[26] 见《科学发现的逻辑》，第163页(第55节)：尤见新的附录*XVi。.2
(9) m是偶数。
显然，(5)和(9)是与(2)矛盾的。于是，有两个自然数n和m，它的比率等于√2，这个假定导致一个荒谬的结论。因此，√2不是一个比率，它是无理的。
这个证明只用了自然数的算术方法。因此它应用的是纯毕达哥拉斯的方法，所以传统所说它是在毕达哥拉斯学派以内发现的，这是无庸怀疑的。但是说毕达哥拉斯发现它，或者很早时期被人发现的，则不大可能：芝诺似乎不知道它，德谟克利特也不知道它。而且，因为它破坏了毕达哥拉斯主义的基础，我们有理由假定在这个学派的影响达到高峰之前，远远没有被人发现，至少在这个学派很好地建立起来之前还没有发现，因为这个发现促成了这个学派的衰落。传说认为是在这个学派的范围内但在保密的情况下发现的，看来似乎是很可能的。为了支持这一论点，也许只要看一下“无理的”这个词的旧的说法——arrhētos，“难以形容的”或“说不出口的”——就已暗示一种说不出口的秘密。传说这个学派的一个成员泄露了这个秘密，就因为他的背叛而被杀了。[42]尽管如此，有一点是无可怀疑的，即认识到有不合理的量存在(当然，它们没有被作为是数)，而且它们的存在削弱了毕达哥拉斯学派的信念，并打破了从自然数导出宇宙论甚至几何学的希望。
VIII
是柏拉图认识到这个事实，并在他的《法律篇》中用最强烈的语言强调它的重要意义，谴责他的国人没有能估计到它的含义。我认为他的全部哲学，特别是他的“形式”或“理念”理论，是受着这个信仰的影响的。
柏拉图很接近毕达哥拉斯学派，也接近埃利亚学派；虽然他表面上对德谟克利特有反感，但他自己却多少是一个原子论者。(原子论的教学始终是他的“学院”的传统。[43])鉴于毕达哥拉斯派与原子论的思想的密切关系，这并不奇怪。但是这一切都受到无理数发现的威胁。我认为柏拉图对科学的主要贡献是由于他认识到无理数的问题，以及他为挽救科学的危机对毕达哥拉斯主义和原子论所作的修正。
他认识到关于自然的纯算术理论是失败了，现在需要一种描述和解释世界的新的数学方法。因此他提倡发展一种独立的几何方法。这个方法在柏拉图主义者欧几里得的《纲要》中得到了实现。
这些事实是什么呢?我将试图简要地把它们罗列如下：
(1)在德谟克利特的形式中，毕达哥拉斯主义与原子论基本上都是以算术为基础的，就是说以计数为基础的。
(2)柏拉图强调了无理数的发现是灾难性的。
(3)他在学院的大门上写着“未经几何训练的人不得入内”。但是，按照柏拉图的最接近的学生亚里士多德[44]和欧几里得，都典型地把几何用来研究不可通约的数或无理数，而与论述“奇数与偶数”(即论述整数及其关系)的算术大相径庭。
(4)在柏拉图死后不久，他的学派在欧几里得的《纲要》中提出一个见解，其要点之一是使数学从“算术”的可通约性或有理数的假定中解放出来。
(5)柏拉图自己对这个发展作出了贡献，特别是对立体几何学的发展作出了贡献。
(6)尤其是他在《蒂迈欧篇》中对以前的纯算术的原子论给予一种明确的几何学论述；这是用体现了无理数2的平方根和3的平方根的三角形来创立的基本粒子(著名的柏拉图的物体)的说明。(参见以下说明。)除此以外，他在其他方面大都保留了毕达哥拉斯的观点以及德谟克利特的某些重要观点。[45]同时，他试图去除德谟克利特的虚空；因为他认识到[46]即使在一个“满”的世界里仍可能有运动，如果把液体中的旋涡看作是运动性质的话。这样，他又保留了巴门尼德的某些最重要的观点。[47]
