定的基矢上的投影 d ，可以利用这个张量来计算线元
xμ
ds，即时空中两个
相邻点之间的距离（本页中间未标号的方程，先前出现在第[8]页）。在
这个方程中， g 是协变张量，
起着逆变矢量的作用（尽管写成下指
μν
dxμ
标）。在欧几里得空间中，选取笛卡儿坐标，这个张量约化成单位矩阵
（ g 11= g 22= g 33= g 44=1）。在狭义相对论的闵可夫斯基空间
中， g 11= g 22= g 33=-1， g 44=1，（见52[8]页4式）。在与加速参考系有关
的带有曲线坐标的欧几里得空间中，或与引力场有关的弯曲时空中，度
规一般有10个独立分量，它们是空间（时空）的函数。矩阵 g 存在逆
μν
矩阵，逆矩阵和 g 相乘得到单位矩阵，见（
μν
16）式。这个逆矩阵是逆
变度规张量 g 。
μν
度规张量是两门传统数学的共同要素。它出现在传统微分几何的线
元表达式中，也出现在由曲线坐标描述的传统欧几里得空间的矢量分析
中。矢量和张量计算的发展，与19世纪和20世纪中物理和数学之间的互
动紧密联系在一起。尽管力的方向在力学中已经有重要意义，而直到19
世纪晚期，在电动力学发展的背景下，矢量概念才受到重视，这是由于
矢量在描述电磁场的有向性质上起到了重要作用。大约在同一时期，在
晶体学背景下，为描述晶体的对称性而出现了张量概念。爱因斯坦和格
罗斯曼通过他们在广义相对论上的工作，将这种传统的矢量和张量分
析，与黎曼、克里斯朵夫、里奇和勒维—西维他关于微分几何和不变量
理论的工作结合在一起。爱因斯坦和格罗斯曼在描述他们的数学框架
时，采用了一种张量概念，这比首先用于晶体学后来又用于电动力学和
狭义相对论的张量更上一层楼。
[16]
为什么说苏黎世笔记是物理学史上独特的文献？
在苏黎世笔记中，爱因斯坦和格罗斯曼首先探索了度规张量。就是
在那里，我们首次发现了用爱因斯坦的笔迹所写的线元 ds的表达式。
（他先是把度规张量记成大写 G，然后又采用了小写记号 g，之后他一
直这样用。）
此图版权属于希伯来大学。在这个式子中，手写体的G是大写字母。
1912年8月从布拉格回到苏黎世以后，爱因斯坦开始与格罗斯曼合
作寻找引力场方程。爱因斯坦在一本笔记中记录了他在1912—1913年冬
天的工作，这就是著名的苏黎世笔记。笔记的每页都是满满的公式和计
算，很少有解释的文字。苏黎世笔记在科学史上是独特的文件，因为它
阐明了与一种深奥的知识转化相关联的错综复杂的科学发现过程。这本
笔记使科学史学家能够解读爱因斯坦所走的一些弯路，甚至包括使爱因
斯坦暂时放弃了广义协变性目标这样的弯路。这个文件表明了，爱因斯
坦在始于黎曼张量的数学策略和始于经典牛顿引力方程（泊松方程）的
物理策略之间，怎样进行交替。事实上，他肯定希望这两种策略能够趋
于一致，那就意味着他找到了一种理论，能将他对于等效原理的见解和
牛顿极限的要求结合起来。在1912年底时，爱因斯坦已经快要解决这个
问题了，但是那时新理论的语言还不够成熟，不足以清楚表达所有这些
要求是如何协调起来的。
在弯曲空间中怎样测量体积？
在这一页中，爱因斯坦讨论了两个相关的数学概念：“基本张量的
行列式”和“体积元”。矩阵的行列式是一个可从它的元素计算得到的
数。对角矩阵（所有非对角项等于零）的行列式就是各对角项的乘积。
因此单位矩阵的行列式等于1。在狭义相对论中（闵可夫斯基时空，
