[27] 由柏拉图的《蒂迈欧篇》，55所引起。那里用相应固体的几何性质(因而还用它们的实体形式)来解释元素的潜在倾向。
[28] “本质主义的”(参见第93页注①)实体理论的毫无成果是同它的拟人主义相联系的；因为实体(如洛克所认为的那样)是从一个自我同一的然而变化着、展开着的自我的经验获取其貌似的可能性。但是，尽管我们可能对亚里士多德的实体从物理学中消失这一事实表示欢迎，但如海克教授所说，拟人化地思考人时，是一点也不错的；也没有什么哲学的或先验的理由，要求实体从心理学中消失。
[29] 参见德谟克利特，第尔斯，残篇11(参见阿那克萨哥拉，第尔斯，残篇21;亦见残篇7)。
[30] 参见塞克斯都·恩披里柯：《反对科学家》(贝克尔)，vii，140，第221页，23B。
[31] 哲学相对主义意义上的“相对主义的”，例如，普罗塔哥拉的“人的测度”的学说。不幸的是，现在仍得强调一下，爱因斯坦的理论同这种哲学相对主义毫无共同之处。
[32] “实证主义”是培根的倾向；也是早期皇家学会的理论(但所幸不是实践)倾向；还是当代的马赫(他反对原子论)以及感觉材料理论家的倾向。
[33] 参见第尔斯，残篇155,它必须按照阿基米德(海伯格编),II2，第428和429页。参见S．卢里安的极为重要的论文《古代原子论者的无穷小法》(Die
lnfinitesimal methode
der antiken Atomisten)，《数学史资料和论文》(Quellen
& Studien zur Gesch．d．Math．abt．B．1932年第2期，第142页)。
[34] 参见A.马尔希《自然和认识》(Natur
und Erkeantnis)，维也纳l948年版第193和194页。
[35] 参见S．卢里安上引著作，尤见第148页以后、172页以后。A．T．尼科尔斯小姐在《看不见的线》(Indivisible
Lines)(《经典季刊》(Class．Quarterly)，xxx，1936年，第120和121页)中证明了，“有两段引文，一段是普罗塔克的，另一段是辛普里休斯的，表明为什么德谟克利特“无法相信看不见的线”；然而，她没有谈到卢里安1932年的反对意见。我觉得后者远为令人信服，尤其如果我们记得德谟克利特曾试图回答芝诺(见下一个注)。但是，不管德漠克利特关于看不见的或原子的距离的观点究竟怎样，柏拉图看来是认为，德谟克利特的原子论需要按照无理数的发现加以修正。然而，希思(《希腊数学》(Greek
Mathematics)第1卷，1921年，第181页，提到辛普里休斯和亚里士多德)也认为，德谟克利特没有说过存在看不见的线。
[36] 这个针锋相对的回答保留在亚里士多德的《论发生和腐坏》(On
Generationand Corruption)之中，第14页以下。I．哈默．詹森在1910年最初认为这段非常重要的话是德谟克利特的，卢里安仔细讨论过这段话，他说(上引著作，135)它是巴门尼德和芝诺的：“德漠克利特借用了他们的演绎论证，但他得出相反的结论。”
[37] 参见G．H．哈迪和E．M．赖特：《数论导论》(Introduction
to Theory ofNumbers)(1938年，第39、42页)，其中有柏拉图的《泰阿泰德篇》记载的关于西奥多勒斯证明的一段十分有趣的历史论述。亦可见A．瓦塞施泰因的论文《〈泰阿泰德篇〉与数论历史》(Theaetetus
and the History of the Theory of Numbers)，《经典季刊》1958年，第8期，第165-179页。这是我所知道的关于这个问题的最出色的讨论。
