以手为尺的质朴单纯的人在获知我们的头一批几何学知识后，便把握了最简单的具体对象或图形——直线、平面、圆等等，并且借助能够被构想为这些简单图形的组合的形式研究它们的测量的关联。他们不会不注意到，当物体的一点、接着两点被固定时，它的可动性便受到限制，最后由于固定了它的三个点，它完全停止不动了。假定绕轴（两点）的旋转、或绕平面上一点的旋转像两点与直线和第三点与固定平面恒定接触的位移一样，都通过那条直线，即假定这些事实是分开观察的，那么人们会知道如何在纯粹的转动、纯粹的位移和由这两种独立运动合成的运动之间区分。第一个几何学当然不是建立在纯粹度规概念的基础上，而是对生理的感觉因素作出了许多显著的让步。于是，外观用两种不同的基本度量来说明：（直线的）长度和角度（圆的度量）。直线被构想为刚性的可动的物体（量杆），角度被构想为一条直线相对于另一条直线的转动（用如此画出的弧测量）。无疑地，人们从来也没有要求特别证明用相同的转动在原点画出的角度相等。很容易引出关于角度的附带命题。
使线段b绕它与c的交点如此转动，以致画出角α（图22），在与c重合后再使它绕它与a的交点转动，直到它与a重合为止，这样便画出用β，我们将在同一指向通过角μ把b从它的初始位置转到它的最终位置。因此，外角μ＝α＋β，因为μ＋γ＝2R，所以α＋β＋γ＝2R。把在它们的平面内在位置1处相交的刚性的线系统a，b，c移动到位置2（图23），线段a总是仍旧在它自身之内，纯粹的运动将不会引起角度的变化。如此产生的三角形1，2，3的内角之和显然是2R。相同的考虑也免除了平行线的性质。
关于绕几个点的相继转动是否与绕一点转动等价，纯粹的位移是否完全可能的疑问——当用不同于零的曲率的曲面代替欧几里得平面时，这一点受到辩护——在正在考虑的期间从来也不会在纯朴和快乐地发现这些关系的心智中出现。欧几里得在他的全等原理中刻意回避和隐蔽引入的刚体运动的研究，到今天还是最适合几何学基础教育的工具。借助发现观念的方法能最佳地使它为初学者拥有。
