（3）特殊形式
④ 交换型：x, y互换的形式。利用两式的和与差求解。
（例）x2-2xy-10x=0, y2+2xy-10y=0
⑤ 对称型：即使x, y互换方程式仍然相同。
（例）x+y=6, x2+y2=20
鸡尾酒式表格
① 基本的方程式活用类型：时间—距离—速度题，盐水
题等
（例）A、B两人围着荷塘转圈，如果互相朝相反的方向走的话6分钟碰一次头，如果互相朝同一方向走的话26分钟碰一次头。A的速度比B快，已知A的速度为100米/分钟，求B的速度。
解法一：列一个方程式求解。
② ④利用临时变量的类型：物品价格题，事件中的事件，工作的量和速度题等
（例）要使某件物品在以优惠30%的价格出售之后还想获得成本6%的收益。这时，求这件物品的定价应该在成本之上增加百分之几？
解法二：确定一个临时变量来运用，或者设成本为1来求解。
③ 利用两个变量列出方程组来求解的类型
（例）某个学校今年共有学生1 080名。与去年相比，男生增加了20%，女生减少了20%，整体来说增加了8%，分别求出今年男、女生的人数。
⑤ 变量比方程式还多的不定方程式类型
（例）高考中，数学题目共有30道，共40分。每个题目所占的分数有1分、1.8分、2分三级。要求各分数级的题目都不得少于一个，请问1分的题目最少应该有几个？
制作形式复杂多样的表格有很多好处，特别是在题目的类型难以区分，内容繁杂的时候更为有用。这样制作表格的话，一个单元中必须掌握的东西可以说就全学习过了。
可是，如果只是为了制作好表格而投入太多的时间和精力是没有多大意义的。因为对于大家来说，重要的不是制作表格，而是要去学习它。
有效的表格只是一件帮助你越学越简单的好工具。虽然没有工具会比较困难，但也只有技艺不佳的工匠才会拿工具的好坏做挡箭牌。
第三阶段小结
●1 做辅导书中的基本题、必修题、类型题、简单的练习等。这时要以必修类型题为中心进行学习，但最好不要做太难的题目，对于这些题目略过去即可。
●2 在“题目解答”的阶段中，一个单元结束时要通过制作表格来进行整理。一定要包含题目和那个题目的小标题，如果能另外添加上诸如解题法、题目的特征、适用何种解题法的判断标准、题目之间的差异点等的话，效果会更好。题目的数量，高中生应以每个单元大致不超过15道题为宜，初中生以20道题以下为宜。
●3 除了题目本身之外，表格中的所有其他内容都要能背诵。题目则要练习到切实做会了为止。
●4 为了使学习更有效率，可以制作形式复杂的表格、扩展题目类型数量的表格、考虑到各单元特征的图画式表格、树形图式表格、鸡尾酒式表格等多种形式的表格，但不要在表格的制作上花费太多的时间。
●5 一个单元过后，一定要抽出时间来对前面所学过的表格进行复习、检查。
●6 整体进度(一学期或一学年)结束之后要对前面学过的东西进行再次检查。
小习惯系列3：题目再怎么做也还是不会
考试的时候，往往是题目做着做着就卡住了。虽然有些是因为学过太长时间已经忘记了，但有些分明是刚学没多久，却怎么也想不起来了，可自己明明进行了复习。
这种情况，大致有两个原因。
第一，没有牢牢地记住解题的步骤。
题目做着做着就突然想不起来下面该怎么做了。不按照解题的步骤来，而只是我行我素地去做，最终却吃尽了苦头，找不到头绪，只得放弃了事。这就好比放着旁边宽阔的大道不走，偏偏要去清理障碍，走一条坎坷的小路，最终还是不能到达自己的目的地一样。像这样，有些学生往往在做到半路的时候经过推测就贸然把答案写出来，或者自己随意去更改解题的方法，这对于提高水平是一个很大的障碍。特别是在从小学升入初中或者从初中升入高中的时候，这种情况常常出现。教科书或辅导书中出现的解题步骤都整理得非常好，如果能按照正确的解题步骤做题才说明你已经具备了准确解题的实力。因此，应该尽可能地努力按照教材中出现的解题法来解题，一字不差地背诵。当然，解题并非只有一种方法，但大致来说，教科书或辅导书中出现的一般都是最有效的解题法，所以最好还是努力跟着它们的思路走。 如果总是忘记解题的步骤，可以采用把解题步骤写下来，边记忆解题顺序边解题的方法。
例如，初中的一次方程式解题步骤如下：
