整数是可列的，所有的分数也是如此。
有没有不可列的集合呢？虽然我们进行了自然数首先到整数、然后到有理数的推广，但是我们实际上并没有增加所处理对象的总数。也许读者已得到印象，以为所有无限集都是可列的。不对，在推广到实数时情况就变得非常不同。康托的一个最重大的成就是，他指出了，在实际上实数比有理数有更多的数目。康托进行论证的办法在第二章被称为“对角线删除法”。这个方法被图灵用来表示图灵机的停机问题是不可解的。康托的论证，正如图灵的办法，是用反证法的步骤。假定我们所要建立的结果是错误的，也就是所有的实数的集是可列的。那么在0和1之间的实数肯定为可列的，而我们存在某种列表，可将实数和自然数之间进行一一配对，譬如我已把对角线上的位数用黑体字写出。对于这一特殊的表，这些位数分别为1，4，1，0，0，3，1，4，8，5，1，…而对角线删除步骤是（在0和1之间）构造一个实数，其小数展开（在小数点后）在每一对应的位数上和这些位数都不同。为了确定起见，让我们讲，只要对角线位数和1不同的都为1，而对角线位数为1的都为2。我们在现在情况下就得到了0.21211121112…
的实数。这个实数不可能出现在我们的表上。这是因为它在（小数点后的）
第一位数上和第一个数不同，在第二位数上和第二个数不同，在第三位数上和第三个数不同等等。由于我们假定这个表包含所有在0和1之间的实数，所以这是一个矛盾。这一矛盾导致我们所要证明的，也就是说，在实数和自然数之间没有一一对应。相应地，实数的数目实际上比有理数的数目更大，因而不是可列的。实数的数目是标为C的无限数。（C的意思是连续统，这是实数系统的另一名字。）人们会问，譬如讲，为何这一个数顺便可以提及，可计算数是可列的。为了数这些数，我们只要顺序列出那产生实数的图灵机（也就是产生实数连续位数的机器）。我们可望从这表中除去产生任何早先出现在表中的实数的图灵机。由于图灵机是可列的，所以可计算的实数也一定是可列的。我们为何不能把对角线删除法应用到该表上以产生一个不在该表的新的可计算数呢？回答是基于这样的一个事实，即我们不能一般地可计算地确定，一台图灵机是否在这表上。
为了做到这一点，事实上也就涉及到我们能够解决停机问题。有的图灵机，可以开始产生一个实数的数位，然而停住而永远不再产生另一数位（因为它“不停止”）。没有可计算的方法去决定哪一台图灵机会以这种方法卡住。这基本上是停机问题。这样，我们对角步骤会产生某实数，这数不是可计算的。这个论证事实上可用于表明不可计算数的存在。图灵用于显示不能算法地解决的，正如在上一章所罗列的各类问题的存在，正是精确地沿用了这种推理方法。我们在后面还会看到对角线删除法的其他应用。实数的“实在性”
我们先不管可计算性的概念。由于实数似乎提供了测量距离、角度、时间、能量、温度或者许多其他几何和物理量的大小，所以被叫作“实”的。然而在抽象定义的“实”数和物理量之间的关系，不像人们所想象的那么一目了然。实数点被当成数学的理想化，而不是任何实际物理客观的量。例如，实数系统具有如下物质，在任何两个实数之间必有另一个实数，而不管该两数靠得多近。人们根本就不清楚，物理的距离或时间是否现实上具有这一性质。如果我们不断地对分两点之间的物理距离，最后就会到达这样微小的尺度，以至于在通常意义下的距离概念本身不再具有意义。人们预料在次原子粒子的1020分之一的“量子引力”尺度下①，这的确会发生。但是为了和实数相匹配，我们就必须走到比它小得任意多的尺度：例如10200分之一，102000分之一或1010200分之一的粒子尺度。人们一点也不清楚，这么荒谬的微小尺度究竟有什么物理意义。类似的议论也适用于相应的微小的时间间隔。
