一些数学准备，并划掉了原定第5节标题的那一行，将它推迟到第10
节。
[10]
为什么需要张量、矢量和标量？
张量是颇为复杂的数学客体。为什么它们在广义相对论中是不可或
缺的？物理定律是以数学方程表示的，方程两边的物理实体是时空中位
置的函数，并假定它们对由不同坐标系表示的不同参考系中的观测者有
不同的值。广义协变性的要求意味着，在从一个参考系变换到另一个参
考系时，即使方程的两边会改变，对所有观测者来说，等式仍然成立，
不管它们是否有相对运动。具有这个性质的数学客体是张量。矢量和标
量是张量的特殊情形。
由于电磁学的成功，矢量和矢量分析为物理学家所熟知，而张量仅
仅为少数工作于晶体学领域的专家所了解。那么，当爱因斯坦意识到，
他需要比他所熟悉的更复杂的数学方法才能取得进展时，他转而求助于
他的数学家朋友就不足为怪了：“格罗斯曼，你必须帮助我，否则我会
疯的。”他们一起投入了黎曼、里奇和勒维—西维他的绝对微分学，从
三维空间中曲面的高斯几何引向了高维空间的黎曼几何。后来，爱因斯
坦给物理学家索末菲的信中写道：“我现在正一门心思研究引力问题，
我相信在这里的数学家朋友的帮助下，我将克服所有困难……我已对数
学产生了无比敬畏的心理，由于我的无知，直到现在我才将数学的精妙
之处看成是奢侈的享受！与这个问题相比，最初的相对论简直就是儿童
的游戏了。”
爱因斯坦解释了全面记述张量计算的动机，并从基本定义开始。最
简单的张量是矢量（1秩张量）和标量（0秩张量）。矢量是在空间每一
点都有大小和方向的（之后，我们将和爱因斯坦一起，将我们的讨论限
制于时间和空间），矢量由与基矢有关的一组分量表示，基矢是由选定
用来描述空间中的点的坐标系定义的[12]。矢量由希腊字母标记，它们
的分量数目是空间维数，因此在我们的情形，μ=1，2，3，4。在从一个
坐标系的矢量xμ变到另一个坐标系的矢量x'μ时，矢量的分量改变了—
因为由变换规则定义的基矢改变了。在矢量的分量如何由基矢确定，以
及如何由不同的变换规则刻画上，逆变矢量（通常由上指标标记）与协
变矢量（由下指标标记）是不同的。一个逆变矢量和一个协变矢量的分
量的乘积之和（方程6）是时空中位置的函数，它在坐标变换下是不变
的。这类函数称为标量或0秩张量。
[11]
爱因斯坦何时意识到他需要更精深的数学方法？
爱因斯坦在为他的捷克版本的《狭义相对论和广义相对论》（普及
本）（我们已经在第[9]页引用过）所写的介绍中，他回忆道：“我是在
1912年回到苏黎世以后，才意识到理论的数学形式和高斯曲面理论之间
的相似性这个决定性的思想，那时我还不知道黎曼、里奇和勒维—西维
他的工作。通过我的朋友格罗斯曼，我才注意到这些工作……”爱因斯
坦真正地把格罗斯曼当作朋友。1905年，他将他的博士论文《一种新的
分子尺寸测定方法》献给“我的朋友格罗斯曼博士”。1911年格罗斯曼成
为ETH数学系主任以后，是他提议让爱因斯坦回来的。爱因斯坦优先接
受了格罗斯曼的邀请，而没有选择去荷兰莱顿成为洛伦兹的继任者。
在先前段落中提到的这个“决定性的思想”，是爱因斯坦从静态到动
力学引力的相对论性理论转变的标志。尽管有先前的引证，但极有可能
的是，爱因斯坦在去苏黎世之前就已经知道，必须抛弃引力的标量理论
而需要更复杂的时空几何。1911年底，他对此问题和劳厄有过通信。
1912年3月，爱因斯坦在给他的朋友贝索的信中写道：“最近，我正
如痴如醉地研究引力问题。现在我已经到达了完成静态的阶段。对于动
力学场我还一无所知，这正是现在要攻克的目标。”到动力学场的过渡
促使爱因斯坦去论证不存在优先参考系；具体来说，同样的定律在惯性
系和旋转参考系中应该都适用。关于这一点，他在给贝索的同一封信中
评论道：“你看我还远远不能将旋转想象成静止！每一步都极其困难，
