自从爱因斯坦于1905年提出相对论之后，到20世纪末，相对论的坐标变换公式已经出现了不下十余种推导方式。由于人们试图在经典的物理思路下推导出相对论坐标变换公式，不但未能将相对论的基本概念表达清楚，反而制造出了许多明显的错误。为了澄清是非，我们从影响最大的大学物理教材入手清理这些错误，消除人们在理解相对论时受到的误导宣传。
一、大学物理教材开出超级玩笑
在程守洙、江之永先生主编的高校教材《普通物理学》第1册（1978年9月第三版）第239～241页上，狭义相对论的变换公式是这样给出的推导过程：
为了推导洛仑兹坐标变换，我们仍采用图5-1中的两个坐标系K和K′。 其中y ＝ y′和z ＝ z′是不言而喻的。现在主要证明x和t的变换式。
对于O这一点来说，由坐标系K来观察，不论在什么时候，总是x＝0，但是由坐标系K′来观察，在时刻t′的坐标是x′＝ －vt′,亦即x′＋ vt′＝ 0。由此可见，在同一空间点上，数值x和x′＋ vt′是同时变为零的。这就自然而然地使人认为在任何时刻x和x′＋ vt′都有一个比例关系，设这个比例常数是k，那么
x ＝ k（x′＋ vt′） （1）
用同样方法对O′这一点来讨论，可以得到
x′＝ k′（x － vt） （1a）
根据狭义相对论的相对性原理，K和K′是等价的，上面两个等式的形式就应该相同（除正负号外），所以两式中的比例常数k和k′应该相等。即有
k ＝ k′
这样
x′＝ k（x － vt） （2）
为了求得确定的变换法则，必须求出常数k。 根据光速不变原理，假设光信号在O与O′重合的瞬时（t ＝ t′＝ 0 ）就由重合点沿OX轴前进，那么在任何一瞬时t(由坐标系K′量度则是t′)，光信号到达点的坐标对两个坐标系来说，分别是
x ＝ ct ， x′＝ ct′ （3）
把式（1）和式（2）相乘，再把式（3）代入，得
xx′＝ k2（x － vt）（x′＋ vt′） （4）
c2 tt′＝ k2 tt′(c－v)(c＋v)
请注意：根据不论在什么时候，总是x＝0和x′＝ － vt′，亦即x′＋ vt′＝ 0的前提，式子（1）左边的x和右边的x′＋ vt′都等于0,式子（1）事实上就成了0 ＝ k×0 ；
按照同样的分析思路，式子（1a）事实上也是0 ＝ k′× 0 ；
无须根据狭义相对论的相对性原理推理出k ＝ k′，式子（2）就已经是 0 ＝ k × 0 ；
把式（1）和式（2）相乘，得到的是 0 ＝ k × k′× 0 ；在人为确定k ＝ k′时，就有0 ＝ k2 × 0 ；
在假设光信号在坐标原点O与O′重合的瞬时（t＝ t′＝0）就由重合点沿OX轴前进，那么在任何一瞬时t，由坐标系K′量度则是t′，光信号到达点的坐标对两个坐标系分别得到x＝ct，x′＝ct′时，现在的x 、x′已经与式（1）、式（2）中对应的x 、x′不是同一个物理参量了。式（1）、式（2）中的x 、x′对应的是坐标原点，并通过坐标系之间的相对运动速度v与t 、t′发生关联。而现在的x 、x′对应的是光信号到达点，它们是通过光速c与t 、 t′发生关联。如果误以为现在的x 、 x′与式（1） 、式（2）中对应的x 、x′是同一个物理参量，那就势必要推导出v ＝ c的结论！既然现在的x 、x′与（1）、式（2）中对应的x 、x′不是同一个物理参量，把式（3）代入式（1）和式（2）相乘的方程中去求解系数k，就显然犯了违背数学运算规则的逻辑错误。正是由于式（1）和式（2）已经是0＝k×0和0 ＝ k′× 0的无意义"万能公式"，才使得在后面的推导过程中，可以似是而非的求解出莫须有的列立方程解。
曾有人对指出上述错误很不以为然的说：x也可以等于4，等于1公里呀。然而，总是 x＝0和x′＝－vt′，在语言表达上已经明确地告诉人们，无论在任何时刻 x＝0 ，x′＋ vt′＝0 。从语言逻辑上，无论如何也产生不出x也可以等于4 ，等于1公里的内容来。教材中写道：
对于O这一点来说，由坐标系K来观察，不论在什么时候，总是x ＝ 0，但是由坐标系K′来观察，在时刻t′的坐标是x′＝ － vt′,亦即x′＋ vt′＝ 0 。由此可见，在同一空间点上，数值x和x′＋ vt′是同时变为零的。这就自然而然地使人认为在任何时刻x和x′＋ vt′都有一个比例关系，设这个比例常数是k