物理学选用实数系统的原因在于它的数学上的可用、简单、精巧以及在非常广大的范围内和距离似及时间的概念相符合。它之所以被选用并不是因为知道它和这些物理概念在所有的范围中都一致。人们还可以预料到，在非常微小的距离或时间的尺度下，不存在这样的一致。人们通常用尺来测量简单的距离，但这样的尺在我们追溯到它们自身原子的尺度时，就变得粗糙起来。这一切并不妨碍我们继续准确地利用实数，但要经过更加精细的处理，才能测量更小的距离。我们至少要有点怀疑，在极小尺度的距离下，也许最终存在有根本原则上的困难。自然对于我们真是恩惠有加，我们从小习惯用于描述日常或更大尺度的事物的同一实数，在尺度比原子小很多，肯定在比“经典”的次原子粒子，譬如电子或质子的经典直径小百倍的尺度下仍然有用，似乎直到比这粒子小二十个数量级的“量子引力尺度”仍然适用。从经验得知，这是极不寻常的推论。熟知的实数距离的概念似乎还可外推到最遥远的类星体以及更远处，至少给出了至少1042也许1060甚至更广的大范围。事实上，实数系统的合适性通常是不可置疑的。我们原先和实数相关的经验主要被限於相对有限的范围，人们为什么对实数于物理精密描述的可用性如此信心百倍呢？这种信念――也许是不当的――必须来源于（虽然这个事实经常不被承认）实数系统逻辑的优雅、一致性和数学的威力以及对自然的深刻数学和谐的信仰。
① 注意1020表示100000000000000000000，也就是1后面跟二十个0。复 数实数系统并没有全揽数学的威力和优雅品格。其中仍有一些讨厌之处，例如只能对正数（或零）而不能对负数取平方根。先不讲和物理世界有直接关系的任何问题，单从数学的观点知道，如果能像处理正数那样对负数求平方根，那就极其方便了。让我们简单地假定，或“发明”数-1的平方根。我们用i来表示它，所以就有i2=-1。
当然i的数量不能是实数，因为任何实数自乘的结果总是正数（或是零，零自乘得零）。由于这个原因，习惯上用“虚数”来称呼其平方为负数的数。正如我早先强调的，“实”数和物理实在的关系不像初看起来那么直接、那么令人信服，这里实际牵涉到数学的无限精细化的理想化，自然并没有先天地保证这种做法的合理性。
一旦有了-1的平方根，就可以不费劲地得到所有实数的平方根。如果a为一个正实数，则量i× a是负实数 的平方根。（还有另一平方根 × 。） 本身又如何呢？ - a i i - a它有平方根吗？它的确有，很容易检验量(1+ i) 2 ／（以及它的反号）的平方得i。这个数有平方根吗？答案又是肯定的；量( ) 1 1 2222++ i(1 1 ) － ／ 或者它的反号的平方的确为 ／ 。 (1+ i) 2我们注意到，在形成这样的量时，我们允许把实数和虚数相加，也允许把我们的数乘任意实数（或除以非零的实数，这相当于乘以它们的倒数）。所得的结果称为复数。复数是具有形式a+ib的数，这里a和b是实数，分别称作该复数的实部和虚部。将这样的两个数相加和相乘必须遵循通常的代数法则以及i2=-1的规则：
(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)
(a+ib)×(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)。
