如果设想圆无限地增大，那么当不断增加的弧达到圆的半径的收敛与平行一致的地点时，这些半径将停止相交。于是，圆通过所谓的“界线”。类似地，如果球面无限地增大，它将通罗巴切夫斯基命名的“界面”。边界线与边界面具有的关系，类似于大圆与球面具有的关系。球面几何学与平行公理无关。但是，由于能够证明，由界线在界面上形成的三角形与在无限半径球上的有限的三角形相比并没有显示出角之和的过量，因此欧几里得几何学的法则对于这些边界三角形也有效。为了找到边界线的点，我们在处于平面上的平行把（α，β，γ，δ……中决定这些平行中的每一个的点a，b，c，d，这些点相对于aa中的点a如此定位，以致于∠αab＝∠βba，∠γca，∠αad＝∠δda……（参见图33）。由于整个构图的同一性，可以把每一个平行看作是界线的“轴”，当界线绕这个轴转动时，它将产生界面。同样地，也可以把每一个平行看作是界面的轴。出于相同的理由，所有界线和所有界面都是全等的。每一个平面与界面之交是圆；只有当割平面包含轴时，它才是界线。在欧几里得几何学中，不存在界线，也不存在界面。在这里，它们的类似物是直线和平面。如果不存在界线，那么必然地，任何不在直线上的三点必定在圆上。因此，比较年轻的鲍耶能够用这最后的公设代替欧几里得公理。
