在本章，我们将推导出分成合约下的资源配置理论。我们的分析是建立在自由市场中私人产权约束条件下追求财富最大化的前提上的。在资源具有排他性和可转让性的条件下，每一个合约当事人都可以自由地接受或拒绝通过协商达成的分成合约条款。除非有特别的说明，我们假设签订合约的成本为零。①[1]
A.所定义的解
在图1中，垂直的供给曲线的横坐标S表示属于某一地主的土地总面积。h表示某一佃农所承租的土地面积，q表示产品。在一个佃农（或一户佃户）耕种投入保持不变的情况下，土地的边际产出量 随着h的增加而减少。假设地主征收的地租是年产量的60％，即 r＝0．6，合约的边际地租曲线（ ）r就位于 的60％上。 和（ ）r之间的纵距就是佃农的边际收入（ ）（1-r）。根据定义，佃农的收入会随着他所承租的土地面积的变化而变化。曲线 和曲线（ ）r之间的阴影区域表示佃农获得的总耕作收入，（ ）r下面的区域表示地主征收的地租总额。如果佃农的耕作收入与他在其他方面可选择的收入一样高或更高，只要土地的边际生产力大于零，而且除土地之外所有的耕作投入保持不变，那么佃农就会继续从事农业耕作，并尽可能地利用他所承租的土地。为了使财富最大化，地主会提高地租所占的比例，因而，提高（ ）r曲线，直到佃农的耕作收入等于他从事其他经济活动可能获得的收入为止。
但是，地租所占的比例并不是地主追求财富最大化可以调整的惟一变量。如果地主把他的土地分给对个佃农耕种从而可获得更高的地租总额的话，他就不会把他所拥有的所有土地出租给一个佃农耕种。图2说明了这种情况。在该图中，垂直线T1，T2，T3……分别是第一、第二、第三个佃农使用土地的分界线。当耕种现有土地的佃农的人数增加时，土地的边际产出曲线相对于只有一个佃农的情况时会向上移动。暂且假设所有佃农所缴纳的地租比例相同，曲线（ ）1 ，（ ）2 …分别是每个佃农的边际生产力曲线，（ ）1r，（ ）2r…分别是每个佃农的合约边际地租曲线。①[2]每个佃农的收入分别以该佃农的 和（ ）r之间的区域表示。为使财富最大化，地主会使土地边际生产力积地主者会使合约的边际地租额积分最大化。这意味着，每一个佃农的收入不会高于他从事其他经济活动的收入。
但是，随着分配给每一佃农的土地面积的减少，地主所征收的地租比例必然会降低，这需要降低合约的边际地租（ ）r，以防止佃农放弃租约。（ ）r的这种减少将导致从每一个佃农那里获得的地租的减少，而且，如果每一个佃农获得的土地面积继续减少的话，地租的比例最终会变得很低，以至于土地的地租总额将下降。因此，解释可以明确地定义为：在地主所拥有的土地总量与佃农对土地的投入成本给定的情况下，地主的财富要最大化，就得同时决定每个佃农所租种的土地面积和地租所占的比例。换言之，在土地产权和佃农的投入资源为私人所有时，由地主与佃农共同议定的分成合约条款，将包括地租所占的比例以及非土地投入与土地投入的比率，前一比例和后一比率必须与均衡状况相一致。
B．数学上的解
为简化起见，我们假设有两种同质的生产要素h和t。这里，h代表每一佃户所承租的土地量。t代表每一佃户所投入的劳动量。进一步假设，每一佃户的生产函数相同。在这些假设条件下，每一佃户与地主签订的合约中的土地量h与地租比例r，必然会同时达到均衡。
假设每一佃户的生产函数是
q=q（h,t）
每一佃户所承租的土地量h等于地主所拥有的土地总量H除以佃农的户数m，即，h=H/m。
那么，地主的地租总额R，就等于每一佃户的地租额乘以佃农的户数，即，
R=m.r.q（h,t）在竞争的条件下，
Wt=（1-r）q（h,t）这里W是佃农劳动t的市场工资率。
这样，地主所要解决的问题就是，在竞争的约束条件下，如何通过选择m、r和t来使地租额R最大化，①[3]即，
max.R＝m.r.q（h,t）
{m,r,t}
其约束条件是Wt＝（1－r）q（h,t）
