不是我们叙述一部分的逻辑形式是从科学思想的实际例子中通过抽象达到的。然而，任何像在几何学中的这样一类的例子都表明，仅仅这些形式的知识是没有多大用处的：它至多可以有助于核验思想路线，而无助于发现新思想。事实上，思想并不是以空洞的形式进展的，而是依据生动地呈现出来的内容，或直接地或通过概念进展的。在几何学演绎中，直线将时而被看作是它的位置，时而被看作是它的长度，或者视为切线、半径的法线、对称图形的一部分；在平行四边形中，我们必须时而注意面积，时而注意边、或对角线、或角之比。如果我们不熟悉所有直观的和概念的关系以及如何把它们相互转化，如果对被推定的关联的兴趣没有把我们的注意力引向正确的路线，那么我们肯定不会作出几何学发现。空洞的逻辑公式不能代替事实的知识。不管怎样，代数和几何学的三段论的考察一般表明，像这样的对思想的关注和理智操作的抽象形式的符号表示决不是没有任何长处。任何一个不会进行这些操作的人在没有这样的帮助的情况下，无论如何也不能从这些方法中获得好处。不过，当我们考虑包含频频重现的相同的或相似的运算的思想操作的整个序列时，符号表示大大减轻了必需的心理努力，从而省下努力对付不能用符号解决的比较重要的新案例。事实上，数学家为了他们自己的意图，在他们的符号论中发展了最有价值的符号逻辑。数学思想操作是如此千变万化，以致亚里士多德逻辑的简单分类不能囊括它们。因此，数学产生了它自己的更为综合的符号逻辑，其操作决不仅仅是定量的。开端返回到莱布尼兹；在19世纪中期的德国，唯一的追随者似乎是F．E．贝内克（Beneke）。它被留给像H．格拉斯曼（Grassmann）、布尔（Boole）、E．施罗德（Schroder）、伯特兰·罗素（BertrandRussell）等等这样的数学家，从而恢复了莱布尼兹的路线。
