在第一页中，为了加入一段导言，他将拟定的A部分和第1节的标题移
到了本页的后面，在导言中，他提到了在他发现广义相对论过程中起到
重要作用的一些人的名字：
·闵可夫斯基发展了狭义相对论在四维时空下的几何形式，这成为
从狭义到广义理论过渡的自然出发点；
·高斯是曲面几何的创立者；
·黎曼，克利斯朵夫，里奇—库尔巴斯特罗，和勒维—西维他，这
些数学家将高斯的工作扩展到高维并发展了必要的数学概念和方法；
·格罗斯曼，爱因斯坦特别感激他，因为在广义相对论发展的早期
阶段，是他引进了数学工具并和爱因斯坦一起工作。
[2]
经典时空概念错在哪里？
时空的经典概念不仅仅基于尺和钟的实践经验，它们也是经典力学
和天文学的良好基础—的确，它们如此之好以至于几乎没人认为它们会
改变。然而，挑战来了。
爱因斯坦在1905年将经典的相对性原理扩展到包含电磁现象，对基
于麦克斯韦、赫兹和洛伦兹所发展的电磁学给予了重新解释。从电磁学
中，爱因斯坦推断出了光速必须永远保持不变的原理。相对性原理和光
速不变原理合起来，蕴含了对时空概念的根本修正。诸如时间和空间的
特定切片之类的整体概念，只是一个约定的性状，而这不是物理相关联
的，在这个意义上，时间和空间失去了绝对意义。时间是由时钟所测量
的，因此，与经典物理相比，重要的是，局域时间依赖于两个事件之间
的路径。狭义相对论包含了对时空概念的深远修正，但是时空测量的这
方面未受影响。在经典物理学和狭义相对论中，几何定律可以直接解释
为关于刚体静止位置的定律。这同样也适用于对给定参考系静止的钟的
指针在两个选定位置之间的时间间隔。爱因斯坦提请读者认识到这个事
实：在向广义相对论过渡时，对于时空的这个简单的物理解释将被摒
弃。
爱因斯坦通过指向经典牛顿力学中的一个基本认识论缺陷[这个缺
陷最先是由马赫强调的]，开始阐述从狭义相对论到广义相对论的转
变。他甚至宣称这个缺陷对经典力学和狭义相对论都存在，没有意识到
狭义相对论在某种意义上已经解决了这个问题。爱因斯坦通过两个天体
的例子证明了这个问题，这两个天体一个在旋转，而另一个不转。这就
是著名的牛顿“两个水桶实验”（在下一页中还要讲到）的爱因斯坦版
本。
牛顿力学基于这样的观念：空间的本性是绝对的，它与外来物体无
关，它永远相同并且固定不动。而相对和绝对运动之间是有区别的。牛
顿利用他的水桶实验解释了这个区别。两个同样盛满了水的水桶，其中
一个水桶在旋转。旋转水桶中水的抛物面是由离心力引起的，这只在这
个水桶中出现。根据牛顿理论，旋转是对绝对空间发生的，离心力的出
现区分出了绝对和相对运动。马赫拒绝绝对空间和绝对运动的观念，建
议旋转水桶中水面的形状，可以解释为是相对于宇宙中的其余物质旋转
而产生的。假如水桶静止而宇宙在旋转，将会产生同样的效果。爱因斯
坦完全接受了马赫的思想方法，后来称其为“马赫原理”。依照爱因斯坦
的说法，“马赫清楚地认识到经典力学的弱点，因此业已明了，需要一
个相对论的广义理论”（马赫的讣告，1916）。
[3]
为什么爱因斯坦看到了其他人没看到的困难？
在20世纪初，经典物理学处于巅峰时期。它成功地解释了许多现
象。当新的实验揭示了深刻的新见解，例如新形式辐射的发现，它们没
有被认为是对时空这样的基本概念的挑战。爱因斯坦为什么要质疑这些
根基呢？
爱因斯坦原本并不是一位哲学家，但是，像他的同行一样，他对物