(7)柏拉图鼓励制造世界的几何模型，特别是解释行星运动的模型。我认为欧几里得的几何学并非(如现在通常所假定的)作为一种纯几何学的运用，而是作为一种世界理论的研究原则。按照这个观点，《纲要》并不是一部几何学教科书，而是试图系统地解决柏拉图的宇宙论的主要问题。这样做获得了很大成就，因而许多问题解决之后就不复存在，而且几乎都被忘却了；虽然在普罗克勒斯的著作中仍然留有痕迹，他写道：“有些人认为欧几里得各种著作的主题是关于宇宙的，它们的主旨是帮助我们对宇宙的思考并建立宇宙理论”(本书第118页注①所引书，第71页)。然而，甚至普罗克勒斯在这个地方也并未提到这个主要问题——无理数问题(虽然他在别处提到)；不过他正确地指出，《纲要》以“宇宙”的构造或“柏拉图的”正多面体结束。自从[48]柏拉图和欧几里得以后，而不是以前，几何(而不是算术)方才在物质理论和宇宙论中，表现为一切物理解释和描述的基本工具。[49]
Ⅸ
这些都是历史事实。我认为它们大有助于确立我的主要论点：我所谓讲授哲学的初看有效的方法不能导致对柏拉图所关心的问题的理解，也不能使人正确地评价他的世界几何理论，而这可以公正地说成是他最伟大的哲学成就。文艺复兴时期的伟大物理学家——哥白尼、伽利略、开普勒、吉尔伯特，他们离开亚里士多德转向柏拉图，企图用宇宙论的几何方法来代替亚里士多德的质的实体或潜能。的确，这就是文艺复兴(在科学上)的基本意义：几何方法的复兴，它成为欧几里得、亚里斯塔克斯、阿基米德、哥白尼、开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦著作的基础。
但是，说这个成就是哲学的成就，这合适吗?它不是更应属于物理学——一种事实科学；或者纯数学——如维特根斯坦学派所主张的，即重言式逻辑的一个分支吗?
我认为在这个阶段，我们可以非常清楚地看到为什么柏拉图的成就(尽管它无疑有着物理学的、逻辑的、混合的以及不能感知的成分)是一种哲学的成就；为什么至少他的自然哲学和物理学的哲学部分经久不衰，而且我认为将是永不衰竭的。
我们在柏拉图以及他的先驱者们中间所发现的是有意识的构造和发明对于世界和世界知识的一种新的研究方法。这个研究方法把一种原始的神学观念(即用一种假设的无形世界来解释有形世界)，[50]改变为理论科学的一个基本工具。这个观念被阿那克萨哥拉和德谟克利特[51] 作为研究物质或物体本性的原则而明确地阐述出来；用关于无形的、小得看不见的物质结构的假设来解释可见的物质。在柏拉图的学说里这个观点是自觉地被接受了，并普遍推广了；变化的可见世界最后是以具有各种不变“形式”(或实体，或本质，或本性；即我将试图详细表明的几何形状或图形)的看不见的世界来解释的。
这种关于物质的看不见的结构的观念，是一个物理的观念还是一个哲学的观念呢?如果一个物理学家，仅仅根据这个理论行事，如果他接受这个理论(或许是不自觉地)，通过把他的学科的传统问题作为他所碰到的问题状况提供的问题来接受，如果他这样做，并提出一个新的特殊的物质结构的理论，那末我是不能把他叫做哲学家的。但如果他考虑它，并且比如驳斥它(就像贝克莱或马赫)，不赞成这种理论的并有点像神学的研究方法，而赞成一种现象学的或实证主义的物理学，那末他就可以称得上一个哲学家。同样，那些自觉地探寻理论的方法，建立这种方法，并明白地加以陈述，从而把这种假设的和演绎的方法从神学改为物理学，他就是哲学家，尽管就他们根据自己的规则行事并试图拿出关于看不见的物质结构的真实理论而言，他们又是物理学家。
但是，我对这种正确使用“哲学”标签的问题不准备再讲下去了，因为这个问题即维特根斯坦的问题，显然本来是一种语言用法的问题；它的确是一个假问题，必然会很快地使我的听众感到厌烦。然而，我愿意对柏拉图的形式或理念论再说几句，或者说得更确切一点，对上面指出的历史事实的第六点再说几句。
