第四章说谎者、运动和一次“意外”“哦，现在我们还不能这样做，它不是UFO。”

第四章说谎者、运动和一次“意外”“哦，现在我们还不能这样做，它不是UFO。”

“我敢发誓它是，我知道我在看什么。它肯定是UFO。”

“哦，它不是。你刚刚才认出了它。一旦你认出了一个物体，那你就不能同时称之为不明的（unidentified）。最低限度上说，它是FO。”

“FO？”

“飞行物（flying object）。”

她点点头，像是明白了，但显然感到不快。

“现在它看来着陆了。因此现在它是O。没有丝毫可以激动人心的东西。你的电话内容如果是这样：喂，我想要报告一个物体（object），那有什么可说的？”

这一切真令人惊讶，也让我失去了老人和阿丽克丝（或者是样子和动作与阿丽克丝相像的某个人）的行踪。我似乎忘记了在做什么，有点像是这样的情形：你正骑着自行车的时候，却突然意识到，你没有自觉到“踏着脚蹬、握着车把”这一事实——你甚至有些惊讶自己还活着。我可能算是做了一回糟糕的私人侦探，周围发生的任何事都会分散我的注意力。我不知道心理学家是否为这个毛病命过名，但听说许多著名的艺术家和思想家都有类似的举动。没人去治愈他们，还真是件幸事。

这样想着想着，就到了学校。老人已无影无踪，更重要的是，我也找不到阿丽克丝了。

我走进教室，看到一群依稀有点熟悉的同学。尽管所有的人我以前都见过，但没有一个人我能认出来。我坐了下来，感到椅子特别冰凉，桌子出奇地别扭，在这个现在我记得是个梦的场景中，老师的行为也有些过分。

黑板上写着“请别擦掉”。通常情况下，这并不奇怪——我们的老师不时会这样写，以便保留黑板上的字而不必重写。但今天黑板上只有这一行字。如果没有其他的字，为什么会写“请别擦掉”？难道他们就是想让“请别擦掉”这行字不被擦掉？

我在座位上调整着姿势，这时，我发现老人就坐在教室后面。他的出现，让我既担忧又安心。

老师宣布，她要做一个选择对或错的即时测验。她安慰我们说，我们都很了解问题涉及的内容，因而没必要为测验做预习。

在发试卷之前，她通知我们，在下周她要做一次意外的测验。她站着笑了一会，像是为给我们制造了一整周的担忧而感到衷心的愉悦。

试卷一放到桌上，我的目光就迅速落在第一个陈述：“这张试卷纸是白色的。”

这看来明显是对的：自有白色这个词以来，试卷纸就是白的。于是我写上“对”。下面的几个问题与此类似，同样简单得让人惊讶：

2.门卫有6只手臂。错。

3.这句话是测验的一部分。对。

4.这句话是黑的。对。

5.这句话是错的。对。我认为是这样。

还有几个附加分数题，我暂时忽略了——问题5难住了我，它看上去似乎正确。我以为，这句话本身清楚明白。但是，我又想到由我的答案带来的后果。

如果我的回答是“对”，那么这句话所讲的就是对的，这与其他陈述的情况一样。例如，如果我将问题2标为“对”，那么门卫就应该有6只手臂。同样对于问题5，回答“对”意味着这句话其实是错误的。情况既是如此，那么这句话就是错的。哈哈！我明白了测验的这部分背后的东西，那就是诡计。答案或许表面看是对的，其实则是错的。于是我划掉了先前的答案，换了过来。

106我回头得意地看看我那不怎么称职的守护天使。他轻轻地摇了摇头，仿佛不知怎么的，我们就成了答题的同谋者，而他不想被人发现。

我错了吗？我得仔细思考一下。如果这个陈述是错的，那就意味着这句话所讲的不是事实。如果答案是“错”，那其结论就刚好是，这个陈述即“这句话是错的”与事实不符，因而其实是对的！哈哈！“答案，”我兴奋地盘算着，“是，”我转念又想到近来经受的思维训练，“对的？”但这不可能。

说谎者

“我现在所讲的是错的。”

（本页写在括号里的这句话是错的。）

“说谎者悖论”的提出，可追溯至公元前4世纪的希腊哲学家、米利都的欧布里德（Eubulides of Miletus）。

一位克里特人（Cretan）曾说：“所有的克里特人都是说谎者。”

在《圣经·新约》中，圣保罗（St.Paul）说：“他们其中的一人，甚至可以说是他们自己的一位先知说，克里特人总是说谎者。”

如果一位先知说，所有的克里特人都撒谎，而这位先知也是克里特人，那么他可能也在撒谎。然而，如果他撒谎且是克里特人，那么他所讲的就是事实。但是……如果他所讲的是事实，那么他也是个说谎者，因为他所讲的正是，他是一个说谎者。