[38] 而不是我在《开放社会》(第2版)第6章注⑨中所译的《论无理的线和原子》(On
Irrational Lines and Atoms)。我认为，为了表达这个题目(考虑到下一个注中所提到的柏拉图的话)的可能含义，最好是译成《论古怪的线和原子》。参见H．沃格特：《数学文献》(Bibl．Math．)，1910年第10期(希思反对他，《希腊数学》第156和157页，但我认为希思并不十分成功)；以及S．卢里安：上页注①引著作第168页以后令人信服地提出，(亚里士多德的)《论不可分线》(De
insec,lin．)(968
b17)和普罗塔克的《论普通概念》(De
comnl．notit．38，2)包含德谟克利特工作的线索。按照这两个资料，德谟克利特的论证是这样的。如果线无限可分，那末，它们乃由无限多的终极单元所组成，因此全都像∞：∞地相关，这就是说，它们全都是“不可比的”(没有比例)。实际上，如果把线看成点的类，那末按照现代的观点，一条线的点的基“数”(势)对于一切线都相等，不管这些线是有限的还是无限的。这个事实被说成是“悖论”(例如波尔察诺)，而德谟克利特则很可能说它是“古怪的”。可以指出，按照布劳威尔的意见，甚至一个连续统的勒贝格测度的古典理论也导致基本上相同的结果；因为布劳威尔断言，所有的古典连续统都有零的测度，因此比率的不存在在这里表达为0：0。德谟克利特的结果(和他的Ameres理论)看来是不可能的，只要几何是基于毕达哥拉斯的算术方法，即点的计数。
[39] 这将符合于引自《开放社会》的那个注中所指出的事实：“alogos”似乎只是很久以后才用来表示“无理的”，提到德谟克利特的书名的柏拉图，在那里（《理想国》534d）是在“古怪的”意义上使用“alogos”这个词的；就我所知，柏拉图从未把它用作“arrhētos”的同义词。
[40] G．弗里德莱因编：《普罗克勒斯对欧几里得(原本)第1编的评述》(Procli
Diadochi in primum Euclidis Elementtorum librum commentarii)，莱比锡1873年版第487页，第7-21页。
[41] 普罗克勒斯的上引著作第428页，第21-429页，第8页。
[42] 这说的是一个名叫希帕索斯的人，这个人的情况不太清楚；据说他死在海上(参见第尔斯，4)。亦见本书第116页注①中提到的A．瓦塞施泰因的文章。
[43] 见S．卢里安，前面第115页注①所引著作，尤其是论述普罗塔克的部分。
[44] 《后分析篇》76b9；《形而上学》983a20，1061
b1。亦见《厄庇诺米斯篇》(Epinomis)990d。
[45] 具体地说，柏拉图接过了德谟克利特的涡旋理论(第尔斯，残篇167，164；参见阿那克萨哥拉，第尔斯，9和12，13；亦见下面两个脚注)和他的我们今天将称之为引力现象的理论(第尔斯，164；阿那克萨哥拉12，13，15和2)——这个理论曾被亚里士多德略加修改，最终为伽利略所抛弃。
[46] 最清楚的段落是《蒂迈欧篇》80c；它说，无论是在(摩擦过的)琥珀还是“赫拉克利特的石头”(磁石)的例子里，都没有真实的吸引；“没有虚空，这些东西是自己推着转、彼此靠近的”。另一方面，柏拉图不大明白这一点，因为他的基本粒子(不同于立方体和棱锥)不可能满得不留些(空的?)间隙，如亚里士多德在《论天》(De
Caelo)306b5中所发现的。亦可见本书第112页注①(和《蒂迈欧篇》52e)。
[47] 柏拉图对原子论和充实理论(“自然厌恶空虚”)的调和，对于至今的物理学史具有极为重要的意义。因为它强烈地影响了笛卡儿，成为以太和光的理论的基础，最后又经过惠更斯和麦克斯韦而成为德布罗意的理论与薛定谔的波动力学的基础。见我载于《国际哲学会议(1958年)文选》(Atti．Congr．Intern．di
