第5阶段 真的到开动脑筋的时候了――习题集学习法
读这本书的上游生可以分成两类。
有些学生认为：“表格式整理就够用了！其余的时间应该用来学习其他的科目！”而另外一些学生则认为：“我不能就此满足！我一定要达到可以蔑视初、高中数学的程度！”
前面的学生是考虑到只需达到那种程度就足以在平时的考试中得90分以上了，所以觉得数学可以到此为止，应该去学其他的科目了。如果是这种情况，他们就应选择一些大部分题目为平时考试难度的不太难的习题集，去对所学的内容进行检查。只要做到这一步，在平时考试中或者高考出题较简单时，他们就足以保持在上游生的行列了。
而选择后者的学生，也许有着至少也要把数学变成自己的一张王牌的念头。也许是为了让数学成为自己的强项，或是希望数学能比别人多考5~10分，不然就是期望在高考中数学能得一个高分，还有可能是为了准备数学竞赛。
总之，如果希望在初、高中的数学中，不管出什么题都不至于张皇失措，都要能解得出来的话，就很有必要来挑战这一阶段了。而这有一个前提条件，即必须是在通过表格式整理把必修类型题都完美地掌握之后，才能转向高难度的习题集。如果没有这个前提，就很有可能浪费时间。
有些学生看了前面介绍的所有方法之后，或许会说：“哦！这种方法我曾经用过……”
但，盲人摸象般只获得一知半解基本是没什么用处的。要想开出正确的药方来，就一定要对药的用法和效果有一个准确的掌握。
“为什么最好使用这种学习方法？”
“以我的水平来看，什么方法最适合我呢？”
“要在什么时候、怎么学、学多少才行呢？”
对于这些疑问，带着答案去学习，与在还不知道答案的情况下去学习，是有着巨大的差异的。比起那些只知道闷着头往前奔的人，切实知晓了通往巅峰的路和到达方法的人到达巅峰的可能性要大得多。
现在只剩下一点儿了。巅峰已开始隐约进入视野。目标就在前方，绝不能在这里停下前进的脚步！让我们把胜利的旗帜插在巅峰之上，痛痛快快大笑一场。
失败与成功，两个故事
很早以前，我曾经在某个城市里教过一些被作为尖子选拔出来的学生。虽然他们只不过是初中二年级，但却是那个城市名列前10名的优秀学生。当时的英才班学的是高中课程的内容。虽然我也觉得有些过于勉强了，但还是选定了一本连放在高中来学都会觉得较难的辅导书去教他们。他们都是在上课时间注意力高度集中的学生，我以为他们一定能够跟得上。 在10个单元左右的学习过程中，我给他们考了几次试。怎么会这样？！大部分人连60分都没过。但我还是用那本书继续教了下去。到那时为止，我对学生应该用什么样的学习方法还没有一个明晰的答案，而且对于学生家长们要求用那本书来教他们的孩子也难拂其意。
搬家之后，我就不再教那个班了，事后想来，真是追悔莫及。那些学生肯定会觉得数学是一门很难的科目，而且恐怕会在数学上面投入大量的时间。从那以后，即使遇到考全校第一的学生，我也绝对不会从过难的辅导书入手了。除了那些以在数学竞赛中获奖为目标的学生，我都会用一本难度适中的辅导书不紧不慢塌塌实实地来教学生。等学生们通过表格式整理把这些内容几乎100%切实掌握了的时候，再转向高难度的习题集。
前面提到过的跟我学习的两组初三年级的上游生中，其中一名男生进了高中之后继续跟着我学习，他的名字叫MS。升入高中之前，他已经把高一的内容学习了两遍—包括表格式整理，所以我得以在他高一的时候拿高难度的习题集来教他。由于MS对于高中一年级的数学必修题目已经将近100%掌握了，所以即使是高难度的习题集，也有70%左右的题目是他轻而易举就能解答出来的。而且在每一个单元中，也许是由于难题之间也存在连贯性，而他的解题能力又大有提高的缘故吧，当做完一本习题集后转而做另一本习题集时，他几乎可以做到完全无误。
我还按主题分门别类地把辅导书中与学校课程内容有关的东西整理出来教给他，当教材几乎都学完之际，他的实力真的已经是不可同日而语了。
有一天，有一道题目连我看起来都觉得相当难，他反而轻易地解答了出来，于是我就问他：“喂！这道题你是怎么做出来的？”“嗯？就是想到了呗。”他回答道。他解题的速度也快得到了令人瞠目结舌的地步。到了后来，在高一课程中，他似乎已经达到比我还会解题的水平了。虽然有时候MS也会因为听说自己的朋友中已经有人在学习高二、高三的数学课程而感到有些不安，但我还是一直坚持“简单的单元往深处学，难的单元往浅处学”的原则。因为如果简单的单元出简单的题目的话，大家就都能做对了，所以一定会出得难一些；而如果较难的单元再出难题的话，就会有太多的学生得一个大鸭蛋，所以一定会出得简单一些。