现在出现了新的鲜明的情况！我们对这个系统的动机是使对任何数都能取平方根。这个目的是达到了，虽然还不这么明显。但是，它做得比这还多得多：取立方根、五次方根、九十九次方根、π次根、（1+i）次根等等都可以畅通无阻地进行（正如伟大的十八世纪数学家列纳多?欧拉指出的那样）。作为复数的另外一个魔术，我们考察在中学就学到的三角几何中略显复杂的公式，两个角之和的正弦与馀弦公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，只不过分别是简单得多（也容易记忆得多！）的复方程①eiA+iB=eiAeiB的虚部和实部。我们在这里所要知道的是“欧拉公式”（该公式显然地也被十八世纪的英国数学家罗杰?可提斯在早许多年就得到）eiA=cosA+isinA，把它代入前面的方程，其结果的表达式为cos(A+B)+isin(A+B)=(cosA+isinA)(cosB+isinB)，只要把右边乘出，我们就得到所需的三角关系式。还有任何代数方程a0+a1z+a2z2+a3z3+…+anzn=0（此处a0，a1，a2，…，an为复数，an≠0）总有复数的解。例如，存在满足关系z102+999z33-πz2=-417+i的一个复数z，虽然这一点绝非明显！这一个普遍的事实有时被称作“代数的基本定理”。不少十八世纪的数学家都为证明这个结果奋斗过。甚至欧拉也没有找到一个满意的一般的论证。后来在1831年，伟大的数学家和科学家卡尔?弗列得里希?高斯给出了惊人的富有创见的论证，并提供了第一个一般性证明。他的证明的关键部分是几何地表达复数，然而利用拓朴学表的论断。
高斯实际上不是使用复数描述的第一个人。瓦里斯在大约二百年前就这么做了，虽然他没有像高斯那样有效地使用这工具。通常把复数的几何表示归功于瑞士的簿记员金? 罗伯特? 阿伽德， 他在1806年将其描述出来，尽管挪威的测绘家卡斯帕?温塞尔事实上在早九年就给出了完整的描述。为了和这个惯用的（虽然不是历史上准确的）术语相一致，我将复数的标准几何表示称为阿伽德平面。阿伽德平面是一个通常的欧几里德平面，它具有标准笛卡尔的x，y座标，x标出水平距离（向右为正，向左为负），而y标出垂直距离（向上为正，向下为负）。复数z=x+iy在阿伽德平面中以座标为(x，y)的点所表示（见图3.8）。
① 量e=2.7182818285…（自然对数的底，其数学上的重要性可和π相比较的无理数）的定义为e=1+1/1+1/(1+2)+1/(1×2×3)+…，表 示e的z 次方，ez 可展开为图3.8在阿伽德平面上画出了复数z=x+iy。
注意0（作为一个复数）由座标系的原点代表，1是由x轴上的特殊的点代表。阿伽德平面为我们把整个复数的家族组织成一个几何上有用的图画。
这类事对我们而言并无新奇之处。我们已经熟悉实数可以组织成为一个几何的图像的方法，也就是一根向两个方向无限延伸的直线。直线上的特定点为0，另一点为1。点2的位置处于它到1的位移和1到0的位移相同的地方；点 处于 和 的中点；点－ 使得 处于它和 的中间等等。以 120 1 1 0 1这种方式标出实数的集合称为实线。对于复数，我们事实上用两个实数作为复数a+ib的座标，也就是a和b。这两个数给出我们一个平面――阿伽德平面上的点的座标。例如，我在图3.9上近似地标出了复数u=1+i1.3，v=-2+i，w=-1.5-i0.4的位置。
现在复数的加法和乘法的基本代数运算具有清楚的几何意义。首先考虑加法。假设u和v为两个复数，并按照上述的方案表示在阿伽德平面上。则它们的和u+v就由这两点的“矢量和”来表示；也就是说，它处于由u，v和原点0构成的平行四边形的另一顶点。我们不难看出，由这种构造 （图3.10）可以得到和，但是我在这里把证明省略掉。
图3.9阿伽德平面上的u=1+i1.3，v=-2+i和w=-1.5-i0.4的位置。
图3.10两个复数u和v的和u+v可由平行四边形定律得到。
乘积uv也有清楚的几何解释（见图3.11），这稍微不太容易看得出来。（我又在这里省略了证明。）在原点处由1和uv的张角等于1和u以及1和v张角之和（所有角度都按反时针方向测量），uv离开原点的距离是u和v离开原点距离的乘积。这可以等效地叙述为，由0，v和uv形成的三角形与由0，1和u形成的三角形相似，并且具有相同的指向。 （精力充沛而对此不熟悉的读者也许可以利用早先给出的复数加法和乘法的代数规则以及上面的三角等式来直接证明这些结果。）
