点所满足的数学方程。
高斯几何研究了三维欧几里得空间中的曲线和曲面。曲面上的测地
线是两点之间的短程线。例如，球面上两点之间的最短路径是经过这些
点的大圆的一部分。这个定义也适用于任意维空间中的线，除了不能在
更高维中设想它们的形状；测地线是在黎曼几何的数学体系内进行描述
的[17]。
在苏黎世笔记中，爱因斯坦推导了经典力学的一个熟知结果：一个
限制在弯曲表面上运动的粒子，不受外力影响，将在两点之间沿着连接
这些点的测地线运动。同样的原理适用于粒子在时空中的自由运动，引
力效应反映在时空的曲率上。然而，奇怪的是，在弯曲空间中，从任意
加速参考系中观测到的或者由任意引力场产生的测地线，也可以是时空
中两点之间最长的可能路径。这是时空度规的奇特数学性质导致的结
果。不管怎样，测地线总是可以定义为时空中两点之间极值（极大或极
小）距离的路径。
测地线不仅仅是一个数学对象；它是引力场中不受力粒子的运动轨
迹。
测地线的轨迹是在给定的参考系中，由线上点的时空坐标定义的。
这些坐标满足通过“变分法”得到的数学方程。这个方法由（20）式给出
了简洁的表达。积分号∫是对两点P 和 之间的线元
1
P2
ds求和，也就是说，
给出了两点之间的路径长度。积分前面的字母δ是对不同路径的这个长
度的无穷小变分。变分为零的轨迹是最短（或最长）长度的轨迹，因此
代表了测地线。这是弯曲空间黎曼几何中直线的自然推广。
在1922年的时候，爱德华问他的父亲阿尔伯特·爱因斯坦，为什么
他的名气如此之大。爱因斯坦回答道：“当一只盲眼甲壳虫在弯曲的树
枝表面上爬动时，它不会注意到其爬过的痕迹实际上是弯曲的。我很幸
运，注意到了甲壳虫没有注意到的。”
[19]
“克利斯朵夫记号” 的几何意义与物理意义是什么？
在前一页中所描述的通过变分法推导测地线方程，导致定义了克利
斯朵夫记号，由本页底部的（21）式来表征。它在张量计算（微分几
何）中起到关键作用，其稍微不同的变形由下页的（23）式给出。这个
记号描述了在弯曲空间中，当矢量和张量沿一条线移动时，它们将发生
怎样的变化。对于找出测地线的路径，对于计算张量的导数，以及对于
刻画特定的黎曼几何或时空几何的局部性质，克利斯朵夫记号都是不可
或缺的。
我们已经提到，在广义相对论中引力势是由度规张量代表的。那
么，为什么我们需要这又一个基本对象？克利斯朵夫记号是度规张量分
量的导数组合，它起着引力力场的作用。在接下来的几页中，在微分几
何的数学概念的背景下，以及在广义相对论中物理意义的背景下，我们
都会再次提到克利斯朵夫记号。现在我们来关注另一点。我们已经强调
过，表示物理定律的数学方程必须表达成张量之间的方程，而克利斯朵
夫记号不是张量。因此，它们将永远不会单独出现在这样的方程中。
在引力场分量的早期认识中，爱因斯坦的“致命偏见” 是什么？
在经典物理中，有质量物体周围分布的空间中的每一点，都可以赋
予一个数，即引力势，用来度量单位质量的粒子在该点的引力能量。自
由运动的粒子将从引力势高的点运动到引力势低的点。在空间中的每一
点，自由运动的粒子将沿着那一点上引力矢量的方向运动，其运动加速
度是由场的强度所决定的。引力场的分量是引力势沿空间坐标方向的局
部变化（对空间坐标的导数）。
如之前提到过的（第55[9]页），在广义相对论中，牛顿物理的单个
引力势函数由时空坐标的10个函数所代替，它们是度规张量 g 的
μν
10个
独立分量。引力场分量仍然是由引力势分量的导数决定的。为了确保理
论的广义协变性，这些导数必须由协变微分法则进行计算（第79[21]
页）。这个过程导致了引力场分量与克利斯朵夫记号密切相关。