建立拉格朗日表达式，问题就是最大化
L＝ m.r.q（h, ，t）-λ［Wt-（1-r）q（h,t）］
然后分别对m、r、t和λ偏微分，得到如下的必要条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
从上面的等式（2），我们可以求出
λ=m
要注意的是，由于 ,等式（1）即可化成：
亦即 或
这就表明，在均衡状态下，每单位耕地面积的地租等于土地的边际产品，这一条件与定额地租合约下的条件是相一致的。
从等式（3），我们可以求得
即，佃农劳动的边际产品等于工资率，这一条件是与工资合约下的条件相一致的。
最后，解等式（1）和（4）的r，得
即，在均衡状态下，地租所占的比例必须同时满足上面最后两个条件。换言之，在均衡状态下，土地的产出弹性 等于 ，即总产量减去租佃的净成本（地租）除以总产量。
C．几何解和进一步的说明
上一节推导出的结果也可以在几何上得到证明。在图3，我们所采用的坐标维度与在图2中的坐标维度是相同的。但在图3中，我们集中精力讨论只有一个佃农的情况，这就意味着，地主所拥有的全部土地可能没有得到充分的利用。这里，曲线q／h表示所雇用的佃户土地的平均产出，即，当一佃户的所有的耕作投入不变时，相应于土地面积的平均产出。曲线f/h或佃农的总固定耕作成本除以土地面积，表示产生预期的f/h的耕作投入（除土地外）的成本。暂且假设，所有非土地的耕作投入都由佃农来承担，曲线f/h是除土地之外的总成本除以各佃户的土地面积。总成本包括生产作业期间使用的劳力、种子、肥料和农具等成本。①[4]即f/h=（pt.t＋pz.z＋…）/h；这里f是除土地之外的总固定成本，Pt，Pz，…是佃农的劳力t，肥料z等要素的价格。因为我们假设佃农的耕作投入保持不变，所以，曲线f/h是一条凸向原点的双曲线。曲线q／h和曲线f/h之间的垂直距离限定了（ q-f）／h曲线，即单位土地的地租，它也考虑到了佃农可供选择的成本。①[5]
限定曲线f/h的佃农耕作投入的总量是由合约规定的，这点非常重要，因为如果合约只规定地租的比例，佃农就会对所承租的土地承担更少的投入义务。给定任一地租比例，佃农只能获得每一单位产出的一部分。如果农田耕作的决策完全由佃农作出的话，那么，佃农增量投入的成本低于相应的边际产品，将符合佃农的利益，其结果是导致与均衡不相一致的条件。下一章将对这一点作较详尽的讨论。
在合约当事人相互协商的情况下，经济理论意昧着，合约所规定的佃农的投入总量将能使（q-f）／h最高，或是能使每单位土地的地租最高。由于图3中耕作的边际成本总是等于零，（q-f）／h的最高值可以用下面的方式推导出来。作为增加合约所规定的佃农投入量的结果，f/h曲线每一次的向上移动，都会引起q/h曲线相应的向上移动。前者表示非土地要素的边际成本，以不变的比率增加（即在完全竞争的条件下，边际要素的成本不变）；后者表示佃农追加（非土地）投入的边际生产力，它以递减的比率增加（即佃农投入的边际产出递减）。①[6]当曲线f/h和曲线q/h向上移动的边际相等时，或当佃农投入的边际产出等于他的边际成本时，便可获得与一条具体的f/h曲线相应的最高的（q-f）/h曲线。相应的非土地耕作成本，限定了f/h曲线，包括了与生产性均衡相一致的佃农投入水平。为了使财富最大化，按定义，所选择种植的作物或轮作的作物以及种植它们的生产方法，都是可以使地主的土地现值最大化的作物和方法。也就是说，它们能使地主的年地租额最大化。①[7]因此，对作决策来说，曲线（q-f）/h的相应值或平均地租，是从各条可选择的曲线q/h和曲线f/h推导出的最高值。更准确地说就是，曲线（q-f）/h的最高值把每英亩土地的成本界定为了生产要素。②[8]