图3.11两个复数u和v的乘积uv使得由0，u和uv形成的三角形与由0，1和u形成的相似。可以等效地说：uv到0的距离是u和v到0的距离的乘积，而uv和实轴（水平）构成的角度是u和v和该轴夹角的和。孟德勒伯洛特集的构成我们现在可以看看如何定义孟德勒伯洛特集了。令z为一个任意选择的复数。不管这一个复数是什么，它都由阿伽德平面上的某一点所代表。
现在考虑由下式z―→z2+C表出的映射，它把z由一个新的复数来取代。这儿C为另一个固定的（也就是给定的）复数。数z2+C在阿伽德平面为某一个新的点所表示。例如，如果C刚好给出1.63―i4.2，则z就按点z―→z2+1.63－i4.2来映射。这样，特别是3就被32+1.63-i4.2=9+1.63-i4.2=10.63-i4.2所取代，而-2.7+i0.3就会被(-2.7+i0.3)2+1.63-i4.2=(-2.7)2-(0.3)2+1.63+i｛2(-2.7)(0.3)-4.2｝=8.83-i5.82所取代。当这些数变得复杂时，最好用电脑来进行这些计算。现在不管C是多少，特别的点0在这个方案下被数C所取代。C本身又如何呢？它被C2+C取代。假定我们继续这个步骤，将这种取代应用于C2+C，则就得到(C2+C)2+C=C4+2C3+C2+C。让我们再重复这个代换，把它应用到上面的数就得到(C4+2C3+C2+C)2+C=C8+4C7+6C6+6C5+5C4+2C3+C2+C然后再对此数代换等等。我们得到从0开始的一个序列0，C，C2+C，C4+2C3+C2+C，……。现在如果我们选择一定的复数C来进行，则由这种办法得到的数的序列在阿伽德平面上永远不会徘徊到离原点非常远的地方去；更精确地讲，对于C的这种选择该序列是有界的，也就是说序列的每一个成员都位於以原点为中心的某一个固定圆周之内（见图3.12）。C=0的情况是一个好例子，由于在这种情形下序列的所有成员都是0。另一发生有界行为的例子是C=-1，因为此序列为0，-1，0，-1，0，-1，……；还有另一例子是C=i，其序列为0，i，i-1，-i，i-1，-i，i-1，-i，……。然而，对于其他不同的复数C，序列徘徊到离原点越来越远的不定距离的地方去；也就是说该序列是无界的，不能被包容于一个固定的圆周之内。这种行为的例子发生在当C=1时，因为这时序列变为0，1，2，5，26，677，458330，……；C=-3时也发生这种行为，其序列为0， -3， 6， 33， 1086，……；还有C=i-1，序列为0，i-1，-i-1，-1+i3，-9-i5，55+i91，-5257+i10011，……。图3.12如果在阿伽德平面上存在包括序列所有点的某一个固定圆周，则该序列是 。（这个特殊的递归从 开始并且 。 有界的 0 C = +12i -12）
孟德勒伯洛特集，也就是我们托伯列南世界的黑色区域，正是阿伽德平面上由其序列维持有界的所有点C所组成的。白色区域是由产生无界序列的C所构成。我们前面所看到的细致的图画都是由电脑输出而绘成的。电脑系统地跑过所有可能的复数C，并对任意选取的C算出序列0，C，C2+C，……，按照某种合适的判据来决定该序列发散否。如果它是有界的，电脑就在屏幕上对应于C的那一点画上黑的。如果它是无界的，则画白的。电脑在考虑的区域的每一点都会最终决定画上白的或黑的颜色。