（1）如果系数中有小数或者分数的话，则两边同时乘以一个合适的数，使其成为整数。
（2）打开括号。
（3）包含未知数x的项在左边，其余的项移至右边。
（4）整理等式两边，使其符合ax=b的形式。
（5）两边同时除以x的系数a。
像这样整理出来（也可以写在旁边），每次做题的时候就按照这个步骤来解题，还要努力有意识地在解题的过程中把它记住。这样解答几道题之后，步骤也就自然而然地记住了。
第二，没有把一道题解答两遍。
我在教学生的时候常常强调的一句话就是：“如果一道题不解答两遍就等于没做过。”
我自己在学数学的时候也一直是努力遵守这条规则的，结果是，大部分题目再一次解答时基本就不会犯错了。虽然有很多学生往往以那样会花费更多的时间为由而不好好遵守这一规则，但这一习惯的的确确是非常重要的。解答两遍的含义绝不是单纯把步骤写两遍。所谓解答两遍是指自己在做题的时候，不要参考解题步骤，而要完全靠自己的力量从头到尾把它做出来。这样的话，只解答一遍，也能学会解题的步骤。但之所以要解答两遍，目的在于检查。
特别是下面这几种情况一定要解答两遍。
第一，只是用眼睛解答过的题目。
第二，因为在解答过程中卡住了，参考了答案才完成的题目。
第三，哪怕是一点点，也是求助于别人之后才解答出来的题目。
一般说来，用眼睛来解题，或者在解题过程中参考了辅导书中的解题步骤的话，当时好像已经会做了，结果到考试的时候再遇到那道题时却往往一点儿都想不起来，或者在当时获得提示的那个地方该用什么解题方法怎么也想不起来了，苦恼一番之后不得不放弃了事，这种情况数不胜数。如果不想遭受这种痛苦的话，一定要在没有任何帮助的情况下只靠自己的力量再把题目做一遍。能完全靠自己的力量把数学题从头到尾解答出来，这才算是自己真正的实力。不管是老师还是其他人帮你解答出来的题目都不能算是你自己做出来的，所以应该认为还没有做过它。有时候，在补习班或者家教课上，必修类型题总是由老师做给你看，而把“练习”当做作业布置下来。这是极其错误的方法，真正重要的题目由别人来做，不做都可以的题目却由自己来做！虽然已经有人把必修题目做给你看了，但一定要靠自己的力量把那道题再解答一遍，还要练习到能毫无差错地解答出来为止！
遵不遵守这条规则由大家自己把握。遵守这条规则的人或许会显得有些迟钝，时间花费当然会比别人多，但学习的天平却往往会偏向那样的人一侧，不是吗？一定会有回报的。 开始的时候几乎不存在的毫厘之差日后也可以发展成为千里之距。
因此，靠自己的力量从头到尾把题目解答出来，按照教材中的解题步骤一字不差地进行记忆，这就是让已做过的题目在考试中再次遇到时不至于成为拦路虎的秘诀所在。
小习惯系列4：一定要验算 150
在考完试后对答案的时候，常常让我们张皇失措的一种情况就是，在解题的时候明明觉得做对了的题目却因为一些令人啼笑皆非的失误做错了。而更令人哭笑不得的是很多学生明知道这种情况，却还是忽视验算。他们当然有自己的借口：
“解题的时间实在是太紧张了。”
“哪怕只是一道题，多做难题也比做简单题好啊。难题占的分数高啊！”
“验算花的时间太多了！”
解题的时间过于紧张诚然是一个问题，但有一个事实一定要搞清楚：即使解题的时间再紧张，比起多做对一道难题来，验算一下自己认为做对了的四五道简单题目在提高分数这一点上恐怕更为有利。自己抱着一道难题苦苦挣扎，把时间都花在了这上面，结果后来一看，却因为自己以为做对了的简单题目错了两道而导致分数下降，那可真没有比这更傻的事了。
举个例子看一下。
假设在考试的题目中简单的题目是3分，难题是5分。大家想一想，假如四五道简单的题目中有一道在第一次做的时候因为没有计算好而做错了，这时如果对这些题目进行验算的话，是可以保证挣到这3分的。但假设这些时间不是用来验算简单的题目，而是用来做一道难题。或许有的学生会因勇于挑战难题受到周围人的“表扬”，但大致而言，考虑到难题挑战成功的几率一般不会超过30%，保证能够挣得的分数也就只有1.5分而已。如果简单的题目是4分，难题是5分的话，连考虑都不用考虑，验算两三道简单的题目要有利得多。