其中，"由此可见，在同一空间点上，数值x和x′＋ vt′是同时变为零的。"这句话里所说的同一空间点，前面已经讲明是坐标原点，坐标原点0当然是同一空间点，上述整个叙述中都没有提到过另外的空间点，同一空间点也就只能说是坐标原点。"数值x和x′＋ vt′是同时变为零的"这句话本身就是费话。既然 "不论在什么时候，总是x ＝ 0 ，x′＋ vt′＝ 0 "，当然它们是同时变为零的。不存在x ＝ 0 、x′＋ vt′≠ 0 ，或者是x′＋ vt′＝ 0 、x ≠ 0的情况。在已经明确x和x′＋ vt′都等于0的情况下，写出"这就自然而然地使人认为在任何时刻x和x′＋ vt′都有一个比例关系，设这个比例常数是k ，… "，看着它都让人感觉别扭！不理解时不知道这是在讲什么话，一旦理解了它的意思后，哦，编写教材的教授们原来是在给大学生们搞笑呢！绕来绕去，就是想要说明0 ＝ k × 0 。
进一步的分析发现，程守洙、江之永先生编写的这段讲解相对论的教材完全是错误的内容。让我们按照程守洙、江之永先生给出的分析思路，将完整的详细论述写出如下：
对K系中处以静止状态的任意空间点A来说，它在K′系中是运动点。人们在K系中观察，总是x1 ＝OA＝a 。但是在坐标系K′中观察到的是A′点，在t′＝0的时刻，K′系中的OA′与K系中的OA并不相等，x1′＝ OA′＝ a′≠ a 。我们必须通过一个系数k ，才能将二者表示成 a＝k a′。在时刻t′≠ 0的时候，A′点的坐标是x1′＝ a′－ vt′，数值x1′＋ vt′＝ a′。因此：
x1′＋ vt′＝ a′＝ a / k
故此得到：
a ＝ k（ x1′＋ vt′）＝ k a′ （1）
对K′系中处于静止状态的任意空间点B′来说，在K系中是运动点。人们在K′系中观察，总是x2′＝ OB′＝ b′，但在K系中观察到的是B点，在t ＝ 0的时刻， K系中的OB与K′系中的OB′并不相等，x2 ＝ OB ＝ b ≠ b′。我们必须通过一个系数k′，才能将二者表示成 b′＝ k′b 。在时刻t ≠ 0的时候，B点的坐标是x2 ＝ b ＋ vt ，数值x2 － vt＝ b 。因此：
x2 － vt ＝ b ＝ b′/ k′
故此得到：
b′＝ k′（ x2 － vt）＝ k′b （2）
在还没有任何根据的情况下，没有理由认为k是与a无关的永远不改变的常数，k′是与b′无关的永远不改变的常数。这样，我们应该将k表示为与a相关的函数ζ（a），把k′表示为与b′相关的函数ξ（b′）。
k ＝ ζ（a） ， k′＝ ξ（ b′） （3）
这样，（1）、（2）式重新表示为：
a ＝ ζ（a）a′， b′＝ ξ（ b′）b （4）
当取a＝0时，a′＝ 0 ，在把a作为变量来对待时，a和a′是同时变为零的。这才是教材中写出"数值x和x′＋ vt′是同时变为零的"的原本应该要表达的意思。当取b′＝ 0时，b＝0 ，在把b′作为变量来对待时，b′和b也是同时变为零的。这等同于教材中应该以同样道理写出的"数值x′和x － vt是同时变为零的"的含意。
在没有任何根据之前，当a ＝ b′时，k可能不等于k′，k和k′可能与速度方向有关。只要它们保持对K系和K′系都是同样的规律，就符合相对性原理的要求。从K系转换到K′系，与从K′系转换到K系，由于速度方向正好相反，我们可以分别称之谓"正方向变换"和"负方向变换"。
原则上要求k ＝ ζ（a），k′＝ ξ（ b′）都是单值函数。当a ＝ b′＝ 0时，也就是在坐标原点处，由于0 ＝ ζ（0）a′，0 ＝ ξ（0）b ，只可能是：
要么a′＝ b ＝ 0 ，要么ζ（0）＝ ξ（0）＝ 0 ；
a ＝ b′＝ a′＝ b ＝ 0 ，意味着K系的原点在K′系中观察到的动态对应点与K′系的原点重合，K′系的原点在K系中观察到的动态对应点K系的原点重合。
