《数学原理》最初不很受欢迎。大陆上的数理哲学分为两派，形式主义者和直观主
义者。这两派都完全否认数学是从逻辑出来的，并且利用矛盾来证明他们的否认是正当
的。
以希尔伯特为首的形式主义者主张，算术上的符号只是纸上的一些记号，全无意义，
算术是由类乎下棋的规则的一些任意的规则而成，按照这些规则，可以把那些记号加以
操作使用。这个学说有着避免一切哲学争论的有利条件，但它也有不能解释数字在计算
中应用的不利条件。如果把○这个符号看做是指一百或一千或任何别的有限数，则形式
主义者所提出的一切使用规则也就得到了证实。这个学说无法解释象“这间屋子里有三
个人”或“有十二个使徒”这样一些简单的命题是什么意思。对于从事计算，这个学说
是完全够用的，但是在数的应用上则是不够的。既然重要的是数的应用，形式主义者的
这个学说不能不看做是一种不满人意的逃避。
以伯劳威为首的直观主义者的学说须更认真地讨论一下。这个学说的核心是否定排
中律。这个学说认为，如果有一个方法能确定一个命题是正确或错误，那个命题才能算
是正确或错误。常见的例子之中有一个就是这样一个命题：“在π的小数计算中有三个
连续的七”。就已经求出来的π的值来说，并没有三个连续的七，但是没有理由假定在
后来的一个地方这就不会出现。如果今后看来果真有一个地方有三个连续的七出现，问
题就解决了，但是，如果这样一个地方没有达到，那并不能证明后来不会有这样一个地
方。所以，虽然我们也许完全能证明是有三个连续的七，我们却永远不能证明没有。这
个问题对于分析是很重要的。不尽的小数有时候是按一条定律来进行，这条定律使我们
能够随意计算多少项。
但有时（我们必须这样假定）它们不按任何定律来进行。根据一般承认的原则，第
二种情形比第一种情形不知要普遍多少倍。而且，如果不承认“不法的”这样的小数，
则整个实数学说就塌台了，并且微积分以及几乎整个高等数学也就随之瓦解。伯劳威面
对这一灾难，毫不畏缩，但是大多数数学家认为是受不了的。
这个问题的普遍性比上面那个数学例子所表现的要大得多。问题是：“如果没有方
法来决定一个命题正确或错误，说这个命题正确或错误有没有任何意义？”或者用另一
个方式来说：“‘真’和‘能证实’应该是一回事吗？”我认为我们不能说这是一回事，
否则我们只得作一些粗劣而无理的悖论。请以下边这个命题为例：“公元一年的一月一
日曼赫坦岛上下了雪”。我们想不出有什么法子能够看出这个命题是正确或错误，但是
主张这个命题不正确也不错误，看来是荒谬的。关于这个问题我现在不想再说下去，因