Filosofia)(1958年)，第367页以后的报告。
[48] 一个例外是算术方法在量子论中重新出现，例如基于泡利不相容原理的周期系电子壳层理论；这是对柏拉图把算术几何化的倾向(见下面)的颠倒。
关于有时称为“几何算术化”的现代倾向(它决不表征现代关于几何学的全部工作)或者说分析的倾向，应当指出，它同毕达哥拉斯的方式没什么相似，因为它的主要工具是自然数的集合或无限序列，而不是自然数本身。
只有那些局限于“构造的”、“有穷论的”或“直觉主义的”数论方法——同集合论方法相反——的人可能声称，他们像毕达哥拉斯或前柏拉图的算术思想那样，也试图把几何学还原为数论。沿着这个方向的重大一步，似乎是最近由德国数学家E．德．韦特完成的。
[49] 关于柏拉图和欧几里得的影响的一种类似观点，见G．F．海明斯：《国际第十届哲学大会文集》(阿姆斯特丹，1N9年)，第2分册第847页。
[50] 参见荷马借助于奥林匹斯山的无形世界对特洛伊城周围的有形世界的解释。到了德谟克利特的手里，这个思想的神学性质有所减弱(它在巴门尼德那里仍很强，尽管在阿那克萨哥拉那里没有那么强)，但到了柏拉图手里便又恢复，只是不久便又丧失了。
[51] 见本书第114页注①以及阿那克萨哥拉残篇以和17，第尔斯-克兰茨。
[52] 关于三角形被理念(“父亲”)从空间(“母亲”)那里逐出的过程，参见我的《开放社会》第3章注(15)和那里列出的参考文献以及第6章注⑨。在允许无理的三角形进入他的神圣形式的天门时，柏拉图承认了某种在毕达哥拉斯意义上“不可确定的”东西亦即属于对立表中坏的一边的东西。这种“坏”东西可能是必须予以接纳的，而这一点最早见于柏拉图的《巴门尼德》130b-e；这种接纳被加诸巴门尼德本人之口。
[53] 在上面所引的我的《开放社会》中的后一个注。
[54] 这意味着，一切几何距离(长度)都可以同成1：√2：√3关系的三个“测度”之一(或者两个之和，或者三个之和)通约。看来亚里士多德甚至可能相信，一切几何长度都可同两个测度即1和√2之一通约。因为他写道(《形而上学》1053a17)：“一个正方形的对角线与边和一切(几何)长度可用两个(测度)来量度。”(比较罗斯对这段话的说明。)
[55] 在我上面提到的《开放社会》第6章的注⑨中，我还猜测，是√2+√3之近似于π这一点促使柏拉图采取他的错误理论。
[56] 这两段引文取自《蒂迈欧篇》53c/d和54a/b。
[57] 我相信，我们的考虑可能对柏拉图的著名的两个“本原”——“一”和“不确定的二”的问题有所启示。下述的说明阐明了一个见解，这个见解是范·德·维伦(《论柏拉图的理念》(De
Ideegetallen van Plato)，1941年，第132和133页)提出的，罗斯(《柏拉图的理念论》(Plato’s
Theory of ldeas)第201页)针对范·德·维伦自己对之作的批判而替它作了精彩的辩护。我们假设，“不确定的二”是一条直线或距离，不把它解释为单位距离或者已经量度过。我们假设，把一个点(极限、“一”)逐次放到按比率1：n(对于任何自然数n)分割二的那些位置上。于是，我们可以把数的“生成”描述如下。对于n=1，二分为成1：1的两部分。这可解释为2从一(1：1=1)和二生成，因为我们已把二分成二等分。如此“生成”了数2，我们便按比率1：2分割二(所产生的较大部分像前面一样再按比率1：1分割)，这样便生成三等分和数3；一般地说，一个数n的“生成”引起按比率1：n分割二，由此导致“生成”数n+1。(在每个阶段，“一”都重新干预，作为点把极限、形式或测度引入在其他方面“不确定的”二，以产生这新的数；这段话能增强罗斯驳斥范·德·维伦的力量。也请比较特普利茨、施滕第尔、贝克尔等人的论文(《数学史资料和论文》)(Quellen
