物体是刚性的和可动的这两个事实，对于理解任何几何学事实都会是充分的，不管几何学事实多么复杂都会是充分的，也就是说，从提到的两个事实可以导出它。但是，几何学在它自己的兴趣和它作为辅助科学的作用两方面，或者在对实际目的追求中，都被迫回答以同一方式反复再出现的问题。现在，在这样的偶然事件中，每次都从最基本的事实开始，并推进到显示出来的每一个新案例的根底，也许是不经济的。因此，选择某几个简单的，熟悉的和明确的定理——在我们的这种选择中决不排除任性，并从这些定理中一劳永逸地为实际目的的应用系统形成回答最频繁重现的问题的普遍命题，则是更为可取的。从这种观点来看，我们立即理解了几何学假定的形式——例如，它把重点放在它的关于三角形的命题上。就所预定的意图而言，选择具有最广泛应用范围的，最普遍的可能命题是称心如意的。我们从历史了解，通过把各种知识的特例综合在单一的普遍案例之下，才能得到这种特征的命题。今天，当我们处理两个几何学图形的关系时，或者当形式和位置的不同特例迫使我们修正我们的演绎模式时，我们甚至不得不对这个程序再分类。作为在初等几何学中的这方面的最熟悉的例子，我们可以引用在圆心角和圆周角之间得到的关系的演绎模式。
克罗曼（Kroman）提出这样一个问题：我们为什么认为用特殊图形（特殊的三角形）构成的证明对于所有图形是普遍可靠的？他发现他的答案在于假定，我们能够通过急剧的变化，在思想中把所有可能的形式传递给图形，从而使我们自己相信同一推理模式在所有特例中的可采纳性。历史和内省都宣布，这个观念在所有基本的方面是正确的。但是，我们不可以和克罗曼一起假定，在每一个特例中，每个个别的几何学学生都“以闪电般的迅疾”获得这个完备的概要的观点，并即刻达到所讨论的几何学确信的透彻和强度。频繁需要的操作是绝对不可实行的，误差证明，在其他案例中，它实际上不可实行，依然满足于猜想的探究者立足于类比。除了个人马上达不到或不能达到之外，他可以在他的一生的过程中达到。整整多代人辛苦地确认几何学。对它的确实性的确信无疑被他们的集体努力增强了。我曾经了解，一位在其他方面出色的教师强迫他的学生用不正确的图形完成他们的所有证明，但是在理论上，正是概念的逻辑关联而不是图形，才是本质的东西。但是，嵌入在概念中的经验依附我们的感觉图像。只有实际上形象化的或想像的图形才能够告诉我们，在给定的案例中必须使用什么特定的概念。这位教师的方法令人钦佩地适应于使逻辑操作在达到真理中分担的程度变得容易感觉到。但是，习以为常地使用它就是完全没有领会这样一个真理：概念从感觉的源泉获取它们的基本功能。
如果准确地观察事实，那么还不能坚持用幸运的三段论排列就能够一劳永逸地捕获新洞察的观点：该观点既对单个的初学者或探究者不成立，也对作为一个整体的人或人类不成立，既对几何学不适用，也对其他科学不适用。相反地，科学史表明，正确地还原为它的基础的正确的新洞察迟早在某种程度上可能变混乱，不完备地或以被曲解的形式出现，甚或完全不再为某些探究者所知，只是在以后才以充分的光辉重新显现。洞察的一次发现和表达是不够的。把一般的思维习惯发展到上述的洞察能够变成共同的特性并持久地充满活力的地步，往往需要花费若干年和数世纪。迪昂在他的关于静力学的历史的详尽调研中特别优美地表明了这一点。