理解释感兴趣。然而，在寻找基本原理和物理理论时，他领会了认识论
的思维价值。在构想狭义和广义相对论时，他在几个层次上进行了思
考：等待解释的具体现象的层次，可得到的数学和理论工具的层次，以
及所用的物理概念的层次。他知道这些概念是暂时性的人类观念，不是
先验给出的，因此可以修正。
根据爱因斯坦自己的证言，他深受哲学家大卫·休谟（Avd Hume）
和物理学家—哲学家马赫的影响：“没有人能否认是认识论学家铺开了
进步的道路；对于我自己，我知道至少休谟和马赫，直接和间接地，都
对我帮助很大。”很久之后，在他67岁，在他写的《自述》中，他评述
摆脱同时性的绝对本性有多困难时，他又谈到了这点：“清晰认识这条
公理及其任意性已经表明了解决问题的要素。就我来说，发现这个中心
点所需的关键推理类型得益于哲学著作，休谟和马赫的作品尤为重
要。”
在伯尔尼的那几年里（1902—1908），爱因斯坦和他的两个朋友索
洛文（Maurice Solovine）和哈比切特（Conrad Habicht）组织了一个阅
读俱乐部，他们称为“奥林匹亚学院”。在那时，他们读了马赫的《感觉
分析和身体与心理的关系》以及休谟的《人性论》。在学生时代，爱因
斯坦也读过马赫的《力学》。
苏黎世图书馆档案馆
在正文中，爱因斯坦描述了他自己版本的牛顿水桶论据。他指的是
由同样大小和性质的两个流动物体组成的系统，它们在空间上是分离
的。其中一个物体绕着连接这两个物体的轴，以恒定角速度转动。相对
其中任意一个物体静止的观测者，看到另一个在转动，还看到只有一个
物体的形状由于转动而改变了。在这个两体系统之内，爱因斯坦看不到
任何导致它们不同行为的可能原因。因此，他追随马赫而得到结论，这
个不同必定归因于系统之外，差异因宇宙中的遥远质量而生。不管相对
哪个物体静止的参考系都不享有特权。这个结论将他引向广义相对性原
理：物理定律必定具有这样的基本特征，它们适用于以任意形式运动的
参考系。
[4]
爱因斯坦最得意的想法是什么？它是如何产生的？
1922年，爱因斯坦在京都大学发表了一次演讲，题目为《我是如何
创造广义相对论的》。他回顾道：“我坐在伯尔尼专利局的椅子上，突
然想到，当一个人自由下落时，他将感受不到他自身的重量。我惊愕不
已。这个简单的想法深深地震撼了我。它领我走向了引力理论。”在后
来的生活中，爱因斯坦将这个意外发现称为他一生中“最得意的想法”。
为什么这个想法对爱因斯坦如此重要？是什么激励了这个想法？首先，
让我们来看看这个想法在爱因斯坦引力理论这项工作中的地位。
在这一页中，爱因斯坦记录了引力场具有一个显著的性质，能使所
有物体有相同的加速度（“伽利略原理”）；在某种程度上引力和加速度
是可以互换的。因此自由下落的观测者感受不到引力作用，在下落的片
刻感觉就像宇航员。
类似地，外太空均匀加速的参考系中的观测者，可以将有质量物体
关于这个系统的运动解释成这样，仿佛这个系统是静止的，但处在一个
均匀的静态引力场中。这就是爱因斯坦著名的等效原理的核心。在某种
程度上，这允许他借助于加速参考系来研究引力效应。借助于狭义相对
论来对待这些参考系，早在形成完备的理论之前很久，他就能够认识引
力场的相对论性性质了。对于这个理论发展的一些最重要的启发式提示
来自等效原理，例如，光线在引力场中的弯曲。
一束相对于一个惯性参考系沿直线传播的光，在加速参考系中将会