孟德勒伯洛特集的复杂性是非常引人注目的，尤其是和以下事实成鲜明对照，这个集的定义在数学上是如此之简单。另外，这个集的一般结构对我们选取的z―→z2+C的映射的代数形式并不敏感。许多其他的递推的代数复映射（例如z―→z2+iz2+C）会给出极其类似的结构（假定我们从选取一个合适的数开始――也许不是零，对于每个适当选取的映射这一个数是按照一个明确的数学法则选取的）。就递推的复映射而言，这些“孟德勒伯洛特”结构的确有一种普适的绝对的特征。研究这种结构本身是数学中称作复杂动力系统的学科。数学概念的柏拉图实在？数学家世界的对象有多“实在”？一种观点认为，它们似乎根本就没有任何是实在的。数学对象仅仅是概念；它们是数学家制造的精神上的理想化，它经常受到我们四周世界的外观和表面秩序的刺激，但充其量仍不过是精神的理想化而已。它们能不仅仅是人类头脑的恣意创造物吗？同时人们经常发现，这些数学概念会显示出某种深刻的实在性，完全超越出个别数学家的深思熟虑之外。人类思想恰如受到真理的引导，其真理本身具有实在性，而且只能对我们之中任何人揭示一部分真理。
孟德勒伯洛特集提供了一个突出的例子。它的美妙和复杂无比的结果既非任何人的发明，也不是任何一群数学家的设计。波兰――美国数学家（兼分维几何的领袖）贝内特?孟德勒伯洛特首先3研究了该集合。他对其中蕴含的美妙的细节并无预先的概念，尽管他知道正在寻找某种非常有趣的东西。的确，当他的第一张电脑画图开始出现时，他的印象是，所看到的模糊的结构只是电脑失误的结果（孟德勒伯洛特1986）！他到了后来才相信集合就在那里。不但我们中的任何一个人都不能完全理解，而且任何电脑都不能指示孟德勒伯洛特集结构的复杂完整的细节。这个结构似乎不仅是我们精神的一部分，其本身也具有实在性。不管选择任一位数学家或任一台电脑去考察该集合，都会发现是对相同的基本数学结构的近似。用哪台电脑去进行计算都不会有真正的区别（假如电脑处于准确的工作状态），除了计算速度和存储与画图能力的差异会导致细节以及产生该细节的速度差别之外。使用电脑和在探索物理世界时使用实验仪器的方法在本质上是相同的。孟德勒伯洛特集不是人类思维的发明：它是一个发现。正如喜马拉雅山那样，孟德勒伯洛特集就在那里！
类似的，复数系统本身具有根本而永恒的实在性，它超越出任何特殊的数学家的精神构想。大致在杰罗拉莫?卡当诺的工作中复数才开始受到赏识。他是生于1501年死于1576年的意大利人，也是正式的医生、赌徒兼占星家（还为基督算过命）。1545年他写了一本重要的影响久远的代数专著《艺术全书》。他在该书中首次提出了一般的立方方程的（以n次方根表达的）解的表达式1。然而，他注意到，在某一类方程具有三个实解的被人们称为“不可约化”的情况下，在他的表达式的某一阶段必须取负数的平方根。虽然他为此深感迷惑，他却意识到，如果允许他取这种平方根，也只有这样，才能表达出全部答案（最后答案总是实的）。后来，1572年拉飞逸?玻姆贝利在他题为《代数》的著作中，推广了卡当诺的结果并开始研究真正的复数代数。
初看起来，这样地引进负数的平方根似乎仅仅是作为工具――为了达1+z/1+z2/(1×2)+z3/(1×2×3)+…。到特定目的的数学发明――后来人们越来越清楚，从这些东西所获取的比原先所设计的多得多。正如我在前面提到的，虽然复数引进的当初目的是为了使取平方根畅通无阻，后来人们发现作为奖赏，能够求任何其他根式或者解任何代数方程。我们还发现了复数的许多神奇性质，这些我们最初一点儿的征兆也没有。这些性质现存在那里。尽管卡当诺、玻姆贝利、瓦里斯、可提斯、欧拉、温塞尔和高斯具有无可怀疑的远见，这些性质不是由他们以及其他伟大的数学家放在那儿的。这些神奇是他们逐渐揭开的结构本身所固有的。当初卡当诺引进复数时，他根本对接踵而来的许多神奇没有任何一点暗示――而这些神奇的性质后来以不同的人来命名，例如柯希积分公式、黎曼映射定理以及列维开拓性质。这些以及其他显著的事实，正是卡当诺在1539年左右遭遇到的没有做过任何修正的那种数的性质。