我们再更冷静更有逻辑地思考一下的话，当然是验算简单的题目有利于获得较高的分数。但奇怪的是，我们常常沉溺于能够把难题做出来的幻想之中，不验算已经做出来的题目就直接去挑战下一道题目了。
验算是一种可以最大程度提高考试分数的方法。如果这样能够让成绩真正反映出自己的实力来，为什么还不验算呢？
该如何验算？有些人误以为验算就是把题目从头到尾再做一遍。而实际上，验算是用解题时间的1/10~1/5来确认自己解题的过程或答案是否正确的一个方法。如果因为验算而花费大量时间的话，还不如干脆不验算的好（当然，题目都做完之后还剩下很多时间的情况例外）。
验算的方法可以分为利用“解题过程”验算和利用“答案”验算两种。
来看一下一次方程式的解题过程。
（例）x+x-=
（解）首先把它转变成Ax=B的形式
(+)x=+ ……①
x==3 ……②
x=3 ……③
x= ……④
首先看一下利用答案进行验算的方法。
把求得的答案代入所给题目的方程式中去。
把④的结果代入方程式①或者所给方程式x+
x-=中去。
由于在运算过程中有可能会写错，所以应该把求得的答案直接代入题目所给的方程式中去，但如果你能确保略经整理后的方程式没有错误的话，代入整理后的方程式中去也是可以的。
像上面的例子这种情况，就可以代入到方程式①中去。如果代入到②或③中去的话，验算的意义也就基本上没了，所以不提倡这样做。
下面再来看一下利用解题过程进行验算的方法。
这种情况适用于求得的答案难以代入所给的方程式中，或者求得的答案代入之后出现的结果是错误的时候。这时应该对①→②，②→③，③→④的过程中的各个阶段是否有什么错误进行验算。很多时候都是通过那种方式发现自己失误之处的。但偶尔有些题目并没有给出方程式来，需要你自己去列一个方程式。像这种情况，在列方程式的过程中就有可能会出错，所以这时有必要先对列方程式的过程进行验算。
那么，到底应该先验算什么，后验算什么呢？对于考虑到各种情况的验算过程，根据下面的顺序图进行验算就可以了。为了能这样进行验算，就应该注意要把解题过程写清楚，不要省略掉太多的解题步骤。
学习好的学生之中，有些人想把解题和验算合在一起来完成。拿我来说，就在验算熟练到一定程度之后像这样把解题和验算合在一起去做题，省下的时间就用在集中攻克难题上。 这样做可以稍微节省一些时间。如果要回过头来验算题目的话，就要花一些时间去回忆当初是怎么做的，而像上面这样却不需要花费这部分时间。
方法如下：
即，第一遍解题的时候，先推出方程式①来，然后对从给出的方程式到①的过程进行快速的验算。当然只需要验算重要的部分即可，在这儿，集中看一下移项到右侧的就可以了。验算并不是全部重新做一次。
推出方程式②后，再检查一下在从①到②的推算过程中有没有失误的地方。在这儿只需要看一下左侧就可以了。
以这种方式通过边解题边验算求得一个答案之后，把它代入给出的方程式中去进行验算。这样一来，只通过解答一遍就能完美地把解题和验算一次性完成，省下的时间就可以专门用来攻克难题了。
解题过程越复杂，题目越难，验算也就越重要。即便都是些简单的题目，如果验算一下，也总是可以发现一两道做错的题目。
确保不白丢分的秘诀就是验算。
“没有经过验算你就不能认为答对了。”
那些总因为不验算而犯错的学生，把这条准则贴到课桌上吧！
花絮3：数学是要自己来做的
在教学过程中会发现，有些学生只学习你教过的那些内容，而有些学生却还想学习教过的内容之外的东西。我曾经教过一些以“英才教育”为目的选拔出来的学生。以英语、数学等科目为中心，对他们进行单独培训。这些学生包括二名男生，一名女生。但我教了一段时间后就发现，在这几名学生中，这名女生学习尤为出色。同样的内容，同样的授课，但惟独那名女生比其他人考得好很多。听说，应该是男生更有数学头脑才对……
所以，有一天我就问那名女生。“你是不是还在学别的什么呀？”话音刚落，她就像早就等在那里一样，递给我一本习题集：“嗯！我还自己在家里学这本习题集呢。”她回答道。
现在学习的内容已经够多了，到底她用什么时间学别的，我对此很是纳闷。