柏拉图的物质结构的理论可以在《蒂迈欧篇》中找到。它和现代用晶体论解释固体的理论至少有表面上的相似。他的物体是由不同形状的看不见的基本粒子所组成，可见物质的可见性质就是根据这些形状来的。基本粒子的形状又是为形成它们各边的平面图形的形状所决定的。这些平面图形最后又是由两个基本三角形所组成：相当于半个正方形的(或等腰直角的)三角形，和相当于半个等边三角形的直角三角形，前者具体表现了2的平方根，后者具体表现了3的平方根，两者都是无理数。
这些三角形又被说成是不变的“形式”或“理念”的摹本;[52]这意味着属于几何的“形式”获准进入毕达哥拉斯的“算术”的形式数的天门。
可以肯定，这种结构的用意是试图把无理数和构成世界的最基本元素结合起来，以解决原子论的危机。一旦解决了这个。问题，由于无理距离的存在而引起的困难就克服了。
但是，柏拉图为什么仅仅选择了这两个三角形呢?作为一种猜测，我曾在别处[53]说明了这个观点，即柏拉图认为所有其他无理数可以通过有理数加上2和3的方根的倍数而获得。[54]我现在更加感到自信，《蒂迈欧篇》中的关键性段落确实意味着这个理论(欧几里得后来指出它是错误的)。因为在我们提到的这段文字里，柏拉图清楚地说到，“所有三角形都是从两个三角形合成的，这两个三角形各有一个直角”，他继续把这两个三角形详细说成是半个正方形和半个等边三角形。但是从上下文看来，这只能意味着所有三角形都可以由这两者合成，而这个观点等于下述错误理论：所有无理数跟有理数与2和3的方根之和具有相对可通约性。[55]
但是，柏拉图并没有自命对这讨论的理论找到证明。相反，他说他假定这两个三角形为本原，“是同一种把猜测与必然性联系在一起的说明相符合的。”不久以后，他以半个等边三角形作为他的第二个本原来解释时，他说：“这个理由是很复杂的，但是如果任何人竟然探索这个问题，并证明它具有这个性质(我假定所有其他三角形都可以由这两个所组成)，那末，我们都愿意他是得奖者”。[56]这句话有点含糊，大概柏拉图意识到他关于这两个三角形的(错误)猜测还缺少证明，他感到应由别人来加以补充。
看来，这段文字的含糊不清产生了一个奇怪效果，就是柏拉图明明说选择三角形是把无理数引入他的形式世界，但是他的读者和评论者都没有注意到，尽管柏拉图在其他地方也强调了无理性问题。而这反过来或许可以说明为什么柏拉图的形式论在亚里士多德看来与毕达哥拉斯的形式-数的理论[57]基本上是一样的，以及为什么柏拉图的原子论在亚里士多德看来仅仅是德谟克利特原子论的一个比较次要的改变。[58]亚里士多德尽管把奇数和偶数与算术的联系，以及无理数与几何的联系，都认为是理所当然的，但并没有认真对待无理数的问题。《蒂迈欧篇》中柏拉图的空间和物质是等同的；从亚里士多德对《蒂迈欧篇》的这个解释来看，他似乎已认为柏拉图对几何学的改革方案是理所当然的；这在亚里士多德进入学园以前已由欧多塞斯部分地实现了，亚里士多德只是表面上对数学感到兴趣。他从未提到过学园大门上的题词。
总括起来，大约柏拉图的形式论和物质论都是他的先驱者即毕达哥拉斯和德谟克利特各自的理论的重述，因为柏拉图认识到无理数要求把几何学放在算术之前。为了促进这种解放，柏拉图对欧几里得体系的发展作了贡献，建立了最重要的和最有影响的演绎理论。由于他采用几何学作为世界的理论，他就为阿里斯塔克斯、牛顿和爱因斯坦装备了智慧的工具箱。这样，希腊原子论的一场灾难就转变为一个重大的成就。但是，柏拉图的科学兴趣却部分地被人遗忘了。科学上的问题状况引起柏拉图的哲学问题，这很少为人理解。而柏拉图的最伟大的成就，关于世界的几何理论，对我们的世界图景的影响是这样大，以致我们不假思索就认为是理所当然的了。
X