在a ＝ b′＝ 0 、ζ（0）＝ ξ（0）＝ 0 的条件下，a′与b可以是任何数值。这就意味着K系的原点在K′系中观察到的动态对应点可以处于任何位置处，K′系的原点在K系中观察到的动态对应点可以处于任何位置处。
当a ＝ b′≠ 0时，从a ＝ζ（a）a′，b′＝ξ（b′）b推不出任何结果，a ′、 b与 ζ（a）、ξ（ b′）都是待定值。
就算根据相对性原理，当a ＝ b′时，k ＝ k′。由于a ′与 b都是待定值，只能推导出a′＝ b ，也同样确定不出ζ（ a ）＝ξ（ b′）应该等于多少？单从数学关系上看，ζ（ a ）或ξ（ b′）取任意值都保持式子成立。
相对来说，最简单的处理方式是令ζ（ a ）＝ ξ（ b′）永远保持不变，等于某个常数。比如让它等于1，就回到了经典的伽利略变换上。也可以令ζ（ a ）＝ ξ（ b′）等于只与速度v相关的某个式子，比如人为的用来给出ζ（ a ）,就得到狭义相对论坐标变换。只要自己开心 ，高兴让ζ（ a ）等于什么数值，它就可以等于什么数值。
为什么会得出上面这样的结果？根本原因就在于，（1）式子中的（ x1′＋ vt′）好像与 vt′相关， 其实不然，这里面的x1′是由a′－ vt′来决定，（ x1′＋ vt′）永远等于t′＝ 0时刻的x1′值a′；（2）式子中的（ x2 － vt ）也好像与 vt 相关，其实也不然，这里面的x2是由b ＋ vt来决定，（ x2 － vt ）永远等于t ＝ 0时刻的x2值b ；这也就意味着，无论t与t′怎样改变，（1）式子和（2）式子所描述的都只是t ＝ t′＝ 0时刻的变换关系。
为了更加清楚地理解上述变换可能赋予的物理意义，请参看图5-2坐标变换关系图。其中，K系静止，K′系以速度V相对K系做匀速运动，约定K参照系与K′参照系的坐标原点重合时，K系与K′系中的记时显示为0时刻。K系中的静止点A在t＝0时刻的坐标在K系中为xa ，按照经典的伽利略坐标变换公式，K系中的静止点A在K′系中的运动坐标x′为：
x′＝ xa － vt′,
由于：
x′＋ vt′＝ xa 、
k（x′＋ vt′）＝ kxa
因此：
x ＝ k [ x′－（－v）t′] ＝ k（x′＋ vt′）＝ kxa
该式子永远描述的只是t′＝ 0时刻状况。
同样，参看图5-3坐标变换关系图。其中，K′系静止，K系以速度 -V相对K系做匀速运动，K′系中的静止点B在t＝0时刻的坐标在K′系中为xb′。按照经典的伽利略坐标变换公式 ，K′系中的静止点B在K系中的运动坐标x为
x ＝ xb′＋ vt ,
由于
x － vt ＝ xb 、
k( x － vt ) ＝ kxb ，
因此：
x′＝ k（x － vt）＝ kxb
该式子永远描述的只是t ＝ 0时刻状况。
这显然不是相对论所要说明的物理意义。在程守洙、江之永先生编写的教材中，由于把考察的空间点取在原点上，因而才会在t ＝ t′＝ 0的时刻具有x1′＝ x2 、和x2′＝ x1的特殊情况。这样就可能在不知不觉之中，将A点的x1坐标与B′点坐标x2′混为一谈，和将A′点的x1′坐标与B点坐标x2混为一谈。否则，人们很容易发现推导过程忘记了a ≠ a′、b ≠ b′的要点，马上判断出所做的变换实际是伽利略变换。再把x1与x2统一写成x，把x2′和 x1′都统一写成x′之后，t＝0时对应的x1 ＝a 就被篡改成了t′≠ 0时的x2 ；t＝0时对应的x2′＝ b′就被篡改成了t ≠ 0时的x1′。于是，教材中写出的（1）式和（1a）式原本具有的意义便被悄悄的改变掉了。
另外，教材中没有写出（1a）式子，该式的来由也仅用了"用同样方法对O′这一点来讨论，可以得到x′＝ k′（x － vt）"。这其中隐藏着一个玄机，我们再把它还原出来如下：
对于O这一点来说，由坐标系K来观察，不论在什么时候，总是x ＝ 0 ， 但是由坐标系K′来观察， 在时刻t′的坐标是x′＝ － vt′,亦即x′＋ vt′＝ 0 。由此可见 ，在同一空间点上 ，数值x和x′＋ vt′是同时变为零的。这就自然而然地使人认为在任何时刻x和x′＋ vt′都有一个比例关系，设这个比例常数是k，那么
x ＝ k（x′＋ vt′） （1）