发生偏折。由等效原理，爱因斯坦推断在引力场中光线必定弯曲。
在1919年的日食期间对光线弯曲的观测，几乎在一夜之间，使爱因
斯坦成为世界名人。
在经典力学中，物体的质量起着双重作用。首先，它决定了由给定
力引起的加速度。就这点而言，它称为惯性质量。质量也决定了在给定
引力场中作用在物体上的力。从这点看，它称为引力质量。在这页的脚
注中，爱因斯坦提到了匈牙利物理学家厄阜（Lorand E?tv?s），他以极
大的精度证明了这两种质量是相等的。从经典物理的视角看，这种相等
看起来仅仅是巧合。当爱因斯坦最初试图构想引力的相对论性理论时，
这两者似乎不再相等了。但是后来他意识到，如果假设了等效原理，那
么两种质量的相等将自动成立。这就是为什么爱因斯坦认为这是他“最
得意的想法”。
[5]
为什么爱因斯坦引力理论需要非欧几何？
从历史角度看，更有趣的问题是，爱因斯坦最初是在什么时候，如
何意识到他的新理论与非欧几何直接有关？尽管他在1907年就发现了等
效原理，但直到1911年他才得到了它的推论并开始发展新的引力理论。
1912年爱因斯坦首先阐述了一种静态引力场理论，类似于为人熟知
的牛顿理论和静态电场情形。但是他知道他的理论也要包含引力的动力
学效应，类似于动力学电磁场，如电磁感应或者波；然而，对于引力，
这类动力学效应是未知的。正是在这一点上，等效原理再次拯救了他，
因为等效原理启示可将发生在旋转参考系中（就像在牛顿的旋转水桶
中）的加速力看成类比于电动力学中的磁场情形。但是旋转的例子也开
启了通向新理论基础的新通道。对爱因斯坦来说，新的引力理论应该允
许将旋转参考系解释成静止的，而将在这个参考系中发生的力看成动力
学引力场。
为了证明为什么需要时空测量的“更一般观点”，就像在手稿第2页
所宣称的那样，爱因斯坦讨论了参考系K'相对于伽利略系K匀速旋转的
情形，就像旋转木马那样。他用在K系中静止的测量尺和在K'系中静止
的尺，对旋转圆盘的周长和直径进行了测量。
对于相对伽利略参考系K静止的观测者，用对K系静止的尺测量的
旋转圆盘的周长与直径比是π。如果那个观测者用对K'系静止的测量尺
进行同样的测量，结果是不同的。根据狭义相对论，用来测量周长的
尺，对那个观测者遭遇了洛伦兹收缩；因此，需要更多的尺。用来测量
直径的尺的长度未受影响；因此，周长与直径的比大于π。所以，欧几
里得几何不适用于旋转系。由于旋转加速和引力之间的等效性，在引力
的相对论性理论中，必须抛弃欧几里得几何。
欧几里得几何的两个重要性质是：（1）三角形的内角和是180°
（或者π弧度），（2）圆的周长与直径的比是π。在非欧几何中这不再
是必要的了。不同几何之间的区别在二维情形很直观，例如，一个平面
和一个球面那样的曲面。对弯曲空间中非欧几何的研究是数学家高斯在
19世纪开拓的，爱因斯坦在学生时期就学到了这些。
[6]
坐标在新引力理论中起什么作用？
为了决定空间中点的位置，我们必须选择一个坐标系。在平面上方
便的坐标选择是笛卡儿坐标系，直线和垂直线的网格。或者，我们也可
以选择曲线坐标系，但是在平直空间中，这总能变换到笛卡儿坐标。在
弯曲空间中，不是每一种坐标选择都能约化到笛卡儿形式。
本页和接下来几页的讨论是作为序曲，以讨论广义相对论的中心思
想，即，引力可以看成弯曲时空的几何。1921年1月，爱因斯坦在普鲁
