3×4 = 12；+1 = 13，
5×4 = 20；+1 = 21，
8×4 = 32；+2 = 34，
13×4 = 52；+3 = 55，
21×4 = 84；+5 = 89，依此类推。
在新数列前进时，第三个数列从与4倍的乘积相加的数字开始。这种关系是可能的，因为隔两个数字的斐波纳奇数字之间的比率是4.236，这里0.236不仅是4.236的倒数，也是4.236与4的差。其他乘积产生了不同的数列，它们都基于斐波纳奇乘积。
以下，我们列举了部分与斐波纳奇数列有关的现象：
1) 两个连续的斐波纳奇数字没有公约数。
2) 我们发现，如果把斐波纳奇数列标上1，2，3，4，5，6，7，等等，除了第一、第二和第四个斐波纳奇数字以外，每次遇到素数（仅能被1和自身整除的数）的斐波纳奇数字时，它的序列号也是素数。相似地，从斐波纳奇数列的第六项开始，所有合数（除了1和自身以外，还能被其他整数整除的数）的序列数都标示着合数的斐波纳奇数字，如下表。这些现象反过来就并不总是成立了。
斐波纳奇数字：素数对合数
XXPXPPPP
1123581321345589144233377610987
12345678910111213141516
XCCCCCCCC
3) 数列中的任何十个数字之和，均可被11整除。
4) 数列中发展至任何一点的所有斐波纳奇数字之和加上1，等于与最后一个加数向后相隔一项的斐波纳奇数字。
5) 从第一个1开始的任何相连的斐波纳奇数列的平方和，总是等于所选数列的最后一个数字乘以下一个更大的数字。
6) 一个斐波纳奇数字的平方，减去数列中比这个数字小两项的数字的平方，总是一个斐波纳奇数字。
7) 任何斐波纳奇数字的平方，等于数列中这个数字的前一项与后一项的乘积再加上1或减去1。在整个数列中加上1或减去1相互交替。
8) 一个斐波纳奇数字Fn的平方加上下一个斐波纳奇数字Fn+1的平方等于斐波纳奇数字F2n+1。公式Fn2+Fn+12 = F2n+1适用于直角三角形，它的两条短边的平方和等于最长边的平方。右边是一个例子，它使用F5，F6和。
9) 一个公式解释了数学中两个无处不在的无理数p和j之间的关系：
Fn≈100×p2×j(15－n)，其中j = 0.618……，n代表斐波纳奇数列中各项的数学位置，而Fn代表这个项本身。在这种情形中，数字“1”仅被代表了一次，因此F1≈1，F2≈2，F3≈3，F4≈5，等等。
例如，令n=7，则：
F7≈100×3.14162×0.6180339(15-7)
≈986.97×0.61803398
≈986.97×0.02129≈21.01≈21
10) 一个思维延伸现象，据我们所知以前未提过，是斐波纳奇数字间的比率得出的数字非常接近于其他斐波纳奇数字的千分之一，其差值是第三个斐波纳奇数字的千分之一，所有都成数列（见比率表，图3-2）。因此，在比率上升的方向上，相同的斐波纳奇数字以1.00，或称0.987加上0.013相关；相邻的斐波纳奇数字以1.618，或称1.597加上0.021相关；相隔一项的斐波纳奇数字以2.618，或称2.584加上0.034相关；依此类推。在比率下降的方向上，相邻的斐波纳奇数字以0.618，或称0.610加上0.008相关；相隔一项的斐波纳奇数字以0.382，或称0.377加上0.005相关；相隔二项的斐波纳奇数字以0.236，或称0.233加上0.003相关；相隔三项的以0.146，或称0.144加上0.002相关；相隔四项的以0.090，或称0.089加上0.001相关；相隔五项的以0.056，或称0.055加上0.001相关；相隔6项至相隔12项的以比率本身就是从0.034开始的一个斐波纳奇数字的千分之几相关。有趣的是，根据这种分析，相隔13项的两个斐波纳奇数字之间的比率又回到了0.001，它开始时的千分之一！在所有的计数中，我们像斐波纳奇数列的崇拜者定性的那样，真的创造了“在一个无穷级数中繁衍”的“特征传递”，这揭示了“所有数学关系中最紧密的”特性。
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