我并没有急于教他高二、高三年级的课程，而是集中把高一数学中高难度的题目全都教给了他。在这个课程结束之后，才把高二、高三的课程简单易懂地教给了他（学生们一般都会觉得高二、高三数学很难）。一个学期还没有结束，MS就已经在学校中获得了一个“数学天才”的称号，不管是谁都承认在本年级中一提到数学自然非MS莫属。
我一直教他到高二暑假。MS在高二年级第一学期伊始全校学生不分年级的数学竞赛中，击败许多高三年级的学生夺得了全校第二名。“还是MS厉害啊！”学校里的称赞声不绝于耳。我并没有为了数学竞赛而另外教他什么东西，但只凭此前我所培养的他的能力也足够让他在高中数学中拿个名次了。有一天我在路上走的时候恰好碰上MS陪父母出来散步，那时他已经读高三了。
他的父母很高兴地说：“都是托了老师您的福，这个孩子才能对数学这一科这么有自信。”
他的父母还说在学校里他的数学让别人望尘莫及，直到口干舌燥还一个劲儿地向我表示感谢。
真的是只靠我的指导才那样的吗？我觉得这还是因为MS一直以来喜欢数学、学习努力，同时也是因为他的父母对我始终信赖，把孩子托付给我，因此共同创造出这么完美的结果。
无论如何，他的父母的一番话使我感到，自己不只是单纯为了挣钱而教学生的一片苦心得到了家长的理解，让我真正体会到教学的乐趣。
就像上面的例子一样，在数学学习中重要的是要一步一个台阶地向上攀登。如果无视这一点，不管怎么学实力都不会有多少长进。数学是一门逻辑性很强的学科，如今已经到了放弃题海战术式的非逻辑性学习方法的时候了。
2.该用什么样的习题集，该怎样去解题？
如果大家把前面的三个阶段都扎实地完成了，那么也就充分具备了挑战第5阶段的实力(第4阶段是与其他阶段同时进行的，所以什么时候都能做)。
该选择什么样的习题集？
所谓高难度的习题集，是指那种需要掌握较难的概念才能解答出来或者与解题能力有关的题目很多的习题集。虽然偶尔有些习题集纯粹就是由这样的题目组成的，但如果一本习题集包括30%以上的这种题目，就可以叫做高难度的习题集。只由过难的题目组成的习题集反而对学习没有什么好处，因为至少得有60%~70%会做，才能既起到复习必修题目的效果，又能产生自信心。如果选定的习题集有50%左右都做不出来的话，很容易令人厌倦、失去兴趣，因此，最好选择一本简单题与难题适度混合的辅导书。还有，最好也能包括一些高考题。因为这样一来，不需要另外学习其他的东西，就能在解答该书高考题的过程中对高考出题的倾向和水平有一个了解。由于高考题中有很多富于创意的题目，所以对于解题能力的培养是非常有益的。而且高考题也常常会在学校的考试中出现，对平时的考试也能起到一个准备的作用。
做几本习题集比较合适？
只做一本的话，效果会比较小。因为做过的难题，在别的地方再遇上的时候常常还是不一定能做对，而且这样一来，也就没有机会对那个单元里难题之中的重要题目是什么进行观察了。最好选定两本左右水平差不多的习题集，如果有自信的话再多选择一本也是可以的。虽然大家可能觉得会多花不少时间，但实际上只需要三个月左右就能结束两本习题集中一学年的进度，就像MS那样。因为在做高难度的习题集时，基本例题之类的简单题目是没有必要去做的，只要去做那些难度在必修题以上的题目就可以了。而且在高难度题目之中，大部分解答起来花费的时间多少都会长一些，并且没有必要去背诵，所以也不用通过复习、检查的方式去学习，只需要好好地学一遍即可。如果只完成一个学期的进度的话，一个半月的时间已经是绰绰有余了。如果是在数学上面投入很多时间的学生的话，一个月之内就可以结束。
该用什么方式去学习？
在进度往前推进的时候，最好不要采取做完一本习题集再去做另一本习题集的方式。这样做的话，做过的难题很容易就会忘记。比起上面的方式来，最好能够在学习的时候采取“Z”字形的方式在两本习题集之间游走。一本习题集中的一个单元结束之后，再去另一本习题集中把那个单元学习一遍。这样在两本习题集之间来来回回地学习的话，很容易就能区分出难题之中的重要题目(大部分都是重复出现的题目)，而且学习会因自然而然进行的复习而获得良好的效果。把做错过的题目标示出来，等到考前复习或者完成了一个学期的进度时，再回过头来复习一次的话，大家的实力就会更上一层楼。学习这些难题的理由之一就是为了提高对陌生题目的解题能力。因此，在进行这种学习时，有效的方法就是要多思考。
