场不再被认为是牛顿物理学意
义上的力，而是推广的时空连续统的几何性质的体现。作为距离概念的
推广，而引入了度规的概念。平面是由在表面上处处相同的度规来刻画
的，而曲面的几何性质必须由可变度规来描述。这样的度规将不同的实
际距离，与在表面上不同位置给定的坐标距离相关联。结果表明，这个
可变度规是引力势的合适表示。
“时空告诉物质如何运动，物质告诉时空如何弯曲。”
—约翰·惠勒（John Archibald Wheeler）
爱因斯坦的探索法：行动计划
在寻找相对论性的引力理论时，爱因斯坦能够用同时代物理学家非
常熟悉的一个模型来作为参照，因为它代表了19世纪物理学的伟大成就
之一，这就是由麦克斯韦（James Clerk Maxwell）和赫兹（Heinrich
Hertz）建立的所有电磁相互作用的统一理论。事实上，这个理论的一
个显著特点是，它不是将电场和磁场分开描述，而是作为统一电磁场的
组成部分。这个理论由荷兰物理学家洛伦兹发展成最终的形式，洛伦兹
后来成为爱因斯坦的指导顾问之一。这个理论的核心概念是“场”。与描
述由于作用在一定距离上的力引起的粒子相互作用不同，场论不限于相
互作用的粒子，而是延展到它们的整个环境。场论以荷和流作为场
的“源”，描述了它们如何产生了充满空间的场，并且还描述了场如何反
过来决定带电粒子的运动。因此，根据这个“洛伦兹模型”诠释的物理过
程，其数学表示必然包括两个部分：
·运动方程，描述在给定电磁场中荷电粒子的运动；
·场方程，描述作为源的荷和流所产生的电磁场。
幸运的是，在爱因斯坦狭义相对论的四维时空框架中，可以给出电
磁场理论的最完美表述，从而成为推广狭义相对论的跳板。系统的重新
阐述给人的启迪是，根据与物理系统状态有关的电场或磁场，电磁场可
以以不同的方式显现出来。这个引人注目的性质，实际上是爱因斯坦关
于狭义相对论的出发点之一。在建立引力场的相对论性理论时，爱因斯
坦几乎在每个方面都受到洛伦兹模型的指引，包括引力场和惯性场的互
补作用。这些作用就类似于电磁场的电和磁方面的相互作用。因此，新
理论将包括两个部分：
·运动方程，描述在给定引力场中粒子的运动；
·场方程，描述作为源的物质和能量所产生的引力场。
爱因斯坦在1912夏天得到了第一个方程。构建第二个方程是一个更
大的挑战。场方程的右边表示场或势的源，左边通过特定的数学过程—
所谓的微分算子—描述源如何产生场或势。
爱因斯坦将洛伦兹模型作为前进的指导方针，但他很快发现，寻找
场方程的任务，是他在构建引力的相对论性理论的斗争中，必须面对的
最困难的挑战。他面临的首要问题是找到合适的数学对象来表示引力
势。其次，取代经典物理学相应方程的引力场方程，必须与经典引力和
狭义相对论的结果相容。
爱因斯坦必须牢记，在日常环境下，即在弱静态场（牛顿极限）的
情况下，引力场的性质是众所周知的，可以由牛顿引力定律给出令人满
意的描述。因此，在这样的环境下，相对论性引力场方程必须给出与牛
顿定律相同的结果。这种约束可以称为爱因斯坦的“对应原理”。显然，
新的场方程还应该与物理相互作用中的能量和动量守恒定律相一致。这
个要求可以称为“守恒原理”。此外，在较早期研究中，爱因斯坦在等效
原理指导下得到的许多发现，也应当在新理论中重现。
因此，爱因斯坦的行动计划是构建一个满足以下原理的理论：
·对应原理；
·守恒原理；
·等效原理。
此外，理论必须是广义协变的。
两种策略：数学还是物理
实际上，在爱因斯坦开始实施他的行动计划之前，他必须解决另一
个问题，即在他将要构建的相对论性理论中，如何建立引力势的数学表
示？[25]决定性的提示来自于他对运动方程的探索和在这个理论中对旋
转运动奇特性质的考虑。1912年，爱因斯坦意识到，引力势不像牛顿理