迄今我所导出的肯定是最简单的。”
爱因斯坦接着定义由两个指标标记的2秩张量。这样的张量可以从
两个逆变矢量的元素的16个乘积得到（所谓的外积）。这样得到的是2
秩逆变张量。用类似的方法，可以形成一个协变张量，或者带一个逆变
（上）指标和一个协变（下）指标的混合张量。刻画张量是根据当一个
坐标系x 被另一个坐标系
替代时，张量如何变换来进行的。
μ
x'μ
直到方程（7），爱因斯坦一直在使用求和号∑，在求和号下
面的指标表示对应于那个指标的可能值（在这里的情形，是4个
值）的各项求和。爱因斯坦引入了此后广泛采用的一种约定，当一
个指标出现两次，一次为下指标，一次为上指标，就隐含了对那个
指标的求和，而不需写出求和符号。
[12]
从电磁理论得到了什么启迪？
牛顿的引力理论不足以阐明引力在时空中传播的动力学理论方法。
爱因斯坦在早期阶段就意识到，正像洛伦兹所构想的那样，熟知的电磁
理论能引导他达成这个目标。这种构想的精髓在于电磁学是一种场的理
论，不是局限于相互作用的粒子，而是延展到它们的周围。这个模型描
述了充满空间的场是如何由电荷和电流产生的。空间中一点的电场是作
用在那个点上单位电荷的力。因此，（带电）物质被看成是场的“源”，
反过来，场决定了这个物质如何运动。同样地，引力的相对论性理论是
一种场论：引力场的理论。根据这样一种模型，物理过程的数学表示必
然包含两部分：
·运动方程，描述粒子在给定引力场中的运动；
·场方程，描述源（能量和物质）产生的引力场。
爱因斯坦进一步设想，引力与惯性的统一，类似于电场和磁场的统
一，而后者在狭义相对论中相当成功。在狭义相对论中，电磁场只有作
为一个整体，而不是分成单独的电场或磁场，才具有独立于参考系的内
涵。爱因斯坦将洛伦兹模型作为一种探索准则，然而，他很快就发现，
在寻找引力的相对论性理论时，找到场方程才是他必须面对的最困难的
挑战。
在他的文章中出现的2秩张量具有对称性质。最好的示范方式是将
张量写成4×4矩阵。它们或者是对称的，即对角线两边的分量是相等的
（ A
，
12= A 21
……），或者是反对称的，对角线两边的分量是异号的
（ A
，
12=- A 21
……）。2秩对称张量有10个独立分量。在反对称张量中，
对角元 A ，
，
，
为零，剩下
11
A 22 A 33 A 44
6个独立分量。更高秩的张量对于
任意两个指标互换也可以存在这样的对称性。
在爱因斯坦引力理论中，起重要作用的一个对称张量，是将能量密
度、动量分量密度和能量动量流结合在一起组成一个数学客体，称作能
量—动量张量。这个张量以及它与能量动量守恒定律之间的关系，将在
这份手稿的C部分进行更为详尽的讨论。
将在D部分进行更详细讨论的一个反对称张量是电磁场张量，它将
电场分量（ E ， ， ）和磁场分量（ ， ， ）结合在一起。爱因
x
Ey Ez
Hx Hy Hz
斯坦的狭义相对论隐含了电场和磁场，能分开来依赖于参考系。而由闵
可夫斯基引入的这个张量，已经成为狭义相对论四维形式的一部分。它
使麦克斯韦方程能够表达成简单的形式，用来表示电场和磁场之间、电
荷和电流之间的物理关系。电磁张量经常写成一个6个分量的矢量，并
称作6矢量。
[13]
如何通过不同的张量运算产生新的张量？
在这几页关于张量计算的初步介绍中，主要定义了一些概念并给出
了基本证明，爱因斯坦尽力使这个话题的表述可理解、完整且顺理成
章。本页中间部分证明了张量乘积仍是张量，为此，他将不同参考系之
间的变换定律，分散在前3页中讲给了读者。
在这一页中，爱因斯坦继续教给读者不同的张量运算。确切地说，
他展示了怎样通过低秩张量相乘形成高秩张量，以及如何在张量乘积中
保持协变和逆变性质。另一个张量运算是缩并：对一个给定张量的相同
上下指标的求和。缩并将张量的秩减少2。2秩混合张量缩并的结果是得