“我是怎么把这道题做出来的？”
“解题过程怎么会是这样的呢？”
“这与必修类型题有什么不同？”
“这道题的解题方法是不是和哪道题类似？”
“常常出现的重要题目为什么重要？”
“有没有别的解题方法呢？”
抱着此类的想法去做题的话，你就可以整理出一套自己独有的解题方法。
大致来说，在解题的时候，我们需要考虑的东西有：寻找共同的解题法、寻找在解题过程中产生的疑问的答案、试着用其他方法去解题、寻找连贯性等。带着对这些问题的思考，一边解决疑问一边学习，远比毫无思考地做题更为有效。寻找共同的解题法是指要注意在解题时同样的解题方法。在题目A中使用过的解题法在题目B中再次使用的时候，不能视而不见，而要思考一下它们之间的不同点和类似点等，并连贯地整理出来。例如，包含绝对值符号的题目都出现在方程式或函数中，因此，如果早已把包含绝对值符号题目的解题方法按各种情况区分整理好的话，在学习其他单元的时候就会有很大的帮助，至少也能让一看到包含绝对值就害怕的情况不再发生。
寻找在解题过程中产生的疑问的答案，顾名思义，就是说如果在解题的过程中遇到了无法理解的部分时，要为解决这一疑问而深思。实在无法理解解题过程时，应该努力寻求其他人的帮助，或者参考类似题目的解题法来理解这一过程。试着用其他方法去解题并不是说对所有的题目都这样做，只需要尝试几道题目就可以了。有些题目可能会有多达四五种的解题法，在学校的考试题或者高考题中，一道题有数种解题方法的情况也不在少数。
虽然辅导书中收录的一般都是标准方法，但练习一下用其他的方法去解题还是有其优点的。第一，如果在考试中遇到了不会做的题目，当一种方法行不通的时候也不至于张皇失措，还可以尝试一下其他方法。第二，通过思考辅导书中的解题法与自己的解题法之间的差别，对题目的理解就会更加深一层。第三，解数学题的技巧会有所长进。也就是说，碰到一道题目的时候，思考解题方法的能力会得到提升。虽然不能把很多题目都像这样用其他方法解答一遍，但在一个单元之中选出几道题来，以这种方式练习一下对于培养实力还是大有裨益的。寻找连贯性是指要一边思考单元之间或者题目之间的类似点或不同点，一边去解题。例如，一次方程组和两条直线之间就有着非常连贯的关系。因此，在函数中学习两条直线的关系(重合、相交、平行)时，就要与前面学习过的方程组的内容相互比较。
高难度的题目常常是由多个题目糅合在一起而成的，所以如果能思考一下它与其他单元中学过的东西或与重要的必修类型题之间的关系，学习就会富于成效。这种注重思考的数学学习法能让你从表格式整理阶段再向上提升一层。即，它能够使你具备对从来都没有做过的题目也能从容不迫地解答出来的实力。不要把这种思考式的学习法只应用在高难度的题目上，这是对于第3阶段之后学习的必修题难度以上的题目都适用的一种方法。对于其中的寻找共同解题法和连贯性，我会在后面做更加具体的介绍。
总之，如果能够以这种方式对高难度的习题集进行学习的话，在初、高中的数学中，不管遇到以何种面目出现的题目你都将具有应付自如的能力。
第五阶段小结
以下是解高难度习题集时的几条规则：
●1 如果还没有结束前3阶段，就不要去做高难度的习题集，否则付出的代价将远远大于所得的收获。
●2 要选择两本左右高难度题目占30%~40%的习题集。
●3 对两本习题集中的每个单元进行“Z”字形的游走式学习，并快速完成一学期的进度，但不要做基本的题目。
●4 在学习的时候思考一下两本习题集的共同部分或者难题的特征，你会获益良多。
●5 学习的时候一定要思考的东西有：寻找共同的解题法、寻找在解题过程中产生的疑问的答案、试着用其他方法去解题、寻找连贯性等。
小习惯系列6：学习时间相同，水平却不同的原因
我曾经教过两个属于上游生行列的学生，这两个学生的实力都是名列全校前10名的。我是从他们初中三年级开始教的，一直到放暑假为止。可是，虽然是同样的教材、同一个老师，这两个学生却有着显著的差异。一个学生的学习类型是背诵型的，作业按时完成，在指定的范围之内出题的话几乎能考100分。而另一个学生则是好问型的，平时指定范围的考试常常考不好（主要是由于懒惰的缘故），但如果是在高难度的意料之外的范围内出题的话，反而能把题目做得很好。观察这两个学生学习的方式真是一件饶有趣味的事情。在平时的考试中，两个人基本没什么差别。即使在模拟考试中也往往有很多时候看不出什么差别来，但那基本上都是题目难度不高时出现的情况。如果题目出得很难，两个人就表现出了巨大的 差异。