如果它是“对的”，那它就是错的。

如果它是“错的”，那它就是对的。

我该怎么办？

如果是你，会怎么做？

我一点头绪都没有。

我在自己的梦中陷入了精神错乱。我在宣称正确的陈述是错的，而错误的陈述是对的。这不可能。这个陈述非对即错，当然不可能既对又错。但两者都不行！

我跳到了附加分数题。我一直觉得这个说法很有趣——如果它出现在测验中，那怎么算附加？难道它是在整个测验之外的？

我浏览了一下问题，现在看得稍微仔细些：

a.不要看这个陈述。

b.拼写“倒数第二”（penultimate）这个词。

c.加一笔让Ⅵ变成7。

d.加一笔让Ⅸ变成6。

e.执行下一个指令。

f.执行上一个指令。

g.你知道你有多少次会议没参加吗？

h.到了去看阿丽克丝的时候了吗？

阿丽克丝？我立刻回头去看老人。他正要起身走出教室，并轻轻地示意我跟着他。我交了试卷（不记得问题5是怎么答的了）就跟着他走了。我们一起默默地走着，直到学校前面的台阶才停下来。我的确看到了阿丽克丝——正坐在树下看书。她似乎感受到了我投来的目光，抬起头向我示意。她站起来向我招手，从口形看，像是在说：“到这儿来。”

埃利亚的芝诺（Zeno of Elea）（生于公元前490年），以提出有关空间和运动的悖论而著称。当时，他的导师巴门尼德（Parmenides）声称：“万物皆一”。他主张，所有的存在只是不变的单一整体：若非如此，这些分立的事物就是没有缘由地分开的，这在他看来是不正确的。芝诺的悖论说明，运动和变化都是虚假的观念，从而支持了巴门尼德的观点。

这会是真的吗？我看了看老人，他和其他人一样站在那儿，看着这儿发生的一切。他点点头，仿佛在说：“阿丽克丝非常可爱。”

“我得去看她。”我说道，心里想着用可爱这个词还不怎么准确，用完美更好。

“有个坏消息，伊恩。”他说。

当然，太好了就不真实了。

“你永远都碰不到阿丽克丝的手臂。”他声称。

“拜托，”我向他请求道，“我真的喜欢她。她是我迄今唯一喜欢的女孩，而她要我去她那儿。我连过去看看她读的是什么书都不行吗？”

他摇摇头：“要阻止你的不是我，而是比我本人伟大得多的东西。”

“上帝？”我想，还有什么能比老人更伟大？

“听着，”他继续讲道，“你是否同意：你要到那儿，先得走一半的路程？”

“当然，每段路程都有中点。”

这不会很糟糕。要到终点先得走一半，这有什么大不了的？很可能，他是想给我另外某种生活的教益。

他继续说道：“好吧，以此为前提，那么一旦你到了你和她之间的中点——姑且称之为‘H’——你就得开始另一段路程，即从H到阿丽克丝。但因为这是另一段路程，你得同意——就如你所说的——你又得先走一半。”

“我的确同意，每段路程都有中点。”

“问题就在这里，”他一本正经地说，“你从这儿到阿丽克丝的这段路程，包含了无数个中点。而考虑到你仅有如此有限的寿命，你永远都到不了她那里。这与个人完全无关——它只是一个逻辑的事实。你不会突然无视这简单的逻辑，是吧？”

我面露我力所能及的、小狗式的讨好表情，满怀期待看着老人，必定有办法摆脱这个命运。“那不是真的，对吧？我过去拥抱一下阿丽克丝，这是可能的，是吧？”

“恐怕不行。让我给你看看。”他掏出一张纸。

“你本人承认，每段路程都有中点。因此，你每次到了中点，可以说就得开始另一段路程。我们肯定会同意，你一旦到了从A到B的中点H，就又得去从H到B的中点。如此持续下去，如哲学家们所说，没有穷尽——直到永远。”

空间并非由独立的事物（或部分）组成……［它］赋予现实以分割的无限机会。

——维特根斯坦

逻辑上看来是对的。尽管我知道能到阿丽克丝那儿，但还是想先向他证明这一点。我在到任何地方之前，的确先得通过其中点。这是事实，但也给了我一个好主意。

我转头对他说：“看到那棵树没有，远在阿丽克丝背后的那棵？它离我们的距离大约是离阿丽克丝的两倍。因此，我已改变主意——现在我要去站在那棵树下。”

“改变主意？”老人微笑着问道，很清楚我的意图。

“是的。我打算去那棵树那儿，行吧？由此我得先走一半。于是，”我的头微微前后摇晃着，为要去见阿丽克丝而感到更加兴奋，“在中点的时候，我就刚好可以待上一会儿，然后再继续我的行程。”