士皇家科学院作了一个演讲，描述了几何在物理学中的地位。他断
言：“如此完备的几何显而易见是一门自然科学；事实上，我们可以将
它看成最古老的物理学分支。它的断言基本上依赖于来自经验的归纳，
而不是仅仅依赖于逻辑推理。我们称其为‘实用几何’……宇宙的实用几
何是欧几里得几何还是非欧几何，答案显然只能由经验提供。”
在新引力理论完成之前，坐标的物理意义问题一直让爱因斯坦感到
困惑。在经典物理中，直觉上的坐标意义是清楚的：借助于尺和钟，坐
标可用来识别和标记时空中的事件。但是旋转参考系以及依据动力学引
力场对其所做的解释表明，坐标和时空测量之间的这种简单关系不成
立。
考虑了测量尺以后，爱因斯坦又讨论了引力场中钟的奇异行为。为
此，他再次利用参考系K'对静止系K旋转的思想模型。在共有坐标原点
上的观测者，利用光束比较他的钟上的时间和在旋转盘圆周上的钟显示
的时间。由于狭义相对论的时间膨胀，他发现圆周上的钟比他的钟走得
慢。延迟多少与旋转盘上钟的速度有关，也就是说，与它离开原点的距
离有关。对旋转参考系静止的钟测量的时间与钟所在的位置有关。由等
效原理可知，钟在引力场中的速率一定与钟的位置有关。爱因斯坦推断
出，正像空间坐标的差异不能由单一的尺直接测量一样，时间坐标的差
异不能由一个标准钟直接测量。
直接的物理意义不能归因于坐标系，这促使爱因斯坦得到结论：原
则上，凡是可想象的坐标系，都可用来描述自然定律。因此，代表这些
定律的方程，必须对任何坐标变换都保持不变。它们必须是广义协变
的。在这份手稿中，爱因斯坦在这里首次使用了广义协变的概念。
[7]
广义协变性的意义是什么？
对爱因斯坦来说，他的理论的广义协变性有着深刻的哲学意义。广
义协变性是广义相对性原理的数学表达，因而是他的理论的基石。这个
想法后来受到了挑战，理由是广义协变性仅仅是方程的数学性质，而不
是自然界的物理性质。结果证明任何理论都能表示成广义协变的形式。
的确，牛顿力学和狭义相对论也能给出广义协变的形式。然而，这些形
式没有像广义相对论那样去除固定时空背景。
在阐述理论的过程中，爱因斯坦起先认为，坐标本身可以用来确定
空间和时间中的事件，因而是有物理意义的。但是这个想法导致了麻
烦，因为这样就意味着他的理论不是广义协变的。实际上，通过假定坐
标本身携带物理意义，他在1913年就利用一个论据构造了同一个场方程
的两个截然不同的解，后来将此称为“洞论据”，之所以称为洞论据，是
因为它指的是时空中一个没有物质的区域，两个不同的解可以在那里共
存。在洞内，从一个已知的解，通过对初始坐标系变形，并将场在新坐
标系中某点的值归因于旧坐标系中有着同样坐标标记的点，就能构造一
个新的解（参见图示）。在当时，这个论据帮助爱因斯坦判断出他和格
罗斯曼构想的纲领理论的确不是广义协变的。
1915年爱因斯坦构建了广义相对论，这个理论没有显示有这样的问
题，但是，他仍然必须摆脱这个洞论据的羁绊。在审查这一点的过程
中，爱因斯坦意识到坐标不具有内禀物理意义。很可能是哲学家史立克
（Moritz Schlick）向他提议，只有物理上可测量的时空巧合，比如两条
光线的交叉或者钟的指针位置，才有物理意义。
正是在复杂的火车思想促使下，爱因斯坦在本页开头写道：“广义
协变性的要求使空间和时间不具有物理客观性，这是自然的，这将从以
下思考中看出：我们所有的时空验证，无不等同于确定了时空巧合。”