好问型的学生基本上都能答对，而背诵型的学生却常常做不出一半。我留心观察了一下这两个人在数学上到底存在什么基本的差别，结果发现，最大的差别就在于他们对自己做的题是否有疑问。背诵型的学生除了老师教过的东西之外什么其他的都不学，即使做题也只是把心思用在对其内容的整理和背诵上，就算有些琐碎的疑问也是忽略过去了事。
但好问型的学生却不停地烦我。“这个和在‘数和方程式’中出现的那个是不是挺相似啊？”“这个解题过程有些奇怪啊？”“这样做不行吗？”“为什么不行？”
有时候我心里想：“他要是不提这个问题就好了（连我也得认真思考一段时间才行的问题）。”他总是不肯放过我，一个劲儿地追着问。
好问型的学生虽然只做了一道题，却自己把以前做过的所有题目和现在的这道题联系起来，不断地在头脑中整理，就像不断地建一个个坚固的堡垒一样。
那个学生升入高中的时候已经达到了可以对高中数学居高临下的水平。他的实力已经得到了认可，一提起“数学”，连那个学校的老师们都能立即想起这个学生来。
在做题的时候带着疑问去钻研，这才是推动你登攀数学巅峰的力量。
带着这样的疑问去做题，为了找到这一疑问的答案而中断正在进行的进度，再返回到自己辅导书中前面的部分去，这才是提高实力的学习方法。
以忙或只把作业做完就行为借口，对一些小疑问置之不理只知道往下推进进度，这样的人要登上数学的塔尖是很难的。
在做题的时候：
“这道题是不是和在什么地方碰到的一道题很相似呢？”
“这道题的解题方法是不是和其他单元的某一道题很相似？”
“这个单元中这道题和其他的题目在哪一点上不同呢？”
“在解题过程中，这一部分为什么突然变成这样了呢？”
“不用这种方法，用前面学过的其他方法来做一下怎么样？会错吗？”
“解题过程中必须要掌握的东西是什么？”
应该边寻找上面这些疑问的答案边去学习。
在学习数学的时候要带着这些疑问去学，等这些疑问一个个得到解决之后，你就会感觉到自己的实力有了显著的提高。虽然刚开始的时候或许会因为花费很多的时间而感到烦躁，但如果你按照前面所说的方法尽可能地对学习的量和水平进行调整，把省下的时间都用来努力解决这些疑问的话，你将会具备别人难以企及的数学实力。
我在读高中的时候在数学上并没有优秀到遥遥领先的地步，而且前面也提到过，那时候我并没有做过什么整理工作，所以常常是学了几遍下来头脑中也还是没有整理清楚。但我在学习的时候总是对不同于常用方法的其他解题法很感兴趣，在做题的时候经常利用其他解题法进行尝试。高三的时候我参加了学校组织的第一次数学竞赛，当时一道题就占50分，共有4道题，而我由于比别人多做对了一道（做对了两道！）考了个第一名，因为我对使用各种方法来做一些稀奇古怪的题目还是很有自信的。
碰到的题目越难，这种学习方法也就越能发挥它的威力。谁都强调“思考式数学”学习的重要性，但把它付诸实践的人却不多。如果不思考的话，数学实力就会在提高到某一程度后停滞不前。能学习到这个阶段的学生在做题的时候，不要急于把习题集做完。就像不要坐车，而是要步行着览尽沿街各处的风光一样，学习的时候最好用心对每一个题目进行思考。
思考一下其他的解题法或者回头查看前面学习过的内容并整理一下，这才是成为数学强者的捷径。
小习惯系列7：共同解题法中一定有什么东西！
共同解题法包含两方面的内容，一方面是指利用经常在不同单元中出现的共同的数学符号或概念的解题法，另一方面是指解题时共同使用的切入方法。所谓共同的数学内容，就是像绝对值符号那样不管在哪个单元中出现，只要掌握好其解题的原理，无论在什么地方碰到它，利用其共同的解题规则都可以进行解答。所谓共同的切入方法，就是指像根据题目的特征找到规则之后进行解答、逆向解答、用图解答这样切入题目或者解答题目的方法。
大家通过接触各种题目在不知不觉间学习了这些东西，只是根据谁先更加扎实地把这些东西学到手而在解答题目、系统地记忆方面产生了差异。即使单元变了，年级变了，这些东西也不会怎么变，而且，随着年级的升高，题目数量的增加，这些东西会变得愈发重要。题目越多、越复杂，或者越是碰到从没有见过的题目，对这些共同的解题法进行系统整理的人就越会做题。