原来，那名女生如果在考试中没有男生考得好，回家就会又哭又闹地折腾一番。即使考得和他们差不多，回到家中也会把一些老师没要求的题目认真地做一遍。这名女生当然会比别人学习好一些了。学生们可能会误以为跟着好老师学习的话，水平就会更上一层楼。虽然这或许多少有一点点帮助，但实力真正提高的时候正是你抱着想学的心态自己去钻研的时候！
我一直努力不去把鱼直接拿给学生们吃，而是教给他们钓鱼的方法。所以当我觉得把该教的东西全都教给他们时，就会果断地放手，不是大包大揽地把题目解给他们看，而是指导他们尽量自己去解题，并为他们指出所犯的错误。
我一直认为，给他们指出什么是正确的方向，什么是重要的、什么是不太重要的，多个单元之间的相互关系如何，其共同的解题法都有哪些等这一类学生自己难以想到的部分才是我的职责所在。其余的所有东西都应该由学生自己来学习。
因为我认为，数学是一门学习者在解题过程中培养自己实力的科目。
学习好的学生的共同之处在于：自力更生的态度！还想学习教过内容之外的东西！学过的部分要比别人学得好的“野心”！
这些都是学习好的学生共同拥有的心态。
虽然学习的秘诀和优秀的老师也是重要的，但请大家务必记住一个事实，那就是，从你决意自己主动学习的那一瞬间起，你的实力就会开始增长了。
第4阶段 赶快克服你的弱点吧――弱点追踪学习法
很多学生在学习数学的时候，常常会说这样的话：“我函数不好！”“我对图形没什么信心！”“只要出现概率统计题，我就傻眼了！”“我为什么每次都是因为看错了题目而做错题呢？”
我经常看到很多学生由于克服不了自己的弱点而逐渐失去了对数学的兴趣。不管是谁都有自己的弱点。它可能是某个单元，也可能是某种题目类型。记得我在读高中的时候就觉得统计部分非常难。在那一部分我充其量不过相当于一个中游生的水平，所以一旦在考试中出现这部分的题目，我就会哀叹一声：“唉，又碰上了！”象征性地做一番努力之后就只能用硬币决定了。
如果任由这些弱点发展下去，最终会成为严重的问题。
如果前面的单元存在着漏洞，在后面的单元中还会再次出现，结果越积越多，成为一个大窟窿。小学的时候忽视的一个弱点，到了初、高中的时候就变为一只使数学变得艰难无比的拦路虎。而且，不管是在平时考试，还是模拟考试，抑或是高考中，由于这一弱点的存在，至少也要比别人多错几道题。
“只要把这一点解决了，数学应该就会容易很多……”这样想的学生如果真的能把这个弱点解决掉，就可以对数学再增加一份自信。即使新学的内容比较难，但由于自己有过克服掉弱点的经历，所以就不会轻言放弃，而会勇敢地去迎接挑战。
在这一阶段中，我要向大家介绍弥补数学弱点的方法。如果能用这种方法克服掉自己的弱点，大家也就又实实在在地向上游生行列迈进了一步。
我在这儿要介绍的解决弱点的方法并不难，只是需要绝不退缩一步的勇气罢了。抱着种种借口在克服弱点的路上踌躇不前的你啊！趁如今窟窿还小，赶紧补上吧！在窟窿大到把自己整个人都填进去也于事无补之前，追踪弱点并把它消除掉就是第四条学习秘诀。
1.“就业班”的传奇英雄
这是我高中三年级的时候发生的一件事。
有这样一名学生，他来自就业班(为就业而学习的班)，而不是升学班(为上大学而学习的班)。但是，他在升入高三之后突然在高考模拟考试中考了将近300分的高分(满分320分)，令全校为之轰动。之后他也一直能考300分左右，当时这真是一团难解之谜。
于是，无数的传闻就出来了：这个学生作弊了，他与复印试卷的小姐有某种关系，他拥有只要看到题目答案就会自动在脑子里出现的超能力等等，不一而足。我们当时还很是羡慕地感叹：“啊！要是答案能这样直接蹦出来该多好啊？！”但大部分的人(包括学生和老师)都很有把握地断言，到真正高考的时候，他肯定考不了那么好。
结果，那个学生在高考中好像考了285分。虽然分数稍微下来了一点儿，但最终还是证明了那位令全校瞩目的学生的实力是实实在在的。在学期中间的时候，有位老师问他是怎么学习的。他回答说：“如果做错了题，就把那道题彻底学习一遍，直到确保下次再也不会做错为止。”
很多学生对此不以为然，谁还不是那么学习的……
但事后想来，我们的确并没有那样学习过。一般都是把做错的题目再做一遍之后就在那儿扼腕叹息：“唉！可惜啊，我怎么就没想到这一点呢。”但并没有把错误的根源挖掘出来，到那道题所属的单元中把相关的基本概念和题目彻底地学习一遍。
