兰伯特的专题论文（1766）在方法上与萨凯里的方法有关联，但是它在其结论上更进一步，并且给出较少受约束的视野的证据。兰伯特由考虑具有三个直角的四边形出发，审查了从第四个角是直角、钝角或锐角的假定中可能得出的推论。他发觉图形的相似与第二和第三个假定不相容。他发现，要求三角形角之和超过2R的钝角案例在球面几何学中成为真实的，在球面几何学中平行线的困难完全消失了。这导致他猜想，在其中三角形的角之和小于2R的锐角案例可能在具有虚半径的球面上实现。用之和背离2R的量在两个案例中正比于三角形的面积，通过适当地把大三角形分为小三角形可以证明这一点，小三角形在减小时可以变得像我们乐意地那样趋近角之和2R。兰伯特在这个概念上推进得十分接近现代几何学家的观点。人们公认，虚半径r[-1]的球不是可以具体化的几何构图，但是在解析上它是具有负的恒定高斯曲率度量的曲面。从这个例子再次显而易见，在完全缺乏其他支撑点，在有用的办法以其价值必须受到尊重的时期，用符号实验如何也可以把探究引向正确的路线。甚至高斯也显露出具有虚半径球的思想，这一点从他的关于圆周的公式（致舒马赫（Schumacher），1831年7月12日）来看是很明显的。可是，兰伯特实际上不顾一切地相信，他如此接近第五公设的证明，以致能够很容易地提供所需要的东西。
