§13
上面这些考察既已指出理性的应用有好处，也有坏处，也应有助于说明抽象的知虽是直观表象的反照，虽以直观表象为根基，却并不与之完全吻合，不是在任何地方都可取而代之的。更应该说抽象的知决不与直观表象完全相符；因此，如我们已看到的，人类虽有好多地方只有借助于理性和方法上的深思熟虑才能完成，但也有好些事情，不应用理性反而可以完成得更好些，正是直观的和抽象的认识不相吻合，所以后者之近似于前者亦如镶嵌画之近似于绘画。还有一种很特别的现象，它和理性一样也是人类专有的；直到现在，人们一再企图说明这个现象，而一切说明又都不充分。这就是笑这一现象，它也是以直观的和抽象的认识不吻合为根据的。在这里研究笑，虽然又一次阻碍了我们的前进，不过由于笑的根源与这里有关，我们也不能避而不谈。实在的客体总是在某一方面通过概念来思维的，笑的产生每次都是由于突然发觉这客体和概念两者不相吻合。除此而外，笑再无其他根源；笑自身就正是这不相吻合的表现。不相吻合经常是在这样一些场合出现的：一种情况是两个或两个以上的实在客体用一个概念来思维而把这概念的同一性套在这些客体上，可是这样做了之后，各个客体在别的方面的差异又突出地使人注意到这概念不过仅仅是在某一方面同客体相应而已。又一种情况是单一的实在客体，从一方面说是正确地包含在这一概念之内，却突然[在另一方面] 又感到它和概念不相称。还有这种情形也是同样常有的：一方面是这样总括实物于一概念愈是正确，另一方面实物不符于概念的广泛程度愈是突出，那么，从这一对照产生的发笑效果也就愈强烈。所以任何笑的发生，每次都是由于一种似是而非的，从而也是意料之外的概括作用所促成的，而不管这是由语言文102字或是由举止动作表示出来的。这就是事情何以可笑的简略说明。
这里我就不举笑林中的故事作说明的例子来耽搁时间了，因为这事简单易明，无须举这些例子。每个读者回忆到的可笑事件都同样适宜于证实这一点。不过由于笑料发展为两个种类，我们的理论既可得到佐证，又可获得阐明。这种类别也出自我们的理论，一种是在认识中已先有两个或几个很不相同的实在客体或直观表象，而人们却故意用一个包含这双方或多方的概念，同这概念的统一性[笼统地]作为这些客体的标志；这种笑料叫做滑稽。一种是反过来，在认识中先有的是概念，然后人们从这概念过渡到现实，到群响现实，到行动；在行动中，这些原来根本不同的客体都被同样看待，同样处理，直到这些根本差异出乎意料之外地暴露出来，使在行动中的人惊奇不置；这种笑料叫做憨傻。据此，任何笑料不是滑稽的一念，就是一个傻里傻气的行动；前者是从诸客体到概念的同一性而显出双方的距离，后者是反其道而行之；前者总是故意的，后者总是无心的，并且是由于外因的促使所致。表面上把这种出发点颠倒过来，把滑稽伪装为憨傻就是宫廷弄臣和舞台小丑的手法。这手法是这么回事：明知各个实体的不同，却用那滑稽的手法把这些客体统一于一个概念之下，从这里出发，往后暴露出客体间的差别时便使他惊愕莫知所措，其实这本是他为自己预先安排好的。如果把最后这种逗乐的方式除外，从这个简略的，然而足够完备的笑之理论可以看出“滑稽”总是要由语言表示，憨傻则多半是由动作表示的，不过在只扬言要做而不真正就做时，或者是这傻气仅仅只在判断和意见中露出时，[“憨傻”] 也可以用语言来表示。
属于憨傻的还有可笑的迂腐。迂腐之所以产生是由于人们不甚信任自己的悟性，所以不让悟性在个别场合直接去认识什么是对的；因此总是置悟性于理性的监护之下，自己则无时不仰仗理性，即是说经常从普遍概念、从规则规范出发；在生活上，在艺术上，甚至在伦理的嘉言懿行上，他都拘谨地严守这些规则规范。这种专属于迂腐类型的呆板形式，礼法，[固定的]表达方式和言词[等]就是从这里出来的。对于迂腐[这种性格]，这些东西就代替了事物的本质。这里显而易见的是概念对实际的不吻合，是概念永不能下达于个别事物，是概念的普遍性和僵硬的规定性永不能精当地符合实际所有的几微之差和多重性相。在生活上，一个迂夫子尽管满腹格言、规范，几乎总是有所短而现为不聪明、索然寡味、没有用处。在艺术上，概念本没有什么生产性，迂夫子也只能生出没有生命的，僵硬的，装扮起来的死婴。甚至在伦理方面，行为如何高尚，如何正义的打算也不能到处按抽象规范行事，因为在许多场合，不同情况间存在着差别微妙这一属性， 使直接来自[整个]人格的择善固执成为必要，而这又是由于在应用单纯的抽象规范时，一部分规范因只能一半适合而产生错误的后果，一部分又同当事人不可忽视的个性格格不入而无法贯彻始终以至半途而废。康德认为行为只是由于纯粹理论性的抽象规范而实现，不带有任何情意的倾向或一时的激动，乃是行为具有道德价值的条件；就这一点说，他也不免有促成道德上的迂腐之嫌。席勒以《良心的犹豫》为题的警句诗就是意在责备贤者。当人们[讽刺地]说“教条主义者”、“理论家”、“学者”等等的时候，尤其是就政治事件说，意思就是指迂夫子，也即是说虽在抽象中，却不能在具体中认识事物的人们。抽象之所以为抽象，就在于抽掉了细致的规定，而在实际上、要紧的正是这些东西。
