在欧几里得把他的体系建立于其上的命题中，可以找到所谓的第五公设（也称为第七公理，有人称为第十二公理）：“如果一条直线与两条直线相交，以致在它的同一侧的两个内角合在一起小于两直角，那么这些直线在被连续延长时，最终将在其角是小于两直角的那侧处相交。”欧几里得容易证明，如果一条直线落在另外两条直线上时，它使错角彼此相等，那么这两条直线将不相交，而是平行的。但是，对于逆即平行使落在它们之上的每一直线的错角相等的证明，他却不得不诉诸第五公设。这个逆等价于这样的命题：通过一点只能画一条线与直线平行。进而，由于借助这个逆能够证明三角形的角之和等于两直角，以及从这个定理再次得出第一个定理的事实，赋予欧几里得几何学第五公设以独特的和基本的意义的、所讨论的命题之间的关系变得清楚明白了。