数学究竟是发明还是发现？当数学家获得他们的结果时，是否仅仅产生了精神上的复杂构想没有客观实在性，但它们是这样地有力和精巧，甚至于把发明者也愚弄了，并使他们相信这些仅仅为精神的构想是“实在的”？或者数学家实际上是发现现成的真理――这种真理的存在完全独立于数学家的活动呢？我想到了现在，读者会很清楚，至少就复数的这种结构以及孟德勒伯洛特集而言，我执着地坚持第二种而不是第一种观点。但是，情况也许还不像这么直截了当。正如我说过的，在数学中有些东西，用术语“发现”的确比“发明”更贴切得多，正如上面引用的例子。这些正是从结构出来的东西比预先放进的东西多得多的情形。人们可以认为，在这种情形下数学家和“上帝的杰作”邂逅。然而，还有其他情形，数学结构并没有如此令人信服的唯一性。例如，在证明某些结果的过程中，数学家发现必须引进某种巧妙的而同时远非唯一的构想，以得到某种特别的结果。在这种情形下，从构想得出的结果不太可能比起先放进的更多，所以术语“发明”似乎比“发现”更为妥当。这些的确只是“人的作品”。从这种观点看，真正的数学发现一般地被认为比“仅仅”发明具有更伟大的成就和抱负。这种分类法在艺术和工程中是相当熟悉的。伟大的艺术作品的确比不甚伟大者“更接近于上帝”。在艺术家最伟大的作品中，揭示了某种预先的天界存在的①不朽真理，而他们较差的作品可能更随意，但本质上只不过是会枯朽的作品，这种感觉对于艺术家并不稀罕。类似地，在漂亮组织的工程实施中，使用某些简单的预想不到的想法，并得到大量的成果，把这工程描述为发现比发明更妥当。在叙述了这么许多以后，我禁不住感到，在数学中，至少对于其中某些最基本的概念，某种天国的不朽存在的信念比在其他情形下更强烈得多。在这种数学观念中存在比在艺术和工程中强烈得多的令人信服的唯一① “ 拓朴学”有时称作“橡皮膜几何”。在这种几何中实际的距离是无所谓的，只关心对象的连续性质。性和普适性。数学观念可在这样一种超越时间的天国的意义上存在的思想，是在古代（公元前360年左右）由伟大的希腊哲学家柏拉图提出的。
随后这种思想就时常被称为数学柏拉图主义。它以后对我们很重要。
我在第一章用了一些篇幅讨论强人工智能的观点，根据这种观点，假设精神现象可在一个算法的数学观念中找到栖身之所。我在第二章中强调，算法的概念的确是根本的并为“上帝赋予”的思想。我在同一章论证道，这种“上帝赋予”的数学观念应有某种遗世独立的品格。由于为精神现象提供某种天界存在的可能性，该观点是否赋予强人工智能观点某些信任度呢？也许是这样的――我甚至在下面进一步作和这个观点相似的推测。但是，如果精神现象的确可以找到这种一般的归宿，我不相信，这种归宿会是算法的概念。这里需要某种更微妙得多的东西。算法的东西只构成数学中非常狭小和有限的部分的这一事实是下面讨论的重要方面。我们将在下一章看到非算法数学的范畴和微妙之处。注 释1．见孟德勒伯洛特(1986)。我所选取的特殊的放大序列是取自派特根和雷希特(1986)。该书中有许多五彩缤纷的孟德勒伯洛特集的图画。进一步的图解可参见派特根和绍帕(1988)。2．尽我所知，要求对任意实数总存在某种确定其n位数是什么的规则的观点是协调的，虽然不是传统的。尽管这样的一个规则可以是无效的，甚至在一预定的形式体系中根本不能定义（见第四章）。我希望它是协调的，因为这正是我最希望坚持的观点。
3．关于是谁第一个得到这个集，在实际上存在一些争议（见布鲁克斯和马特勒斯基1981，孟德勒伯洛特1989）；但是这一争议本身的存在更加支持了这一集合是被发现而非发明的观点。