对于O′这一点来说，由坐标系K′来观察，不论在什么时候，总是x′＝0 ，但是由坐标系K来观察，在时刻t的坐标是x ＝ vt ,亦即x － vt ＝ 0。由此可见，在同一空间点上，数值x′和x － vt是同时变为零的。这就自然而然地使人认为在任何时刻x′和x － vt都有一个比例关系，设这个比例常数是k′，那么
x′＝ k′（x － vt） （1a）
根据狭义相对论的相对性原理，K和K′是等价的，上面两个等式的形式就应该相同（除正负号外），所以两式中的比例常数k和k′应该相等。即有
k ＝ k′
这样
x′＝ k（x － vt） （2）
为了求得确定的变换法则，必须求出常数k 。根据光速不变原理，假设光信号在0与0′重合的瞬时（t ＝ t′＝ 0）就由重合点沿OX轴前进，那么在任何一瞬时t(由坐标系K′量度则是t′)，光信号到达点G的坐标对两个坐标系来说，分别是
x ＝ ct ， x′＝ ct′ （3）
由于在给出（1）式的叙述中已经告诉人们x′＝ － vt′，在给出（1a）式的叙述中又已经告诉人们x ＝ vt ；当把x ＝ vt、x′＝ －vt′和x ＝ ct ，x′＝ ct′放在一起求解时，将得出：
c ＝ －v ， c ＝ v
在c ＝ －v与 c ＝ v 都要成立的情况下，只有让c ＝ v ＝ 0，将c ＝ v ＝ 0代入（3）式只能得出 x ＝ x′＝ 0 ；于是（1）、（2）式子还是
0 ＝ k × 0 ， 0 ＝ k′× 0
请注意，O′与O不是同一个点，它们只在t ＝ t′＝ 0的时刻重合。也即教材中使用的是两个空间点，并不是一个空间点。当程守洙、江之永先生在编写的教材中，把两个参照系的坐标原点O′、O混为一谈后，就不能再写出（1a）式子的具体来历了，否则也将解不出的结果。
由此可以判定，程守洙、江之永先生误解了狭义相对论的坐标变换含义。他们有可能是认为在任何时刻，狭义相对论的坐标变换是指：在K系中处以静止状态的任意空间点的坐标x与该点在K′系中观察到的运动点的坐标x ′之间始终存在换算系数k，可将它们表示成x ＝ kx′的关系。我们试分析一下：
在K系中处以静止状态的任意空间点A，在K′系中是运动点。人们在K系中观察，总是x1 ＝ OA ＝ a 。在t′＝ 0的时刻，K′系中的OA′≠ a 。这也就意味着t′＝ 0之时，K′系中的OA′与K系中的OA并不相等，x1′＝ OA′＝ a′，我们必须通过一个系数k ，才能将二者表示成a ＝ ka′，也即：
x1 ＝ kx1′、 a ＝ kx1′、 x1′＝ a/k
对于t′≠ 0的时刻，由于：
x1′＝ a/k － vt′
因此有：
a ＝ x1 ＝ k（ x1′－ vt′）
＝ k（ a/k － vt′）＝ a － kvt′
于是得到：
kvt′＝ 0 （1-1）
同理，在K′系中处于静止状态的任意空间点B，在K系中是运动点。人们在K′系中观察，总是x2′＝ OB′＝ b′。在t＝ 0的时刻，K系中的OB ≠ b 。这也就意味着，K系中的OB与K′系中的OB′并不相等，x2 ＝ OB ＝ b ，我们必须通过一个系数k′，才能将二者表示成b′＝ k′b ，也即：
x2′＝ k′x2 、 b′＝ k′x2 、 x2 ＝ b′/ k′
对于t ≠ 0的时刻，由于：
x2 ＝ b′/ k′＋ vt
因此有：
b′＝ x2′＝ k（x2 ＋ vt）
＝ k′（ b′/ k′＋ vt ）＝ b′＋ k′vt
于是得到：
k′vt ＝ 0 （1-2）
由于v ＝ 0意味着K′系与K系永远重合，也就没有所谓的变换事情发生，因此v必须不允许等于零。根据（1-1）和（1-2）式子，在v ≠ 0的条件下，只能是或者k 、k′同时为0 ；或者t′、t同时为0 ；或者k 、k′、t′、t同时为0 。
k 、k′同时为0 ，它们对应的物理意义是：与参照系保持禁止状态的任意空间点，在相对作匀速（也可以是变速）运动的参照系中观察时将全部收缩到坐标原点上。