比如看到某道题之后：
“这道题有没有解题时能适用的共同的数学符号或内容？”
“找到规则的话就能做出来吗？”
“通过逆向整理去解题的话，会怎么样呢？”
“举一个反例，这道题是不是就能解决呢？”
“画一下图的话会怎样？”
如果像这样在短短不到几秒的瞬间之内，头脑中就已经先对这道题该怎样做进行了思考，之后再找出一种最恰当的解题法来切入的话，题目解出来的几率就会大幅度提高。
这个结论来自于我的经验。
我看到初、高中的数学题时，头脑中就会自动依次出现一个又一个的方法，思考该如何去解答。这并不是因为我读到了研究生的地步才产生的一种能力，纯粹是为了考虑如何才能把高中数学教好，用心去钻研题目而产生的。当然，这也是我尝试用尽各种方法来整理大量题目之后才知道的。
因此，我在教学生的时候常常提到以前用类似的方法做过的其他单元中出现的题目。如果从学生那儿传来“啊！”的感叹声，我就感觉这是实力在提高的声音。从今以后那个学生就会具备用一种解题法去解答其他单元的多道题目的能力。另外，偶尔我还会把绝对值之类的经常用到的解题法整理出来之后专门教给他们。我希望有很多学生能在初、高中的题目上至少超过我的水平，而且在我教过的学生之中还确实有过不少那样的学生。
这种共同解题法到底有多少？
实际上，我做过很多辅导书中的题目，也做过很多高考题，只要掌握了10种解题法，大部分的题目就都可以做出来了。这里面没有包括的，高中生谁都很难做出来。当然了，这10种里的每一种又可以分成多种情况。
举例来说，有绝对值符号的情况就可以分为几种：有一个的情况，有两个的情况，三个以上的情况。
总之，我要强调的是，做初、高中的数学题时共同使用的解题切入法并不是太多。大家在学习的时候，只需稍微留意和思考一下，这些东西很容易就可以找得到。初中时常用的共同解题法有：转化为容易的形式解答、缩减未知数个数解答、寻找规则解答、用图解答、简单划分情况来解答、逆向思考解答等。大致说来，共同的解题法并不多，所以只要对几种比较熟悉的话，就能不费劲儿地解答很多题目了。高中时常用的共同解题法有：划分情况解答、降为幂数较低的形式解答、利用对称解答、利用多样的规律解答、利用绝对值解答、利用根号解答、利用证明解答、利用逆向关系解答、用图解答、利用反例解答、列出方程式解答。 把这些东西在头脑中系统地整理出来的话，不管在什么情况下遇到什么样的题目都能应付自如地解答出来。
花絮5：牢牢占据第一名宝座的故事
我曾经在几周的时间里向50名左右的初、高中生做了关于学习方法的讲座。那时大部分的学生都是关注学习的学生，所以总体来说，那次讲座师生互动得很好，课堂上很是热闹。
讲座结束之后，一名高一的学生问了我一个问题。
“老师！我现在是全校20名左右，名次怎么也上不去了。”
“为什么？”
“全校数我们班里学习好的人多，有一个家伙几乎每天只睡4个小时的觉，他是一个即使在课间休息时也埋头学习的书呆子，而且几乎算得上是个天才！看来我是怎么也赶不上他了。”
于是，我回答他说：“我虽然IQ只有120，但从没有因为有些人IQ有150就觉得自己不可能考第一名。即使是在我的名次排到全校第20~30名以外的时候，我也相信，只要我信守和自己的约定，任何时候我都可以考第一名。为什么？因为我已经知道可以让我考第一名的方法啊！重要的是你要相信自己，并且信守和自己的约定—在这儿就是指一定要按照自己制定的计划去做，同时还要保持自己要求的学习质量。还有，要有自信。去按照我教的方法学一下试试，如果考了第一名的话，记得送老师一个小礼物就行。”
我说服那个学生，绝对不是只有天才才能考第一名的，利用正确的学习方法去达到自己目标的人就可以考第一名。虽然这并不是一件容易的事情，但所幸的是他相信了我说的话。
从那以后，他的努力学习换来了在其后不足6个月的时间里考取全校第二名的优异成绩。而且从之后的那个学期开始一直到毕业为止，他都始终占据了全校第一名的位置。于是作为考取第一名的纪念，他送了我一个小礼物。他的一个朋友同样听过我的讲座，成绩也有了很大的提高，却最终没有达到顶尖的水平。她说：“照老师您教的那样做的话，肯定能够考第一名，但是我实在受不了那份苦。”这就是那个学生的局限所在，她把自己的目标水平定得不高。不管怎么样，她总算也考进了大学，过得还算不错。