老人深深地吸了口气：“情况更糟糕，伊恩。你不仅到不了目的地，而且所有的运动都是不可能的。你瞧。”他又画了起来：

最可能达到目标的方法，不是瞄准目标本身，而是对准远于它的、某个较为模糊的目标。这虽看似荒谬，但却是生活中深刻的真理和重要的原则。

——阿诺德·汤因比（Arnold J.Toynbee）（1889—1975），英国历史学家

“我们都同意：要到阿丽克丝那儿，你得先到中点，即H处。但是，你要到H处，必须先走到一半——从A到H就又是另一段路程，我们称那中点位‘G’。你可以看出，这种计算一直有效，最终追溯到你现在的站立处。你永远都动不了。改变和运动看来的确是彻头彻尾的自相矛盾。事实上，它们是不可能的。”

数学——科学中最有逻辑的——向我们表明，真理可能是高度违反直觉的，而科学完全不同于寻常的道理。

——K.C.科尔（K.C.Cole）

这看来太荒唐了。我只要走到阿丽克丝那儿，拥抱她一下，就可以驳倒它。我想要起步，却什么也没发生。我不知如何是好。情况仿佛是，有人要我仅用意念去搬动一块石头——我像是不能对某个东西发力。我就是动不了，于是朝老人望去。

飞矢不动

芝诺的“飞矢悖论”：

1.在任一片刻，飞矢是不动的（可用其照片来设想）。

2.一段时间只是由一个个片刻组成的。

3.因此：无论在哪段时间，飞矢都是不动的。

亚里士多德将芝诺的论点总结为：“运动体要么是在其所在处运动，要么在其所不在处运动。而它既不在其所在处运动，又不在其所不在处运动。因此，没有任何事物在运动。”

“听着，伊恩。恐怕这个理论是对的。我有两个看来能支持它的证据。”

我和阿丽克丝，相互对望着，茫然不知所措。

老人拿出他的便笺本给我看。“首先，如你所知，我们可以不断地在纸上做对半分割，直到我的铅笔画过余下的、可分割的空间。但这并不意味着分割就此终止。比方说在分割处与目的地之间仅余1厘米，我们只要给这一局部照相或影印，然后放大，那么我们仍可以在此处着手分割。在分割过程中，我们可以完全按照相同的程序，分割到距离目的地只有1厘米，然后又放大。可以如此永远持续下去。”

太多次

我们生活在

锁链之中，

而我们甚至从不知道

我们掌握着钥匙。

——老鹰乐队（The Eagles）

我轻轻地点头，表示同意。

“因此，你要到阿丽克丝那儿，就得设法魔术般地跳过其中一段距离。你得以不动的方式来移动。很抱歉，我会告诉阿丽克丝，这并非你力所能及。我敢肯定，她愿意来你这儿，但显然，她遇到了同样的问题。”我抬头望去，阿丽克丝耷拉着头，伤心地站在原地。我又看了看周围其他所有的人，期望他们认为这只是反常的状态。但每个人都只是站着，没人在移动。

也许，我宁愿在老人先前提及的、虚幻现实的洞穴里待一会儿。待在这儿，我完全不能动，由此带来的窘迫，似乎不能为“至少我处于真实世界”这唯一的安慰所抵消。

就在此刻，我看见一只狗走到阿丽克丝那里，舔着她的手。

等等！它是怎么动的？

伊恩被一个声音喊醒了。那是妈妈在喊：“要下来了吧，早餐准备好了。”

伊恩小心翼翼地站起身，仿佛是要调整好姿势。他走进厨房的时候，脸上现出惊恐的神情，像是根本没睡觉而精力又奇迹般地得到了恢复。他走过去拥抱妈妈，同时露出了微笑。

许多人宁愿死，也不愿思考。事实上他们也确实至死都没有思考过。

——伯特兰·罗素

“你没事吧？昨晚碰到不顺心的事了吗？”她问。

“不，没什么特别不顺心的，只是有些令人困扰。我认为我们整个的‘逻辑’体系可能真的出了毛病。否则，我本应不可能做到刚才对你所做的事

”

“我们很乐意知道是怎么回事。”

二值原则（the Principle of Bivalence）——任何命题要么对，要么错。

不矛盾律（the Law of Noncontradiction）——任何命题不可能既是对的，又是不对的。亚里士多德写道：“一个人不能在同一时间、就同一方面说某事既是又不是。”

就在他向爸妈复述这段经历的时候，爸爸轻轻地摇着头，嘴里嘀咕着：“自我指涉的……自我指涉的。”妈妈则咕哝着：“时间和空间……时间和空间。”但她露出了会心的微笑，明白了清晨那个拥抱的含义。

