设aα，β，γ是平行系，，a……是界线系，这些系中的每一个都把另一个分为相等的部分（图33）。因此，在相同的平行之间的任何两个界弧的相互之比率，例如ae＝u和a＝u’，仅仅依赖于它们分开的距离aa＝x。我们可以一般地提出u/u’＝ex/k，在这里k如此选取，以使e将是自然对数系的底。以这种方式引入指数，并借助这些引入双曲函数。对于平行性的角来说，我们得到s＝cot1/2∏（p）＝e。若p＝0，则s＝π／2；若p＝∞，则s＝0．
一个例子将阐明罗巴切夫斯基几何学与欧几里得几何学和球面几何学的关系。对于具有边a，b，c和角A，B，C的直线罗巴切夫斯基三角形来说，当C是直角时，我们得到－e－ix），或者sinhx＝x／1！＋x／3！＋x／5！＋x／7！和sinx＝x／1！－x/5！－x/7！＋……。
考虑到在前述的公式中所包含的关系sin（xi）＝i（sinhx）或sinh（xi）＝isinx，人们将看到，上面罗巴切夫斯基三角形给出的公式通过对球面三角形成立的公式，即sin（a／k）＝sin（c／k）sinA，此时用ki代替前者中的是，并像他那样把k看作是球的半径，而在通常的公式中假定它的值是一个单位。用同一方法把球面公式重新变换为罗巴切夫斯基公式是明显的。如果k与a和c相比十分大，那么我们可以把我们自己局限于在二者案例中得到的关于sinh和sin的平面欧几里得几何学公式的级数的第一项a／k＝（c／k）sinA或a＝CsinA，我们可以认为这是罗巴切夫斯基几何学和球面几何学二者对于十分大的人的值或对于k＝∞的极限情况。同样可以允许说，这三种几何学在无穷小的领域相符。