重要的是考第一名的那个学生不但知道正确的学习方法，而且还彻底地按照那个方法去做了。考取第一名，就是要恪守自己确定的学习目标的量和质（因为也有学生马马虎虎就算过去了）。如果不恪守这些的话，即使是考了第一名，也很容易被别人超越。因此，保住第一名的位子就意味着要在和自己的战斗中取胜。这就像奥林匹克选手一定要在比赛前不间断地锻炼自己的身体，以期有最佳的状态一般—他们常说的一句话就是要战胜自己。在考前按照自己计划好的量和质做完美的准备是牢牢占据第一名宝座的方法所在。
第三部分 数学和学习习惯
1.不良的学习习惯，一定要纠正
我在教数学的过程中遇到过很多的学生，而我总是在一开始就注意观察他们的学习习惯。有时候，我用自认为有效的方法教他们，不知道为什么，他们的数学实力或成绩却没有什么提高。这种情况大部分都是他们不良的学习习惯造成的，所以我常常在刚开始教他们的时候就抱着这样的想法：“这次他们又有哪些坏习惯呢？”对他们进行留心的观察，一直到帮他们纠正过来为止，始终都在与坏习惯进行着艰苦的斗争。
为了纠正后面将要介绍的做题过慢的学生的习惯，我曾经把各个题目较快一些的解题法整理成整整一本书左右的分量。这些都是在对解题过慢的学生进行观察的一年时间里，我一直给他们指出并整理出来的更快些的解题方法，积攒起来竟有这么多。
纠正不良的习惯就是这么艰难，要花不少的时间，而且，如果被它缚住手脚是相当不利的，因为得到的结果往往要远远大于付出的代价。为了纠正不良习惯，重要的是找到问题的原因所在，有时候只要知道正确的方法就能很容易地纠正过来。无论如何，只有知道原因才能有意识地去努力，然后随时间推移慢慢地好转。没有什么习惯是无法纠正的，只不过是要多花费一些时间罢了。“我会不会也有这样的不良习惯？”问一下自己，如果真的有，就记住我所介绍的方法，努力把它纠正过来吧。数学学习自然就会一帆风顺的。
2.绝不可能成功的三种情况
数学学习绝不可能成功的三种情况有：
(1)不背诵。
(2)不相信老师。
(3)讨厌学习。不是没有能力，而是讨厌学习本身。
第一，如果不去背诵就绝对无法脱离下游生行列，我在前面已经介绍过这样的例子了。对包括数学在内的大部分科目来说，背诵都是最基本的东西。大家或许会以为，进了大学或者研究生院之后可能就没有需要背诵的东西了，实际上却并非如此。不用背诵就能搞定的科目几乎是不存在的。
第二，不相信老师的学生就不会听老师的话。所以让他做作业的话，不是找各种借口推托就是勉强装个样子而已，那样的学生不管怎么教他也绝不会有什么长进。明明老师都说了这样去做水平就会有所提高，却偶尔还是有些学生抱着“哎！不会吧！”的想法不去照做。到后来才知道后悔，“我为什么不那样去做呢？”我看到在我教过的很多学生中，那些很听我的话、总按照我说的去做的学生都轻而易举地就提高了数学实力。大家都有过自己喜欢的老师教的科目学得就好的经历吧？就算不喜欢也好，试着相信老师一次吧！
第三，对数学不感兴趣，讨厌数学。一句话，这是最令人头疼的一种情况。迄今为止，我还是没有找到能把对数学毫无兴趣的学生行之有效地引入学习正途的方法。如果受托教这样的学生，往往要把大量的时间花费在跟他讲在人生中学习有多么重要上面，而不是在课程的进行上，而且，为了把课讲得有趣一些还要用尽各种方法。偶尔也有成功的时候。如果以我说的话为契机，那个学生偶然间感觉到学习对于自己来说有一点点重要，数学还是值得一学的话，即哪怕他只是有一点点自己要学习的想法，可能性也才由此产生。这个时候就好比让即将熄灭的烛火保持燃烧一样，将兴趣和学习的量求得一个适当的平衡点，小心翼翼地推进进度是很重要的。
结论就是，对于那些对学习毫无兴趣的学生，只有能够正确地引导人生、善于教诲的优秀老师才能帮助他们。如果用尽了各种方法，学生自己还是连一点点努力都没有的话，暂时不要让他学数学也算是一个不得已的好方法了。(当然，大部分的家长都不会同意的……)
今天的初、高中生中，自己愿意停留在下游生行列的学生有几个？数学，试着学一下，就不会觉得太难。如果只把目标定在中游水平，不需要学那么多也可以。我认为，比起不努力学习的学生来，更多的学生只是方法选择不当，或者有不良的学习习惯而已。鼓起勇气来吧！巅峰并没有大家想像的那么遥远。如果能避免数学学习绝不可能成功的这三种情况，总是会有成果的。
总之，既然要在初、高中待上6年的时间，把数学搞好总比没搞好强多了吧？