为了完成这里的理论，还有俏皮话的一个变种要谈一谈，那就是耍字眼，法文叫做“加仑布尔”（calembourg），英文叫做“潘”（pun）。使用双关语（法文叫做L’equivoque），主要的是用猥亵（秽亵）的言词，也可算在这一类。俏皮话是硬把两个极不相同的实在客体压入一个概念，耍字眼却是借偶然的机会把两个概念压入一个词儿。这样也能产生[概念与实体]双方之间的差距，不过更肤浅而已，因为这种差距不是从事物的本质中，而是从偶然的命名中产生的。同一性在概念，而差别性在实物，这就是俏皮话，耍字眼却是差别性在概念，而同一性在实物，因为那字眼就是实物。“耍字眼”和俏皮话的关系有一个近乎勉强的比喻，那就是说这种关系等于上面一个倒锥形的抛物线同下面一个锥形的抛物线的关系。而误解词句或“以此为彼”却是无心的“加仑布尔”，这对于“耍字眼”的关系又和憨傻对俏皮的关系一样。因此重听的人也能和傻子一样提供笑料，低能的喜剧作家就用聋子代替傻子使人发笑。
这里我只是从心理方面考察了笑，至于在生理方面的研究则可参照作为补充篇的第二卷第六章第九十六节（第一版）134页所论及的部分。
§14
于是，一方面有理性的认识方式，有知，有概念，一方面存105在纯感性的，数理的直观中的直接认识和悟性的领会；由于上述多方面的考察，[我们]希望这两种认识间的区别和关系都已摆得十分清楚了。关于感和笑我们还有过这两段插曲式的说明，这也是我们在探讨两种认识的特殊关系时不免要触及的。现在我就从这些研究兜转回来再继续谈谈科学，和语言，熟虑的行动鼎立而为人类专有的第三大优势的科学。对科学作一个总的考察是我们这里职责所在，至于要触及的问题则一部分是科学的形式，一部分是其判断的根据，最后还有它内含的实质。
我们已经看到，除纯逻辑的基础以外，一切[知或]知识的根源根本就不在理性自身；而是从别的方面获得的直观认识沉淀于理性中，由是转进为完全另一种认识方式，抽象的认识方式。这才是知识的根源。一切知识，也即是上升为抽象意识的认识，和科学的关系等于片段和整个的关系。任何人都能由于经验，由于现成事物的观察获得有关某些事物的知识，可是在抽象中对于某一类事物获得完整的认识，[那就不同了，]也只有以此为任务的人是在为科学而努力。唯有通过概念他才能使这类事物分立，所以在每一种科学的开端总是一个概念。由于这一概念，这[分立的] 部分才可脱离一切事物的大全而被思维，从这一概念这门科学才能指望一个在抽象中的完整认识；例如空间关系的概念，无机物体相互作用的概念，动植物性能的概念，地壳连续变化的概念，人类这整个物种变化的概念，语言结构的概念等等。科学为了获得有关其题材的认识，如果采取个别研究一个总概念所包括的事物，以期逐渐认识所有事物的办法，那么，一面是人的记忆力太有限，一面也无法保证这种认识的完整性。因此，科学就利用上述概念含义圈的那种特性，使之互相包括；而主要的是注意原在这门科学总概念中的，较大的那些含义圈。科学在规定这些含义圈的相互关系时，在这些含义圈中被想到的一切也就一般地随之而被规定了。并且还能够通过区分更狭小的含义圈，一步一步作出更精细的规定。由是，一种科学就完全包括了它的对象。获得认识的这一途径，即从普遍到特殊的途径，是科学和普通知识的区别。因此，系统的形式乃是科学的一个本质的、特有的标志。在任何科学中，连结最普遍的概念含义圈，也即是认识其最高的一些原则性的命题是学习一门科学不可回避的条件。至于在这以后更深入到较细微的特殊命题至何程度，则听各人自便；并且深入也不是对彻底认识这门科学有所增益，只是扩大渊博的范围罢了。一切其他的命题都从属于最高级命题。在各门科学中，最高命题的数量是极不一致的，所以在有些科学中，[命题的] 从属关系多一些；在另外一些科学中，或又多有一些平行关系。就这方面说，从属关系要求的判断力要多一些。平行关系则多要求一些记忆力。经院学派已经知道一个结论必需两个前提，所以没有一门科学能够从单一的，无法引伸的最高命题出发，而是需要几个、至少两个命题。真正以分类是务的科学，如动物学、植物学，如果一切无机的相互作用也可还原为少数基本自然力的话，则还有物理和化学；这些都是从属关系最多的科学。与此相反，历史根本没有什么从属关系；因为在历史上，普遍只存于主要历史阶段的概览中，而个别事迹又不能从这些阶段演绎出来，只是在时间上从属于这些阶段，在概念上还是同这些阶段平行的。因此，严格说来，历史虽是一种知识，却不是一门科学。在数学中，按欧几里得的办107法，唯有公理是不得而证明的最高命题，一切可证的[命题] 都严格地分级从属于公理。不过这种办法并不是主要的，事实上，每一定理又发起一种新的空间结构，独立于以前的各定理之外，完全无待于以前各定理使可认识——在空间的直观中由于自身而被认识。在这直观中，任何复杂的空间结构之为直接自明的，正和公理一般无二。