述性的标题“时空中四坐标与测量之间的关系”，这对应于他在接下来这
页的第一个句子中强调的主要目标，不是给出理论的逻辑简明的表述，
而是使它在直观上合理。
[8]
时空的几何是什么？
1907年，闵可夫斯基发展了一套数学形式，用以表述空间和时间中
的物理事件，以及由狭义相对论所表明的这些事件之间的关系。这套数
学形式由一个四维时空组成，代表了物理参考系的坐标系，通过四个数
来刻画每一个物理事件：三个空间坐标和一个时间坐标。时间坐标总是
与光速常数相乘，因而它也有空间坐标的量纲，因此，闵可夫斯基的四
维世界变成十分类似经典物理的三维欧几里得世界。
在这一页中，爱因斯坦引入了“线元”和“度规张量”的概念。线
元 ds（ d代表无穷小差）是时空中两个相邻点之间的距离。线定义了坐
标网，线元是根据连接线上两点的线段的投影 dx （
μ
μ=1，2，3，4）来
表达的。在狭义相对论的平坦闵可夫斯基时空中，线元的平方由方程
（1）给出。它本质上是毕达哥拉斯定理向四维的延伸，并适应了时间
坐标的特殊性。
在弯曲的四维时空中，计算从一点到任意邻点的距离，要用到10个
数， ds 2的表达式现在由方程（3）给出。可以很方便地将这些数表示成
4×4的矩阵数组 g ，第一个指标代表矩阵的行，第二个指标代表列。这
μν
个数组是“度规张量”，它反映了在选定坐标系中时空的几何性质。一般
来说，它的分量是时空中位置的函数。度规张量有16个分量，但其中只
有10个是独立的，这是因为非对角分量之间是对称的—g
，
12=g21
……。
在狭义相对论的平坦时空中，度规张量约化成方程（4）的数组。在加
速参考系中，也就是在存在引力场时，度规张量总是存在非常数的分
量。
爱因斯坦在尝试将引力归并到狭义相对论没有成功之后，他决定在
等效原理—陈述了静态引力场可由均匀加速参考系来模拟—的基础上建
立引力的相对性理论。这个考虑允许他利用在这个运动参考系中的狭义
相对论性效应来得到关于引力的结论。1907年他首先在一篇关于狭义相
对论的综述文章中发表了这个原理。在那篇文章中，他也讨论了这个原
理的一些直接应用，比如光线在引力场中的弯曲和引力对钟的效应。直
到4年以后，爱因斯坦在布拉格的查尔斯大学德国分部担任理论物理学
教授时（1911—1912），他才给出了原理的更加完备的形式，并更详尽
地阐述了它的结果。
[9]
爱因斯坦何时意识到引力必须由复杂的数学表达式来描述？
1911年，在布拉格，爱因斯坦基于等效原理，集中发展了一种静态
引力场的自洽理论。像牛顿的引力理论一样，爱因斯坦的理论包含了单
个标量函数所表示的引力势，其中单标量函数是由可变光速给出的。最
终的广义相对论的一些基本特征在那时已经设想到了，例如那时已经理
解了引力势的源不仅可以是具体物体的质量，也可以是引力场自身能量
的等效质量。因此，由源产生的引力场，可以作为它自身的源，而且场
方程必定是非线性的。不管爱因斯坦用什么方法，只要限于考虑静态引
力场，他总得继续假定引力势用单个函数来表示。
1912年在布拉格期间，当爱因斯坦试图推广他的静态引力场的初步
理论时，他意识到引力必须由比经典物理中复杂得多的数学对象来描
述。在他的理论中，引力势不再用单标量函数描述，而是用“度规张
量”，一个具有10个独立函数的数学客体。同时，这个数学客体描述了
四维时空的几何。在此基础上，引力可以被构想成时空的几何性质。然
而，需要久经磨砺，才能细细领会它所蕴含的所有重要性。
引力势由时空度规表示，这个发现是通向广义相对论之路的最重要
的里程碑之一。关于这个突破是如何发生的，有人发现了一条线索，爱
因斯坦在布拉格写的关于引力的最后一篇论文中，校样里加了一段注
解，在其中的最后一句中，他写道：“最后一个被写出来的方程是哈密
顿方程，它给出了在动力学引力场中如何构造粒子运动方程的想
法。”事实上，爱因斯坦曾经设法用使人联想到度规张量推广的方式，
写他的静态场理论的方程。
在B部分，爱因斯坦将做他在引言中承诺的，即发展所有必要工
具，使人不需要研究数学就能理解他的论文。最初，他打算通过描述弯
曲空间几何的基本元素—测地线，来开始他的阐述。后来，他决定需要