认识到引力场的分量不是引力势 g 的简单导数，还与克利斯朵夫
μν
记号相关，这是在1915年11月导出广义相对论最后阶段的关键因素。在
这之前的1913年，爱因斯坦已经将一个不同的数学表达式与引力场联系
起来，这导致了纲领理论（第83[23]页）。1915年11月4日，在普鲁士皇
家科学院的一次报告上，他坦承这是一个“致命偏见”。
[20]
测地线作为可能的“最直线” 以及它与“仿射联络” 之间的关系
在第18页，测地线定义为时空中两点之间距离的极值线，或者最短
或者最长，它的方程通过变分法导出。这个计算的结果在（22）式中给
出。在（第92[28]页）我们会再次看到这个方程，只是以略微不同的记
号出现。在那里，它表示为引力场中粒子的运动方程。
在某些条件下，测地线也可以刻画为这样一条线，当沿着这条线从
一点移动到另一点时，切矢量保持不变（见前一页的图示）。切矢量是
在这条线的给定点上沿着切方向的单位矢量。直观地说，这个要求意味
着测地线是两点之间可能的“最直线”。在理解弯曲空间中微分的概念和
过程上，这个定义将被证明是很重要的。
测地线的这个定义，依赖于矢量的平行位移或平行移动概念。为了
在黎曼几何中应用这个概念，我们必须理解在一个点的几何状况如何与
另一点进行比较。在这种情况下，19世纪的数学家们开始探索联络概
念，它描述沿着特定曲线怎样一致地运送几何数据。联络的最基本类型
而且与我们的讨论最相关的，是仿射联络，它具体规定了矢量如何沿着
曲线从一点到另一点进行平行移动。仿射联络与矢量在某一方向的导数
密切相关，也就是说，与下述问题密切相关：在给定方向上进行一个无
穷小移动后，矢量怎样变化？
在历史上，黎曼几何中联络的无穷小观点始于克利斯朵夫，在20世
纪初由勒维—西维他和里奇进行了更为详尽的研究。他们建立了克利斯
朵夫所讨论的无穷小联络和平行移动概念之间的关系。勒维—西维他利
用平行移动概念，澄清并说明了协变微分的概念。由于这个原因，仿射
联络也称为勒维—西维他联络，并用克利斯朵夫记号本身来标记。
下一节用来讨论从给定张量，通过微分形成新张量。这是一个重要
的话题，因为物理定律由微分方程表示，并且这些方程必须是广义协变
的。爱因斯坦知道这些规律已经由数学家们导出，但他宁愿按他自己的
方式来做。在1914年10月提交给普鲁士皇家科学院的一篇综述文章《广
义相对论的基础》中，他写道：“这些微分表达式的规律已经由克利斯
朵夫、里奇和勒维—西维他给出。在这里，我给出一个特别简单的推
导，这看起来是有新意的。”在那篇文章中的推导与这里出现的是相同
的。
[21]
张量在相邻点如何改变？或者如何通过微分从给定张量产生新张量？
爱因斯坦的推导从标量函数的微分开始（前页）。他表明了对4个
坐标的偏导数形成了一个（协变）矢量（24）式，并完整地描述了这个
标量函数如何在空间相邻点之间变化。他通过探索标量函数沿曲线的变
化而得到这个结论，曲线上的点是根据从曲线上一个固定点到这些点的
距离而参数化的。
下一个问题是，这个矢量，或者任意（协变）矢量，从一点到另一
点如何变化？最先的想法是，这样的变化是由矢量的4个分量的偏导数
刻画的。然而，结果是这个步骤得到的16个参量不形成2秩张量。另
外，这些参量不足以描述曲线坐标中矢量的变化，在曲线坐标中对矢量
的变化有两重贡献。第一，它的方向与大小可能会改变。第二，矢量的
分量会改变，因为与坐标线相切的基矢定义了这些分量，而从一点到另
一点基矢是变化的。即使是在常矢量情形，后一个效应也会出现。
在（24）式中，爱因斯坦表明了如何通过矢量的微分得到张量。为
此，他假定要沿测地线这样的曲线进行微分，因此他可以利用测地曲线