这些，下文还有详细的交代。这里要说的是，每一数学公理总还是一个普遍的真理，对于无数的个别事项有效，并且在数学中，由简单命题分级发展至复杂命题，以及后者又可还原到前者的办法还是主要的。因此，在任何方面，数学都是一门科学。科学之所以为科学的完美性，也即是从形式方面来说，是在于尽可能的多有一些命题间的从属关系，尽可能少一些平行关系。因此，一般说来，在科学上有天才，就是有按不同规定使概念含义圈形成从属关系的能力，用以构成科学的，如柏拉图一再声称的，不仅是一个总的普遍概念，不是无尽的多样性直接并列于普遍之下；而是认识经由中介概念，经由各种以逐次加详的规定为准则而作出的区分，逐步从普遍下行到特殊。用康德的话来说，这就叫做平均地满足同质律和“转化律”。不过，正由于这就构成科学真正的完美，也就可以看出科学的目的不在于更高的确实性，因为确实性是任何割裂的单独认识也能有的；而是在于通过知识的形式使知识简易化，在于由此获得知识完整的可能性。因此，说认识的科学性是在于高度的确实性，这种意见虽然流行，却是不对的。由此而产生的一种主张就认为只有数学和逻辑才是真正的科学，说由于这两门科学完全的先验性，所以认识所有一切不可动摇的确实性就只在这两门科学中有之。这种见解也是错误的。逻辑和数学的这种优点是无可争辩的，但是这种优点并不赋108予它独擅“科学性”的特权。“科学性”的要求并不在于确实性，而是在于认识所有的，基于从普遍到特殊逐级下行的系统形式。科学特有的这一认识途径，从普遍到特殊的途径，造成科学中很多东西由先行命题演绎出来的事实，由证明确立起来的事实。这就促成一个古老的谬见，以为只有经过证明的东西才是完全真的，而每一真理都需要一个证明。事实上恰相反，每一证明都需要一个未经证明的真理；这个真理最后又支持这一证明或这个证明的一些证明。因此，一个直接确立的真理比那经由证明而确立的更为可取，正如泉水比用管子接来的水更为可取是一样的。直观是一切真理的源泉，是一切科学的基础；它那纯粹的，先验的部分是数学的基础，它那后验的部分是一切其他科学的基础。（唯一的例外是逻辑。逻辑不是基于直观知识的。而是基于理性对于理性自己的法则的直接认识。）好比太阳在宇宙空间一样，所有的光都是从这里发出来的，在此光照耀之下，其他一切才发出反光来；在科学中占有这种地位的也不是经过证明的判断，不是判断的那些证明，而是那些直接由直观取得的，基于直观而非基于证明的那些判断。直接从直观确立这些原始判断的真理，从浩如烟海的实际事物中建立科学的堡垒，这就是判断力的任务。判断力[的作用]既然存在于正确、准确地把直观认识到的[东西]移置于抽象意识这一能力中，当然它就是悟性和理性间的“中介人”了。只有个人的判断力具有特别突出的，超过一般水平的强度时才真能使科学前进；至于从命题引出命题，作出证明，作出结论，那是每个人都能做的，只要他有健全的理性。与此相反，为了反省思维而把直观认识到的东西沉淀，固定于相适应的概念中，一方面以使诸多实在客体的共同之处得以用一个概念来思维，另一方面，这些客体间有多少差别之点，便用多少概念来思维；于是，客体间虽有局部的相同，其差别仍作差别来识别，来思维，一切都按每次规定的目的和考虑引事，这一切就是判断力所做的事。缺乏判断力叫做头脑简单。头脑简单的人时而看不到在一方面是同的概念又有局部的或相对的异，时而看不到相对的或局部的异又有其同[的一面]。此外，康德区分判断力为反省思维的和概括的两种，这种区分法也可运用于这里的说明，亦即分别适用于从直观客体到概念，或是由后者到前者。在这两种场合，判断力总是中介于悟性的直观认识和理性反省思维的认识之间。不可能有什么绝对只是由推论产生的真理，单从推论来确立真理这一必要性是相对的；是的，甚至是主观的。既然一切证明都是三段式推论，所以对于一个崭新的真理，首先不是就要找证明，而是找直接的依据；只在无法找到直接依据时，才暂时提出证明。没有一种科学是彻头彻尾都可以证明的，好比一座建筑物不可能悬空吊起一样。科学的一切证明必须还原到一个直观的，也就是不能再证明的事物。原来反省思维所有的整个世界都是基于，并且是立根于这直观世界的。一切最后的、也就是原始的依据都是一个直观上自明的依据。这个词儿本身就已透露了此中消息。准此，它要么是一个经验上的依据，要么是基于[人们]对可能的经验的诸条件所有的先验直观：在这两种场合之下，依据所提供的都只是内在的而非超绝的知识。任何一概念只在它和一直观表象的关系中有其价值和实际 把前提内已经现成的东西加以显豁和引出之外，再也不能另有所获。人们不过仅仅是明显外露地表出前提中含蓄内在地已理解了的[东西]罢了。就人们高调称颂的那些科学说，他们的意思特别是指数理科学，也即易指天文学。不过天文学所以有真确性，那是这样来的：它有先验给与的，因而决不会错的空间的直观以为根据，但一切空间关系都是以一种必然性（存在根据）——这必然性先验地提供确实性——而一个从一个求出来的，所以空间关系是可以妥当地相互推论而得的。