t′、t同时为0 ，它们对应的物理意义是：与参照系保持静止状态的任意空间点，在相对作匀速或变速运动的参照系中观察时，只要有任何时刻变化，它们将全部收缩到坐标原点上。而在t′、t同时为0的时刻，与参照系保持静止状态的任意空间点，在相对作匀速或变速运动的参照系中观察，高兴把它们变换成多大空间范围，或缩小到坐标原点上，悉听尊便！这样，宇宙便可以从一个点爆炸产生，又可以全部塌陷收缩为一个点，只是所有的存在仅是在t′、t同时为0的一个时刻上。
k 、k′、t′、t同时0，它们对应的物理意义是：在t′、t同时为0的时刻，与参照系保持静止状态的任意空间点，在相对作匀速（也可以是变速）运动的参照系中观察时将全部收缩到坐标原点上。
显然，上述变换结果都没有实际价值。程守洙、江之永二位先生在编写在大学物理教材中出现的笑话故事，乃是人们企图在经典物理学的概念之中推导出相对论坐标变换的失败尝试。
二、似是而非的推导方式
大家知道，自然世界中的每一个物质，时时刻刻都要占据着一定的空间位置。空间就是容纳物质的地方，无论它是否已经被某个物质所占据，空间都客观的存在着。由于人们只能通过物质之间的相互作用才能感受到空间存在，对于没有被任何物质所占据的绝对真空地方，人们永远都感觉不到它处在何处。鉴于在现实的物质世界中是否有绝对的真空地方，对人们的生活都没有不利影响，人们大可不必为此担心或想不通。在牛顿力学中，人们认为存在着绝对静止的空间，只是没有任何手段来寻找出它的架构。显然，人们可以把绝对静止的空间中的每一个点位置称作一个世界点，世界点也就是容纳物质点的地方。
牛顿力学在原理上要求以理想的处于绝对静止状态或绝对匀速直线运动状态的理想惯性参照系作为应用力学定律的条件，但实际上所有好用的惯性参照系都是通过实验验证方式来进行选定。比如在地球表面上，与地面保持静止状态的参照系就是可以在一定空间范围内应用牛顿定律的惯性参照系，而相对于地面作匀速直线运动的参照系，在一定空间范围内也是可以应用牛顿定律的惯性参照系。这些事实表明人们在分析自然世界中的物质运动规律时，实际使用的都是与参照系联系在一起的运动空间，而由运动空间中的坐标系所确定的空间点位置，也就是该运动空间里的世界点。由于实际物质都具有一定的空间体积，它们实际所占据的空间都不是单一个世界点，而是有着一定空间范围的无穷多个世界点的集合。对实际物体来说，当物体的空间体积与其进行运动变化的空间位移相比可以忽略不计之时，人们就可以采用质点来代替该物体进行运动分析。对于接近刚体要求的物体，也可以将其等效为一个质量相同、处于该物体质心位置处的质点来研究它们所进行的某些运动规律等等。因此，世界点在对物质的运动现象进行数理分析时是一个有实际应用意义的物理概念。需要分辨清楚的是，"事件点"与"世界点"不是同一个概念。对于在自然界中所发生的每一个物质运动，都可以称之为是一个事件。而在任一时刻，该物质运动所呈现出来的空间位置就可以相应地称之为在该时刻所发生的事件点。
X′Y′Z′坐标系（称之为K′坐标系）以速度v相对于XYZ坐标系（称之为K坐标系）作匀速运动，速度v的运动方向在K坐标系确定，与OX轴向相同时，v取正号。对K坐标系来说，将确定出来相对于K参照系处于静止状态的K空间。对于该空间中的世界点P1、P2、…、Pn来说，无论K参照系中的计时时刻t怎样改变，它们都不发生变化。与此对应的物理意义就是在每个世界点上都可以安置着处于相对静止状态中的质点。用时空坐标来表示时，即有：
P( x , y , z , 0 ) ＝ P( x , y , z , t )
同样，对于K′坐标系来说，将确定出来相对于K′参照系处于静止状态的K′空间。对于该空间中的世界点P1′、P2′、…、Pn′来说，无论K′参照系中的计时时刻t′怎样改变，它们都不发生变化。与此对应的物理意义就是在每个世界点上都可以安置着处于相对静止状态中的质点。用时空坐标来表示时，即有：
P′( x′, y′, z′, 0 ) ＝ P′( x′, y′, z′, t′)
显然，由K参照系确定的世界点相对于K′参照系就是运动世界点，而由K′参照系确定的世界点相对于K参照系就是运动世界点。在约定t ＝ t′＝ 0的时刻两个坐标系原点重合的情况下，按照经典伽利略变换，由K参照系确定的世界点P在K坐标系中的坐标x与其在K′坐标系中确定出来的坐标x′之间，存在如下的计算公式：