“有没有解决这两个问题的方法——测验中的问题和我站着不能动？或者它们是不可解决的——只是我们的逻辑之中发生的一个偶然事故？”

“一个偶然事故？”

“是呀。比如测验中的那个问题。我的意思是，关于事物的陈述必须是或

维特根斯坦这样解释“自我指涉”的问题：

“‘我知道你在想什么’这个说法讲得通，‘我知道我在想什么’这个说法却讲不通。”

“知道”自己在想什么，是自我指涉的。“知道”别人在想什么，指涉的是外在于自身的某事。

对或错；并且不可能既对又错。测验中的那句话似乎不遵从这两条逻辑法则。”

“好的，孩子，这句话存在两个问题，它们有助于揭示有关语言和逻辑的问题。

“首先，让我们看看试卷中的问题1：‘这张纸是白色的。’这个特定的陈述——它是你要检查并确定其真值的东西——所指的是句子自身之外的某事：它指称的是纸张。试卷上的第二句陈述‘门卫有6只手臂’指的也是自身之外的某事：它指称的是你们学校的门卫。第三句‘这句话是测验的一部分’指称的是测验。第四句‘这句话是黑的’指称的是句子的颜色——它虽然是句子的一部分，但还是外在于句子本身的性质。而第五句‘这句话是错的’指称的是其自身。没有任何外在于其自身的东西可供我们来检查。因此，它是‘自我指涉的’。它既不是对的，也不是错的。”

“自我指涉的？”伊恩显然对此感到困惑，“为什么它如此重要？”

“好吧，让我们将此句稍稍变动一下；我们不改变句子的结构，只稍微变动它所讲的内容。这个新的陈述将免除你遭遇到的那个诡辩：对∕错、错∕对的困境。”

“好，它是什么？”伊恩问。

“这句话是对的。”

“我们怎么知道？”伊恩立刻答道，“如果它是对的，那么‘这句话是对的’就是事实，从而这个陈述就会是对的。如果它是错的，那么‘这句话是对的’就不是事实，从而它就是错的。”

“是的，但这就是问题所在。这句话指涉的是自身，而不是外在于其自身的某事。对于一个自涉的陈述，我们无法证明它是对或错的。要证明一个陈述的对或错，这个陈述所指涉的必须是外在于其自身的某事。你看，”他写道，“门卫有6只手臂。”

“看看，此句与‘这句话是对的’相比的不同之处何在？第二个断言没有建立在任何外在于自身的东西的基础之上，也不需要任何外在的标准。类似的断言还有，‘这句话有意义’或‘这句话没有意义’。

“对于自涉的陈述，我们什么也不能做。”

“好吧，我认为我明白了，”伊恩答道，“但在某种意义上，这很有趣。‘这句话有意义’这一陈述指涉其自身，因此它是无意义的，但确实有助于我明白这个问题，由此它的确有意义。”

爸爸点了点头，露出了得意的微笑。

“那么，爸爸，你说过，这个陈述之所以有毛病，其原因有二。”

“是的，第二个原因你虽然只是简短地提到，但已有所涉及：在对你前面遭遇的对∕错困境的讨论中，你曾说不是错的陈述就是对的。”

“难道这不对吗？”伊恩答道，“看看其他所有的问题。即使你没有见过我们学校的门卫罗恩，你也会知道，他要么有、要么没有6只手臂。同样，纸张要么是、要么不是白的。即使你不能现在就断定，但看来每个陈述要么对要么错。”

“是的，乍一看似乎的确如此。让我问问你，‘你已经不再踢小狗奥珀斯的头’，这句话对吗？”

“嗯哼？”伊恩马上警觉起来，同时有点不明白爸爸说的是什么意思。

“以下陈述是对的还是错的：‘伊恩·平克已不再踢奥珀斯的头’？”

“但是，你知道我从未这么做过。”

“我所知道的是什么，与此无关。告诉我，它是对的还是错的？”

“我认为，我不想回答这个问题。你做过这样的梦吗：梦中你和一位不断提问题从而又让你不断产生问题的疯狂老人在一起？”

“没有，我很庆幸没有见过他。

“但这个陈述看来是不对的。我相信（你也说过），你甚至一次都没有踢过奥珀斯的头，因此，你不可能停止做某件你从未开始做的事。”

“正是。”

“但是，这就意味着这个陈述是错的。而它是错的即是说你停止了，那就蕴涵了这样的意思：你仍然在踢奥珀斯的头，这不是事实。试看如下陈述：

月亮上现在是3点整。

凤尾鱼比萨饼不错。

“这些陈述是对还是错呢？”