在这些数理的规定之外，这里仅仅还要加上一种自然力，即引力；而引力是准确地按质量和距离自乘的关系而起作用的。最后还要加上由因果性产生的，从而先验妥当的惯性定律，连同一劳永逸地表现了每一质量的运动的经验数据。这就是天文学的全部材料。这些材料既简明又妥当，导致了确定的结果；而由于对象的庞大和重要，并且是导致了很有趣味的结果。例如我已知道一个行星的质量，也知道它的卫星和它的距离，我就能按克卜勒第二定律准确地推算这卫星环绕一周的时间。可是这个定律是以在一定距离上只有一定的速度才能维系卫星，同时又能使之不下堕人行星里这事实为根据的。所以说只要在这样的几何学基础上，亦即借助于先验的直观，再应用一条自然律就可利用推论得出很好的结果。原来推论在这里实只等于是从一个直观体会到另一个直观体会的桥梁；而单是在逻辑途径上作单纯的推论，那就不是这样。可是天文学上最高基本真理的根源还是归纳法。归纳法是将直观中许多已有的东西总括于一个正确的，直接有根据的判断之中，然后从这个判断构成一些假设，假设又被经验所证实；这样，作为愈益接近于完整的归纳法，就替那个判断找到了证明。例如可见的行星运动是由经验认识的：对于这个运动的空间关系（行星轨道），在作过许多错误的假设之后，最后找到了正确的假设，那就是找到了这些运动所服从的定律（克卜勒定律），最后还找到了这种运动的原因（万有引力）。并且这由经验所认识的[东西]，一面是所有已出现的情况，一面是所有那些假设以及由假设引出的论断这双方之间的相互契合，就为这一切假设，也即是为归纳法，带来了完全的确实性。创立假设是判断力的事情，判断力正确地体会了现成的事实并且相应地把它表达出来，而归纳的作用，也就是多次的直观，则证实这些假说。要是我们有一天能够自由穿过宇宙空间，要是我们有望远镜般的眼镜，那么，我们甚至于也能直接，通过经验的一次直观而为这些假设找到根据。因此，即令是在天文学，推论方式也不是这种知识主要的，唯一的来源，事实上推论总只是一个应急的权宜办法。
最后，为了举出第三个，性质不同的例子，我们还要指出即令是那些所谓形而上学的真理，亦即康德在《自然科学的形而上学初阶》里提出的那种真理，也并不是由于证明而有其依据的。那先验真确的东西是我们直接认识的。作为一切认识的形式，这是我们以最大的必然性意识着的东西。譬如说物质是恒存的，也即是说既不生亦不灭，这就是我们直接知道的消极真理；因为我们对于空间和时间的纯粹直观提供了运动的可能性，悟性又于因果律中提供了形状和物性变易的可能性；但是对于物质的生和灭，我们就没有这样一种可用以想象的形式。因此，这一真理，在任何时代，任何地方，对任何人都是自明的，从来也未曾有人认真地加以怀疑过。如果说这个真理除了康德那艰涩的，在针尖上驰骋的证明之外就别无其他认识根据，那当然是不可能的。并且，我还发觉（如附录中论述的）了康德的证明是错误的。我在前文中也指出过物质的不灭不是从时间在经验的可能性上占有的那一份，而是从空间在经验的可能性上占有的那一份引伸出来的。这就意味着所谓形而上的真理也就是知识的普遍必然形式的抽象表示。这些真理的真正根据不能又在一些抽象命题中，而只能在[人们]对于表象所具的形式的直接意识中，在以断然的、无虑反驳的先验论断表出自己的意识中。如果人们还要为此举出一个证明，那就只能是这样一个证明：人们须指出在任何一个无可怀疑的真理中已包含着待证的东西，或是作为[组成]部分，或是作为前提，譬如我曾指出一切经验的直观就包含着因果律的应用，所以认识因果律是一切经验的条件：从而不能是如休漠所主张的，说因果律是由经验产生的，是以经验为前提的。——其实，与其说证明是为那些要学习的人而设的，毋宁说更是为那些要争论的人而设的。这些人固执地否认那些有直接根据的见解。然而只有真理才是在一切方面都前后一贯的，所以我们要给这些人指出他们在一种形态中间接承认的也就是他们在另一形态中直接否认的，也就是指出他们所否认的和所承认的两者之间的逻辑必然关联。
此外，科学的形式，也就是特殊统属于普遍之下、以次递进不已的形式，还带来了这样一种后果，即是说许多命题的真实性只有由于依附于其他命题，也就是通过一些同时又作为证明而出现的推论，才有逻辑的根据。但是人们决不可忘记，整个主一形式只是知识简易化的手段，而不是取得更高度的真确性的法门。从一个动物所属的“种”，递进到属、科、纲、目，来识别一个动物的生性，这比个别研究每次遇到的动物要容易些[这是事实]。但是一切由推沦引伸出来的命题，它的真实性最后总是决定于，有赖于某一个不是推论出来的，而是以直观为根据的真理。如果直观经常和推论是同样的近便，那就肯定的宁可采用直观。因为来自概念的一切引伸，由于前文指出的含义圈相互错综交叉和内容上出入无常的规定，都难免不为迷误所乘；各种各样的邪说诡辩就是证明这一点的例子。从形式上说，推论是完全正确的；然而由于它的材料，亦即由于概念，推论就很不可靠了。