一个例子是决不够的。我从许多有趣的可能性中选择了康德作为第二个例子。他的《纯粹理性批判》是一本最难读的书。康德非常匆忙地写了这本书；[59]他讨论的问题，我将试图表明，不仅是不能解决的，而且也是被误解了的。不过它不是一个假问题，而是当时科学现状所引起的一个无法避免的问题。
他的书是为那些懂得点关于牛顿星球动力学以及至少对牛顿的前辈——哥白尼、第谷·布拉埃、开普勒和伽利略的某些思想有所了解的人而写的。
对我们今天的知识分子来说，像我们这样被科学的胜利景象所宠坏而感到厌倦的人，或许难以认识到牛顿理论不仅对康德、而且对任何一个十八世纪思想家具有怎样的涵义。古人以无比的勇气试行解决宇宙之谜，中间经过长期的衰落和复苏，然后取得了惊人的成就。牛顿发现了这个长期探寻的秘密。他的几何理论以欧几里得为基础和模型，开头是引起人们极大疑虑的，连它的创始人也感到担心。[60]原因是万有引力被认为是“神秘的”，至少是需要解释的一种东西。虽然没有找到言之有理的解释(牛顿也不屑于求助于特定的假设)，但远在康德对牛顿的理论作出他自己的重要贡献以前，即在《原理》发表七十八年后，所有的疑虑都早已消失了。[61]任何有资格的科学现状的判断者[62]都不再怀疑牛顿的理论是真实的了。这个理论已为许多精确的测量检验过，证明总是对的。它导致预言开普勒定律的细微偏差，并导致新的发现。在我们这样一个时代，许多理论就像皮卡迪利大街上的公共汽车一样来来往往，而且每个学生都听到牛顿早已为爱因斯坦所代替的时候，人们很难重新获得牛顿理论所引起的那种确信不移的感觉，那种欢欣鼓舞的感觉和解放的感觉。在思想史上出现了一个永远不会重复的独一无二的事件：关于宇宙的绝对真理的最初的和最终的发现。一个古老的梦想成为事实了。人类获得了知识，真正的、确实的、无可怀疑的和可证明的知识——神圣的科学或认识，而不只是人们的意见。
这样，对于康德来说，牛顿的理论完全是正确的，在康德死后一个世纪内，人们对牛顿学说的真理性的信念始终没有动摇过。康德最后承认他和所有其他人曾误以为事实上科学或认识已完成。起初，他毫不怀疑地承认这个事实。他把这种状态叫做“独断论的沉睡”。休谟把他从睡梦中唤醒了。
休谟曾经教导说，关于宇宙规律的确实知识或认识这样的东西是没有的，我们知道的一切事物都是靠观察获得的，而观察只能是单独的(或特殊的)事例，因此一切理论知识都是不确定的。他的论证是可信服的(并且他当然是正确的)。然而有一个事实，或者说一个表面的事实——牛顿对认识的完成。
休谟唤醒了康德，使他认识到他从不怀疑是事实的东西是近乎荒谬的。这里有一个不能排除的问题。一个人怎能掌握这样的知识?这种知识是普遍的、精确的、数学的、可证明的和无可怀疑的，像欧几里得几何学那样，而且还能解释观察事实的原因。
这样就引起了《纯粹理性批判》的中心问题：纯自然科学怎样才可能呢?所谓纯自然科学——科学，认识——康德认为就是牛顿的理论。(不幸的是，他并没有这样说；我不知道阅读他的第一部《批判》(1781年版和1787年版)的学生怎么可能发现它。但是康德考虑到牛顿的理论是很清楚的，在1786年的《自然科学的形而上学基础》中，他给予牛顿理论一个先验的演绎；特别参见第二大部分的八个原理，以及附录，尤其是附录2，注①，第二段。在最后的“现象学漫笔”第十五段里，康德把牛顿的理论和“星空”联系起来。从1788年的《实践理性批判》的结论看也是很清楚的，在第二段的末了，用新天文学的先验性解释了他诉诸“星空”的原因。[63]