“尽管我本来没有想到，但开始明白了，某个陈述可以是既不对也不错的。”伊恩微笑片刻，细细回味着他对语言的新了解。他提出：“然而，我还不敢肯定，那可以真正解决问题。由于这个陈述是‘这句话是错的’，因而如果它既不对也不错，那就意味着它不是错的，而就这个陈述所言却是错的？”他坐在那儿面带微笑。

爸爸接着说道：“哦，暂时忘记所有这些。你的学校进行的往往是对/错测验，因而至少在测验的时候，你得假定，陈述要么对，要么错。”

伊恩继续笑着。

爸爸问道：“究竟为什么要问我是否曾和一位老人见面呢？”他的问话半开玩笑，又带着些许在意。

伊恩抬头看着爸爸，显然察觉到其中的关切。然而爸爸为什么会在意一个无足轻重的玩笑呢？想到这里，他不禁有些心烦意乱。“你是什么意思，爸爸？我想我只是在和你开玩笑，因为你问我有关奥珀斯的古怪问题。”

“哦，好吧，”爸爸答道，现在感到松了一口气，“不错。你知道，我跟老人毫无关系。即使有关系，我又怎么可能和他见面呢？”

伊恩微笑着，看来更加放松。但这仅维持了片刻，因为他接着提出，他的老师安排了意外的测验。

“没这回事。”爸爸立即反驳。

逻辑实证主义（logical positivism）

由奥地利的、一个称为“维也纳学派”（Vienna Circle）的学术小组于20世纪20年代创建。

逻辑实证主义提出了“证实原则”（verificationist principle）——一个命题要有意义，就必须是可检验的且能被证实。更严格地说，一个命题要有意义，其主旨必须能为观察所证实。因此，可以举例说，由于我们不能检验或证实道德命题、价值判断，以及与上帝相关的一些论点、命题，因而它们既不是对的，也不是错的。

伊恩禁不住要讥笑他，几乎就像对着一幅卡通人物的漫画。

“告诉我，”他爸爸立即发话了，“测验会在周五吗？”

伊恩似乎不能肯定。

“意外的测验之悖论”的最早提出者是哲学家W.V.奎因。

“如果它是一次意外的测验就不会，”爸爸又迅速地自问自答，“如果从周一到周四你都没有测验，那么你会知道测验在周五。它当然不会是一次意外，因此，不可能在周五。”

伊恩笑道：“好呀，我同意。但这只是其中的一天。”

“对，但一旦你知道不会在周五，那么就只剩下四天，对吧？”

伊恩点点头。

“我们可以将同样的逻辑用于剩下的几天。已知意外的测验只可能在周一到周五，如果你在周三以前都没有测验，那你就知道它会在周四。于是，它就又不是一次意外的测验。这种逻辑一直可用到周一。因此不存在意外的测验，”他平静地讲道，“的确是好消息。”

伊恩点头了，尽管只是微微地点头，似乎不完全满意。“行，好的，这两个你都解决了，”他停顿了一下，“但第三个问题如何——我们那不允许移动的逻辑是怎么回事？”

“好的，孩子，”他爸爸开始说，“这只是个数学问题。”就在准备继续说的时候，妈妈插进话来：“而且，亲爱的，或许可以在人们的空间观里找到真正的解决方法。”爸爸抬起眉头，感到好奇。“尽管如此，还是你先发言吧，亲爱的，”她继续说道，“我很好奇，想先听听你的答案。”

指定的……和未知的

罗伊·索伦森（Roy Sorenson）解释了一个相似的悖论，它包含一个“指定的学生”（DS）的观念。DS有两个区别于其他学生的特征：

1.他们背后别着金星，其他学生别的则是银星。

2.他们不知道他们是DS。

五人排成一队，第5个人对着第4个人的背，第4个人对着第3个人的背，依此类推。显然，如果第5个人是DS的话，他就会知道，因为他能看到第1到第4个人的背。因为这点，第4个人知道DS不可能是第5个人，DS也不可能是她，因为她能看到第1到第3个人的背，这个问题对于每个人都是一样的。

“行。”他递给伊恩一支钢笔和一张纸，“对于罗马数字体系，你学过一些吗？孩子。”伊恩点点头，他对此有基本的了解。

“让我们看看‘10’的罗马数字写法。”

伊恩写了个“Ⅹ”。

“不错。那‘20’呢？”

“ⅩⅩ”

“对。‘103’呢？”

“CⅢ”

伊恩着急了，似乎期望爸爸问些需要点技巧的数字，它们的写法不是简单地运用加法，而是要写较小的数，然后被其后较大的数减去。但他一直没问。

最后爸爸问道：“让我们看看‘0’的罗马数字写法。”

