三、预付赌金为多少圣彼得堡悖论是关于不确定性和无穷决策问题中令人头痛的一个。科学家从实际出发，提出了诸多消解这一悖论的有益尝试，比如效用递减论、风险厌恶论、效用上限论和结果上限论等，但它们并没有也不可能最终解决这一问题。圣彼得堡问题的理论模型不仅是一个概率模型，而且本身就是一种统计的、近似的模型。当实际问题延伸至无穷大的时候，连这种近似也变得不可能了。圣彼得堡悖论是瑞士数学家丹·贝努利在18世纪初向圣彼得堡科学院提出的一个悖论。它实际上是一个你与庄家玩掷硬币的赌博对局。悖论点就出现在赌局的期望收益无穷大与实际生活中赌徒参加该赌局所预付的赌金是一个常数。你交一定数额的赌金，然后才有资格去参加一个与庄家玩掷硬币的赌局。规则是这样的:交完赌金之后，你向空中掷一枚没有被做过手脚的硬币。若第一次掷出反面，你什么也得不到，赌局终止;若第一次掷出正面，庄家给你2元奖金，且赌局继续，你再次掷硬币。若第二次掷出反面，你就只得拿着第一次掷出正面所得的2元退出赌局，该场赌局对你而言结束;若第二次掷出正面，庄家给你4(2×2=4)元，赌局继续，你接着掷第三次硬币。若第三次掷出反面，赌局终止;若第三次掷出正面，庄家给你8(2×2×2=8)元，你接着掷硬币。……以此类推，你既可能运气不好第一次就掷出反面而退出赌局，也可能烧了高香，次次都掷出正面，看着奖金成倍成倍地滚进自己的腰包。问题是，你最多肯付多少钱参加这个游戏？换句话说，就是庄家要将参加赌局的赌金设成多少元？你最多肯付的钱应等于对该游戏的期望值。那么，你进行这个游戏的期望值是多少呢？答案是:你对这个游戏的期望值是无限大，你肯付出无限的金钱去参加这个游戏。就是说，无论庄家将赌金设成多少元，你都会觉得这个赌博始终对自己是有利的，哪怕倾家荡产也会投身其中。原因如下:因硬币没有被做过手脚，所以硬币掷出后，不是正面就是反面，即第一次掷出正面的可能性为1/2，获得2元奖金的可能性为1/2。得4元奖金的条件是:第一次和第二次均掷出正面，即得4元的可能性为1/4。得8元奖金的条件是:第一次、第二次和第三次均掷出正面，即得8元的可能性为1/8……设赌徒须交给庄家的预付赌金为x元，则这场赌局的期望收益为:２×1/2+4×1/4+8×1/8+…-x很显然，减号前面是一个无穷级数的和，就是说进行这样一个赌博的期望收益为无穷大。这样意味着，无论庄家提出的预付赌金要求有多高，赌徒在赌博与不赌博两个策略之间的合理选择都是前者，因为赌徒付给庄家的预付赌金是一个有限的数字，以一个有限大的付出博得一个无穷大的收益，当然是合算的。但实际上是这样的吗？