一面是含义圈的规定不够严格，一面是含义圈又多方交叉，以至一个含义圈的各个部分又可包含在许多其他含义圈内；这样，如前文已阐明了的，人们便可从前者任意过渡到后者的这一个或那一个，然后再如法炮制，继续下去。换句话说，就是小词以及中词都可以随便隶属于不同的概念，人们在这些概念中就任意选择大词和中词，由是结论亦随之而各异其趣。因此，无论在那里，由证明得来的真理远远抵不上直接自明的依据；只有后者远不可及时，才采用前者；而不是在两者同样近便，或后者更为近便时，也采用前者。所以我们在前面已经看到，在逻辑上，每一个别场合，如果直接的知识比演绎而来的科学知识对于我们更为近便的话，我们事实114上总是按自己对于思维法则的直接知识来指导思维而把逻辑放在一边不用。
§15
我们既已确信直观是一切证据的最高源泉，只有直接或间接以直观为依据才有绝对的真理，并且确信最近的途径也就是最可靠的途径，因为一有概念介于其间，就难免不为迷误所乘；那么，在我们以这种信念来看数学，来看欧几里德作为一门科学来建立的，大体上流传至今的数学时，我说，我们无法回避不认为数学走的路既是奇特的，又是颠倒的。我们要求的是把一个逻辑的根据还原为一个直观的根据，数学则相反，它偏要费尽心机来作难而弃却它专有的，随时近在眼前的，直观的依据，以便代之以逻辑的证据。我们不能不认为这种做法，就好比一个人锯下两腿以便用拐杖走路一样，又好比是《善感的胜利》一书中的太子从真实的自然美景中逃了出来，以便欣赏摹仿这处风景的舞台布景。这里我不能不回忆到我在《根据律》第六章中所已说过的，并且假定读者对此也是记忆犹新，宛在目前的。这样，我这里的陈述就可以和那里说的挂上钩，而无庸重新指出一个数学真理的单纯认识根据和它的存在根据之间的区别是在于前者可由逻辑途径获得，后者则是空间、时间各个局部间直接的，卑由直观途径认识的关联。唯有理解这种关联才能真正令人满意，才能提供透彻的知识；如果单是认识根据，那就永远停留在事物的表面上，虽然也能给人知道事物是如此的知识，但不能给人知道[事物] 何以是如此的知识。欧几里德就是走的后面这条路，显然是不利于科学的路。譬如说，他应该一开始就要一劳永逸地指出在三角形之中，角与边是如何互为规定的，是如何互为因果的；并且在他指出这些时，还应该按照根据律在纯空间上所有的形式；应指出这一形式在三角形角和边的关系上，和在任何地方一样，都要产生这样一种必然性，即一事物之是如此，乃是由于完全不同的另一事物之是如彼。他不这样让人们对于三角形的本质有彻底的理解，却提出有关三角形一些片段的，任意选择的命题，并经由逻辑地，按矛盾律获得的艰涩证明而为这些命题提出逻辑的认识根据，人们不是对于这种空间关系获得了应有尽有的知识，人们得到的只是这些关系中任意传达出来的一些结果；这就好比把一部精巧的机器指给一个人看时，只告诉他一些不同的作用，而不把这机器的内在结构和运转原理告诉他一样。欧几里德所证明的一切如此如彼，都是人们为矛盾津所迫不得不承认的，但是何以如此如彼，那就无法得知了。所以人们几乎是好象看过魔术表演一样，有一种不太舒服的感受，事实上，欧几里德大多数的证明都显著地象魔术。真理几乎经常是从后门溜进来的，因为它是由于偶然从某一附带情况中产生的。一种间接的反证常常一扇又一扇把门都给关了，只留下了一扇不关，这也就是人们无可奈何，不得不由此而进的一扇门。通常在几何学中，例如在毕达戈拉斯定理中，须要作出一些直线，却不明白为什么要这样做；往后才发现这些原来都是圈套，出其不意地收紧这圈套的口，就俘虏了学习人的信服，学习人只得拜倒而承认一些他完全不懂个中情况的东西。事实竟至于此，学习人可以从头至尾研读欧几里德的著作，然而仍不能对空间关系的规律有任何真正的理解，代之而有的只是背诵一些来自此等规律的结果。这种原属经验的，非科学的知识就如一个医生，他虽知道什么病要用什么药，却不认识两者间的关系一样。这一切都是由于人们异想天开，拒绝一个认识类型自有的求证求据的方式，而横蛮地代之以一种与这类型格格不入的方式。同时，在别的方面欧几里德用以贯彻他这主张的方法却还值得赞美，这是好多世纪以来便是如此的，以至于人们竟宣称他这种治数学的方法是一切科学论述的模范，所有其他科学莫不争起效尤；不过人们后来自己也不知其所以然，又从这里回过头来了。在我的眼光看起来，欧几里德在数学上使用的方法只能算作一种很“辉煌的”错误。凡是一种大规模的，故意有计划地造成而后来又普遍地被称许的迷误，既可以涉及生活也可以涉及科学；大致总可以在当时有权威的哲学中找到他的根据。最早是厄利亚学派发现了直观中的事物和思维中的事物两者间的区别，更常发现两者间的冲突，并且在他们的哲学警句中，诡辩中广泛地利用过这种区别。继厄利亚学派，往后有麦珈利学派，辩证学派，诡辩派，新学院派和怀疑论者；他们指出要注意的是假象，也就是感官的迷误，或者更可说是悟性的迷误。