伊恩茫然地坐着想来想去。他似乎对自己感到失望：他本想以优异的成绩通过爸爸的这次测验，最终却只有沮丧地望着爸爸。

“确切地说，伊恩，你的测验成绩不错，”他说着在纸上画了个0，“希腊人和罗马人一样，在他们的数学中没有0。数字0直到若干年后，公元前300年才出现。当时巴比伦人将它用于数字符号之间，以将它们分开。虽然他们只是在作为位置标志符的意义上使用0，但无论如何它还是0：某个东西的缺乏。希腊人没有用0，因此，你在这儿遇到的类似问题是可以理解的。”

0的历史

公元前300年：巴比伦人用它来做位置标志符。

公元前300年：欧几里得（Euclid）写出了重要的数学著作《几何原本》（Elements），尽管它仅研究几何，却没有涉及数轴。

630年：它作为一个数字出现在印度数学中，用一个点来表示。

665年：玛雅人用它做位置标志符。

1247年：中国人开始用符号“〇”来表示零。

1876年：麦维尔·杜威（Melvil Dewey）发展出杜威十进制分类法。它包括从000~999的数字，并用来分类图书馆馆藏——次级区分则用小数点后的数字来标出。

2000年1月1日：人们庆祝新千年，尽管实际上仅过了1999年，因为不存在“0年”。

懒惰的8：∞

英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）被公认为最早用“懒惰的8”来代表无限。他是在其1655年的专著《无穷算术》（Arithmetica Infinitorum）中引入的。

“真是不可思议，爸爸。但现在这对于我们有何意义呢？”

“0和无限是相对地发挥作用的，它们之间有着紧密的联系。但最重要的是，对于我们计算所谓的‘有限’来说，0是必要的。你到了高中，就会知道0在我们称之为‘微积分’的课程中的重要性。我们可以用这些来解决你碰到的运动问题。”

显然，目前还看不出这有何帮助。

“大体上说，微积分容许我们将无穷集的点视作一个整体。这正是你在这里所要处理的问题：在有限的距离之中做无限的划分。这些相加的无穷系列是在距离有限的范围内进行的，而它们最终都达到了某个特定的目标或者说边界。

“确实有些趣味吧。若没有适当组合的数学公理，我们甚至无法解释简单的运动，”他眉飞色舞地讲道，“希腊人缺乏这些，因而产生了问题——不得不在某种程度上调整他们对于现实的观点。”

“亲爱的，”伊恩的妈妈耐心听完后插话了，“我认识到，0、有限、无限对于解决这个问题有重要作用。但是，从空间的角度来思考，可能也有助于解决这个问题，甚至更有理论说服力。”

数字与现实

希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）（约公元前5世纪）以“毕达哥拉斯定理”（即勾股定理，说明直角三角形的各边长之间的关系）而广为人知。他解释道：

“一切都是数”；

“数统治着宇宙”；

“数是一切事物的实质”。

柏拉图曾说：“数是最高度的知识。它们就是知识本身。”

伊恩和爸爸对望了一下。他们歪歪头，耸耸肩，准备听妈妈开始讲理论。伊恩能看出，爸爸是真的喜欢听妈妈用一种巧妙的方式谈论诸如此类的奇谈怪论。

她开讲了：“在当代，科学家和数学家们用称为‘普朗克长度’的术语，来表示一种他们认为是不可分割的空间：一种不能再做分割的空间。它与古希腊的空间观相抵触。古希腊的科学家们认为，空间是可以做无限分割的。我们自己可以仔细考查一下由这种古代的思考方式而带来的结果，好吗？”

他们点了点头，表示乐意接受这个提议。

“好吧。那么，按照老人的看法，我们可以设定如下：空间是可以无限分割的——它可以持续不断地被分割，这正如他所提出的。按照他坚持的观点，情况应该就是如此。假定这一点成立，那么一条线就必然是由无限数量的线段组成。问题在于，每个线段的尺寸是多少？唯一的答案是，”她举起了右手拇指：

A.每条线段都没有尺寸。”

他们点点头。接着她伸出左手拇指：“或者是……

B.每条线段都有一定的尺寸。”

他们又点点头。

她继续说道：“如果是‘A’，那么这条线将不存在，即如果你有的只是没有尺寸的线段——0长度——那么无论你有多少，这条线的长度都会是0。任何东西乘以0，其得数都是0。这似乎很荒谬。”

很小……和很快

希腊词“atom”源自：a（“不”）和tomos（“分割”）。某些古希腊人认为，原子（atom）是“不可分的”。

如今，普朗克长度替代了“不可分割的”这一位置。它约等于1.6×10

米，约为质子的10

倍。

同时还有普朗克长度的时间，它是时间的最短量度单位。它等于光子以光速穿过普朗克长度所需的时间，为10

秒。

他们点头表示同意：的确荒谬。

“而如果是‘B’，那么这条线将无限长。如果你有的是无数的、有一定长度的线段，无论其长度是多少，那么其总数都是无限大：任何东西乘以无限大，其得数都是无限大。这同样荒谬。”