土地的边际产品曲线 或图2中（ ）1，在其最高点与曲线q/h和曲线（q-f）/h相交。分配给这个佃农的均衡土地规模T1，就是曲线（q-f）/h处于最大值的那一点。最大化每英亩土地的地租，就是最大化地主全部土地的年地租额。按照已确定的佃农
的均衡土地规模T1，均衡的地租比例等于曲线（q-f）/h的值除以曲线q/h的值（在T1时）。也就是说，地租比例r等于图3中所标明的ar/ap值。在这种均衡地租比例给定的情况下（比如说70％），我们可以把合约的边际地租曲线（ ）r在每一点上作图表示为曲线 的比例。
如曲线（ ）r所示，由于佃农按照合约要支付其总产品的一定比例给地主，就佃农所使用的土地数量而言，土地成本不再是一种约束条件。为使收入最大化，佃农更愿意利用耕地到 为零的那点上，而同时正如合约所规定的，他承担的耕作投入不变。另一方面，地主会把佃农的土地持有量限定在T1上，并将剩下的土地以同样的合约条件出租绘其他佃农。①[9]地主无法把佃农的土地持有规模限定在低于T1的水平上，因为，在地租比例r的条件下，佃农从事其他经济活动所获得的收入可能会更高，这样他就可能不再租种土地。
对另外几个方面再作点评论。首先，并非所有的佃户都有相同的生产力。一些佃户能够生产出更多的产品，因为他们具有某些专门的生产要素禀赋，例如，掌握知识的程度不同。在竞争性均衡条件下，生产力较高的佃农是边际内的租佃者，由此而确定的f/h曲线将包括转给佃农的地租。地主不可能区别对待不同生产效率的佃农，即使这种区别对待不花任何成本，因为雇用边际外的佃农（生产力较低的佃农）的地主将会把生产力较高的佃农从实行区别对待的地主那里争取过来。
其次，即使土地是同质的，每一佃户所持有的土地规模也不会相同。我们把土地的同质性界定为土地在物理特性上是同一的，每单位土地的地租是相同的。也就是说，不同佃户的（q-f）/h曲线的顶点高度是一样的。但如果这些佃农的生产函数不同，那么，不同佃农所承租的土地规模也会不同。①[10]这也就意味着，不同的佃户所缴纳地租的比例可能是不相同的。即，地主在使其年地租额最大化的过程中，如果生产函数要求佃农投入的密度有所不同，那么地主就会分配给不同的佃农不同规模的土地和按不同的地租比例收取地租。在均衡状况下，若土地是同质的，每一佃户的边际生产力必然在边际上的每一点都相等，因为，是在曲线（q-f）/h的最高值那一点上，确定佃农的土地规模的。
第三，耕作的成本（而不是土地的成本）可能由佃农和地主一同来承担。在这种情况下，曲线f/h表示合在一起的成本。如图 3所示，当曲线q,n和曲线f/h给定时，减去地主投入成本的f/h曲线会较低，因而使（q-f）*/k曲线较高。较高的（q-f）*/h曲线（没有画出来）度量的不仅是土地的成本（地租），而且还有地主的非土地耕作的成本。①[11]因此，地主征收的地租比例将会较高，曲线（ ）r在每一点上将以同样比例向上移动。其意蕴是十分重要的：无论是地主要求佃农在租种的土地上进行更多的投资而征收较低的地租比例，还是地主自己对土地进行投资而征收较高的地租比例，这些都不重要。只要投资能获得较高的年地租额，他们就会进行投资。①[12]因此，对于任何合约来说，佃农不必拥有耕作所要求的投入量。如果佃农的投入量不足，佃农可以通过与地主合作，转租土地，雇用工人耕种，借贷以及与另一佃户共同租佃等办法来增加耕作的投入。而且，对不同等级农地，佃农有不同投入要求和不同的生产函数，这些都与佃农不同的投入禀赋相一致。
现在让我们来回顾一下解的条件。当佃农的边际成本等于佃农投入的相应边际产出时，可以得到最高的每单位土地地租（q-f）/h。如图3所示，在（q-f）/h的最高值给定的情况下，每个佃农的土地规模（T1）是确定的，相应的地租比例r将是ar/ap 。在分割线T1上，每英亩土地的地租，即ar,（q－f）/h或rq/h等于土地的边际产出 。也在分界线T1上，我们得到了求出地租比例的惟一条件：
这与我们的数学解是一致的：因为我们在数学推导中假设只有一种佃农的投入，即f=Wt。
