社会交流和贸易、买和卖，都要求算术的发展。原始文化使用简单的器具或计算机器便利它的计算，例如罗马的算盘或中国的算筹，这经由俄国变得为人所知，并在我们的初级学校生根。所有这些器具使对象符号化，以像借助小的可动物体、小钮扣、小球或其他标记计数；这些标记而非重物，是人们用以操作的项目。数十、数百等等的群被特殊的标记代表，这些特殊标记具有在器具中赋予它们的特殊器件。如果我们采取在某种程度上比较自由和比较广泛的器械（或辅助器具）的概念现，那么我们认识到，我们的阿拉伯数字或印度数字及其清楚的十进记数法——在这里碰巧无代表的群用零表示——本身就是计算机器，是能够在任何时候借助铅笔和纸建造的计算机器。这进一步减轻了我们的注意，因为数字把我们从计数群的每一类的成员的麻烦中拯救出来。