3.解题过慢有害
这是在我教两名初中一年级的学生时发生的事情。
这两个学生的共同点就是做题太慢和太调皮。有一次由于她们太吵，被我训斥得眼泪都流出来了，可是还没过5分钟就又恢复了老样子。比起教她们学习来，让她们别吵才是更费劲儿的，但从另一个角度看，她们也还是挺可爱的。
无论如何，对于数学学习来说，做题慢吞吞是一件很成问题的事情，所以先要把这个问题解决了才行。小学式习惯根深蒂固的这两个学生又各有不同的症状。SH总是不好好写解题过程，总想用默算把题目做出来，因而把时间都耽误了，而SJ是把解题过程写得过于仔细(慢吞吞)了。SH做难题还可以，做简单的题目却常常出错。所以，如果题目的难度属于中等水平的话，SJ做的要比SH好得多，如果题目的难度属于上、中、下混合的话，两个人的分数就差不多。因此，我首先要求SH不要再默算了，要把所有的解题过程都一字不落地写下来。但这个性急的学生却总是把解题过程乱写一气，常常是写到2/3左右的时候就直接把答案写出来了，或者做着做着稍微有些地方不明白的话，就在那儿冥思苦想，把时间都白白浪费了。所以我就要求她时刻注意按照辅导书中写的那样，解题步骤要一直写到答案出来为止，并训练她不要总在一道题目上停留太长的时间，还要求她不要默算，首先要做到准确地进行笔算。真的不是一件容易的事情，花费了很长的时间。不过，她在简单的题目中出错的情况终于越来越少，考试成绩也有了大幅度的提高。SJ的问题在于解题过程写得过于仔细、解题过于慢吞吞。简单的移项或者把加减符号从括号中挪出来等，我来做的话(初中的方式)只需要两行的东西，她会写上长长的6行至8行。我让这个学生练习着通过默算来减少解题步骤，引导她通过集中地默记几个部分(把括号展开、移项等)来改变这一状况。结果，她的解题过程减少到了4行左右，从此以后，她在考试的时候时间不够用的情况就少多了。到了这一地步，不但需要很多时间，还要不断地教导她们，其间有很多事情很难用短短几句话形容。有些学生存在着运算或解题过慢的情况，所以，常常由于解题的时间不够，或者因剩下的时间太少过于匆忙而导致本来会做的题目也做错了。如果能够很快做出的话，从各个方面来说都是有利的：在同样的时间内能够学习更多的内容，而且，在考试的时候可能会多做一道题出来，或者能够进行验算，从而对分数的提高大有帮助。快速解题，练习得越多，也就越有好处。
快速解题的方法之一是熟练。即，不管是什么题目，如果做过很多遍，准确地掌握它的解题方法的话，就像找很熟悉的房子一样，由于已经熟知路线，解题的时间会缩短很多。还有，把解题过程写下来所花费的时间也缩短了。为了达到熟练的程度，就要像前面所说的那样，多做一些在没有任何外部帮助的情况下只靠自己的力量从头到尾把题目解答出来的练习。通过那样的反复可以自然而然地达到熟练的程度。但有些学生仅仅靠这些还是不够的，即解题本身花费的时间过长，把解题过程全部写下来花费的时间实在是太多了。为了减少所需的时间，默算练习是很必要的，一般的解题步骤用脑子来算就可以了。解题熟练之后，脑子解题的速度要比我们的手快得多，所以会发生手跟不上趟的现象。这就是最终的目标。到了这个时候，我们的脑子在解题的同时即可进行验算，有充分的时间去思考题目应该如何解答，总体来说，解题所需要的时间也会大大缩短。在达到这种程度之前需要进行大量的练习。但有一个必需的条件，那就是准确性。为了解题更快一些而去默算，结果却因为失误做错了的话，快速解题的意义也就没有了！因此，为了使默算的作用得到充分的发挥，就必须具备准确解题的能力。
我们的目标是准确性要高，快速解题的方法也要熟练。
这种一举两得的方法如下：
第一，为了提高准确性，首先通过笔算(用笔来写的运算)把准确性提高到99%的水平是很重要的。对于那些平时不写方程式、通过默算来处理却又失误频频的学生，即使需要花费的时间很多，基于准确性的考虑也一定要经历用笔算来把所有的解题过程写下来的阶段。等自己觉得已经可以进行无懈可击的笔算时，才可以过渡到默算这一阶段。