“是的。同等数量的荒谬。”伊恩打趣地评论道。

“那么结论就是，空间并非如老人所主张的那样。它不是无限可分割的。我们必须转而考虑最小的量——普朗克长度——由此我们可以跨越它而相互拥抱。”

“但是，这个距离——即使极其短——必定还是某个东西。因此我们得魔术般地跨越它？”伊恩问道。

“是的。一个普朗克长度。”

伊恩肯定地点着头，尽管还带着一丝疑虑。他的爸爸站起身，小心地踱出四步，抱住了伊恩的妈妈。他们站在那儿，手挽着手，这时，妈妈最后讲道：“你知道，伊恩，我感到惊讶的是，你的朋友没向你谈论空间中的黑洞。在那儿，任何东西都到不了它要去的目的地，甚至光线都无法从中逃逸。你要是在那儿，想拥抱一下阿丽克丝还真是个问题。”他们都笑了。

回家时，我期望有个意外，然而未遇到意外。因此，我当然感到意外。

——维特根斯坦

“我甚至不知道黑洞是什么。如果我不知道的话，黑洞能否在我梦中出现呢？”他犹疑地问道。

“去年我们傍晚一起远足时谈论过，记得吗，孩子？”爸爸满怀期望地问道，“很可能它埋藏在你下意识中的某处，你的下意识可是储存着你所获悉的所有东西。”

黑洞

黑洞是由于恒星用完其所有的燃料而形成的。而后，恒星的表面施加给自身的重力，让它向自身内部崩塌。这种作用的效果极强，使得它形成了一个无限稠密的物质区域，而重力的吸引作用极为强大，甚至光线都无法从中逃逸。

虽然这一观点可以追溯到英国地理学家和天文学家约翰·米歇尔（John Michell）（1724—1793），但这个术语是由物理学家约翰·韦勒（John Wheeler）在20世纪60年代提出的。

妈妈改变了语气：“现在我们得走了。伊恩，你回家的时候，我会给你一个意外。然而，既然你回家时就期待着得到某样东西，我或许就什么也不给，而这就会是给你的意外。”

“这是慈母般的，“休想即时满足”的手法之一吗？你真的会给我一个意外吗？”

“是，我确实会。你回家时我会为你准备一份意外的快餐。”

孤寂无声的树

我走出门，同时回想起较早的时候与老人会面的情形。自那时起，我已经对某些事物做了不少思考。谁曾料到，我们的认知结果是主观的呢？几天来，我一直思考着这个问题。其实我们也是认知结果的一部分，这是多么不可思议——我们在其中扮演了积极的角色。因此，我料想，对于如下的大问题，我已有了答案：

如果一棵树在林中倒下，那儿又没有人听到，那么它会形成声音吗？

不会。的确难以想象。但是，我们的认知结果是主观的。声音依赖于聆听者。真令人惊讶，那怎么能作为一个真命题呢！

我边走边想，走到了一个三岔路口——我想，它就像把三尖头的叉子。这让我想起，我讨厌三尖头的叉子。四尖头的要好得多：可以叉更多东西，而且能叉起像米饭这样小的食物。三尖头的叉子能做的事，它们基本都能做到，而且可以做的事要多得多。它们让你在叉想叉的东西之时，增加25%的成功率。

我抬头看去，每条路的尽头都是某类温室——大大的透明圆顶，里面看上去是密密的树林。每个温室前都站着一位穿着外套、打着领带、公务员模样的人。

于是，我走到叉子左尖头的圆顶房。我跟门口那人打了个招呼，他点了点头。圆顶的里面，狮子在咆哮，猴子在空中荡着秋千，树叶沙沙作响。但我们从外面听不到任何声音，它是封闭且隔音的。感觉奇怪得很。我扬起眉头看着那人，似乎在说：“显然，你这儿的展览非常奇怪，而你知道，我必定对为什么在这儿展览感到很好奇，难道你就不能告诉我吗？”这时他发话了：“奇怪的展览，是不？”我点点头。“你必定对为什么在这儿展览感到很好奇。”我点头。他的头对着树林动了动，就在此刻，一棵大树轰隆一声倒在地上。我又点点头。他去打开了展室的门，树林中所有的声音都传了过来。他拿起一台录放机，然后我们走出去，关上了门。

他按下播放键，我就听到了各种声音：狮子的咆哮声，接着是树木嘎吱嘎吱的响声，树枝噼啪的爆裂声，然后是一棵树砰然倒在地面的巨大声响。他转头对我说：“那棵树倒地的时候没人在场，你怎么解释这个声音？”他说完就走开了。