虽然《批判》写得很不好，而且充满语法错误，但是问题并不是一个语言问题。这里是知识。牛顿是如何取得的?这个问题是避免不了的。[64]但它也是无法解决的。因为认识的取得这件表面事实并不是事实。正如我们现在知道的，或者相信我们知道的，牛顿的理论不过是一个奇妙的猜测，一个好得惊人的近似计算；它的确是绝无仅有的，但不是作为神圣的真理，而只是作为人类天才的一个独特的发明，不是认识，而是属于意见的范围。这一来康德的问题，即“纯自然科学如何成为可能”的问题就解体了，他的最令人困惑不解的那些问题就不复存在了。
康德把他对他的不能解决的问题所提出的解决办法得意地叫做知识问题的“哥白尼革命”。知识——认识——之所以是可能的，因为我们不是感觉资料的被动接受者，而是感觉资料的主动的整理者。通过对感觉资料的整理和吸收，我们把它们形成和组织成一个宇宙，即自然界。在这一过程中，我们把提供给我们感官的材料加上数学规律，而这些规律就是我们进行整理和组织的一部分技巧。就是这样，我们的理智并没有在自然界里发现普遍规律，而是它规定自己的规律并把它们强加于自然界。
这个理论是荒谬和真理的一个奇异混合物。它同它试图解决的错误的问题一样荒谬；因为它证明的太多了，它想要证明的太多了。根据康德的理论，“纯自然科学”不仅是可能的；尽管他并不总是意识到这一点，而且与他的愿望相反，它成了我们心理素质的必然结果。因为如果我们取得知识的事实居然可以用我们的理智为自然立法并把规律强加于自然界这一事实来解释的话，那末这两个事实中的第一个就不能比第二个更可能发生。[65]因此问题就不再是牛顿如何能作出他的发现，而是其他的人为何不能作出发现。为什么我们进行整理的技巧没有更早地发挥作用?
这是康德观点的一个显然荒谬的推论。但随便把它排除掉，并且把它作为一个假问题而排除，是不够好的。因为我们把他的问题缩小到它的适当范围之后，就可以在他的思想中发现一点真理因素(休谟的某些观点很需要这点改正)。我们现在知道，或者认为我们知道，他的问题应该是：“成功的猜测是怎样可能的?”而我们的回答，根据他的哥白尼革命的精神，依我看不妨是这样：因为，正如你说的，我们不是感觉资料的被动接受者，而是主动的机体。因为我们对环境的反应并不总是本能的，有时是有意识的和自由的。因为我们能够发明神话、故事、理论；因为我们有求解释的渴望，有一种满足不了的好奇心和求知的愿望。因为我们不仅创造故事和理论，而且要试用它们，看看它们是否起作用和怎样起作用。因为通过巨大的努力，通过艰苦尝试并犯了许多错误，如果幸运的话，我们有时也许成功地发明一个故事，一种解释，“说明了事物现象”；也许通过编造一个关于“看不见的物”的神话，如原子或万有引力，而解释了看得见的事物。因为知识是思想的探险。这些思想诚然是我们提供的，而不是我们周围的世界提供的；它们不仅仅是重复的感觉或刺激等等的痕迹；这一点你是对的。但是我们甚至比你所认为的更主动、更自由；因为正如你的理论意味着的，相同的观察或同样的环境状况在不同的人中并不产生同样的解释。还有，我们创造自己的理论并试图把它强加于世界这件事实，诚如你所认为的，并不说明它们的成功。[66]因为我们的绝大多数的理论和自由创造的观念都是不成功的；它们经不起仔细的检验，并且被经验证明是错的而被抛弃掉。只有极少数在生存竞争中取得一个时期的成功。[67]
Ⅺ
看来康德的继承者很少清楚地懂得导致康德著作产生的当时的问题状况。对康德来说，有两个这样的问题：牛顿的天体动力学和法国革命者所诉诸的人类兄弟关系和正义的绝对标准；或者，正如康德提出的，“在我头上的星空和我心内的道德规律”。但是很少有人懂得，康德的星空是引的牛顿的话。[68]从费希特以来，[69]许多人抄袭了康德的“方法”以及他的《批判》的难解的文体。但是，多数的模仿者并未觉察到康德的原来的兴趣和问题，总是忙于收紧或开脱康德(并非由于他自己的过失)束缚自己的难解的结。