x ′＝ x － vt ， x ＝ x′＋ vt′,
y ＝ y′ ， z ＝ z′， t ＝ t′ ；
但是，人们可以认为经典的伽利略变换只是一种近似于实际的变换。在电学里，由于导体的电阻并非在任何情况下都恒定不变，欧姆定律实际上只是在一定条件下才能够精确成立。因此人们可以想到，在经典的伽利略变换式子上可能还需要乘以一个修正系数k′，从而得到：
x ′＝ k′( x － vt) （1）
同样，在约定t ＝ t′＝ 0的时刻两个坐标系原点重合的情况下，由K′参照系确定的世界点P′在K′坐标系中的x′与其在K坐标系中确定出来的坐标x之间，也应修正为如下变换关系：
x ＝ k ( x′＋ vt′) （2）
根据狭义相对论提出来的相对性原理，（1）、（2）式子中的修正系数应该相同，k′＝ k，特称之为相对论坐标变换系数。
同时，人们还应该知道，（1）式虽然给出的是在t时刻将K参照系确定的静止世界点变换到K′参照系中成为K′中的运动世界点的坐标变换情况，（2）式给出的是在t′时刻将K′参照系确定的静止世界点变换到K参照系中成为K中的运动世界点的坐标变换情况。但对于每个时刻t来讲 ，K参照系确定的静止世界点和由K′参照系确定出来的运动世界点在空间性质上完全一样，只要是同样的坐标值，它们就重合为一个点。同样，对于每个时刻t′来讲，K′参照系确定的静止世界点和由K参照系确定出来的运动世界点在空间性质上完全一样，只要是同样的坐标值，它们就重合为一个空间点。所以在（1）式中，x可以是K参照系中任意世界点在t时刻所确定出来的坐标值，只要给出它，就能够将它转换成在K′参照系中相对应的世界点坐标值x ′。同样，在（2）式中，x′可以是K′参照系中任意世界点在t′时刻所确定出来的坐标值，只要给出它，就能够将它转换成在K参照系中相对应的世界点坐标值x 。对于同一个空间点来说，它在K参照系中的坐标是x ，在K′参照系中的坐标是x ′。该空间点在K参照系确定出x坐标的时刻为t，在K′参照系确定出x ′坐标的时刻为t′。（1）、（2）式子将可以同时对它们进行变换计算。
例如，在K系中观察到一个运动质点，它的运动方程是：
x ＝ x0 ＋ at2/2 ＋ ut
按照伽利略变换关系，该事件在K′参照系中的描述结果就是：
x ′＝ x － vt ＝ x0 ＋ at2/2 ＋（u － v）t
而按照狭义相对论坐标变换关系，该事件在K′参照系中的描述结果将是：
x ′＝ k( x － vt )
＝ kx0 ＋ kat2/2 ＋ k（u － v）t
同样，在K′系中观察到一个运动质点的运动方程如果是：
x′ ＝ x0′ ＋ at′2/2 ＋ ut′
按照伽利略变换关系，该事件在K参照系中的描述结果就是：
x ＝ x′＋ vt
＝ x0′＋ at′2/2 ＋（u ＋ v ）t
而按照狭义相对论坐标变换关系，该事件在K′参照系中的描述结果将是：
x ＝ k ( x′＋ vt′)
＝ kx0′＋ kat′2/2 ＋ k（u ＋ v ）t′
为了求出变换系数k，人们需要考察一个特殊的事件。假设光脉冲在K坐标系与K′坐标系重合的时刻开始由坐标原点沿OX轴前进，那么在任何一瞬时，光脉冲在空间的到达点相对于对这两个坐标系来说，根据光速不变原理，分别是：
x ＝ ct ， x′＝ ct′ （3）
人们把（3）式代入（1）、（2）式子中去求解，即可以得到：
在上述推导过程中，最后引入的光脉冲运动方程只是作为一个已知的特例来求解出变换系数k，它是根据光速不变假设得到的特例。如果没有这个假设出来的事件，人们就只能将K系中的运动方程 x ＝ f(t) 变换到K′系中得到：
x′＝ k f(t) － kvt
或是将K′系中的运动方程x′＝ f′( t′) 变换到K系中得到：
x ＝ k f′( t′) ＋ kvt′