（4）式）代表度规的矩阵行列式等于-1。两个矩阵乘积的行列式是它
们的行列式的乘积。对应于一个协变张量的行列式，等于它的逆变形式
的行列式的倒数。
此图版权属于希伯来大学。
要在弯曲时空中表示积分，我们需要体积的度量，就像在三维欧几
里得空间中有体积元 dx
。在黎曼空间中，自然的体积元
1 dx 2 dx 3
dτ是由坐
标微分乘以度规行列式绝对值的平方根给出的[14]。这一页得到的结论
是在不同坐标系 x 和 之间体积元的变换规则。
μ
x'μ
[17]
方便的坐标选择如何使理论得到简化？
度规行列式g和体积元dτ自身在坐标变换下一般不是不变的，但它
们的某种组合（18）式却是不变的。在狭义相对论中，因为度规行列式
不变，所以体积元是不变的。在广义相对论中，时空中一个点的附近邻
域，可以由闵可夫斯基度规近似，就像地球上每一点周围的环境都可以
用平坦的表面来近似那样。当离开该点的局部邻域时，曲率开始起作
用。然而，存在一类称为幺模变换的坐标变换（在数学上由19式描
述），任何体积元对于这个变换都是不变量[15]。在狭义相对论的闵可
夫斯基时空以及在广义相对论中，度规行列式总是负的。因此，幺模变
换的约束就是- g=1。
使广义相对性方程不变的变换群可以破缺成两个子群：幺模变换群
和体积变换群[16]。甚至可以看到，爱因斯坦在这里所考虑的幺模群不
仅仅是技术上的简化（他那时就认为是技术上的简化），而实际上在绝
大多数物理和数学的应用中起到举足轻重的作用。
到此为止的讨论还都是纯数学的。现在爱因斯坦引入了物理动
机：“后面我们将看到，通过这样一个坐标选择的约束，有可能实现自
然定律的重要简化。”几行之后以及在下一页中，他强调：“如果认为这
一步骤表示部分地放弃了相对论的一般假定，那就错了。我们不问‘对
行列式为1的所有替换都是协变的自然定律是什么？’，而我们的问题
是，‘广义协变的自然定律是什么？’直到我们通过选择特定的参考系而
简化了它们的表达式，才确定这些自然定律。”他会重复并再次强调这
一点（见91页[27]和119页[40a]）。
坐标条件和坐标约束之间的区别是什么？
在探寻引力的相对论性理论的各个不同阶段，特殊坐标系问题一直
伴随着爱因斯坦。为了检验广义协变的场方程是否能退化到牛顿极限
（泊松方程），需要施加一组特殊坐标使牛顿理论成立。这样一种坐标
选择今天称为坐标条件，它不会影响理论的广义协变性。
一种理论青睐于某种参考系，原则上这是可能的，正如狭义相对论
青睐惯性系。这种情况可以由坐标约束来表达。起初，爱因斯坦不知道
他的新理论能否成功摆脱这样的约束。尤其是，似乎能量动量守恒应该
要求这样的坐标约束。而这个约束一定还要与可能选择一个牛顿极限能
实现的坐标系相兼容。爱因斯坦面对着不同要求之间的复杂的相互关
系，他不知道怎样去理顺这些关系，而这些关系首先使他得到纲领理论
（83页[23]）。
这里所采用的幺模坐标的约束，应该看成是为简化最终理论的推导
而准备的坐标条件。
[18]
什么是弯曲空间中的“直线” ？在引力作用下粒子如何运动？
爱因斯坦通过显示度规张量如何用来构成新张量，用以揭示度规张
量的一些性质，而结束了本节的讨论。一个张量与度规张量的外积（58
页[11]）、内积或混合积（62页[13]）产生不同特性和秩的张量。在对度
规张量的各种性质进行冗长的阐述之后，爱因斯坦到了可以引入一个新
的物理上很重要的概念的时候了。