悟性把感官的材料变为直观，常使我们看见一些事物，其非真实是理性一望而知的；例如水影中显为破折的直杆等等。人们已知道感性的直观不是绝对可靠的，就作出了过早的结论，以为只有理性的，逻辑的思维才能建立真理；其实柏拉图（在《巴门尼德斯》），麦珈利学派，毕隆（Pyrrhon）和新学院溅已在一些例子（如后来塞克司都斯、恩比瑞古靳所用的那类例子）中指出在另一方面，推论和概念也导致错误，甚至造成背理的推论和诡辩，说这些东西比感性直观中的假象更容易产生，却更难于解释。那时，与经验主义对立而产生的唯理主义占着上风，欧几里德就是遵循唯理主义来处理数学的，所以他只将公理，无可奈何地，建立于直观证明上，其他一切则建立在推论上。在[过去的]一切世纪中，他的方法一直是有权威的；并且一天不把先验的纯粹直观从经验的直观区别开来，这种情况也必然会延续下去。虽有欧几里德的注释家普洛克罗斯似乎已经看到这种区别，譬如克卜勒在他那部《世界的谐律》中译成拉丁文的一段，就是这位注释家的原作在这方面的表现；不过普洛克罗斯不够重视这件事，他是把它孤立地提出来的，他未被人注意，自己也没有贯彻到底。所以直到两千年以后，康德的学说既命定要在欧洲各民族的知识、思想、行为上产生这样重大的变化，才会在数学领域里促成同样的变化。因为只有我们从这位伟大哲人那里懂得空间和时间的直观完全不同于经验的直观，完全无待于一切感官上的印象，决定感官而不为感官所决定，即是说空间和时间的直观是先验的，从而也是根本不容感官的迷误入侵的；只有学得了这些，然后我们才能理解欧几里德在数学上使用的逻辑方法只是多余的谨慎，有如健全的腿上再加拐杖似的；有如行人在夜间把白色的干路当作水，唯恐踏入水中，宁可在路边高一步，低一步，走过一段又一段，还自以为得计没有碰到这原不存在的水。直到现在，我们才能有确实把握说：在我们直接观察一个几何图形时，那必然是显现于我们之前的，既不来自划在纸上不很精确的图形，也不来自我们边看边设想的抽象概念。而是来自我们意识中一切先验的认识的形式。这形式，无论在什么地方，都是根据律；在这里、作为直观的形式，也即是空间，则是存在的根据律。存在根据律的自明性、妥当性，和认识根据律的自明性、妥当性，亦即是和逻辑的真确性，是同样大小，同样直接的。所以我们不用，也不可为了单独相信后者，就离开数学自有的领域而在二个和数学不相干的领域，概念的领域里求取数学的证明。如果我们坚守数学自有的园地，我们便可获得一个[很]大的优点，就是在数学中所知道的“有这么回事”与其“何以如此”现在成为一件事了，而不再是欧几里德把它完全割裂为两事，只许知道前者，不许知道后者的办法了。其实，亚里士多德在《后分析篇》第一篇第27节中说得非常中肯：“同时告诉我们‘有一事物’及其‘何以如此’的知识比分别讲述事物之有及其所以然的知识要准确些，优越些。”在物理学中我们要得到满足，只有事物之如此与其何以如此两种知识统一起来，才有可能。单是知道托瑞切利管中的水银柱高过二十八英寸，如果不同时知道其所以如此是由于空气的压力，那是一种不够的知识。然则在数学园里的隐秘属性，譬如[知道] 圆形中两两交叉的弦的线段总是构成同样的矩形，就能满足我们吗？这里的“是如此”，欧几里德固然已在第三卷第三十五条定理中证明了，但是“何以如此”仍然没有交代。同样，毕达戈拉斯定理也告诉了我们直角三角形的一种隐秘属性。欧几里德那矫揉造作，挖空心思的证明，一到“何以如此”就避不见面了，而下列简单的，已经熟知的图形，一眼看去，就比他那个证明强得多。这图形让我们有透入这事的理解，使我们从内心坚定地理解[上述]那种必然性，理解[上述] 那种属住对于直角的依赖性：在勾股两边不相等的时候，要解决问题当然也可以从这种直观的理解着手。根本可说任何可能的几何学真理都应该这样，单是因为每次发现这样的真理都是从这种直观的必然性出发的，而证明却是事后想出来追加上去的，就应该这样。所以人们只须分析一下在当初找出一条几何学真理时的思维过程，就能直观地认识其必然性。我希望数学的讲授根本就用分析的方法，而不采取欧几里德使用的综合方法。对于复杂的数学真理，分析方法诚然有很大的困难，然而并不是不可克服的困难。在德国已经一再有人发起改变数学讲授的方式并主张多采取这种分析的途径。在这方面表现得最坚定的是诺德豪森文科中学的数学、物理教员戈萨克先生，因为他在一八五二年四月六日学校考试的提纲后面，还附加了一个详细的说明，[内容是]如何试用我的原则来处理几何学。
为了改善数学的方法，首先就要求人们放弃这样一种成见，这种成见以为经过证明的真理有什么地方胜似直观认识的真理，或是以为逻辑的，以矛盾律为根据的真理胜似形而上的真理；[其实]后者是直接自明的，而空间的纯直观也是属于[自明的]真理之内的。