换句话说，光速不变原理是从物理解释意义上使狭义相对论符合数理分析要求的重要环节。当然，光速不变原理并不是一个已经为实验所证实了的事实。实际上，对于极其高速运动的物体，人们已经很难测定出它在某个时刻的瞬态位置坐标值。具体到光波来说，人们可以测定出它在一定时间内走过了多长的距离，但却没有手段测定出光波波振面上某个点在任意时刻之时的瞬态位置坐标值。人们可以根据这个实际困难，认为矢量合成法则对光波的运动分析已经失效而另外提出某种假设。
从形式上看，以上的数学推导过程完全遵循了标准的数理分析方法。但是千万别忘了，在上述的推导过程中，人们使用了特殊的从坐标原点发出的光脉冲方程，它已经使所有等式在t＝0时出现了两边同时为零的情况。如果改用从坐标原点之外的其它空间点发出的光脉冲，按照爱因斯坦提出来的光速不变原理假设，从坐标原点之外的空间点发出的光脉冲方程在相互进行匀速直线运动的K′参照系和K参照系中的运动方程将是：
x′＝ x0′＋ ct′ 、 x ＝ x0 ＋ ct
把它们代入假设成立的坐标变换关系式子
x′＝ k（ x － vt ） 、 x ＝ k（ x ′＋ vt′）
之中，得到的结果是：
x0′＋ ct′＝ k（ x0 ＋ ct － vt′） ，
x0 ＋ ct ＝ k（ x0′＋ ct′＋ vt ） ；
在t′＝ t ＝ 0 的时刻，上述方程应保持成立，于是得到：
x0′＝ kx0 、 x0 ＝ kx0′
在x0′与x0不同时为0的一般情况下，只能得出k＝1 的结果。它表明，即便接受光速不变假设和狭义相对性原理假设，也还是要回到经典的伽利略变换中去。其实，人们只要把一般的直线运动方程x′＝ x0′＋ u′t′、x ＝ x0 ＋ ut代入假设成立的坐标变换关系式子之中，在t′＝t＝0时也将得出x0′＝ kx0 、x0＝kx0′的关系，结果也只能是让k＝1 。
要知道，当我们把x ′＝ k（x ＋ vt）改写成:
x ＝ x′/ k － vt
同时令 x0 ＝ x′/ k ，马上就有：
x ＝ x0 － vt
这其实就是经典的伽利略变换，只不过是把t＝0时刻的x0由原来的x′替换成了x′/ k 。如果在t＝0时刻要将x0由原来的x′替换成了x′/ k ，那么在t≠0时刻继续用伽利略变换来计算x就显然在理由上说不过去了。人们知道，t＝0时刻只是人为给出的一个初始点，本身并没有特殊意义。既然在t＝0的时刻要将x0由原来的x′替换成了x′/ k ，那么在t≠0的时刻也必须进行相应的修正，应改为：
x ＝（ x′－ vt ）/ k
然而，当我们把此式改写成：
x′＝ xk ＋ vt
同时令x0′＝ x/k ，马上就有：
x′＝ x0′＋ vt
它同样还是伽利略变换，只不过是把t＝0时刻的x0′由原来的x替换成了xk。如果在t＝0时刻要将x0′由原来的x替换成了xk，那么在t≠0时刻继续用伽利略变换来计算x′就显然在理由上说不过去。 既然在t＝0的时刻要将x0′由原来的x替换成了xk，那么在t≠0的时刻也必须进行相应的修正，应改为:
x′＝ k（x ＋ vt ）
按照同样的分析思路，当我们把上式改写成
x ＝ x′/ k － vt
同时令 x0 ＝ x′/ k ，马上就有：
x ＝ x0 － vt
它又回到了伽利略变换。如此循环下去，就如同论证"先有鸡，还是先有蛋"的问题一样。既然将t＝0时刻的初始值x0由原来的x′替换成了x′/ k ，与将t＝0时刻的初始值x0′由原来的x替换成了xk ，本来是为了推倒伽利略变换，但推导出来的结果都是要回到伽利略变换上去。它表明：企图通过改换t＝0时刻的初始值来推倒伽利略变换，完全是枉费心机的徒劳之事。之所以如此，原因就在于经典的物理学理论之中并没有"同时性的相对性"之说。
三、把人引入歧途的测量解释
在爱因斯坦最早撰写的论文"论运动物体的电动力学"中，乃是利用光束测量杆子的长度结果来解释狭义相对论的推导过程。请参看《相对论原理》（狭义相对论和广义相对论经典论文集）（科学出版社1980年2月出版，统一书号：13031·1187）第33～36页，在35页下面2段和36页上半部分内容中这样写到：
我们进一步设想，在动杆的两端A和B处各放置一只钟，它们与静止系统的钟是同步的，也就是说，在任一瞬间，这两只钟的指针位置都对应于它们碰巧所在之处的"静系统时间"，所以这两只钟也是"在静止系统中同步"的.