考试中出现的题目个数再多，归根结底，一个单元里能出的题目毕竟有限。那个轰动全校的学生的学习方法，是一种在学习的过程中对自己的弱点进行彻底的追踪和消灭的学习方法。
我在教那些声称自己“惟独在某一方面比较薄弱”的学生时，就会在把这则故事讲给他们听的同时，强调为了攻克这一薄弱的部分，需要有直面自己的弱点并与之对决的勇气。虽然对这一弱点视而不见也不会造成太大的成绩滑坡，但如果能克服掉的话，就可以在上游生的行列中高枕无忧了。
下面这件事发生在我教过的一名高二年级的男生身上。
这名男生其他科目成绩都处于上游生的水平，惟独在数学的高考模拟考试中一点儿都使不上劲儿。我首先对这名学生是否真正掌握了基本内容进行测试，得出的结论就是，这名学生的问题在于他对以新的面目出现的题目缺乏适应能力。然后我就选定了一本把过去高考的真题按照单元整理出来的辅导书，集中地教他。对于做错的题目，就回到那个单元的内容再去学习一番，以这种方式往下推进。等数学课程基本结束的时候，那个学生的高考模拟考试分数已经与其他科目成绩一样，达到了超过130分(满分150分)的水平。他认识到了教科书中的题目与高考中的题目要求不同，要解决像高考题目那样应用性较强的题目，就必须掌握相应的解题规则和入手方法。在难题的解答中，怎样自然地应用已知的内容，在这一点上他不断地积累经验，同时对自己在学习过程中一直忽视的弱点进行了弥补。通过这两点，他逐渐克服了对陌生题目的害怕心理。
“老师！现在高考模拟考试好像也没那么难了！”我记得，此后上课的时间变得轻松而愉快。
在数学上没有弱点的学生几乎是不存在的。任由弱点发展下去的学生却大有人在。 像前面介绍的同学们一样，我们需要有一种在承认自己弱点的同时能以积极的态度去应对和克服它的良好心态，不放任自己的弱点！
这是只有勇敢者才能做出的选择。
2.弱点，该怎样追根究底？
对弱点进行追踪是什么意思？
它指的是，不要只是单纯地以“啊！原来我这些没做好，下次一定要好好做”的态度来应对自己的弱点，而应该把成为弱点的部分找出来，然后追根究底。
都有哪些弱点呢？
可以分为以下几类：
(1)对某个单元没有信心
(2)某种类型的题目经常做错
(3)对某个主题没有信心
(4)考试或学习中有坏习惯
这些都可以是自己的弱点，在这儿我对把这四种弱点追根究底的方法做一介绍。
弱点，该怎样追根究底？
第一，要克服在某个单元上的弱点，把那个单元整理出来也就轻而易举地解决了。
按照前面介绍的表格式整理法，整理那个单元的时候，把过难的题目先搁在一边，以必修类型为中心把题目整理得一目了然。同时添加小标题。接下来，不断反复，直到把那些题目完全记在脑子中为止，并去理解其解题过程。这时应该注意的是，如果重要的类型只学习一遍就算过去了，之后立即把目光转向其他的大量题目上，就没什么效果了。因此，对于那些必修类型题目，应尽量少选一些，进行多次的复习、检查，要达到不管什么时候再做都一定能做得出来的程度为止。对你来说成为弱点的单元一般也是大部分学生身上的弱点，因此，出题就会相对较为简单，大家最好只把注意力集中在重要的题目上。有的时候，也会由于题目之间过于相似而难以区分。这时只要通过表格式方法进行整理，把题目之间的不同点、特征、解题法、公式等一次性学完，就可以彻底克服弱点。
例如，如果对概率、统计没有自信的话，就可以把其中代表性的题目筛选出来，集中地学习那些题目的基本公式、概念、解题法等，直到可以在头脑中鲜明地浮现出来为止。正如大家所知道的，这种方法是在前面的阶段中一直强调的方法。至于这种整理的方法到底有多么了不起的效果，只要把你认为是弱点的一两个单元挑出来试一下就会知道了。如果自己觉得确实已经把曾经是弱点的单元的基础夯实了，就可以稍微扩大一下题目的范围，并增加一下题目的难度了。在自己觉得确实已经充分掌握了之后再渐渐地向外扩展，正是这种方法的核心所在。再重复强调一遍，对于那些存在弱点的单元，如果贪心不足地想把单元中的所有题目都一次做完的话，只会感觉到越做越混淆，越做越难。
第二，要克服在某种类型题目上的弱点，就要对考试中做错题目的根源一追到底，找出来后解决掉。
