我们将不谈及也是高斯同代人的施韦卡特（Schweickart）和陶里努斯（Taurinus）的辛劳。罗巴切夫斯基的工作是变得为思想界的人所知，并且如此富有成果的第一个（1829）。此后不久，较年轻的鲍耶的出版物发表了（1833），它与罗巴切夫斯基的在所有基本之点一致，只是在它的发展形式上有所偏离。根据原文（1899年出版），可以容许假定，罗巴切夫斯基也着手他的研究，以期望由于反驳欧几里得公理而变得陷入矛盾之中。但是，在他发现他自己在这一期待中犯了错误之后，他具有理智勇气从这个事实引出全部推论。罗巴切夫斯基以综合的形式给出了他的结论。不过，我们能够相当有理由地想像为构造他的几何学铺平道路的一般的分析思考。
g（图31）之外的一点向下引垂线p，通过平面pg内的同一点画直线h，使它与垂线成锐角s。在作出g和h不相交、但在稍微减小一点点角s时它们会相交的假定时，空间的均匀性立即迫使我们得出结论：具有同一角s的第二条线k本身在垂线的另一侧举止相似。因此，通过同一点所画的所有不相交的线都位于h和k之间。后者形成相交的线和不相交的线之间的边界，罗巴切夫斯基称其为平行。
在《几何学的新原理》（1835）的引言中，罗巴切夫斯基证明他自己是一位彻底的自然探究者。没有一个人会想到把下述未加工的观点甚至归因于有感官的普通人：“平行角”比直角小得多，当稍加延长时能够清晰地看到，它们能够相交。在这里所考虑的关系只容许在歪曲了真实比例的绘图中表示，相反地我们必须想象，由于截量（cut）的维度，s偏离直角的变化如此之小，以致h和k表面看来难以区分地重合起来。现在把垂线p延长到超过它与h的交点的一点，并通过它的端点画新线l平行于h，从而也平行于g，由此可得，平行角s’必然小于s，倘若h和l不再满足欧几里得案例的条件的话。以相同的方式继续延长垂线和画平行，我们得到不断减小的平行角。现在，考虑更远离的、从而在收敛一侧更急剧收敛的平行，我们将在不与先前的假定抵触的情况下，被迫从逻辑的角度假定，在趋近或垂线的长度减小时，平行角将再次增大，因此，平行性的角是垂线p的反函数，罗巴切夫斯基用II（p）来标示它。平面上的平行群之排列在图32中用图解表示。它们都相互对称地趋近它们收敛的一侧。空间的均匀性要求能够使两个平行之间的每一个“条带”与每一个另外的条带重合，倘若把它在纵向上移动所需要的距离的话。