我们再设想，每一只钟各有一个运动的观察者同它在一起，他们用§1规定的规则对这两只钟进行同步.令一束光线在时刻tA离开A，于时刻tB在B被反射，在时刻tA′再回到A.根据光速恒定原理，我们得到
其中rAB 表示在静系统中得到的动杆长度.这样一来，随着动杆一起运动的观察者会发现，这两只钟并不是同步的，而静系统中的观察者则会宣称它们是同步的.
爱因斯坦在该篇论文的§1里，已经采用光束测量A、B两个静止点之间的距离方式，先定义了两只钟的同步条件是：
tB － tA ＝ tA′－ tB
如果在动杆的两端A和B处各放置一只种，它们与静止系统的钟是同步的，按照爱因斯坦提出的光速不变假设，用光束测量动杆两端时就必定要出现如下的结果
tB － tA ＝ rAB c－v 和 tA′－ tB ＝ rAB c＋v
请注意，这是在静止系中测量运动杆的结果。对动杆两端放置着的钟保持跟踪状态的观察者来说，他们与动杆相对处于静止状态。按照爱因斯坦提出的光速不变假设，用光束测量相对于观察者处于静止状态中的杆子两端，其结果应该与§1中的结论一样。因此，推理结果应该是，随着动杆一起运动的观察者会发现这两只钟是同步的，而静止系统中的观察者则会宣称它们并不同步。这样，爱因斯坦设想"在动杆的两端A和B处各放置一只钟，它们与静止系统的钟是同步的，也就是说，在任一瞬间，这两只钟的指针位置都对应于它们碰巧所在之处的静系统时刻，所以这两只钟也是在静止系统中同步的"说法，就与他自己根据光速不变假设推理出来的结论发生了矛盾。
按照专业的工程测量原理来分析，K′系以速度v相对于K系做匀速直线运动，在K系中确定出v的指向与x轴坐标指向相同。在t ＝ t′＝ 0的时刻，两个坐标系的原点重合。在K′系中处于静止状态的任意空间点x′，在K系中是运动点，它的坐标是x ＝ x′＋ vt 。由于必须按照某种理论上可以操作的观测方式观察空间里面的每一个质点位置，人们在K系中观测得到的质点位置与真实的质点位置之间就会因为所采取的观测方式出现误差而需要进行相应的换算。这样，人们在K系中按照规定的操作方式观测到的坐标X与按照伽利略变换出来的真实坐标x之间将存在着与运动速度v和观察用的信息传递速度c相关的换算系数k，可将它们表示为：
X ＝ k（x′＋ vt） （1）
按照同样的思路，在K系中处于静止状态的任意空间点x ，在K′系中是运动点，它的坐标是x ＝ x′－ vt ；人们在K系中按照规定的操作方式观测到的坐标X′与按照伽利略变换出来的真实坐标x′之间将存在着与运动速度v和观察用的信息传递速度C相关的换算系数k′，可将它表示为：
X′＝ k′（ x － vt）
由于坐标轴的方向是人为给定，而采取的观测方式显然与坐标轴方向无关，也就意味着观测结果与运动速度v的正负号无关，因此可判定k ＝ k′。于是得到：
X′＝ k（x － vt） （2）
请注意：（1）式中的x′与（2）式中x不是对应着同一个点，而是分别对应K′系和K系中的任意空间点。同时，在所进行的观测中，要求供观察用的信息传递速度C与相对于发出它的参照系必须是相同惟一的恒定常数。
参看图5-4，都以速度v相对于参照系进行运动的两个空间点D1、D2，两个运动点在t时刻的瞬态坐标分别是（x1 ,y1 ,z1）和(x2 ,y2 ,z2 )，按照X ＝ k（x － vt）映射关系确定出来的运动点D1′和D2′的在t时刻的瞬态坐标分别是
（ x1′, y1′, z1′）和 ( x2′, y2′, z2′)，
人们可以按照图中所示，用两个连为一体，大小半径之比R/r＝k的同心转动圆盘将以速度v相对于参照系进行运动的空间点和按照 X ＝ k（x － vt）映射关系确定的映像点展示出来。从坐标系原点到D1 、D2 、D1′、D2′各点的距离，就等于从原点发出的光线到达这些点所处的空间位置时经历的时间T1 、T2 、T1′、T2′与光波传波速度C的乘积。