最真确而又怎么也不能加以说明的便是根据律的内容。因为根据律，在其各别的形态中，原意味着我们所有一切表象和“认识”的普遍形式。一切说明都是还原到根据律，都是在个别情况中指出表象与表象之间的关联，这些关联根本就是由根据律表述出来的。因此，根据律才是一切说明[所根据]的原则，从而它自身就不能再加以说明，也不需要一个说听。每一说明都要先假定它，只有通过它才具有意义。但是在它的各个形态之间，并无优劣之分；作为存在的根据律、或是变易的根据律、或是行为的根据律、或是认识的根据律，它都是同等的真确，同样的不可证明。在它的各个形态中，根据和后果的关系都是一个必然的关系；这个关系根本就是“必然性”这概念的最高源泉，也就是这个概念的唯一意义。如果已经有了根据，那么，除了后果的必然性之外，就再没有什么必然性了，并且也没有一种根据不导致后果的必然性。所以，从前提中已有的认识根据引出在结论中道出来的后果，和空间上的存在根据决定其空间上的后果是同样的确实可靠。如果我直观地认识了这空间上的存在根据及其后果的关系，那么，这种真确性和逻辑的真确性是同等的。而每一个几何学定理就是这种关系的表出，和十二公理中任何一条都是同样真确的。这种表出是一个形而上的真理，作为这样的真理，它和矛盾津自身是同样直接真确的。矛盾律是一个超逻辑的真理，也是一切逻辑求证的普遍基础。谁要是否认几何定理表出的空间关系在直观中所昭示的必然性，他就可以以同等权利否认那些公理，否认从前提中推论出来的结果，甚至可以否认矛盾津自身；因为所有这些都同样是不得而证明的，直接自明的，可以先验认识的一些关系。所以，空间的关系本有可以直接认识到的必然性，然而人们都要通过一条逻辑的证明从矛盾律来引伸这必然性；这就不是别的，而是好象自有土地的领主却要另外一位领主把这土地佃给他似的。可是这就是欧几里德所做的。他只是被迫无可奈何才让他那些公理立足于直接的证据之上，在此以后所有的几何学真理都要经过逻辑的证明，即是说都要以那些公理为前提而从公理和定理的符合中作出的假定，或前面已有的定理来证明，或是从定理的反面对于假定的矛盾，对于公理的矛盾，对于前面定理的矛盾，甚至是对于定理自身的矛盾来证明。不过公理本身也不比其他任何几何定理有更多的直接证据，只是由于内容贫乏一些，所以更简单一此罢了。
当人们审问一个犯人时，人们总是把他的口供记录下来，以便从口供的前后一致来判断口供的真实性。但是这不过是一个不得已的措施；如果人们能够直接研究每一句口供的真实性，那就不会这样做了，因为这个犯人还可从头至尾自圆其说地撤谎。可是[单凭口供的前后一致，] 这就是欧几里德按以研究空间的方法。他虽是从[下面] 这个正确的前提出发的，即是说大自然既无处不是一致的，那么在它的基本形式中，在空间中也必须是一致的；并且由于空间的各部分既在互为根据与后果的关系中，所以没有一个空间的规定能够在它原来的样儿之外又是另外一个样儿而不和其他一切的规定相矛盾。但是这是一条繁重的，难以令人满意的弯路，这条弯路以为间接的认识比同样真确的直接认识更为可取；它又割裂了“有此事物”与“何以有此事物”的认识而大不利于科学。最后它还完全遮断了初学者对于空间规律的理解，甚至于不使他习惯于真正的探求根据，探求事物的内部联系；却反而诱导他以“事物是如此”这种历史往的知识为己足。人们经常称道这种方法可以锻炼辨别力，其实不过是学生们为了记住所有那些资料要在记忆上多费劲而已，[因为] 这些资料间的一致性是要加以比较的。
此外还有值得注意的是这种求证方法只用在几何学上而不用在算术上。在算术中，人们倒真是只用直观来阐明真理，而直观在这里就是单纯的计数。因为数的直观只在时间中，所以不能和几何学一样用感性的图形来表出，这就去掉了一个顾虑，[不必顾虑] 直观只是经验的，从而难免为假象所惑了。原来能够把逻辑的求证方式带进几何学里来的也只是这一顾虑。因为时间只有一进向，所以计数是唯一的算术运算，.其他一切运算都要还原到这一运算。这计数并不是别的，而是先验的直观。人们在这里可以毫不犹豫地援用这直观；只是由于这直观，其他一切，每一演算，每一等式最后才得以证实。譬如人们并不去证明，而是援用时间中的纯粹直观，援用计数，这就把每一个别的命题都变成公理了。因此算术和代数的全部内容不是充满了几何学的那些证明，而只是简化计数的一种方法罢了。我们在时间上所得到的数的直观，已如前述，大抵只到“十”为止，不能再多；过此以上就必需有一个“数”的抽象概念，固定于一个词儿中的概念，起而代替直观。因此就再没有真正完满地作到这直观，而不过是完全确切地加以标明罢了。就以这种情况说，由于数的自然秩序这个重要辅助工具，还是可以用同样的小数字来代替较大的数字[而价值不变]，依然可以使任何一个演算都有直观的明显性。甚至于在人们高度利用抽象作用时也是这样；在抽象中思维的不仅是数，而且有不定的量或整个演算过程，这些都可在这种意义之下用符号标记出来，譬如；这样，人们就不再进行演算，只仅仅示意而已。