D．比较定额地租与签订分成 合约的市场标准
无论是从理论上来说，还是从经验上来说，与分成租佃制有关的许多问题都值得作进一步的探讨。我打算把这种探讨贯穿到本书后面的各章节中。但在这一节中，要力求回答两个问题。
第一个问题是，定额地租与分成合约之间有什么差别？在资源为私人所有的条件下，定额地租与分成租佃制的根本区别是它们如何选择劳动力——土地比例（或非土地投入对土地的比例）。就定额地租来说，每英亩地租是给定的，佃农提出他自己所要耕种的土地数量，在受到与分成租佃制相同的竞争约束下，佃农自己决定在每一个生产周期他要负担的非土地投入的数量。但在分成租佃制下，地主与佃农共同决定非土地投入对土地投入的比例。无论在哪一种情况下，财富最大化的值都既决定了每个佃户租种的土地规模，又决定了所使用的其他投入量。由于对两种类型的合约来说，对决策的约束条件是相同的，因此，这也就意味着资源使用的效率是相同的。
为了说明这一点，我们暂且回到图3。在定额租约中，地主所能征收的地租额可能等于每英亩（q-f）/h的最大值，或为ar。佃农所承租的土地面积仍将会是T1。这时，每英亩的地租等于土地的边际产出。如图所示，给定q/h和f/h，如果承租的面积大于T1，则每英亩土地的地租就会高于土地的边际产出。反之，如承租的面积小于T1，佃农得自耕作的总收入就会小于他从事其他经济活动可能得到的收入。因此，在定额地租下，每一佃户承租的土地规模和地主所获得的年地租额，与在分成租佃制的情况下完全相同。①[13]进一步说，如果在同一等级的土地上种植同样的作物，且具有同样的生产函数，那么，在定额租约的情况下，佃农为了在竞争中求生存将必须承担同样的f/h的成本。就像在分成租佃制下一样，如果一个佃农不拥有所必需的耕作投入量，那他可以通过各种不同的方式获得它们，或是承租一块对耕作投入需要较少的农地。
让我们再提出另一个问题：在分成租佃制下，合约当事人会根据什么标准使每一个佃农的土地规模和地租比例达到均衡？显然，必须选定在给定土地上种植何种价值最高的作物，也必须考虑所需的佃农投入——所有这些事前决策都具有某种程度的不确定性。无疑，合约任何一方当事人的的错误预期，都会导致作出错误的决策。这将导致佃农租种的土地规模和地租比例偏离财富最大化。不过，同样明显的是，在市场中也存在一些合约当事人必须遵守的简单规则。给定某一等级的土地，在土地和其他生产要素的现行市场价格下，存在着佃农投入需求、地租比例以及佃农土地规模的某些组合。
实际上，在私人所有权的条件下，只要土地权可以自由转让，即可以出售，地主就不需要亲自知道耕作的具体细节。对资源所有权的竞争会带来有效率的合约安排。如果一个佃农所种植的作物价值较低，如果地租比例太低，每个佃农所承租的土地面积就会太大，或是佃农的投入太少，那么，作为地主的回报的年地租率就会低于利息率。在这种情况下，地主或是会作出适当的调整，把土地租借给其他佃农，选择不同的合约安排，或是干脆出卖其土地所有权。另一方面，如果合约安排的情况是：佃农所获得的分成收入低于他从事其他经济活动可能得到的收入，那么其他的地主就可能会出高价获得他的服务，或是佃农可能会转向劳动工资合约。
就像地主之间的竞争一样，佃农之间的竞争将会促使佃农承担合约规定的耕作投入量。事实上，地主只要看一下产出就可以知道佃农是否遵守了合约条款，从而决定是否继订分成合约。但实际上，交易常常是由雇用的代理人处理的。他们具有专门知识，能大致估算出实际产出。尽管许多改革家和幻想家宣称佃农没有任何决策权，因而佃农受到了剥削，但以下一点会令人耳目一新：至少在中国，分成合约是客客气气签订的：
一旦谷物收获，佃农就会邀请地主到家里作客。吃完饭，便分谷物，佃农把属于地主的那一份儿送到地主家。交割完成后，地主又回请佃农一次。地主若想解除与佃农之间的现有关系，在这时就可以了结。如果佃农想放弃承租，他也可以在地主到他家赴宴之前离家，以向地主表明他的意向。①[14]