考试的时候，很多题目看上去好像是陌生的，但实际上大部分都是做过一遍的题目，或者与之类似的题目。而即便这样还是做错了，就是因为没有以去除弱点的方式来学习的缘故。
即使题目的内容有所不同，但如果上一次你在利用概率的加法定理解答的题目中做错了，这次又在类似的题目中做错了的话，就是因为没有以克服弱点的方式来学习。
因此，考完试之后，要想一下做错的题目当初不会做或者没有想起来的理由到底是什么，如果自己有哪部分在理解或解答上没有信心，就要找到内容的出处，不仅与那道题直接相关的内容，就连它周围的东西都要毫无遗漏地学习一遍。
有可能的话，还可以考虑一下那道题与相关的题目之间有何不同，具有什么样的特征等，边整理边加以练习，这样一来，就再也不会发生做错那道题或与其类似的题目的事情了。而且这还能够成为一个把自己原来不知道的很多题目之间的连贯性和特征等了解一番的好机会。这样的学习方法在准备高考之类的大型考试时也是非常有效的。
第三，克服在某一主题上的弱点的方法。
在某一主题上的弱点，对于初中生来说就是碰到以新面目出现的题目经常不会解答，对于高中生来说就是经常在最大值、最小值题目上没有自信。为了解决这一问题，就要像前面说过的克服某一单元弱点的方法一样去做整理工作。只不过在这儿更应该侧重的是整理这一过程，而不是对题目进行复习、检查的解题过程。
像这样对某一主题缺乏自信的时候，只要把与这个主题相关的内容通过前面所说的表格式整理法学习一番的话，原本看起来很复杂的题目就干净利索地整理在自己的头脑之中了。
举个例子来看一下。
初中生的话，在方程式的应用方面出现最多的题目也就是有限的那么几个类型。即，速度—距离—时间题、钟表题、盐水题、工作或自来水题。把这些分类之后仔细观察一下其特征，然后把其中的代表性题目集中练习一番。不管什么题都一直做到能做对时为止。然后就可以一点一点地去做类型相同的其他题目或者截然不同的题目了。
高中生的话，举一个最大值、最小值题目的例子来看一下。把高中数学中出现的最大值、最小值题目整理如下：
一个未知数的最大值、最小值
1. 一个未知数的最大值、最小值
(1)二次函数的最大值、最小值(☆☆☆)
2. 两个未知数以上的最大值、最小值 (2)A2+B2+…+C2+…+(常数)形式的最大值、最小值(☆☆)
3. 在有限定条件的方程式的情况下的最大值、最小值 (1)有限定条件的方程式的二次函数的最大值、最小值(☆☆☆) (2)有限定条件的方程式的两个未知数的最大值、最小值(☆☆)
(3)利用判别方程式解题(☆)
(4)有实数条件的不等式中的最大值、最小值
(5)不等式的域和最大值、最小值(☆☆)
4. 特殊形式的最大值、最小值 (1)算术、几何平均(☆☆☆) (2)柯西不等式
与给出的表格所反映的一样，它包括了很多类型的题目。除此之外还有很多类型的最大值、最小值题目，但大部分都是些知道这一解法后就能做出来的类型。如果考试不是太难的话，只要掌握表格中那些星号为两个以上的部分，就完全可以应付得了。
虽然这个表格中并没有包括解题法、例题等，但是大家在自己制作的时候，如果能把这些东西添加上的话，就算得上是一个完整的表格了。如果能把这些整理出来的内容在头脑中按照解题法的特征加以区分，分门别类地记住的话，可以说对于90%以上的高中最大值、最小值题目都已经成竹在胸了。
由于整理好的题目类型已经真正掌握了，所以如果考试中出现了与其相关的题目的话，当然就能解答出来；即使出的题在上面并没有整理出来也没有关系，因为对自己和其他人来说这都是一道陌生的题目，所以最终也不会对自己造成损失。
第四，如果某种习惯成了自己的弱点的话，为了使其得到纠正，就要努力有意识地或者使用特定的方法来改掉这一习惯。
在学习数学的时候，能成为弱点的习惯实在是太多了，下面拿其中的性急和麻痹大意来举例看一下。如果观察一下上游生中能维持满分的学生就可以发现，他们大部分都是沉着冷静的人。因此，或是仔细把自己做的题目验算一下，或是把题目的说明部分读两遍，或是把自己的解题过程整理得干净利落，总而言之，哪怕性子急的人只是在做题的时候变得沉着冷静、认真一些也是很有必要的。数学是一门哪怕只偏差了万分之一，也肯定会答错的科目，必须要准确。而准确性源自于沉着冷静，因此，平常做题的时候就有必要给自己一些自我暗示。
