萨凯里的主要成就是他陈述这个问题的形式。如果第五公设包含在余下的欧几里得假定中，那么就可能在没有它帮助的情况下证明，在A和B处具有直角且AC＝BD的四边形ABCD（图25）中，在C和D处的角同样也是直角。另一方面，在这个项目中，C和D或是钝角或是锐角的假定将导致矛盾。换句话说，萨凯里力图从直角、钝角或锐角的假设引出结论。他表明，如果证明这些假设的每一个在一个案例中成立，那么它将在所有案例中都成立。为了证明锐角、直角或钝角的假设的普适有效性，仅仅必须拥有一个其角2R的三角形。值得注意的是这一事实：萨凯里也谈到支持直角假设的生理－几何学实验。如果线段CD（图25）与垂直于直线AB的相等的垂线的两个端点连结，从第一条线的任何一点N出发在AB上终止的垂线即NM等于CA＝DB，那么直角的假设被证明是正确的。萨凯里如实地不认为，与另一个直线等距的线本身是直线并非自明。只要想一想平行于球上的大圆的圆就可以了，该圆没有描绘球上的最短线，不能使它的两面全等。
直角假设正确性的另一个实验证明如下。如果表明半圆中的角（图26）是直角，即α＋β＝R，那么2α＋β＝2R是三角形ABC的角之和。如果使半径在半圆上三次对向（subtend），且连结第一个和第四个端点的线通过圆心，那么我们将在C处有（图27）3α＝2R，从而三个三角形的每一个将有角之和2R。不同大小的等角三角形（相似三角形）的存在同样有待于实验证明。就图28而言，若在B和C处的角给出β＋δ＋γ＋ε＝4R，则四边形BCB’C’的角之和也是4R。甚至沃利斯（1663）把他对第五公设的证明建立在相似三角形存在的假定上，近代几何学家德尔布吕夫（Delboeuf）从相似假定演绎出整个欧几里得几何学。
萨凯里相信，他能够轻而易举地驳倒钝角假设。但是，锐角假设却把困难摆在他的面前，他在对所期望的矛盾的寻求中被带到一个意义最深远的结论，罗巴切夫斯基和鲍耶随后用他们自己的方法重新发现了这些结论。他最终感到不得不把最后命名的假设作为与直线的本性不相容的东西加以拒斥；因为它导致在无穷远处相交的、即在那里具有公共垂线的不同种类的直线之假定。萨凯里在预知和提升后继的阐明这些问题的劳动中没有作许多事情，不过显示出某种倾向于传统观点的偏见。