我们必须小心不要把模仿者的几乎无意义的和不得要领的繁琐论证，错误地当作先驱者的迫切的真正的问题。我们应当记住，康德的问题，在通常的意义上虽然不是一个经验的问题，然而出乎人的意料，在某种意义上，却是一个事实问题(康德称这些事实为“超验”的)，原因是它是从科学或认识的一个表面的、但是不存在的事例产生的。我认为，我们应该认真考虑这样一个建议：康德的回答尽管有一部分是荒谬的，但却包含着真正科学哲学的核心。
[1] 英国科学史学会科学哲学组(今英国科学哲学学会)1952年4月28日的会议上，主席的致词；最初发表于《英国科学哲学杂志》，1952年第3期。
[2] 我把它称为次要的问题，是因为我相信，只要反驳引起这问题的那个(“相对主义的”)学说，就可以容易地把它解决。(因此，对这问题的回答是否定的。见我的《开放社会》l962年第4版所增添的该书第2卷的《补遗》。)
[3] 这个观点是我所称的“本质主义”的一部分。例如参见我的《开放社会》第2和11章，或《历史决定论的贫困》第10节。
[4] 这种趋势可以用这个原理来解释：理论解释越是令人满意，它们就越能得到独立证据的支持。因为，为了得到各个相互独立的证据的支持，一个理论必须是包罗很广的。
[5] “一切动物都一样，但有些比另一些更加一样”，是罗素和维特根斯坦专门意义上的“无意义”表述的一个绝好例示，虽然在奥威尔的《畜牧场》(Animal
Farm)里，它显然远不是无意义(在不得要领的意义上)的。令人感兴趣的是，后来奥威尔考虑是否可能引入一种语言，强制大家使用它，这样，“一切人都一样’’就将成为维特根斯坦专门意义上的无意义表述。
[6] 维特根斯坦把他自己的《逻辑哲学论》说成是无意义的(亦见下面一个脚注)，因此他至少隐含地区分了明显的或重要的无意义和无价值的或不重要的无意义。但是，这并不影响我正在讨论的他的主要学说即哲学问题之不存在。(对维特根斯坦其他学说的讨论，可见我的《开放社会》中的注解，尤其是第11章的注（26）（46）、（51）和（52）)
[7] 几乎一下子就可以发觉这个学说有个毛病：可以说，这学说本身就是一个哲学理论，而它声称是真实的，并且不是无意义的。然而，这种批判也许不大有力。它至少可能遇到两种反诘。(1)人们可能说，实际上，这学说不是作为活动，而是作为学说才无意义的。(这正是维特根斯坦的观点，他在《逻辑哲学论》的结尾说，凡是读懂这本书的人，最终必定认识到，它本身是无意义的，因此必定对它来个过河拆桥。)
(2)人们可能说，这个学说不是哲学学说，而是经验学说；它道出了这个历史事实：哲学家提出的一切表面的“理论”实际上都不合文法；事实上，这些理论都不符合看上去对它们进行了表述的那些语言所固有的规则；这个缺陷最后证明是不可能修补的；企图适当地表达它们的任何尝试，都导致它们失去哲学性质(并且暴露出它们是经验的自明之理或者是假陈述)。我认为，这两个反论据的确拯救了这个学说的受到威胁的一致性，这样一来，在本注解所提到的这种批判面前，它实际上成为“无懈可击的”了(用维特根斯坦的话来说)。(亦见下面的注。)
[8] 这两句引文不是一个科学批评家的话。令人啼笑皆非的是，它们却是黑格尔自己对它的前驱、一度的朋友谢林的自然哲学的刻画。参见我的《开放社会》第12章的注④(和正文)。
[9] 我最后一次见到维特根斯坦的时候（在1946年，那时他在主持剑桥道德科学俱乐部的一次颇多风波的会议，我在会上宣读了一篇关于“有没有哲学问题？”的论文），他仍以这里所论述的那种形式坚持不存在哲学问题的学说。我从未读到过他未发表的手稿，它们在他的一些学生中间私下流传，因此，我怀疑，他有否修改过我在这里所称的他的“学说”；但是，就此也即就他的学说的最基本最有影响的部分而言，我觉得他的观点没有改变。
