对等价对象的群的考察直接把我们导向整数的概念。如果对象是可以分为相等部分的个体，那么仅有整数就能够恰当地用来计数它们。然而，作为综合的乘法的对立面之分析的除法，导致我们在特例中把分离的对象或单位分割为分数，这当然仅仅对可分的单位才有意义；或者像求根这样的纯粹算术的操作，作为自乘幂的综合过程之对立面的分析的操作，导致杜撰无理数，这种数完全不能由有限的计数操作来决定。即使像加法和减法这样的最简单的操作，也为新概念的形成提供了诱因。操作7＋8总是可执行的，8－5也是如此，但是，如果我们正在处理等价的对象而无相对的特征，那么5－8包含不可能的要求。不过，只要上述的单位处于诸如贷方和借方、向前数步和向后数步等等的对照之中，这最后的操作很快变得可能了，并获得可理解的涵义。就这样，我们得到正数和负数对照的概念，它们用通常的加法和减法的记号表示，在该操作中需要确定首先呈现出来的这种对照。严格地讲，我们对此必须使用特殊的符号。关于所标记的数的乘法的记号法则通过下述介绍给出：积（a－b）（a－d）必须与通过插入简单值m和n代换因子所得的值一致。对于没有对立面的数而言，这样的法则没有意义。事实上，负数和正数二者都有正的平方，这意味着乍看起来负数的平方根必须是不可能的或虚的。的确，它长期以来像负数一样被看作是不可能的；只要唯一的对照是在正的和负的之间的对照，情况必定依旧如此。沃利斯受代数的几何应用的指导，首次把看作是＋1和－1之间的几何平均值，即＋1：i＝i：－1和i＝。在阿冈（Argand）以充分的普遍性精确地阐明它之前，这种观点或多或少地清楚地数次重现。通过把比例不仅与大小、而且也与方向联系起来，他把表达式a＋b描述为平面上的矢量：从原点起我们沿一个方向走一段距离a，然后成直角走一段距离b。于是，平面的点能够用复数描述。