的方程，导出（26）式所给的张量。爱因斯坦称这个张量 A 为矢量
μν
Aμ
的“扩展”。今天，它被称为矢量 A 的协变导数，而导致它的步骤称为协
μ
变微分。在现代的理解中，协变微分极其重要的一点是包含了矢量的平
行移动概念，从而有可能比较曲线上不同点上的矢量（见图示）。
在前一段所描述的空间中相邻点之间矢量变化的两重贡献，是由
（26）式右边的两项所代表的。第二项是坐标系的曲线本性的结果，含
有克利斯朵夫记号。两项都不是张量，但它们的差（和）是一个2秩张
量[18]。
爱因斯坦首先对从一个坐标的标量函数得到的矢量建立了这个结果
（24式），接着将这个结果推广到任意的协变矢量。他是通过表明任意
（协变）矢量可以表示为四个这样的从标量函数经由微分得到的矢量，
而完成这点的。
[22]
爱因斯坦将协变微分的步骤推广至2秩协变张量。他得到了张量的
结果，这是通过两个协变矢量的外积产生的，因为每个协变的2秩张量
可以表示为四个这样的张量之和。在脚注中，他证明了这个陈述。对于
一个2秩张量，我们必须考虑在曲线坐标中两个相邻点之间基矢改变对
两个指标的影响（见前页的解释）。因此，2秩协变张量的协变导数
（“扩展”）（它是一个3秩协变张量）有两项含有克利斯朵夫记号，见
（27）式。
爱因斯坦广义相对论数学形式的几何背景是什么？
爱因斯坦广义相对论的数学框架产生于克利斯朵夫、里奇和勒维—
西维他的绝对微分学。这个框架是围绕微分不变量的概念而建立的。它
与微分几何的关系以及它的几何解释只有在爱因斯坦理论建立以后才变
得更加闻名遐迩。外尔（Hermann Weyl）特别澄清了黎曼—克利斯朵夫
曲率张量的几何解释，并将它与矢量围绕一个闭合圈所进行的平行位移
关联起来。
在其数学阐述中，爱因斯坦讨论了测地线的方程和意义，从而引入
了非欧几何的一个关键要素，这在里奇和勒维—西维他的工作中是没有
出现过的。早在1912年当他考虑旋转圆盘的思想实验时，他就意识到广
义相对论的四维时空，不再适合欧几里得几何的框架了。然而，他没有
系统地引入非欧几何，也没有根据微分几何解释他自己的理论。例如，
当他讨论黎曼—克利斯朵夫张量时，他甚至没有提到曲率。广义相对论
的几何化，以及将引力理解为归因于时空的曲率，是进一步发展的结
果，而不是爱因斯坦提出其理论时的预设。
1921年5月，爱因斯坦在普林斯顿大学做了狭义相对论和广义相对
论的系列讲座在那里，与本手稿不同，他承认张量的协变微分运算，非
常令人满意地由勒维—西维他引入的方法所确立，并且后来被外尔用于
广义相对论中。在一个给定的矢量场中在P 点的特定矢量平行于自身移
1
动到了相邻的P 点。移动后的矢量与矢量场在 点的矢量之差可视为矢
2
P2
量在P 点的微分。虽然爱因斯坦没有使用
1
“仿射联络”这个术语但这恰恰
就是仿射联络。这个计算很自然地表达了克利斯朵夫记号（第78[21]
页）。
在晚年，爱因斯坦总结了他的理论的早期解释。他强调了关于矢量
位移的勒维—西维他观念的作用，而这只是在广义相对论完成后才发展
的，却没有强调度规的黎曼概念，而它正是作为广义相对论的概念性关
键洞察的恰当的数学表现形式。他说勒维—西维他观念起到了“背景独
立性”的作用：
“众所周知，已经完全被遗忘了的黎曼的度规连续统理论，在世纪
之交被里奇和勒维—西维他复活并深化了；这两项工作决定性地推动了
广义相对论的形成。然而，在我看来，勒维—西维他最重要的贡献在于
下列理论的发现：广义相对论最精华的理论成就，也就是说，消除
了“刚性”空间即惯性系，只是间接地与引入黎曼度规有关。直接的本质
的概念性要素是“位移场”（Г l）它表达了矢量的无穷小位移。
ik
”
[23]