我迅速走向中间尖头的那个人，他必定有这个问题的答案。我到他那里的时候，他正和另一个公务员模样的人在一起。第一个人向我招手，并对我打着手语。第二个人平静地转述道：“你好。欢迎来到尖头二。请随意。”就在此刻，在那个看上去耳聋的人背后，附近有架飞机起飞了。他转向那传来声音的地方，我不禁抬起眉头——即使你不是个侦探也会看出，那个人只是在装聋。我其实常这样逗杰夫养的那条老狗玩耍。你告诉它坐下、躺下，“糟糕”、“不”——任何它不想做的事——它都置若罔闻，就好像是聋了。甚至你坐在它背后叫它的名字，它都不回头。但是，一旦你在它背后哪怕轻轻说声“有吃的”，它立刻就会回头。选择性耳聋根本就不是聋子。这时，那个看来是聋子的人又开始打手势了。转述者说：“我知道我听到了某个东西。”

“你怎么知道？”我问转述者。将某个并非我说话对象的人称呼为“你”，有种怪怪的感觉，但我似乎只能这么做。

他答道：“对我来说，声音是空气分子的位移，仅此而已。无论如何，它确实就是如此。对于内耳功能正常的人而言，从飞机处传来的气流分子，只是让内耳的一部分发生振动，而后大脑联想到一架飞机。我只是对空气的运动十分敏感。我感受它们，那就是声音——空气微粒的位移。其实，这全取决于你怎么界定。”

他转身走进了树林。就在此刻，一棵大树砸到了地面。我在外面，没听见声音。他出来打着手势说：“哇，好大的声音啊。”

“声音？”我说，“它发出声音了吗？现场没人听见啊。”

他对我手语道：“我在。空气微粒发生了明显的位移。我感觉到了，那的确是很大的声音。”

接着他们两人走开了。我对着他们大喊，但他们装聋不理我。

按照逻辑，我接着要去第三个尖头。这把特别的叉子只有三个尖头，我开始对此感到高兴。我一到达，那位公务员模样的人就向我问候致意。

“你好，年轻人，”他说，“请问，你能为我解释自行车的概念吗？”

他会是认真地问我吗？

“我是认真的。”

行，那就回答吧。

“我尽管不知道这个名词指的是什么，但多次听说它。我经常听见，有人用‘轮子’、‘车把’、‘脚蹬’、‘车架’、‘链条’、‘交通’等诸如此类的词语来描述它。但这些从来都无济于事。请在不使用那些词的情况下，说明自行车的概念。”

这是不可能的。所有那些东西加起来就是自行车。我该怎么办？这伙计真的遇到麻烦了。没有那些东西，就不可能有自行车。“很抱歉，先生，”我真的想帮助他，“但你需要那些东西来说明自行车。没有它们，自行车就是不可理解的。因此，我认为，你是在要求我做不可能的事。自行车得有那些东西。”

“谢谢你坦诚相告。”他答道。他笑了，那样子似乎是在嘲笑我。于是我想多待一会，捉弄一下他。

“先生，请问你能为我描述‘一棵正倒下的树’这个概念吗？”就在他要点头答应的时候，我继续说道：“但你描述的时候，能不涉及声音的观念吗？”

这番话让他正点着的头停了下来。“但年轻人，没有声音，正倒下的树就是不可理解的、不可能的——我们简直就不会有正倒下的树。而一直总会有树倒下。”紧接着，他对着那隔音的温室里面做了个手势，正好看到一棵树倒向地面。他点点头：“因此，我认为，你是在要求我做不可能的事。正倒下的树得发出声音。”说着他就走开了。

我转身沿着叉子的柄部往回走。这把叉子似乎推翻了我起初的假设，即孤寂的树倒下时，不会形成任何声音。就当我抬头看着叉子柄部的时候，我看到在最后一栋里面有树林的圆顶房屋前，有着最后一位公务员模样的人。这显然激起了我的兴趣，因为刚才他还不在那儿。我一走近，他就很正式地向我问候致意，手里拿着一台摄像机。他打开通往树林的门，我们走了进去。至少这一次我会待在那儿，看看那注定要倒下的树。然而，林中出奇的安静：没有狮子的咆哮，没有猴子的尖叫，无声无息。

接着他低声说道：“你听到那声音了吗？”

我摇摇头：“没有。什么也没发生。”

“没有？你瞧瞧我的微型摄像机。”它显示树叶在开开合合，沙沙作响。

哦，我想，我就是没有听见那沙沙作响的树叶。他又接着低声说：“听见那声音了吗？”我摇摇头。