到一个0秩张量，即坐标的一个“标量”函数，它在坐标变换下是不变
的。接着，爱因斯坦提到了方程（6）（见我们在57页末的评论），在
那里它显示了如何通过两个矢量相乘形成一个不变函数（标量）。这里
他用这个方程来定义内积概念，但是他决定划掉它，并用一种更自然的
方式，与混合积对比来引入内积。这样的做法，凭借的是混合张量缩并
概念的定义。
在寻找引力的相对论性理论过程中，爱因斯坦的探索准则是什么？
当爱因斯坦回到苏黎世，并熟悉了黎曼几何和张量计算的概念和工
具之际，他已经在考虑如何将下列已知的物理原理，纳入他正在学习并
构建的数学框架：
·等效原理表达了引力和惯性力之间的关系。（惯性力是作用在加
速参考系中物体上的虚拟力。）
·广义相对性原理的目标是经典物理中的绝对空间和惯性参考系这
类观念，从而所有参考系都可平等对待。
·守恒原理要求新理论遵守推广的能量动量守恒定律。在经典力学
中，质量、能量和动量有三个独立的守恒定律。在狭义相对论中，它们
结合成称为能量—动量张量的一个守恒定律。广义相对论必须包含这个
守恒定律的推广形式。
·对应原理要求在特定极限条件下，比如低速和弱引力场时，新理
论能约化到牛顿理论。
值得指出的是，在手稿的印刷过程中，编辑给出了一个排版指
令。注意在本页后半部分，有两条竖线将一个数学方程总括在一
起。爱因斯坦有时将数学方程与文字放在同一行。竖线是编辑给排
字工人的指令，要将这类数学表达式放在单独一行。读者会发现在
手稿的许多页中都有这类竖线。
[14]
爱因斯坦构造引力场方程的策略是什么？
我们已经强调过（在57[10]页），广义协变性要求数学方程是张量
方程，用来描述物理定律[13]。因此，理解构成张量的规则，理解在爱
因斯坦所引向的物理应用情况下数学客体的张量特性，这都是很重要
的。因此，他继续通过两个张量的乘积给出构成张量的规则—确切地
说，是通过“外积”，它导致一个秩为两个张量的秩之和的新张量，以及
通过“混合积”，它是外积的组合或者一个张量的上指标和另一个张量的
下指标的缩并。
爱因斯坦为表达他的物理思想，煞费苦心地描述和解释所需的所有
数学工具。他正确地预估了当时的物理学家不熟悉这些工具。今天，在
任何广义相对论的入门教材中，这些工具都是标准的，因此这里不需过
多解说。我们反倒可以回顾一下，当爱因斯坦考虑他的行动计划时的初
创年代。
前一页所列出的原理，可以作为构造场方程的启动指南，或者作为
方程的有效性准则。场方程的右边代表场的源，左边通过一种特定的、
被称为微分算子的传统数学做法，描述了源如何产生了场。在这种情况
下，在爱因斯坦寻找场方程的过程中，可以说有两个启发式的策略。其
中一个可以称作“物理策略”，爱因斯坦从一个代表方程左边的对象开
始，它在经典的牛顿极限下给出了正确的引力定律，修正它以满足能量
动量守恒，最终检查所得场方程的协变程度。因此，这个策略始于试图
满足对应原理和守恒原理的要求。在互补的“数学策略”中，基于新近获
得的黎曼几何知识，爱因斯坦从场方程左边满足广义相对性原理的合适
候选者开始，然后检查其与对应原理和守恒原理的物理要求之间的相容
性。
爱因斯坦的双重策略来源于广义相对性原理、对应原理和能量动量
守恒原理这些启发式要求在理论的结构中所处的不同地位。
实际上，爱因斯坦在1912—1915年的努力，可以描述成在这两个互
补的启发式策略之间的相互影响。
[15]
为什么说度规张量是基本张量？
追随爱因斯坦讲解的读者会记得，欧几里得空间中的距离测量是如
何推广到几何更复杂的空间中的。为此，在四维时空中，需要10个函
数。它们是在（52[8]）页中在计算曲线坐标中的线元时引入的。这些函
数一起构成了一个对称的2秩协变张量，爱因斯坦称它为基本张量，现
在称为度规张量。