论那样由单个函数给出，令人惊讶的是，它由空间和时间的一系列函数
给出，这些函数一起构成了一个称为度规张量的复杂数学客体。爱因斯
坦还认识到这个度规张量与非欧几里得几何有关，因此他的新引力理论
将成为时空曲率理论。这一认识构成了施塔赫尔所说的广义相对论发展
中的“第二幕”。[26]
鉴于表示引力势的数学客体的复杂性，寻找相对论场方程将是一个
非常具有挑战性的研究过程，在此过程中，一些主导了爱因斯坦启发式
探索法的基本知识结构不得不做出修改。他在1912—1915年间在这方面
的努力可以描述为两个互补的启发式策略之间的相互影响，即“物理策
略”和“数学策略”的交相映衬。
就物理策略而论，爱因斯坦从某个场方程着手，一开始就给出经典
牛顿极限下正确的引力定律，从而满足其对应原理。然后他修改场方
程，以使其余的基本物理定律行之有效，包括能量和动量守恒原理。最
后一步便是找到这个候选场方程能在何种程度上满足广义相对性原理。
为了寻求互补的数学策略，爱因斯坦从一个数学上合理的场方程出
发，该方程将直接满足相对论最一般的原理。他的数学家朋友格罗斯曼
提醒他注意到一些数学知识，特别是由里奇和勒维—西维他在1901年发
表的一篇论文中提出的“绝对微分学”，在这篇论文中，他们将里奇、克
利斯朵夫和其他一些数学家以前的工作，发展成一个完整的计算方案。
物理学家在很长一段时间里都不知晓这种绝对微分学，在1912年，爱因
斯坦极有可能对此所知甚少。但在他从布拉格搬迁到苏黎世后，与格罗
斯曼的接触让爱因斯坦获得了这些数学方法。
建立了数学上合理的场方程，还要检查它是否满足其他物理要求。
这种方法有一个严重的劣势，即最初并不清楚这样一个抽象的数学客体
与熟悉的物理知识之间的关系。因此，必须对最初的数学候选者进行系
统的改造，以使其能给出自洽的物理解释，这成为策略的必要部分。特
别地，对于弱静态引力场的特殊情况，候选场方程必须满足可以回归牛
顿理论的要求，并保证能量和动量的守恒。此外，即使经过修改以满足
上述要求，它还必须满足如下的条件，即它仍然要容许足够宽泛的坐标
变换，至少能变换到代表匀加速和匀速转动这类特殊情况的加速参考
系。
广义相对论的牛顿极限问题是复杂的，因为实际上有两种方法：一
种是通过狭义相对论这个中间阶段，另一种是通过牛顿物理学中引力场
的推广，允许处理慢运动和拟静态解。然而，后者要求重新阐述牛顿理
论，也包括等效原理，重新阐述的依据是很久之后法国数学家嘉当[9]
（Elie Cartan）为应对勒维—西维他和外尔的工作而提出的数学概念。
在这种复杂的数学方法得到发展之前，爱因斯坦被迫引入了关于牛顿极
限的假设，这些假设后来证明是有问题的。
从何处着手？数学还是物理，这是一个问题。
竭力而作：纲领理论的建立
在苏黎世笔记中，爱因斯坦与格罗斯曼的合作有着最好的反映，这
最终导致了所谓的纲领理论的发表。该笔记中记载的爱因斯坦研究的核
心问题是找到引力场的场方程，即找到一种关系，确定这个场是如何由
它的源，即由能量和物质产生的。笔记包含一个重要的着手点，这与格
罗斯曼的帮助有关，他建议爱因斯坦运用一个关键的数学概念，即所谓
的黎曼张量。从现代理论的观点来看，这是给爱因斯坦指明了一条通往
广义相对论的康庄大道。然而，爱因斯坦和格罗斯曼不久之后就放弃了
这条通道。
放弃这条通道的理由有两条：他们认识到为了达到正确的牛顿极
限，他们不得不对可容许坐标的选择施加一定的条件。格罗斯曼和爱因
斯坦还发现，要求他们的理论满足能量和动量守恒，会带来进一步的限
制性坐标条件。最终，他们得到的结论是，基于黎曼张量的理论不能与
这些物理要求相协调。直到1915年，爱因斯坦更深入地洞悉了在他的引
力新理论情形下，如何阐明这些要求之后，上述结论才能得到修正。
找到正确的引力场方程，不仅是确定正确的数学表达式的问题，而