和在算术中一样，人们也可以在几何学中以同样的权利，用同样的妥当性仅仅只以先验的纯粹直观作为真理的根据。事实上，赋予几何学以较大自明性的也总是这按存在根据律而直观地认识到的必然性。几何学的定理在每人意识中的真确性就是建立在这种自明的根据上的，而决不是建立在矫揉造作的逻辑证明上的。逻辑证明总是于事太疏远，大多是不久就被遗忘了；不过遗忘了也并无损于[人的] 确信。就是完全没有逻辑证明也不会减少几何学的自明之理，这是因为几何学的自明本无待于逻辑的证明，逻辑的证明总不过是证明着人们原已从别的认识方式完全确信了的东西。这就等于一个胆小的士兵在别人击毙的敌人身上戳上一刀，便大吹大擂是他杀了敌人。
有了上述这一切，可望人们以后再不会怀疑数学上的自明之理既已成为一切自明之理的模范和象征，在本质上并不是建立在证明上的而是建立在直接的直观上的。在这里如此，在任何地方也是如此，直观总是一切真理的源泉和最后根据。并且数学所根据的直观和任何其他的直观，亦即和经验的直观相比，有着一个很大的优点；即是说数学所依据的直观是先验的，从而是不依赖于经验的；经验是一部分一部分，依次获得的，对于先验的直观，[无分先后远近]则一切同时俱在，人们可以任便从根据出发或从后果出 发。这就给数学所本的先验直观带来了一种充分的、无误的正确性，因为在这直观中是从原因识取后果的，而这就是唯一有必然性的认识。例如说一个三角形中的三边相等被认为是基于角的相等。与此相反，一切经验的直观和大部分经验却只是反过来从后果认原因的，这种认识方法就不能说没有错误，因为只有在已有了原因之后，后果才说得上有必然性；而从后果认取原因就不能有这种必然性，因为同一后果可能是从不同的原因产生的。后面这种认识方法永远只是归纳法，即是从多数的后果指向一个原因而假定这原因是正确的。但是个别的情况既决不可能尽集于一处，所以这样的真理也决不是绝对可靠的。然而一切感性直观的认识和绝大部分的经验就都只有这样的真理。官能有所感受便促起悟性作出一个从后果到原因的论断，但是从原因所产生的[后果]上溯原因的推论是决不可靠的，所以作为感性迷误的假象就有可能了；并且如前所述，也经常出现。只有几种或所有五种官能都有指向同一原因的感受，假象的可能性才减低到最小限度，但并不是就完全没有了。因为在某些场合，例如使用伪造的钱币，人们就骗过了所有的感官。一切经验的认识，从而全部自然科学，如不计其纯粹的（即康德所谓形而上的）部分，也同在上述情况中。在这里也是从后果认原因，所以有关自然的一切学说都是建立在假设上的。假设又往往是错误的，错误的假设只有逐渐让位于比较正确的假设。只有在有意举行的实验中，认识过程是从原因到后果的，也就是走的那条可靠的路；可是这些实验本身又是按假设而进行的。所以没有一种自然科学的分支，如物理学、天文学，或生理学，能够象数学或逻辑一样，可以是一次被发现的，而是曾经 需要，现在还需要许多世纪所搜集的，经过比较的经验。只有经过多次经验的证实，才能使假设所依据的归纳法有那么近于完备的程度，以至这种完备的程度在实践上就可以代替准确性。于是，人们也不大以为这种完备程度的来源对于假设有什么不利，正如人们不大以为直线和曲线的不能通约对于几何学的应用有什么不利，不以为“对数”永远达不到完全的精确性对于算术有什么不利一样。原来如同人们[可以] 以无穷的分数使圆无限的接近于方，使对数无限地接近精确一样，同样，人们也[可以]以多次的经验使归纳法——亦即从后果认原因的知识——虽不是无限的，却能那么接近于数学的自明性——亦即从原因到后果的知识———以致误差的可能性小到了可以被忽略的程度。不过误差的可能性尽管小，总还是存在的；譬如从无数情况来推沦一切的情况，实际上也就是推沦一切情况所依据的那一未知的原因，就是一个归纳的推论。在这种论断中还有一个比“人的心脏都在左边”这样的论断更显得可靠的吗？然而，在最罕有的场合，在极个别的例外，居然有些人的心脏在右边。——因此，感性的直观和经验的科学都有着同一类的证据。和感性直观与经验科学相比，数学，纯粹自然科学与逻辑，作为先验的知识而有的优点，只在于一切先验性所本的认识的形式方面是全部而同时被给与的；所以，在数学，纯粹自然科学和逻辑经常可以从原因走向后果；而在感性直观和经验科学则大多只能从后果走到原因。在别的方面，因果律本身，亦即指导经验认识的变易根据律，和上述[纯粹]科学先验地服从的根据律的其他形态是同等妥当的。——从概念得来的逻辑证明或推沦也和先验直观的认识一样，有着从原因认取后果的优点，由此这些推论在其自身，亦即在形式上，也是不可能有错误的。这很有助于使证明根本享有如此高的评价。可是逻辑证明的无误性只是相对的。这些证明只是在一门科学的最高命题之下从事概括罢了，而这些最高命题才是包含这门科学所有一切真理的总汇，所以不能就以证明了事，而是必须以直观为根据的。这种直观在上述几个少数的先验科学中是纯粹的，否则总是经验的，并且只有通过归纳法才能提升到普遍。所以，在经验的科学中虽也可以从普遍证明特殊，但这普遍是从个别获得其真实性的，这普遍是一个储存器材的仓库，却不是自己能生产的土壤。