“我一定要把题目的说明部分读上两遍。”
“我要经常一边验算一边写解题过程。”
“我做题的时候一定要慢慢来。”
“我做题一定要做到确认所有的题目都做对了为止。”
此类的自我叮嘱对于纠正这种习惯来说是最好的方法了。
我教过的学生中，有人总是因为不验算而犯错误，我对此大加斥责，从此之后这样的错误就会少很多。有时候，或许这种刺激学生的方法也可以成为令他们改掉坏习惯的契机。不管怎样，关键还要靠学生自己。如果自己下定决心要改正的话，没有什么习惯是改正不了的。上面所说的四种克服弱点的学习方法就是弱点追踪式学习法。
何时应该用弱点追踪的方式来学习？
它并没有什么特定的过程或阶段，考试的时候或者平时学习的时候，不管何时都可以使用这种方法。只是，如果基础实在太差，它就成了自己的弱点，这时以“对基础追根究底的方式”来学习就可以了。
大体来说，结束了前面介绍的第1、第2阶段后，从进入第3阶段时开始，就可以在任何必要的时候通过这种消除弱点的方法来进行学习了。
应该注意的是，在平时推进进度的过程中，很多时候明知道某一部分是自己的弱点，但还是因为进度的原因就那样忽略过去了。这是一种学习了也不会有什么大进展的做法。如果不得不先那样做的话，一定要做一个标记，或者，最好另外抽一些时间来把它解决掉。如果不这么做，任由它过去的话，以后就会连自己的弱点到底是什么都搞不清楚了，最终还是会因为那个弱点而使自己在数学学习中被缚住手脚。
如果克服了成为自己弱点的单元或主题，克服了成为自己弱点的习惯，最后再克服掉成为自己弱点的题目类型，对于大家来说，初、高中的数学将不再可怕。
第四阶段小结
弱点追踪式学习不是一个单独的阶段，而是与其他的学习过程同时进行的。弱点追踪法可以整理如下：
●1 找出自己的弱点是什么。在学习的过程中，对于每次认识到的弱点，要以本书中介绍的解决方法来积极地应对。
●2 如果某一主题或单元成为弱点的话，就只把必修类型题筛选出来，复习、检查之后通过表格式整理法来学习。
●3 如果某种题目类型成为弱点的话，就把那种题目所在单元中的概念和相关题目全都复习一遍。
● 4 如果某种习惯成为自己弱点的话，为了使其得以纠正，就要努力有意识地或者找出某种特定的方法，并在平时多加训练。
小习惯系列5：图与方程式，1+1=3
如果把图（坐标图、曲线图或图形）从数学中刨去的话，就好比一只老虎没有了牙。图于数学就是如此的不可或缺。把这些图握在手中，就像在门锁死的时候有用来开门的各种工具一样。
一般来说，上游生都比较善于用图来解题，相反，中游水平的学生一般来说用图解题的能力就相对较弱，也有些学生一碰到以图的形式出现的题目就先害怕了。原本是为了让学习更容易一些而画的图，反而成了使学习变得更难的元凶！
熟悉用图解题的方式，可以使你逐渐接近上游生的阵营。
我想在这儿说明一下习惯用图解题为什么如此重要。关于与图相关题目的解题法的详细内容，如果要在这本书中展开的话，实在是太多了，所以我在这里只好把它省略掉。
用图来学习好处多多。
首先就是便于理解。
实际发生的事情，听别人描述了半天，还不如自己去现场亲眼看一下更能对情况有一个清晰的认识。还有，对某种复杂的状况进行说明时，如果利用一下图画会更便于理解。数学也是一样，图画对于我们的准确理解会有很大的帮助。
使用图来表现的话，可以得到更多的提示，图可以提供更多的信息。画图来表现一条直线的方程式，这条直线的斜率如何，经过第几象限，和其他直线是什么关系，和x、y轴是如何相交的等等，大量的信息会蕴涵其中，这在做题的时候是非常有用的。如果在解题的过程中突然做不下去了，还可以利用其他提示来把题目解出来。
而且，用图来解题便于验算。虽然有时候用所给方程式验算也会很容易，但图更容易使你一眼就看出自己算出来的结果是否正确。虽然求出了答案，但如果其斜率反了的话，用方程式验算不能立即查出错误，看一眼图很容易就能明白错在哪里了。