第二，要从笔算转向默算。前面之所以要求99%，是因为考虑到那些偶尔抱着“我的笔算还没有达到无懈可击的程度”的想法而不想过渡到默算的学生才提出的。虽然大幅度提高准确性很重要，但实际上自己能感觉出准确性到某种程度就足够了。还有些学生也许会问，既然几乎都能无懈可击地把题目解答出来了，干吗还要过渡到默算的阶段去？默算会节省很多时间，这是它的一大优点。如果时间充裕一些，也许就可以多做出一道难题来，也可以赢得验算的时间。因为这个就可以多得几分。还有，数学解题能力(思考能力)也会得到非同寻常的发展，即使是在用手解题的过程中，脑子也能对题目展开多方面的思考。做到这一步需要耐力与勇气。多练习几遍就会发现，在默算的时候也能够像笔算一样在头脑中进行非常明晰的运算了。要为此进行练习。虽然刚开始的时候想在解题过程中减少一个步骤都有些费劲儿，但到后来，用脑子思考一下就可以把题目解答出来了。还有，本来用两位数与一位数相乘，默算起来也很吃力的，经常练习之后，即使用两位数乘以两位数，默算起来也不怎么难了。默算练习得越多，技术也就越有长进。
这种练习什么时候做？
没有必要占用单独的时间，在进行其他项目的同时有意识地努力练习一下即可。每次做题的时候都练习一点儿，效果很快就会显现出来。这样去做的话，我们就能一箭射中准确性和速度这两只雕。题目有难度的时候，大家的努力就会得到实实在在的回报，而且，具备了这种默算能力之后，平时学习习题集或辅导书的时候进度就会快很多。
稍等！默算Test
1）12×7=
2）23×5=
3）22×51=
4）34×57=
5）258×9=
如果这5道题都能默算出来，那么，大家的数字默算已经达到无懈可击的水平了。
4.如果连自己的字迹都认不出来，一定会答错
在我教过的很多学生之中，字写不好的情况有很多。写字不好会出现什么问题？在数学中是可以成为一个问题的。如果自己写的字连自己都认不出来的话，那就真是一个问题了。还有，如果字写得太急，过于潦草，数学符号中连加减都分不清的话，就成问题了。以我的经验，这种写字成问题的学生在五名之中就有一名。这种问题并不是只存在于下游生之中。我教过的学生中，有一个单从数学方面来讲在本年级中数一数二的学生，也曾经很多次因为看不清楚自己写的解题内容而在验算的时候把题目做错了。当然，也有很多次在解题的过程中就因为把字弄混淆了而做错题。每当那个时候，我就让他不断地练习慢慢地写字和准确地写标准字—特别是数字或符号。虽然他写的字本身并没有多大的好转，但不知道是不是在做题的时候留心了的缘故，失误明显减少了很多。因为对于那个学生来说，多错一道题就是一件很严重的事情。虽然在学习不好的学生之中也许会有人说：“就算不失误也就只能勉强得个60分，多错一道4分的题有什么大不了的？没什么差别啊！”但只要再纠正一两种不良习惯，也许就能够把现在的分数提高到70多分。有句话不是叫做“千里之行，始于足下”吗？除此之外，我教过很多有不良习惯的学生。他们或是因为写字的速度太快或字写得太小导致很难辨认，或是不把解题过程好好地整理出来，这儿写一点儿那儿写一点儿，最终搞不清楚都在哪儿。每次碰到这样的学生，我就会先向他说明为什么要纠正过来，再把纠正的方法也告诉他。
大体来说，男同学这种情况比较多，纠正的方法也很简单。
第一，尽可能用标准字(方方正正的字体)来写。
第二，尽可能用比现在大一些的字号来写。因为经常会因字写得太小而无法辨认。
第三，慢慢地写。这并不是说要慢吞吞地去写，而是为了用标准字去写，特别是为了把符号之类的东西准确地写出来，要认真地去写的意思。
几乎没有通过练习纠正不了的东西，每个人的字体也是在从小长大的过程中不断变化的。只要下定决心，前面指出来的问题至少能得到改善，纠正写字的方式并不是一件难事。我教过的学生在挨了一顿训斥之后，虽然写字的技巧并没有什么提高，但至少能够小心翼翼地去写重要的符号或者数字了，因为这种问题出错的情况几乎没有了。
另外，我有一个小建议，要想把字本身写好，去练字或者常常模仿别人的字体也是一种方法。
5.复杂的题目，可以这样变简单
谜语应该怎样来猜？
大致来说，谜语一般都会含有很多不合逻辑的内容，那是谜语本身有陷阱的缘故。所以，往往是仔细想一下谜语本身的说明，答案就能猜出来了。
做数学题和猜谜语是一样的道理。“就像猜谜语一样去找提示。”就像前面在“无法理解题意”中所说的那样，数学题目在本身的说明部分中就有很多提示可以让你找到答案。所以，很多时候准确理解了题意也就相当于解答了一半。特别是在题目说明复杂的时候，要懂得把题目分解开来去读。题目越复杂，这种方法也就越能发挥它的威力。我们在做标题为“活用”或者“解题能力”的题目时，这种方法极为有效。