到目前为止，我们的分析基本上是限定在订约成本为零的条件上。在第4章中，我们将放弃这个假设，讨论交易成本问题和租约各项规定的特征。但是让我们先揭示分成租佃理论发展的轨迹，并对可选择理论的意蕴进行检验。
佃农理论 上页 下页 素心学苑
--------------------------------------------------------------------------------
[1] 如果一个以上的人想使用同一资源，就会存在竞争，竞争者不仅包括资源现有的使用者，而且也包括资源潜在的所有者或使用者。这里用零计约成本的假设代替有时含糊不清的“完全”竞争假设。“订约成本”这一笼统的词语，包括了合约谈判成本和合约执行成本。关于交易费用的这些和其他的一些问题，我们将在第4章中讨论。
[2] 根据生产函数，这一对对的曲线可能不完全相同。我们将在后面讨论这点。
[3] ①方便地推导（2）请注意，这里t和m是不需要分开处理的，给定t，当保持m不变时，调整m产生与调整t一样的结果。这里把它们分开，是为了导出均衡状态所需的全部条件。
[4] ①这里土地与非土地投入有很重要的区别。例如，劳力与农具之间的替代在理论中尚不重要，且被忽略。
[5] ①为了表述上的方便，所有价值都用实物来表示。但要注意，年产出q可能包括不同的作物。给定它们的相对市场价格，每一种作物的价值都可以用一种作物来表示，例如谷物。而且，对佃农投入和土地的支付也用谷物表示。
[6] ①为了避免一些语义上的问题，我们这里假设只有一种佃农投入增加。如果像通常的情况那样，增加几种投入的话，所考虑的相应的“移动”是曲线q/h以递减的比例增加时。无论在哪种情况下，理论的结果都一样。
[7] ①给定适当的贴现率ρ, 并给定得自土地的未来收入流Y1,Y2，…Yn，这里Yi不一定等于Yj，就会有一个 ，称为年地租额，以致
如果私人土地权是永久性的，则有 ,这里Vo就是土地的现值。
[8] ②地租是一种生产成本的思想也许肇端于穆勒。我认为，真正重要的是每单位土地的最高地租，因为正是从最高地租中产生了土地价值。
[9] ①有待证明的是，属于同一地主的最后一块土地是怎样分配的，因为它对一户佃农来说其面积可能太小。一种答案是，一户佃农可能同时向两个以上的地主租种土地，并将土地利用到边际。而且，一户佃农也可能自己拥有小块土地，再从地主那里租种额外的边际土地。这点可以从半自耕农的存在得到证明。因此，如果分配给一户佃农的最后一块土地规模小于均衡规模的话，佃农将会利用他在别处的部分资源，也可能是农业部门之外的资源。
[10] ①这里所使用的“土地同质性”一词含有相同的市场地点的意思，由此而给予了这样一个明确的条件：曲线（q-f）/h最大值相同，而且不同佃户投入比例相同，则地租的比例将相同。与不同的作物相联系的不同的生产函数，将要求佃农投入的密集度有所不同。另一方面，给定生产函数，地租比例和每个佃农的土地规模将取决于（1）土地的肥力和（2）佃农的投入成本。
[11] ①请注意，这一较高（q－f）*/h曲线的最高点在T1的左边。不过，这与土地规模的分配不相关，因为这将导致每英亩的地租较低。T1仍然是分界线，这里（q-f）/h的值或土地净回报额最大。但这种情况下的地租，将是被q/h所除的T1上的（q-f）*/h。
[12] ①在分成租佃制下大多数租约都不是永久性的，有人因此而抨击租佃制不安全，导致了资源配置不当，但没有比雇用的农民在收成不好时遭到解雇更不安全了。实际上，短期租约是保证资源配置的有效手段。非永久性租约会挫伤人们投资的积极性的观点是不正确的。我们发现，租期的长短是根据合约的类型、合约当事人所持有资产的情况而变化的。解除租约的频率很小。更为详尽的讨论，请参见第4章C节。