&Studienz．Gesch．d．Math．)(1991年第1卷)。然而，他们都没有暗示算术的几何化——尽管在第476和477页上有图形。)
应当注意到，尽管这个程序仅仅“生成”(至少在第一个例子中)自然数序列，但它包含一个几何因素——把一条直线先分割成二等分，再按某个比例1：n分割成两部分。这两种分割都需要用几何方法，尤其第二种分割更需要像欧多塞斯的比例理论那样的一种方法。我认为，柏拉图开始问自己：为什么他不也该按1：√2和1：√3的比例来分割二。他一定已经感到，这偏离了自然数得以生成的方法；这不再是“算术的”方法，它需要另外的属于“几何的”方法。但是，这样“生成”的不是自然数，而是比例为1：√2和1：√3的线元，它们可以看成是原子三角形所由构成的“原子线”(《形而上学》，992a19)。同时，从毕达哥拉斯派对待无理数的态度(参见菲罗劳斯、第尔斯，残篇2和3)来看，把二表征为“不确定的”，便是十分恰当的了。(当在有理比例之外又产生无理比例时，“大和小”这个名称也许开始被“不确定的二”所取代。)
假定这个看法是正确的，那末，我们可以揣测，柏拉图缓慢地接近(始于《大希皮亚斯》(Hippias
Major)，因此比《理想国》早得多——同罗斯在上引著作第56页上所说的相反》这样的观点：无理数是数，这是因为(1)它们可同数相比较(《形而上学》，1021a4和1021a5)，(2)自然数和无理数都由类似的、本质上是几何的过程所生成。而一旦达到这种观点(看来最初是在《厄庇诺米斯篇》990d-e中达到的，不管这篇著作是否为柏拉图所作；不过我倾向于认为系柏拉图所作)，那末，甚至《蒂迈欧篇》中的无理三角形也成为“数”(即若为无理的，便用数的比例来表征)。但是，在这里，柏拉图的特殊贡献以及他的理论与毕达哥拉斯理论间的差别可能就变得难以察觉了；这也许可以说明，为什么甚至亚里士多德(他对“几何化”和“算术化”都有怀疑)也忽视了这一点。
[58] 卢里安在本书第115页注①所引著作中已指出，这是亚里士多德的观点。
[59] 他担心自己没有写完就先死了。
[60] 见牛顿1693年致本特利的信。
[61] 康德在1755年发表的所谓康德—拉普拉斯假说。
[62] 有些批判是非常中肯的(尤其是莱布尼茨和贝克莱所作的)，但由于这理论的成功，所以令人——我认为是正确地——感到，批评者有点不得这理论的要领。我们切不可忘记，甚至在今天，这理论仍是极佳的一级近似(或者考虑到开普勒，可能是二级近似)，只需作少许修正。
[63] 这里康德谈的是牛顿的成就：“洞悉亘古不变的宇宙结构，可以期待这认识随着观察的积累而增长，而无需害怕受到挫折。”
[64] 彭加勒在1909年还在为此大伤脑筋。
[65] 任何恰当的知识理论所必须予以满足的一个关键性要求是，它不必解释太多的东西。任何非历史的理论要解释某个发现所以必须作出的原因，肯定遭到失败。因为它不可能解释这发现为什么不早一些时候作出。
[66] 根据本书第133页注①，任何理论都无法解释为什么我们对解释理论的探索是成功的。任何正确理论所作的成功解释，必定保持几率为零，如果我们近似地用“成功的”解释性假说同人们可能作出的一切假说之比来量度这概率的话。
[67] 这个“回答”的思想是在我的《科学发现的逻辑》(1935年，1959年和以后各版)中阐明的。
[68] 见本书第132页注①和正文。