除此之外，用图来解题很多时候都会快得多。用方程式来解要写半页的题目，用图来解只需要1/4页就可以做出来了。大致来说，越是复杂的题目这种差距越大。
下面举个一次函数的例子来说明一下。
2x+3y-6=0
看上面的方程式和图，通过方程式来看斜率到底多大，与y轴的截距是多少，很难立刻知道（学习好的人通过默算也能知道）。但如果看一下图的话，一眼就能知道斜率是，与y轴的截距是2，与x轴的截距是3。
下面假设还有另外一个方程式。
2x+3y-6=0
x-2y+2=0
单单看左侧的两个方程式，无法知道两个方程式之间是一种什么关系，而看图的话却很容易就能获得大量的信息。
首先它们交于一点。即，它们的斜率是互不相同的，它们的交点位于第一象限。因此，这样就能够明明白白地区分开每个方程式的特征是什么样的。
如果要求两条直线与x轴围成的三角形的面积，仅通过左侧的两个方程式把题目解出来有一定的难度，而利用右侧的图形的话，到底该怎样做就很明了了。
只要准确地知道两条直线的交点就可以了。
用图来解题并不是说方程式就不再重要了。在上面的题目里，求交点的时候，虽然也可以使用准确画直线的方法，但如果要更准确一些的话，还是要解两个方程式。
图和方程式的关系像针和线一样难以分割，无法放弃一个只选择另一个。这就像两栖动物一样，两方面都要擅长才行。
所以，即使平时只用方程式也能把题目解出来，也还是要练习用图来解题，因为通过这种方式可以培养自己无坚不摧的解题能力。
方程式和图两个都掌握的话，我们就不再只是得到1+1=2的效果，至少也能获得1+1=3以上的效果。
验算功能和解题时间的缩减正是那种效果。
用方程式解出来的结果，画一下图很容易就能得到验证，用眼睛一看，立刻就能知道哪儿出错了。还有一些题目，只要把图画出来，看一下就能立刻做出来。用方程式求解可能需要花费5分钟的题目，用图来求解也许连1分钟都花不到。
逃避用图来解题也算是一个弱点。
如果我遇到不善于用图解题的学生的话，就总是故意让他们多画图。觉得水可怕就不去水边的话，永远也学不会游泳。即便呛了很多水，也要经常去水边，只有这样的人才能学会游泳。
与这个弱点正面对决吧！
即使花的时间稍微多一些，也要把能够画出来的图全都画出来！
大家一定会碰到很多对“图”感激不尽的时候的。
花絮4：90分与100分是不同的
90分与100分虽然看上去十分接近，但事实上却差得非常远。有些学生有时候考90分，有时候考100分，所以也就会觉得两者之间没什么大的差别。但是，一直维持100分不是一件容易的事情。虽然在我们看来，水平也就相差一张纸那么薄，可实际上，要想一直维持100分，就要付出两倍于总考90分的学生的努力。
举例来说，在一门需要背诵的考试科目中，以1~10页讲义为考试范围。
考90分的学生学习那10页需要用多少时间？因为内容并不是很多，所以2~3个小时就足够了。可是，考100分的学生却要花费5个小时左右。为了把这10页中的内容一字不差地记下来，才需要花那么多时间。背诵一页就要花去30分钟左右，那还是经过很多练习之后的结果。而且还要在白纸上把背诵的东西写出来以确认是否已准确记忆，直到再也没有任何错误的时候才会停止。
在考试中，背诵得准确和不准确的差别就会产生5~10分的差异。即使背诵得稍微有些模糊，做错的几率也会有50%，如果一道题共有5个选项，对于两三项不是那么有把握，就只能去蒙。分数也就因此上下浮动。当然有些科目并不是只通过背诵就能应付得了的，但总而言之，为了学习的完美就要付出多得多的时间。高层建筑越往上施工就越难。在数学中不管出什么题都能考100分，这样的学生至少另外又学习了一些高难度的习题集。如果每次出题都比较简单的话，得100分或许还不难，但如果不是那样，一直维持100分就是一件十分艰难的事情。特别是在出题很难的考试中，这两者之间的差异也就凸现出来了。一直维持100分的学生也许可以考90来分，而一直在90分左右徘徊的那些学生却降到了70来分。 为了考试中会出现的一两道难题而再去做一本新的习题集，正是这种艰难造就了100分和90分的差异。
一直维持100分与考一次100分也有着很大的不同，只有那些知道其中差异的学生才有资格屹立群生之巅。