且是数学形式和物理意义相结合的问题。仅仅掌握数学，就好比写了语
法正确的句子，却不知道其中单词的含义。苏黎世笔记揭示了爱因斯坦
正在为一门新的数学语言而奋斗，他试图将一些熟悉的物理知识转化成
用这门新数学来表达，同时试图发现其中蕴含的新的物理见解。
爱因斯坦从牛顿引力理论导出物理要求，又从适合描述弯曲时空的
数学形式提出其他条件，他在两者之间交替更迭，毫无疑问希望这两种
策略最终汇聚。然而，在笔记中，他没有完全实现两种策略中的任何一
个愿望。
自相矛盾的是，爱因斯坦用数学策略进行试验的主要结果，或多或
少是物理策略的成功实施。显然，推广相对性原理所获得的新见解将带
有更多的思辨性，相比之下，牛顿经典引力理论的要求具有更安全的优
势。因此，在爱因斯坦看来，将理论建立在这个安全性优势上似乎更合
理，纵然这意味着放弃他关于推广相对性原理的一些崇高抱负。
经过多次失败的尝试，爱因斯坦终于在苏黎世笔记的末尾导出了一
个场方程，这个方程被称作纲领理论的核心。它主要满足源于经典物理
学的原理，即对应原理和守恒原理。爱因斯坦意识到，纲领方程形式相
同的那类坐标系，并不像他想象的那样满足广义相对性原理。为此，他
怀着沉重的心情舍弃了对广义协变性的认知。然而，他可以向自己保
证，这个方程是可接受的，因为对可容许坐标系的必要限制显然可以通
过实施守恒原理的要求来证明。因此，在纲领理论中，广义相对性原理
只在有限程度上得到满足，这似乎是有说服力的。从现代观点来看，这
个理论是不正确的，但在那个时候，爱因斯坦认为它是可以达到的最好
的理论了。这一过程的高潮是1913年爱因斯坦和格罗斯曼一起发表了题
为《相对论广义理论和引力理论纲领》的论文。该文由两部分组成：物
理部分由爱因斯坦执笔，数学部分由格罗斯曼执笔。
最初，爱因斯坦对发表的理论并不完全满意。在致洛伦兹的信中，
他称缺少广义协变性是纲领理论的一个“丑陋的黑点” 。[27]但当爱因斯坦
寻找理由来为这种不足辩护时，他得出结论，限制协变性是必要的。起
初他认为他可以利用能量动量守恒，来证明他的新理论缺乏广义协变
性。1913年12月，爱因斯坦写信给马赫：“恕我直言，参考系为了适应
具有能量原理的现存世界，失去了其朦胧的先验存在。” [28]
然而，爱因斯坦最终意识到这一论断并不正确。但与此同时，在
1913年夏天，他发现了另一个更为深刻的论据—著名的“洞论据”—声称
广义协变理论必然破坏因果性。在论据的最初形式中，爱因斯坦考虑了
一个这样的时空，时空中有一个封闭的区域，即洞，洞外的时空充满物
质。采用时空点可以通过坐标来识别这个看似合理的假设，它可以表
明，洞外的特定物质分布并不唯一地决定洞内的引力场。爱因斯坦认为
这个结果足以拒绝所有的广义协变理论。直到1915年末，爱因斯坦才意
识到这个看似合理的假设在他的新引力理论中是站不住脚的，因为坐标
没有物理意义。洞论据及其辩驳最终成为形成背景无关理论这个重要概
念的出发点，也就是说，时间和空间不是物理戏剧的固定舞台。[29]
然而，在1913年，正是错误的洞论据促使爱因斯坦进一步巩固了纲
领理论，它的“丑陋的黑点”似乎已被抹去。他总结道：“事实上，引力
方程不是广义协变的，这在一段时间前还困扰着我，业已证明这是不可
避免的；如果要求场在数学上完全由物质决定，那么很容易证明具有广
义协变方程的理论是不能存在的。”[30]
今天，纲领理论已被遗忘。但是，从1913年到1915年末，爱因斯坦
确信纲领理论构成了相对论性引力理论问题的解决方案。他在1914年写
信给他的朋友贝索：“现在我完全满意了，不再怀疑整个体系的正确
性，不管日食观测是否成功。这件事情的感觉再清楚不过了。”[31]
变分法登上舞台
然而，一个令人烦恼的疑问仍然存在：纲领场方程与绝对微分学的
